Capítulo 09 – Relações entre a conceituação da estrutura do sistema de numeração decimal e as operações cognitivas de produção, tratamento e conversão com registros de representação semiótica do número: a palavra e a escrita arábica

Capítulo 09 – Relações entre a

conceituação da estrutura do sistema

de numeração decimal e as operações

cognitivas de produção, tratamento e

conversão com registros de

representação semiótica do número:

a palavra e a escrita arábica

 

Celia Finck Brandt, Méricles Thadeu Moretti

 

Introdução

Um sistema de numeração não é universal e nem único. O que o caracteriza é ser resultado da produção humana. Sendo inventado, é necessário entender a sua estrutura, a qual pode apresentar base e/ou valor posicional, expressos ou explicitados diferentemente e com maior ou menor transparência nos diferentes registros de representação do número dentre os quais se destaca o numeral arábico e os nomes atribuídos aos números. O sistema de numeração que se tornou hegemônico foi criado pelos hindus e divulgado pelos árabes, sendo, por isso, denominado indo-arábico. Esse sistema possui uma estrutura composta pela base dez e pelo valor posicional, cuja aprendizagem não se resume nem se reduz a uma simples transmissão, apesar da natureza arbitrária de seus elementos constituintes, isto é, a base e o valor posicional, visto que esses elementos são articulados por meio de operações matemáticas, gerando um novo objeto matemático a ser ensinado/aprendido.

Diversas pesquisas – Kamii (1990, 1992, 1995, 1996); Teixeira (1996); Lerner e Sadovski (1996); Fayol (1996); Brizuela (1998); Fuson e Kwon (1991); Brandt (2002) – apresentam resultados que indicam dificuldades para a aprendizagem da estrutura do Sistema de Numeração Decimal Posicional (SND), observadas em procedimentos de escrita ou interpretação de numerais arábicos, ou também na realização de operações matemáticas de adição, subtração, multiplicação e divisão com a utilização de algoritmos, caracterizadas por mera reprodução de passos ou de instruções apresentadas pelo professor.

Alguns desses resultados mostram que as crianças realizam essas operações com a utilização dos algoritmos, mas não sabem justificar por que “vai um”, por que se “afasta uma casa” na multiplicação por dois algarismos, por que ao “emprestar um” para um algarismo da direita este se torna maior em dez unidades, por que o algarismo posicionado à esquerda é dez vezes maior que o algarismo localizado imediatamente a sua direita no numeral arábico, entre outras questões. Na escrita de numerais arábicos, são cometidos erros de natureza sintática, como, por exemplo, escrever 2000300401 para representar o número 2341 ou de natureza léxica, como por exemplo, escrever 13 para representar o número 31 (erro de pilha), entre outros.

Pelas razões acima expostas, escolhemos, na presente investigação, a estrutura do SND como objeto de investigação, em relação ao qual se levanta a seguinte problemática: como possibilitar a compreensão dos conteúdos de registros de representação do número (palavra e numeral arábico) e a identificação da estrutura do SND presente em tais registros?

Buscamos, também, responder as seguintes indagações: quais são as questões inerentes às operações de produção, tratamento e conversão específicas para possibilitar a identificação da estrutura do SND na palavra e no numeral arábico que constituem registros de representação semiótico do número? Como levar em conta essas questões no processo de ensino que objetiva a aprendizagem do SND?

Pretende-se com a presente investigação: 1) apresentar as questões relevantes referentes ao par conceituação/representação, de modo a subsidiar ações voltadas à superação das dificuldades dos alunos e à ressignificação dos registros de representação de quantidades; 2) identificar, por meio de análise e estudo, os padrões de organização do numeral arábico e da palavra que expressa o número, com o objetivo de apontar de que forma a estrutura do SND está neles explicitada, tornando mais ou menos facilitada a sua aprendizagem, a sua compreensão e a sua consequente atribuição de significado por sujeitos aprendentes; e 3) apontar a forma como se deve levar em conta esses padrões e essas explicitações nas operações cognitivas de produção, tratamento e conversão de registros de representação semióticos do número (em especial a palavra e o numeral arábico) presentes em dado momento da aprendizagem durante o processo de ensino.

Os subsídios teóricos que sustentam e fundamentam nossas análises foram angariados em teorias de representação semiótica, em especial nas ideias de Raymond Duval, autor que destaca a importância do par noésis/ semiósis para a conceitualização dos objetos matemáticos e das operações cognitivas de formação, tratamento e conversão realizadas com registros de representação semióticos.

Organizamos a apresentação dos resultados dos estudos realizados na presente investigação em quatro partes: a primeira contém pesquisas que apresentam os padrões de organização da palavra e do numeral arábico; a segunda expõe o papel de uma teoria de representações para a conceitualização da estrutura do SND; a terceira explicita os procedimentos metodológicos a serem adotados para contemplar as operações cognitivas de produção, tratamento e conversão com registros de representação semióticos do número a palavra e o numeral arábico no processo de ensino, voltados à aprendizagem da estrutura do SND; a quarta apresenta as considerações finais e contempla os resultados encontrados, servindo, dessa forma, para apresentar respostas às questões levantadas, de modo a enfrentar a referida problemática.

 

Resultados de estudos sobre padrões de

organização de registros de representação

semiótica do número: a palavra e o numeral

arábico

Há que se concordar com Fayol (1996), que afirma ser necessária a criação de um sistema de denominação numérica para estabelecer o valor cardinal de uma coleção de natureza discreta, por enumeração, desde que o mesmo exprima a numerosidade subjacente da coleção. Este problema poderia ser resolvido de uma forma fácil, bastando, segundo o autor, uma lexicalização direta, isto é, um nome para cada número, que se tornaria limitado por razões de economia de tratamento. Essa limitação só pode ser superada a partir da criação de um sistema de numeração para a constituição de registros de números que expressam a medida de conjuntos. Torna-se necessário, então, a partir disto, conhecer e entender os padrões de organização de sistemas de numeração criados para representar quantidades, expressos em registros de representação, quer sejam palavras ou numerais arábicos.

Um estudo de Fuson e Kwon (1991) contribui com essa questão ao apresentar uma comparação entre as palavras-números criadas pelos europeus, as quais utilizam o SND e são irregulares até cem, e as criadas pelos asiáticos, também utilizando o SND, mas que são, ao contrário, totalmente regulares. Os autores indicaram, em ambos os casos, a maneira como as palavras são ligadas aos números.

Após uma análise dos resultados apresentados pelos autores, pode-se afirmar que, até a quantidade dez, não há diferença entre os europeus (franceses) e os asiáticos, no sentido de ser necessário memorizar os nomes das palavras criadas para representar os números que expressam as quantificações, a serem recitados numa seqüência pré-estabelecida (isto é válido também para os ingleses até a quantidade doze). Porém, a partir destas quantificações, percebe-se uma regularidade nas palavras utilizadas pelos asiáticos para as quantificações de um outro intervalo numérico, do onze ao dezenove. Para estes números os asiáticos utilizam as mesmas palavras já criadas, elas são repetidas de forma combinada para nomear os números até o dezenove.

Para a organização das palavras que expressam os números de 11 a 19, basta a utilização da palavra dez (à esquerda) seguida de uma das palavras representativas dos valores de 1 a 9 (à direita). O número representado é obtido através da soma dos valores numéricos expressos por essas palavras.

A mesma lógica é utilizada para a organização do numeral arábico que expressa o número: um dos algarismos criados para representar os números de 1 a 9 é colocado, na vertical, abaixo do algarismo criado para representar o dez, de modo a se obter os números de 11 a 19.

No entanto, este não é o caso para as palavras criadas por franceses e ingleses. Para os franceses, existem palavras específicas para nomear os números de onze a quinze, compostas de prefixos e sufixos ligados entre si por uma adição dos valores numéricos por eles representados. Esses prefixos e sufixos, por sua vez, são deformações das palavras criadas para os números de um a nove. Assim “douze” é uma palavra composta pelo prefixo “dou” (que constitui uma deformação da palavra criada para representar o dois, “deux”) e pelo sufixo “ze” (que constitui uma deformação da palavra criada para representar o dez, “dix”).

Pode-se exemplificar essa lógica com algumas palavras da língua portuguesa, que, nesse intervalo, seguem a mesma regra: para os prefixos, há a utilização das sílabas “on”,”do”,” ter”, “quator”, “quin”; e para o sufixo, a utilização da sílaba “ze”, deformações, respectivamente, das palavras criadas para um, dois, três, quatro, cinco e dez. Nessa organização o prefixo e o sufixo são ligados por uma adição dos valores numéricos por eles representados. Do dezesseis até o dezenove, a ordem inverte: o prefixo representa dez e os sufixos representam os número de um a nove, sem deformações. Os prefixos e sufixos também são ligados por uma adição dos valores numéricos por eles representados.

onze = um mais dez → 11 = 10 + 1.... até quinze

dezesseis= dez mais seis → 16 = 10 + 6 ... até dezenove A mesma estrutura está presente no sistema inglês, mas a partir do treze até o dezenove. Esse padrão de organização pode ser igualmente comparado com o numeral arábico e permite explicitar a irregularidade oriunda tanto da deformação dos prefixos como da ordem em que se apresentam na palavra, que é diferente da ordem em que se apresentam os mesmos valores no numeral arábico. Essas irregularidades acabam por ocultar a numerosidade subjacente, impedindo o reconhecimento da estrutura do SND na palavra e no numeral arábico. Por isso, é preciso levar em conta, nas operações cognitivas de produção, o tratamento e a conversão com registros de representação semióticos do número.

Para as demais palavras, diferentemente dos asiáticos, utiliza-se também o princípio multiplicativo, mas não de forma tão explicitada.

Como exemplo, o Quadro 1 apresenta alguns valores comparativos entre 10 e 90.

Para os asiáticos, as mesmas dez palavras voltam a ser utilizadas para a designação das palavras que representarão dezenas exatas, com utilização, agora, da operação de multiplicação: “er shi” significará dois dez e estará representando 20 unidades. O numeral arábico acompanha esta formação incorporando uma nova regra para a sua própria formação: se o algarismo de menor valor estiver acima do dez, ele o multiplicará; se estiver abaixo dele, será somado. A palavra segue a mesma regra de formação, colocando-se os algarismos à direita e à esquerda do dez. Exemplificando: “er shi” é vinte e “shi er” é doze. Na numeração arábica tem-se:

Quadro 1 Comparação entre registros de representação do número

com a utilização do numeral arábico e da palavra

 

Fonte: os autores

Na nossa língua essas regras de formação não estão explicitadas nas palavras que designam os números de 11 a 19 e as dezenas, não da mesma forma como estão na organização das palavras-números de origem asiática. A palavra doze, por exemplo, dissílaba, não deixa explicitada que as duas sílabas correspondem às dezenas e às unidades do número 12: “do” para 2 e “ze” para 10. Já não é o caso das palavras designadas para representar os números compreendidos no intervalo de 16 a 19.

No entanto, em se tratando das dezenas exatas, os padrões de organização das palavras voltam a encobrir a numerosidade, haja vista a deformação dos prefixos e sufixos. Por exemplo: vinte e trinta são palavras que utilizam os prefixos vin e trin, que são deformações das palavras “dois” e “três”, respectivamente; enquanto os sufixos te e ta são novas deformações do dez. Para as demais palavras, representativas das dezenas exatas, existe uma regularidade maior, mas que não explicita as operações envolvidas, de modo que continuam a esconder a numerosidade, especialmente em virtude das deformações sofridas pelos prefixos: quar (deformação do quatro), cinqu (deformação do cinco), sess (deformação do seis), set (deformação do sete), oit (deformação do oito) e nov (deformação do nove). Também ocorre a deformação do dez para compor o sufixo enta, que é ligado ao prefixo por uma operação de multiplicação não explicitada. Segundo Fayol (1996), a adição de sílabas breves e as mudanças nas sílabas obscurecem o sentido quantitativo e dificultam a identificação da estrutura do SND nas palavras-números e na ligação com os números arábicos.

Em relação à escrita arábica, pode-se recorrer a registros históricos para compreender sua origem. Os hindus, a princípio, expressavam os números por extenso, utilizando nove nomes criados para expressar os nove primeiros números inteiros, seguidos de uma palavra utilizada para expressar uma dezena ou uma de suas potências (“dasa” para 10, “sata” para 100, “sahasra” para 1000, “ayuta” para 10000, entre outros). Esse procedimento esteve na base da estrutura do sistema de numeração de quantidades por algarismos. Com o decorrer do tempo, essas palavras foram suprimidas e a posição do algarismo no numeral passou a indicar por qual potência de dez ele seria multiplicado. Como exemplo, cita-se: 3425. Ele seria expresso, no começo, por “cinco dois dasa quatro sata e três sahara”; posteriormente, por “cinco. dois. quatro. três”. Foi desta forma que, “ao operar tal simplificação, os sábios hindus tinham elaborado uma verdadeira numeração oral de posição, recebendo desse modo os nomes, em sânscrito, das nove unidades simples um valor variável dependente de sua posição na enunciação do número” (IFRAH, 1989, p. 269).

Nesta investigação estar-se-á levando em conta os resultados dos estudos apresentados, que se referem aos padrões de organização da escrita arábica e da palavra que expressa o número, em se tratando das operações cognitivas de produção, tratamento e conversão, as quais, segundo Duval (1995), estão relacionadas ao par conceituação/representação.

Por esta razão, apresentaremos, a seguir, as ideias defendidas por Raymond Duval a respeito da conceitualização de objetos matemáticos.

 

O papel das representações semióticas na

conceitualização

De acordo com Duval (1995), a distinção entre um objeto matemático e a sua representação é de extrema relevância no funcionamento cognitivo. Por isso, faz-se necessário, no ambiente de ensino e aprendizagem, levar em conta essa diferenciação, de modo a investigar se a compreensão explicitada pelos sujeitos aprendentes se refere aos objetos matemáticos ou as suas representações.

Para o autor, a questão mais difícil a ser enfrentada é verificar se os sujeitos, em fase de aprendizagem, confundem os objetos matemáticos com suas representações, visto que eles só podem lidar com as representações semióticas para realizar uma atividade sobre os objetos matemáticos. É o caso, por exemplo, das confusões entre a recitação da sequência numérica e a escrita de numerais, entendidas como conhecimento do número e a estrutura do sistema de numeração, presente nos registros de representação do número.

Essa distinção exige considerar, no processo de ensino e aprendizagem dos objetos matemáticos, duas operações cognitivas, ligadas ora à representação desses objetos ora a sua conceitualização. Uma delas, segundo Duval (1993), é a semióse, que diz respeito à produção e à apreensão de uma representação dos objetos matemáticos; a outra é a noésis, que se refere à apreensão conceitual desses objetos.

A produção de uma representação, por sua vez, vai depender, segundo o autor, de um sistema semiótico que não pode ser de qualquer natureza, pois deve permitir a formação de uma representação identificável, o tratamento e a conversão.

A formação de uma representação é realizada na língua materna por meio de desenhos, figuras ou fórmulas com signos próprios de uma ciência. Há que se considerar, no entanto, que esta não acontece independente do conteúdo a representar e nem deve deixar de respeitar as regras.

O tratamento é uma operação cognitiva que compreende uma transformação da representação no interior do mesmo sistema semiótico, mobilizando apenas um só registro de representação. Exemplo: ½ = 0,5 = 50%. Neste caso foi efetuado um tratamento no numeral representativo de um número. Expressando-o através de uma fração, de um forma decimal ou de uma forma percentual. O sistema semiótico é o mesmo, independentemente de estarem sendo colocadas em jogo certas especificidades de cada uma das formas do número.

A conversão é também uma operação cognitiva, porém de outra natureza. Ela compreende a transformação de uma dada representação em outra, só que agora pertencente a um outro sistema semiótico, de modo a conservar a totalidade ou parte da representação inicial. É preciso que seja efetuada pelo sujeito aprendente, sem caracterizar uma tradução ou decodificação. Essa operação não é uma operação trivial e nem cognitivamente neutra, segundo alerta Duval (1995). Exemplo: “um número positivo” (língua materna) e “x > 0” (linguagem algébrica).

De acordo com o autor, se o processo de ensino privilegiar somente o tratamento, estar-se-á atribuindo demasiada importância à forma, como se ela, por ser responsável pela descrição de uma informação, permitisse a conceitualização. É na conversão das representações de um sistema semiótico a outro que haverá uma operação cognitiva capaz de ser descrita como uma mudança de forma, a qual possibilitará a conceitualização dos objetos matemáticos pelos sujeitos aprendentes.

Isto não significa relativizar a importância da forma, já que ela é responsável por possibilitar a diversidade (diferentes registros de representação para um mesmo objeto matemático, pertencentes a diferentes sistemas semióticos de representação), o que, por sua vez, apresenta vantagens: a economia (que é dependente do tipo de registro utilizado numa operação cognitiva de tratamento) que permite a superação dos limites de uma representação e a rapidez na representação das relações entre objetos, a complementaridade de registros, compreendendo os elementos informativos ou comunicacionais que a representação torna possível e a conceitualização, que implica a coordenação dos registros de representação.

No tocante à conceitualização, Duval (1993) nos apresenta uma estrutura por meio da qual o funcionamento da representação

semiótica é compreendido. Essa estrutura está ilustrada na Figura 1.

Figura 1 – Estrutura de representação em função da

conceitualização

 

Fonte: DUVAL, R. Registres de représentation sémiotique et

fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de

Sciences cognitives, IREM de Strasbourg, v. 5, p. 51, 1993. Essa estrutura, segundo o autor, baseia-se na crença de que a compreensão conceitual exige a coordenação de, ao menos, dois registros de representação, oportunizada pela operação cognitiva de conversão. Nessa estrutura, as flechas significam as transformações internas oriundas da operação de tratamento, e as externas as oriundas da operação de conversão, fazendo-nos lembrar que elas não são naturais ou espontâneas, terão de ser provocadas, levando à distinção entre o representante e o representado e impedindo o enclausuramento de um único registro de representação.

Segundo Duval (1995), a conversão, que é necessária para a conceitualização, enfrenta, por sua vez, o fenômeno de congruência ou de não-congruência entre as representações semióticas de sistemas diferentes de um mesmo objeto. É esse fenômeno que pode explicar os sucessos ou os insucessos dos alunos frente às questões que implicam uma mudança de sistema semiótico de representação, dependendo da congruência ou da não-congruência.

Existem três condições a serem satisfeitas para que dois sistemas semióticos de representação sejam congruentes: correspondência semântica entre as unidades significantes que as constituem, mesma ordem possível de apreensão destas unidades nas duas representações e conversão de uma unidade significante da representação de partida a uma só unidade significante na representação de chegada.

Duval (1995) analisa alguns problemas de estrutura aditiva de Vergnaud de modo a explicitar esse fenômeno. No problema “ganha três, ganha três, então ganha seis”, o fenômeno da não congruência não se manifesta, pois as três condições acima apontadas estariam sendo satisfeitas:

Ganha 3 (+3), ganha 3 (+3), ganha 6 (+6).

Já no caso do problema “ganhou algumas, ganhou 3, no total ficou com 8”, existe a necessidade de mudança de ordem das unidades significantes para expressar os procedimentos de solução em linguagem algébrica, quer seja um procedimento de diferença ou de complemento.

Se esse problema for resolvido por um procedimento da diferença, a ordem tem que ser invertida e não há nenhuma informação semântica no enunciado em língua natural que indique a subtração exigida para o mesmo:

(ganhou) 8 ? (ganhou) 3 = ...

Se o problema for resolvido pelo procedimento do complemento à ordem, ela também tem que ser invertida, pois a comutatividade é uma exigência:

(ganhou) 3 + (ganhou) ... = (ganhou) 8.

Cabe ressaltar uma questão importante em relação ao fenômeno da congruência ou da não-congruência. Esta diz respeito ao que aponta Duval (1995), dois sistemas semióticos podem ser congruentes num sentido e não o ser no sentido inverso.

No caso de problemas, há que se considerar o fato de que a sentença matemática em linguagem algébrica será um registro da solução ou dos procedimentos e estratégias utilizados para encontrar a solução. Neste caso, poderá haver ou não congruência, isto vai depender das heurísticas de resolução. A busca da solução, por sua vez, vai colocar em jogo outras propriedades ou relações, como por exemplo: “tenho algumas, ganho 3 e fico com 8”. Neste caso, é necessário a reversibilidade, para se aceitar o caminho de volta, ou a comutatividade, no caso da utilização de um procedimento de complemento, pois deve-se aceitar que x + 3 é igual a 3 + x.

Há que se considerar ainda as estruturas diádicas e triádicas presentes nas relações que se estabelecem entre os objetos e seus registros de representação. Essas estruturas são consideradas tendo em vista a dimensão linguística, que analisa as representações em relação as suas funções de expressão, tratamento e objetivação. Em se tratando da função de expressão vale ressaltar que entre os diversos significantes de um determinado significado existe uma significação por parte do sujeito em relação a um conceito que tem por referência um objeto matemático. Neste caso, a relação é triádica.

Ela pode ser diádica quando se tratar de signos constituídos por uma referência instituída (tais como vetores e operadores) e que não possuem significação. Nas estruturas triádica e diádica da significância de um signo, as relações podem ser de representação ou de referência entre os elementos constitutivos dessa significância (significante, significado, objeto). Na estrutura diádica, elas serão de representação dos objetos, enquanto na triádica elas serão de referência ao objeto para os signos aos quais serão atribuídos uma significação determinada, através do sistema da língua, ao se relacionar o significante e o significado. A relação ao objeto, neste

caso, é apenas assegurada no plano do discurso. A Figura 2 explicita essas relações e as estruturas diádicas e triádicas da significância.

Figura 2 – Estrutura diádica e triádica da significância

 

Fonte: Duval (1995, p. 63)

Podemos exemplificar essa estrutura com a palavra razão: essa palavra é um significante que pode estar relacionado a um objeto matemático ou a um objeto de conhecimento pertencente a outra área de conhecimento. Para o matemático, razão pode ser uma palavra associada a um quociente entre duas grandezas da mesma natureza, enquanto para um não matemático a palavra razão pode estar associada a “estar correto” ou à “racionalidade”. De acordo com a significação para o sujeito, o significante vai estar relacionado com um significado, que por sua vez tem por referência um determinado objeto.

A questão das relações de representação ou de referência é fundamental quando se trata das operações de tratamento e de conversão. Isto porque as transformações inter e intraregistros, compreendidas nessas operações, vão ter que ser efetuadas tendo por referência o mesmo objeto matemático, isto é, tanto o registro de representação A como a sua substituição, após transformação, por um outro registro de representação B. Porém, essa substituição não ocorre sem um determinado custo cognitivo, o qual é causado pelos problemas da congruência semântica. A substituição pode se chocar com dificuldades em virtude da diferença semântica. Por exemplo: posso substituir o numeral arábico 13 pela palavra “treze”, mas esses registros são pertencentes a redes semânticas diferentes, organizados segundo padrões diferentes, de naturezas diferentes (monofuncional e plurifuncional, respectivamente), admitindo, portanto, tratamentos diferentes (algoritmizáveis e não algoritmizáveis). Substituir o numeral arábico pela palavra pode significar um salto entre duas redes semânticas, de tal forma que o indivíduo talvez não o perceba, nem mesmo se lhe for indicado. Como na matemática a mudança de registro semiótico é frequente, a substitutividade desempenha papel essencial em relação ao custo cognitivo. A substitutividade – tanto interregistro como intraregistro – tem por base a invariabilidade da referência.

A partir do exposto, pode-se inferir que ser referencialmente equivalente não significa ser congruente. Assim, entre duas representações será importante considerar não só a relação de equivalência referencial, mas também a relação de congruência semântica:

não-congruência semântica é uma fonte de dificuldades,

independentemente do conteúdo matemático. Uma atividade

matemática pode ser bem sucedida se sua apresentação e seu

desenvolvimento não exigirem alguma transformação entre as

expressões de formulação ou representações congruentes e, a

mesma tarefa matemática, dada com uma variante que implica

uma manipulação de dados não-congruentes pode conduzir ao

fracasso (DUVAL, 1988, p. 18).

Quando duas apresentações são ditas congruentes os elementos podem ser emparelhados: eles explicitam as mesmas unidades de informação, na mesma ordem, considerando a equivalência referencial. Quando as representações não explicitam as mesmas unidades, ou quando a ordem não corresponde, é preciso proceder a uma transformação de uma das sequências (apresentações) para torná-las comparáveis.

Duas apresentações podem ser ditas mais ou menos congruentes, segundo o número de transformações necessárias. Vejamos no caso do SND:

a) Os particulares de 11 a 15

Onze = 1 + 10

11 = 10 + 1

Há que se inverter a ordem de um deles e ainda analisar o sentido do prefixo on como uma deformação do um e do sufixo ze, como uma deformação do dez. Torna-se necessário, por essa razão, atribuir sentido ao “1” da esquerda como sendo “10”, visto que esta quantidade não é explicitada no algarismo 1, de acordo com a posição por ele ocupada no numeral.

b) Valores entre 16 e 19

Dezesseis = 10+ 6

16 = 10 + 6

Nesse caso, deverá haver a decodificação do algarismos “1” do “16” como sendo 1 dezena, em virtude da posição ocupada na representação arábica. Logo, o algarismo “1” do “16” não explicita a dezena da mesma forma que o prefixo dez da palavra dezesseis. Na palavra, o prefixo dez faz referência a dez unidades elementares e não a um grupo de dez.

 

As unidades de significado dos dois registros estão na mesma ordem, porém não explicitam as quantidades de forma clara e igual. Na escrita arábica há necessidade do reconhecimento do algarismo 2 como representativo de duas dezenas em virtude de sua posição. Na palavra é necessário o reconhecimento de que o prefixo vin é uma deformação da palavra dois, e de que o sufixo te é uma deformação da palavra dez, além de ambos estarem articulados através de uma multiplicação. Ainda há o fato de que o registro que representa o número envolve três palavras, enquanto a representação arábica envolve dois algarismos, não havendo, portanto, univocidade terminal. Uma das palavras explicita uma das operações que articula as palavras entre si: o conectivo e em vinte e um representa uma adição. Essa operação não é explicitada na escrita arábica.

Nos dois registros de representação, percebem-se variações de traços semânticos e de forma.

escrita numeral arábico

Traços prefixos e posição dos semânticos sufixos algarismos

Forma palavras algarismos

“O problema da congruência ou não-congruência semântica de duas apresentações de um mesmo objeto é, portanto, o de distância cognitiva entre estas duas representações, sejam elas pertencentes ou não ao mesmo registro” (DUVAL, 1988, p. 13). Quanto maior a distância cognitiva, o custo de passagem de uma apresentação a outra pode aumentar. É possível, também, que essa passagem não seja efetuada ou entendida.

A substituição por equivalência referencial cumpre uma função de tratamento e de transformação da informação, desde que se introduzam condições semânticas. Neste contexto, os problemas colocados pela congruência semântica se tornam primordiais na aprendizagem sempre que a atividade cognitiva requeira um mínimo de tratamento.

Após analisar os padrões de organização de registros de representação do número, em especial a escrita arábica, a palavra e também a forma como a estrutura do SND fica mais ou menos explicitada, além das relações, operações cognitivas e fenômenos para a conceitualização de objetos matemáticos na ótica de uma teoria de representações, passaremos a mobilizar e articular esses elementos. O objetivo dessa estratégia é buscar a resposta para a problemática que levantamos sobre nosso objeto de investigação, a qual está voltada para a compreensão da estrutura do SND no numeral arábico e na palavra.

Para tanto, esclareceremos os procedimentos metodológicos voltados para as operações cognitivas de formação, tratamento e conversão com a estrutura do SND da escrita arábica e da palavra.

 

Procedimentos metodológicos

Duval (2003) lista alguns procedimentos voltados para o funcionamento cognitivo de modo a permitir que o aluno, em situação de ensino, possa compreender, efetuar e controlar a diversidade dos processos matemáticos que a ele são propostos, visto a complexidade do funcionamento cognitivo subjacente à atividade matemática e sua especificidade. Esses procedimentos sugeridos e as orientações necessárias foram levados em conta ao serem organizadas e analisadas as operações cognitivas de produção, tratamento e conversão para a aprendizagem da estrutura do sistema de numeração e para a identificação dessa estrutura em registros de representação do número: a palavra e o numeral arábico.

Após análises e reflexões, apontar-se-ão questões que farão referências às exigências a serem levadas em consideração na organização da prática educativa. Explicitaremos, também, as relações existentes entre o par representação/conceitualização da estrutura do SND. Igualmente, as orientações relativas sobre o que observar nas produções dos alunos, indagando sobre um modelo pertinente para analisar e interpretar as observações e os dados da experiência, que são constituídos dos desempenhos ou procedimentos adotados por crianças para lidar com a estrutura do SND, os quais apontam a não identificação dessa estrutura nos diferentes registros de representação.

Face ao exposto, alguns passos sugeridos nesses procedimentos foram adotados para o presente estudo: a) identificação da distinção sobre o que sobressai numa operação cognitiva de tratamento de um registro (palavra ou numeral arábico) e aquilo que sobressai em uma operação cognitiva de conversão de um registro de representação em outro (palavra em numeral arábico e vice-versa); b) análise das formas de utilização da conversão como instrumento de análise: variáveis cognitivas próprias de cada registro de representação (a palavra e a escrita arábica); e c) identificação da congruência ou da não congruência semântica entre as palavras e os numerais arábicos que expressam os números.

Para contemplar as operações cognitivas de produção, tratamento e conversão, é necessário, primeiramente, discriminar as unidades cognitivas pertinentes ao conteúdo de uma representação. Por esta razão, apresentar-se-ão as duas condições a serem satisfeitas para a identificação de tais unidades, segundo Duval (1999):

1 − submeter um registro de representação a todas as

variações possíveis, sendo que as representações formadas,

após as variações, devem ainda ter sentido;

2 − tomar dois registros de representação associados entre si e A identificação das unidades cognitivamente pertinentes destes dois tipos de registro de representação têm que ser feitas em separado, já que as regras de formação da palavra e do numeral arábico são diferentes. Após essa identificação, submeter-se-á um dos registros a variações e verificar-se-á se elas produzem registros que têm como referência outros objetos matemáticos. Se isto acontecer, estará sendo identificada uma unidade cognitivamente pertinente, que estará, por sua vez, evidenciando a estrutura do SND nos dois registros de representação. Se houver uma variação num dos tipos de registro que não provoque uma referência a outro objeto matemático, então ter-se-á um tratamento no interior do próprio registro, apesar de este, igualmente, envolver as unidades cognitivamente pertinentes, obedecendo a regras específicas e próprias do registro de representação de acordo com sua natureza. Exemplo: transformar o numeral 12 em 10 + 2.

submeter um deles às variações que provoquem variações no

outro.

Neste estudo, deveremos identificar as variáveis cognitivas do numeral arábico e da palavra que expressa o número. As variações serão cognitivamente pertinentes quando uma variação D2 num registro D provocar uma variação D3 no registro associado D1, tendo como referência objetos diferentes. Exemplo: no numeral arábico há o valor relativo e absoluto dos algarismos. Ambos constituem as variáveis cognitivas desse tipo de registro de representação. Se um dos algarismos do 12 (registro D) for alterado, obter-se-á um novo numeral, 13 (registro D2 que sofreu variação), que representa um outro número e, consequentemente, a palavra a ele associada – doze (registro D1) – também sofrerá alteração: treze (registro D3 que sofreu variação). O mesmo acontecerá se mudarmos o algarismo de posição: (registro D) 21 → 12 (registro D2 alterado). As palavras “vinte e um” e “doze” constituem os registros D1 e D3 associados, respectivamente, aos registros D e D2. É este princípio de variação que está na base da atividade de conversão. Uma variação cognitiva sempre vai consistir numa mudança de sentido. Duval (1999) afirma que a compreensão do sentido provoca automaticamente a compreensão do objeto.

Deve-se, no entanto, considerar o que nos alerta o autor ao afirmar que um dos maiores problemas da aprendizagem é a discriminação das unidades que são cognitivamente pertinentes. Isto vai exigir que façamos as variações estruturais, objetivando verificar qual delas provoca variações cognitivas e qual não provoca, desenvolvendo-se, desta maneira, a capacidade de efetuar esta discriminação.

A seguir, demonstraremos as unidades que são cognitivamente pertinentes nos dois registros de representação do número, a palavra e o numeral arábico, para que se possam propor variações cognitivas a serem coordenadas pelos sujeitos aprendentes numa operação cognitiva de conversão, contribuindo assim para provocar a compreensão do objeto matemático.

As variações provocadas nos dois tipos de registros de representação do número para a identificação das unidades cognitivamente pertinentes compreenderão, num primeiro momento, os seguintes intervalos numéricos: os particulares de 11 a 15 (11, 12, 13, 14, 15), os valores compreendidos no intervalo 16 a 19, as dezenas exatas, os valores que compreendem os pares dezena/unidade (por exemplo, 53), centena/unidade (por exemplo, 102), centena/dezena (por exemplo, 120), centena/particular (112), centenas exatas (por exemplo, 200) e os valores que compreendem o trio centena/dezena/ unidade (por exemplo, 153).

Apresentar-se-á, primeiramente, um quadro com as variações provocadas para em seguida elaborarmos as interpretações que indicam o fenômeno da congruência ou da não congruência.

1) Variações provocadas no numeral arábico e verificação da variação provocada no seu registro associado pertencente a um outro sistema semiótico (a palavra), envolvendo alguns números do tipo: particulares, dezenas exatas, itens do tipo D/U

Quadro 3 – Identificação de unidades cognitivas em cada tipo de

registro de representação

Numeral arábico Palavr

a

11 Onze Variação no algarismo da direita 12 Doze (referência a outro objeto) (mesm Variação no algarismo da esquerda 21 a pilha) (referência a outro objeto) Vinte e

um

(outra

pilha)

12 Doze 21 Inversão da posição dos algarismos Vinte e (referência a outro objeto). um O mesmo acontecerá para os demais (outra particulares (13, 14 e 15) e para os itens pilha) tipo dezena/unidade compreendidos no

intervalo [16; 99]

20 Vinte 02 Inversão dos algarismos (referência a Dois outro objeto) (outra O mesmo acontecerá para o 30, 40, 50, 60, pilha) 70, 80 e 90

Interpretações:

A escrita arábica admite variações na posição dos algarismos do numeral (valor relativo) e no valor absoluto dos algarismos. A variação de posição provoca a referência a outro objeto (outro número), que pode ou não pertencer a mesma pilha (20 e 02 ou 32 e 23), a variação do valor absoluto do algarismo também provoca uma referência a outro objeto que pode ser ou não da mesma pilha (11 e 12 ou 11 e 21). Isso significa que a posição e o valor absoluto dos algarismos são as unidades cognitivamente pertinentes que, caso sofram variações, passarão a ter por referência outro objeto.

Já a palavra escrita que representa o número vai sofrer variações nos sufixos e prefixos. Por exemplo: a variação do prefixo on do onze para do tre, quator ou quin gerará palavras que terão como referência outro objeto, mesmo que da mesma pilha. A partir do dezesseis, a variação é no sufixo, para que não haja mudança de pilha: dezessete, dezoito, dezenove. Serão necessárias deformações e inversões nos prefixos e sufixos das palavras que representam os números para que se configurem variações nas unidades cognitivas pertinentes e nos seus registros associados pertencentes a outro sistema semiótico, como é o caso da escrita arábica. Se a deformação compreender um sufixo do tipo enta, ocorrerá uma variação que levará a outro objeto pertencente a outra pilha: por exemplo, quatorze e quarenta. Se a variação compreender uma deformação do sufixo entos ou centos haverá uma alteração na potência de 10.

De qualquer forma, na palavra, a alteração dos prefixos e sufixos criará novos objetos, que ora pertencem a mesma pilha e ora não pertencem. No entanto, a alteração dos prefixos e dos sufixos provocará não somente trocas, como na escrita arábica, mas também deformações e inversões. Logo, sufixos e prefixos são as unidades cognitivamente pertinentes na palavra que expressa o número, que, ao sofrer variações, tem por referência outro objeto matemático. Analisar-se-ão as variações dessas unidades identificadas nos dois registros, concomitantemente.

2) Numerais que compreendem C/U (centenas e unidades), C/P (centena com particular), C/D (centena com dezenas exatas) e

C/D/U (centenas com dezenas não exatas). (Quadro 4).

Quadro 4 – Relação de numerais nos dois registros

101 107 113 501 162 cento cento e cento e quinhentos cento e e um sete treze e um sessenta e

dois

110 071 131 105 126 cento setenta e cento e cento e cento e e dez um trinta e cinco vinte e seis

um

011 017 311 150 261 onze dezessete trezentos cento e duzentos e

e onze cinqüenta sessenta e

um

170 051 216 cento e cinqüenta duzentos e setenta e um dezesseis 701 510 621 setecentos quinhentos seiscentos e um e dez e vinte e um 710 15 612 setecentos quinze seiscentos e dez e doze

Interpretações:

Todas as variações de posição dos algarismos do numeral provocam um outro número, ora composto por dezenas e unidades e ora composto por centenas e dezenas (exatas ou não exatas). Esta variação pode ser identificada na palavra que constitui um registro associado ao mesmo número representado pelo numeral, verificando os destaques em negrito (os grupos de cem), os destaques sublinhados duplamente (os grupos de dez) e os destaques sublinhados (as unidades). Pode-se observar que o algarismo que sofreu variação em relação a sua posição ocupada no numeral ora representa unidades simples, ora grupos de dez e ora grupos de cem.

O número de palavras em relação ao número de algarismos do numeral vai depender do tipo de número que se forma após a variação:

C/U: 3 palavras e 3 algarismos (por exemplo 102; cento e dois); C/D (exata): 3 palavras e 3 algarismos (por exemplo, cento e vinte);

C/D (não exata): 5 palavras e 3 algarismos(por exemplo, cento e vinte e três);

D/U (acima de 20): 3 palavras e 2 algarismos (por exemplo, 24, vente e quatro);

D/U (de 11 a 19): 1 palavra e 2 algarismos (por exemplo, 17, dezessete).

Porém, mesmo que o número de palavras não seja igual ao número de algarismos, é possível identificar os grupos de dez, de cem e as unidades, ora nas palavras por inteiro, ora nas sílabas (sufixos e prefixos) que compõem uma das palavras.

Após essa análise é possível focar as unidades cognitivamente pertinentes às atividades que vão compreender as operações de conversão e de tratamento. Em cada uma das operações elas desempenharão desafios cognoscitivos diferentes, mas que estarão voltados para a aprendizagem da estrutura do SND, dos conteúdos das representações e para a diferenciação entre representante e representado.

Segundo Duval (1988) “entre duas representações de informação, há duas relações independentes a considerar: a relação de equivalência referencial e a relação de congruência semântica. Duas expressões diferentes podem ser referencialmente equivalentes sem que sejam semanticamente congruentes” (p. 8). De acordo com o autor “a conduta em matemática implica uma substitutividade tanto inter-registro como intraregistro com base numa invariabilidade de referência” (p. 8). Ao mudar de registro é necessário respeitar certos procedimentos de codificação e enfrentar as dificuldades inerentes às diferenças entre as redes semânticas.

 

Considerações finais

A elaboração de atividades ou de tarefas a serem propostas no processo de ensino deve levar em conta a estrutura triádica que explica as relações entre significantes e significados, mediados por significações que têm por referência o sistema de numeração decimal e sua estrutura. Deve-se, também, levar em consideração os padrões de organização e o caráter operatório, tanto das palavras que expressam os números como da representação desses através de algarismos.

O que se deve buscar é a compreensão da estrutura do SND veiculada nos registros de representação do número. Por esta razão, a fundamentação deve se dar nas relações entre semiósis e noésis, que envolvem as relações entre significantes e significados, além das atividades de produção, tratamento e conversão, que, por sua vez, compreendem o fenômeno da congruência e da não-congruência.

O que se configurou para o estudo que foi desenvolvido foi a necessidade de uma abordagem voltada para o trânsito entre as duas formas de registros de representação do número (a escrita e o numeral arábico), visto que eles explicitam, de modos diferenciados, a estrutura do SND. Tal abordagem tem de levar em conta os resultados de pesquisas que indicam as causas das dificuldades de compreensão dessa estrutura, para que se possa buscar uma forma de interpretar e enfrentar a problemática de modo substancial, além de desvendar relações entre os dados pertinentes desse campo conceitual específico, o SND.

Neste sentido, as proposições de Duval (1995), relativas à relação semiósis/noésis e seu papel na construção de conhecimentos, permitiram um melhor entendimento da complexidade do processo de compreensão do SND. Na perspectiva adotada, a elaboração de tarefas para a situação de ensino vai implicar compreender vários instrumentos nocionais e também relações e inferências pertinentes ao sistema conceitual, que são igualmente relevantes a uma teoria de representações por compreenderem sistemas semióticos e não semióticos, em relação aos quais estão subjacentes formas diferenciadas de tratamento cognitivo colocadas em ação.

Isto significa levar os alunos a transitar de um registro de representação para outro, vivenciando dois problemas: a aprendizagem do funcionamento representacional de cada um dos registros que pertencem a sistemas semióticos com especificidades e particularidades e a conversão de uma representação produzida num registro em uma representação do objeto em outro registro.

Intencionou-se mostrar que a diversidade de registros de representação, que é inerente ao funcionamento do pensamento, só torna possível o conhecimento da estrutura do SND se houver uma diferenciação progressiva de diferentes registros de representação do número. O número expressa a medida de um conjunto, para ser comunicado, exigirá, por questões de custo de memória e tratamento, um registro de representação e, consequentemente, uma estrutura para um sistema de numeração.

Podemos responder a uma das questões levantadas a respeito das operações de produção, tratamento e conversão afirmando que, na organização das tarefas de uma situação de ensino, é preciso considerar os dois aspectos compreendidos numa representação: a sua forma (língua materna, linguagem algébrica) e o seu conteúdo (maneira pela qual a representação apresenta o objeto e através da qual o objeto se torna acessível). Esta é uma questão de extrema relevância, visto que os dois registros de representação do número não têm o mesmo conteúdo. Isto significa que, além da aprendizagem do objeto de estudo em questão, isto é, da estrutura do SND, há a necessidade de organização de situações que compreendam a aprendizagem da forma e do conteúdo do registro de representação.

Um dos objetivos a serem atingidos com a presente investigação diz respeito à apresentação de questões relevantes referentes ao par conceituação/representação, para que seja possível subsidiar ações voltadas para a ressignificação dos registros de representação de quantidades. Ao proceder desta forma, deu-se um passo na direção de apresentar respostas para a problemática levantada em relação ao objeto. Isto porque encontramos no aporte teórico ideias defendidas por Duval relacionando a conceitualização com a representação, o que ressalta as operações cognitivas de produção, tratamento e conversão. Além disso, o autor também levanta o fenômeno da não congruência, sua relação com os insucessos dos alunos, bem como suas dificuldades em compreender a estrutura do SND e identificá-la nos diferentes registros de representação do número.

Um outro objetivo estabelecido no início da investigação voltou-se para a identificação dos padrões de organização do numeral arábico e da palavra que expressa o número. Resultados de pesquisas de Fuson e Kwon (1991) e estudos de Fayol (1996) e Ifrah (1989) que possibilitaram a compreensão destes padrões e de suas variações necessárias para contemplar as operações cognitivas de tratamento e conversão e, consequentemente, a compreensão dos conteúdos dos registros de representação do número e a identificação da estrutura do SND nestes registros. Os resultados obtidos com as análises efetuadas permitiram enfrentar a problemática levantada e apresentar respostas para buscar a atribuição de significados.

 

Conclusões e recomendações fundamentadas

Um mesmo objeto pode ser representado por vários registros de representação que não possuem uma mesma forma e um mesmo conteúdo. Segundo Duval (1998, p. 32) “a forma depende do registro de representação, o conteúdo depende das possibilidades de explicitação das propriedades do objeto que permite o registro de representação e o tratamento depende igualmente do registro de representação”.

As relações entre a representação e o objeto representado são compreendidas em seu modo de produção, visto que uma representação está ligada a sua utilização e que as diferentes representações desempenham papéis diferentes no desenvolvimento dos processos cognitivos. O objeto representado (no nosso caso, a estrutura do SND que é utilizada para representar números por meio de diferentes registros de representação) é a causa da representação, em razão de um mecanismo ou de um sistema que permitiu produzir os diferentes registros de representação.

É por esta razão que as dificuldades dos alunos, em relação à aprendizagem do SND, têm que ser estudadas através da produção dos registros de representação nos sistemas que permitem esta produção e também em virtude de suas especificidades e de sua natureza, que tornam mais ou menos explicitado o objeto representado (no nosso caso, a base 10 e o valor posicional compreendidos na estrutura do SND). Esses dois aspectos compreendidos na estrutura são interligados por operações matemáticas de adição e multiplicação e deverão estar presentes nos registros de representação em virtude do sistema utilizado.

[...] é o sistema mobilizado para produzir uma representação

que determina, de um lado, a natureza da relação entre esta

representação e o objeto representado e, de outro lado, a forma

da representação produzida e seu conteúdo isto é, a maneira

pela qual a representação torna acessível o objeto

representado, explicitado ou colocado em primeiro plano certas

propriedades em detrimento de outras” (DUVAL, 1999, p. 41).

As tarefas de uma situação de ensino devem ser elaboradas levando em consideração o aspecto funcional ligado à produção de representações semióticas, que é relativo ao tipo de atividade que os signos permitem abranger. Essas atividades estão ligadas, por sua vez, às funções cognitivas fundamentais de comunicação, tratamento e objetivação, que transformam a representação semiótica em registro de representação.

Deve estar presente também a questão das duas apreensões diferentes que as representações semióticas possibilitam: uma apreensão do objeto e outra da representação. Isto significa que a representação pode direcionar a atenção sobre o objeto ou sobre ela mesma.

Segundo Duval (1996), considerando que os objetos matemáticos só são acessíveis por meio de representações e os tratamentos dependem das possibilidades dadas pelas representações, elas não podem ser consideradas secundárias em relação aos objetos matemáticos propriamente ditos.

Em relação à significância dessas representações, um outro aspecto de natureza estrutural se impõe, pois, enquanto signos, elas adquirem valores diferentes de acordo com o sistema semiótico utilizado para produzi-las, o qual determina um campo de significância, de representação ou de referência ao objeto representado.

Essa questão deve ser infundida de forma significativa na elaboração das tarefas da situação de ensino, pois as propostas devem contemplar o conteúdo da representação, o qual não deve ser confundido com o objeto representado. Isso significa, sucessivamente ou simultaneamente, que se deve lidar com a compreensão do conteúdo do registro de representação de acordo com a sua forma (escrita arábica ou palavra), de modo a explicitar o seu conteúdo (valor relativo dos algarismos na escrita arábica e análise da articulação entre sufixos e prefixos das palavras) valendo-se do objeto matemático de aprendizagem: o SND.

Todo o estudo procurou, enfim, mostrar que as possibilidades de organização de tarefas para compor uma situação de ensino que permita aos alunos compreender o SND encontram sentido nos seguintes argumentos:

o problema da aprendizagem, ao nível do funcionamento

cognitivo do sujeito, deve ser formulado, não em termos do

funcionamento cognitivo do sujeito, mas deve ser formulado em

termos de condições de compreensão [...] que não estão

ligadas a um conteúdo particular, mas à natureza das atividades

e dos raciocínios que se encontram exigidos por meio de

diferentes conteúdos ensinados. (DUVAL, 1996, p. 377)

O estudo realizado traz derivações pedagógicas: ao proceder com uma análise funcional das atividades, das tarefas e das produções cognitivas com registros de representação, o resultado deve apontar a que a atenção do professor deve se voltar com relação a cada momento de compreensão do aprendiz e quais deverão e poderão ser, então, os objetos de intervenção específica e como esta deve se caracterizar.

Toda a trajetória percorrida indica o que se deve enfrentar em relação a um processo mais amplo de construção de formas cognitivas, os quais envolvem, atualmente, aprendizagens pontuais, de caráter mecanizado, tal como acontece com o sistema de numeração decimal: numerais arábicos repetidos numa ordem correta, escritos e utilizados em algoritmos; assim como as palavras para designação de números, porém, sem significação em relação à compreensão do SND.

Ultrapassar esse caráter mecanizado exigirá muito esforço e aquisições difíceis, raramente superadas pelo imediatismo das intervenções didáticas. No entanto, se isso não acontecer, poderemos comprometer e limitar o processo cognitivo mais amplo dos aprendizes na escola, o que poderá se refletir em seus cotidianos, em outras situações de vida que não a realidade de sala de aula.

 

Referências

DUVAL, R. Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences cognitives, IREM de Strasbourg, v. 5, p. 51, 1993. _________. Sémiósis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Suisse: Peter Lang, 1995.

_________. Quel cognitive retenir em didactique des mathématiques? Recherches em didactique des mathématiques. La pensée Sauvage, v. 16/3, n. 48, p. 349-380, 1996.

_________. Écarts sémantiques et cohérence mathématique: introduction aux problèmes de congruence. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, IREM de Strasbourg, v. 1, p. 7-25, 1988

_________. Registros de representação semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, S. D. A. (Org.). Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003.

_________. Cours PUC. São Paulo: Février, 1999. Documento datilografado.

FAYOL, M. A criança e o número: da contagem à resolução de problemas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.

FUSON, K. C.; KWON, Y. Systèmes de mots-nombres et outres outils culturels: effets sur les premiers calculs de l’enfant. In: BIDEAU, Jacqueline; MELJAC,C.; FISCHER, J.P. Les chemins du nombre. França: Presses Universitaires de Lille, 1991.

IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1989.