3.2 Programação linear pelo Excel

No segundo caso, o valor de V não aumentou entre as duas repetições do mesmo tableau (afinal, esse valor é parte do tableau) e os pivôs envolvidos são todos degenerados. Há casos em que não há outra escolha de pivôs e o método falha.

3.2 Programação linear pelo Excel

O procedimento de otimização linear nem sempre é factível manualmente, dado que, em geral, seus problemas já envolvem uma quantidade muito grande de equações dentro do sistema, como é o caso dos problemas de alocação aqui descritos. Por exemplo, um pequeno problema de casamento com somente 6 pessoas (3 casais) já envolverá 15 inequações. Dessa forma, é interessante utilizar ferramentas que agilizem a resolução do sistema linear.

Portanto, incluímos, aqui, um exemplo de resolução de sistemas lineares por meio de planilhas eletrônicas. A título de exemplo, trabalharemos o problema anterior de programação linear, em que tivemos que produzir bolos, tortas e biscoitos de modo a maximizar sua receita bruta.

O primeiro passo é montar a tabela com todos os dados e cálculos necessários na planilha. Para facilitar, criamos um "cabeçalho" nas 1ª e 2ª linhas, em que deixamos a 1ª célula vazia (as células que não serão preenchidas mostraremos em cinza nas figuras) e, na 2ª célula, inserimos "coeficiente de x" ou "coef. x" (que determina a quantidade

do produto "bolo" a ser produzida, como determinamos na Seção

3.1), seguido de "coeficiente de y" ou "coef. y" (que determina a quantidade do produto "torta" a ser produzida) na célula seguinte e, depois, de "coeficiente de z" ou "coef. z" (que determina a quantidade de "dúzias de biscoito" a ser produzida). Mantemos as próximas duas células vazias, para, então, na seguinte (7ª célula), inserirmos "total utilizado" ou "tot. utilizado" e, na subsequente (8ª célula), "total disponível" ou "tot. disponível".

Uma vez feito o "cabeçalho", inserimos a função objetivo V = 8x + 6y + 5z na 3ª linha da tabela, ou seja, em sua 1ª célula inserimos "objetivo" para identificarmos a qual função estamos fazendo referência. Em seguida, incluímos os valores que constituem os coeficientes, de forma que, na 2ª célula, inserimos o número 8, na 3ª célula o número 6 e, na 4ª célula, o número 5, sem trocar o sinal.

Após a elaboração destas duas primeiras linhas, pulamos uma linha e começamos a preencher o restante da planilha. Assim, na coluna A, iniciamos com a inserção do nome do primeiro ingrediente na 5ª linha, "Maçãs"; na 6ª linha, inserimos o nome do segundo ingrediente, "Açúcar", e, na 7ª linha, o nome do terceiro ingrediente, "Farinha".

Ao passo que, na coluna B, inserimos a quantidade de cada ingrediente para a fabricação de bolo, ou seja, em sua 5ª linha inserimos a quantidade necessária de 3 maçãs para a produção de um bolo, enquanto que na 6ª linha inserimos a quantidade também necessária de 1 xícara de açúcar para se produzir um bolo e na 7ª linha inserimos a quantidade necessária de 2 xícaras de farinha à produção de um bolo.

Consequentemente, na coluna C inserimos as respectivas quantidades de maçãs, xícaras de açúcar e xícaras de farinha para a produção de uma torta, assim como na coluna D inserimos as respectivas quantidades de maçãs, xícaras de açúcar e xícaras de farinha para a produção de uma dúzia de biscoito. Dessa forma, temos:

Em seguida, pulamos as colunas E, F e G e completamos a coluna "tot. disponível" (coluna H) com os valores determinados pelas inequações da Seção 3.1, ou seja, a partir da 5ª linha da coluna H inserimos a quantidade total de 840 maçãs que possuímos, assim como na 6ª linha a quantidade total de 630 xícaras de açúcar e, na 7ª linha, a quantidade total de 450 xícaras de farinha à disposição.

Agora, pulamos a 8ª linha e, na linha seguinte (9ª linha), inserimos "x =" na coluna B, ao passo que inserimos "y =" na coluna C e "z =" na coluna D. As células abaixo desses elementos, na 10ª linha, são o local onde serão apresentados os valores de cada um desses coeficientes em sua forma mais eficiente, isto é, para se alcançar a maximização da receita bruta. Os valores nestas células irão variar com a execução do Solver, porém, é preciso completar a planilha para iniciar o processo. Para tanto, inserimos o número 1 nestas células.

Depois, incluímos as fórmulas para o cálculo da otimização na coluna G: na 3ª linha dessa coluna inserimos a fórmula = B3 * B10 + C3 * C10 + D3 * D10 que realiza a multiplicação dos números contidos nas células B3, C3 e D3 com os números correspondentes contidos nas células B10, C10 e D10 e, depois, somados entre si. Depois, na 5ª linha, inserimos a fórmula = B5 * B10 + C5 * C10 + D5 * D10, que determina a quantidade de maçãs usada na fabricação de bolos, tortas e dúzias de biscoito. Assim, fazemos o mesmo nas linhas seguintes, de forma que na 6ª, seja inserida a fórmula = B6 * B10 + C6 * C10 + D6 * D10 para a quantidade de xícaras de açúcar e, na 7ª, a fórmula = B7 * B10 + C7 * C10 + D7 * D10 para a quantidade de xícaras de farinha.

O leitor com prática no Excel experimentará selecionar a célula G5, clicar no quadrado que aparece no seu canto inferior direito e "arrastar" para as demais células para completamento automático; contudo, é preciso cuidado e verificar que os índices 10 serão indevidamente também modificados. Um jeito de resolver isso é através do uso do cifrão $ ao escrever a fórmula em G5: esse símbolo fixa a identificação da linha ou coluna que o seguir, por exemplo, em B$10 ou $B$10, quando copiamos para todo um grupo de células. Porém, no exemplo de emparelhamento, veremos como realizar todas as somas com uma única operação matricial.

Por conseguinte, as fórmulas determinam o valor 19 na célula G3, 14 na célula G5 e 6 nas células G6 e G7 (enquanto o Solver ainda não foi executado).

O passo seguinte é utilizar a ferramenta Solver do programa Excel, que pode ser encontrada na aba "Ferramentas" ou na aba "Dados", juntamente com outras ferramentas de análise.

Se for necessário instalá-lo, vá ao menu principal do Excel, item "Ferramentas" ou "Opções", subitem "Add-ins" ou "Suplementos", procure por "solver" e proceda com as instruções na tela. Essa operação pode não funcionar, informando que o arquivo "solver. xlam" não está presente. Nesse caso, rode a reinstalação do Office para incluir o item "Ferramentas Compartilhadas do Office", subitem "Aplicação Básica Visual" e refaça a operação.

Uma vez disponível e selecionado o Solver, acompanhe o preenchimento de seu "quadro de diálogo" na próxima figura.

O primeiro passo é determinar a "Célula de Destino", isto é, a célula que acumula o valor calculado da função objetivo, que, neste caso, é a célula G3, cuja fórmula soma os produtos dos coeficientes de x, y e z pelos valores dessas variáveis. Para selecioná-la, podemos clicar no botão disponível à direita do campo de preenchimento; o quadro de diálogo será substituído por outro, menor, que o usuário pode ignorar e optar por selecionar a célula desejada diretamente na própria planilha; de imediato, o quadro de diálogo será restaurado com o campo preenchido. (Estes cifrões serão inseridos pelo próprio programa para fixar a identificação das células.) Em seguida, como desejamos maximizar a renda bruta, selecionamos a opção "Máx.". As "Células Variáveis" serão as células B10, C10 e D10 que identificam os valores dos coeficientes que irão mudar de acordo com a execução do Solver; elas também podem ser selecionadas, como um intervalo de células, com o uso do botão à direita do campo.

Por fim, inserimos as restrições no quadro de diálogo, de modo que, por uma questão de lógica, os valores de B10, C10 e D10 devem ser maiores ou iguais a zero e os valores de G5, G6 e G7 ser menores ou iguais aos valores de H5, H6 e H7, respectivamente. Podemos tratar as duas situações do mesmo modo, mas, também, selecionar, especificamente, a opção que aparece mais abaixo, "Tornar Variáveis Irrestritas Não Negativas", para tratar o primeiro conjunto de condições, que é muito comum. Para as outras restrições, clicamos o botão "Adicionar" e selecionamos os intervalos de células no novo quadro de diálogo, assim como a relação de desigualdade entre eles.

Uma vez incluídos os elementos de análise, selecionamos "LP Simplex" como modelo de solução e, então, clicamos em "Resolver". Em vista disso, o Solver começa a ser executado e, se ele encontrar uma solução, automaticamente substituirá os valores na tabela por novos, os quais maximizam a receita bruta. Logo, temos a seguinte tabela reformulada pelo Solver: