3.4 Emparelhamento estável igualitário

para cada homem H, somente uma variável X(H,M) vale 1 e as demais valem 0, então, somente um fator P (M) é efetivamente H adicionado e é o que corresponde à esposa de H, enquanto os demais termos são anulados.

Dessa forma, o número 12, na célula AG, significa a soma das 3 posições que Victor tem em sua lista de preferências até sua parceira, Débora, com mais 1 posição da lista de Wilson até Ana; além de mais 3 posições na lista de Xavier; 4 posições na lista de Yuri e 1 posição na lista de Zé:

Desse modo, na prática, instruímos o Solver a procurar pela menor soma das distâncias das mulheres nas listas de seus parceiros. Se desejamos uma alocação mais favorável às mulheres, selecionamos "Máx.", porque esta procura pela maior soma das distâncias das mulheres nas listas de seus parceiros, lembrando que o pior pareamento para os homens significa o melhor pareamento para as mulheres. Logo, não é necessário que modifiquemos a função objetivo, uma vez que selecionar "Máx." já significa inverter os sinais de todas as equações como se invertêssemos os papéis dos dois grupos de agentes.

3.4 Emparelhamento estável igualitário

Na formulação acima, explicitamos que, ao utilizarmos a programação linear para resolução do problema do casamento, deveríamos optar ou por minimizar a função objetivo, favorecendo, então, o grupo que faz as propostas, ou maximizar essa função, de forma a favorecer o grupo que recebe as propostas. Entretanto, alguns avanços já foram feitos, de forma que esse mecanismo não se restrinja a tais opções.

Assim, é possível a descoberta de emparelhamentos mais igualitários entre os homens e as mulheres a partir da inclusão de "pesos" de preferência ao invés de somente uma lista ordenada.

Por exemplo, podemos tratar homens e mulheres simetricamente e igualmente a partir de uma função objetivo que os contemple dessa forma:

Essa expressão, na reunião entre homens e mulheres, considera simultaneamente os pesos das preferências de ambos, de acordo com a posição de seu parceiro em sua lista de preferência.

Dessa forma, é possível formular uma nova função objetivo, com a qual obteremos um resultado de emparelhamento igualitário quando é minimizada.

A Seção 3.6 de Gusfield; Irving (1989) dá três definições de emparelhamentos mais simétricos entre proponentes e seletores, inclusive a somatória acima, e algoritmos eficientes para encontrá-los, utilizando princípios teóricos subjacentes a Gale-Shapley em vez da programação linear geral.

Uma dessas definições permite maior flexibilidade na formulação de listas de preferência, em que cada agente atribui "pontuações" àqueles que deve comparar, em lugar de simples "posições". Por exemplo, o agente X pode expressar o quanto A > B atribuindo X valores reais P (A) e P (B) que devem apenas satisfazer P (A) < X X X P (B) (note que, quanto menor a pontuação ou nota, melhor a X

opção).

É possível, até mesmo, estabelecer um "passeio" partindo do emparelhamento ótimo dos homens e chegando ao das mulheres, para escolhermos qualquer ponto entre eles: para t ∈ [0,1], defina