Capítulo 05 – Leitura, escrita e argumentação na Educação Matemática do Ensino Médio: possibilidades de constituição de significados matemáticos

Capítulo 05 – Leitura, escrita e

argumentação na Educação

Matemática do Ensino Médio:

possibilidades de constituição de

significados matemáticos

 

Samuel Edmundo López Bello, Luis Davi Mazzei

Saber matemática não é apenas dominar os algoritmos necessários à solução de problemas. Muito mais do que aprender de técnica para operar com símbolos, a matemática relaciona-se com certas possibilidades de interpretar, analisar, sintetizar, significar, conceber, transcender o imediatamente sensível, extrapolando e projetando perspectivas.

A utilização da linguagem matemática deve priorizar a compreensão dos conceitos que estão sendo tratados e deixar claro em que contextos estão inseridos. Para Danyluk (2002, p. 18): “a leitura, quando é compreensão e interpretação, abre para o leitor novas possibilidades de compreensão de si, do outro e do mundo”. Portanto, é mister do professor empregar a linguagem materna (comum) de maneira a permitir aos alunos o estabelecimento de relações entre essa e a linguagem matemática e vice-versa.

Porém, qual a nossa intenção ao situar as questões relativas à leitura e escrita em matemática, relacionando-a à língua materna e provocando a produção de si, do outro e do mundo?

Neste texto, tentaremos discutir e explorar algumas possibilidades de como a leitura, a escrita e a argumentação na prática pedagógica em matemática podem contribuir à compreensão e constituição de

significados próprios do seu campo discursivo1. Em um contexto educacional contemporâneo, em que as teorizações estão pautadas por discussões em torno da linguagem, suas significações sociais e

seus efeitos em processos de subjetivação2, consideramos de extrema importância trazer essas discussões para o âmbito da educação matemática no ensino médio.

Assim, a relação matemática e linguagem, e em particular, os processos de leitura e escrita, devem ser encarados como formas imbricadas de representação de diferentes realidades e não apenas de uma única possível. Especulamos que esta seja uma questão até agora ignorada pela maioria de nós professores e que tem produzido dificuldades nos alunos nas nossas aulas de matemática.

É importante lembrar, também, as dissonâncias que podem acontecer entre a oralidade do dia a dia (marcada principalmente pelo uso da língua materna) e as formas orais argumentativas e o vocabulário presente na produção do discurso matemático. É preciso que os próprios alunos se deem conta dessas dissonâncias, uma vez que dessa percepção derivam suas possibilidades de constituição permanente de diferentes significados. Entendemos que esta perspectiva se aproxima da ideia de se reinterpretar essa tal oralidade presente na escola e que significa muito mais do que utilizar o que o aluno fala para a compreensão da matemática. Trata-se de pôr em exercício a prática argumentativa como uma forma de pensar, entre outras, que aproxima o aluno da prática e do campo discursivo da matemática, enquanto disciplina e orienta formas de produção de si, do outro e do mundo.

 

O léxico especializado o mundo lido sob a

perspectiva matemática

As palavras estão na fronteira entre os sujeitos envolvidos no processo de comunicação, de forma que nenhum dos sujeitos domina totalmente os significados da palavra. Cada sujeito domina, possui, talvez, uma parte do sentido da palavra, que somente se completa na relação com o outro. Dessa forma, a palavra se orienta em função e em relação a um interlocutor. Poderíamos lembrar Bakhtin (1995, p. 33) quando diz:

Na realidade toda a palavra comporta duas faces. Ela é

determinada tanto pelo fato de que procede de alguém, como

pelo fato de que se dirige para alguém. Ela constitui justamente

o produto de interação do locutor e do ouvinte. Toda a palavra

serve de expressão a um em relação ao outro. [...] A palavra é

uma espécie de ponte lançada entre mim e os outros. Se ela se

apoia sobre mim numa extremidade, na outra apoia-se sobre o

meu interlocutor. A palavra é o território comum do locutor e do

interlocutor.

A compreensão necessita, portanto, que os signos e palavras empregadas sejam acessíveis aos sujeitos envolvidos, que todos tenham a possibilidade de fazer a aproximação entre os signos empregados e os já conhecidos. Fica claro, assim, que o emprego da linguagem deve ser feito de maneira pensada, com intencionalidade, uma vez que cada palavra, cada signo traz em si, não somente um, mas diversos significados.

Há uma grande variedade de termos originais da língua materna que são empregados de forma técnica na matemática (língua de especialidade). Da mesma forma, há um grande número de palavras que são originais da matemática e que são utilizadas na linguagem comum (por exemplo: ver as coisas por um outro ângulo). Esse fato de as palavras terem significações diferentes, de acordo com o contexto em que são utilizadas, deve ser explorado com os alunos, uma vez que nem sempre essas alterações no sentido são óbvias.

Segundo Lerat (1997, p. 15) “Uma língua é um sistema de signos

orais e /ou escritos vinculados a uma história e a uma cultura”3. A partir desse conceito, podemos inferir que o domínio da língua surge como um requisito essencial para a prática docente. De acordo com Lerat (1997, p. 18)

A língua especializada é antes de tudo uma língua em situação

de emprego profissional, quer dizer, “uma língua em

especialidade” como dizia a escola de Praga. É a língua mesma

como um sistema autônomo, mas a serviço de uma função

mais ampla: a transmissão de conhecimento.4

Algumas pesquisas, como as de Mazzei (2004), apontam para o fato de que os alunos não possuem o domínio do léxico específico empregado nas aulas de matemática. Esse fato pode estar relacionado com o emprego de uma linguagem especializada como a linguagem matemática, por vezes sem nenhuma vinculação com a realidade ou cotidiano na qual estão inseridos os alunos e o professor.

Assim, é imprescindível ao professor de matemática, o uso da linguagem comum para a construção dos conceitos junto com seus alunos. Assim, o professor deve levar em consideração a influência que a sua linguagem tem no processo de interação com os alunos. Machado (1998, p. 95) coloca:

[...] concebendo cada signo como uma entidade de duas faces,

inseparáveis como uma moeda – o conceito e a imagem -, ou,

em outras palavras, respectivamente, o significado e o

significante, a verdadeira questão por responder, é a das

relações que se estabelecem entre o signo, indivisível, e a

realidade que ele representa.

Um aspecto que também devemos levar em consideração refere-se à ambiguidade, no sentido de multiplicidade, que esse discurso matemático pode oferecer. Hariki (1992, p. 100, grifo nosso) destaca esse aspecto ao apontar:

Para falar e escrever a língua matemática é necessário

estabelecer relações ou correspondências entre objetos

matemáticos, nomes e símbolos. O discurso matemático é

assim tecido por meio de duas linguagens em certo modo

antagônicas: a linguagem ordinária, com a sobrecarga de

conotações e riquezas de detalhes, e a outra, a linguagem

simbólica, com todo seu poder de síntese.

Assim, aponta esse autor, o caso da palavra zero. Por exemplo, o número 1 é um zero no polinômio X2 1, mas o número zero não é um zero neste mesmo polinômio. Da mesma forma, podemos enquadrar o caso da palavra linear. A função y=x+1 é, para alguns, uma função linear, no sentido de seu gráfico ser uma reta e não como na álgebra linear que denota a preservação da estrutura vetorial de uma função. Para evitar essa ambiguidade alguns autores preferem chamar a tal função de linear afim, ou função afim, ou ainda função de primeiro grau. Algo parecido acontece com a palavra grupo, a qual em matemática deverá ser usada, no seu sentido algébrico, ao se falar em estruturas como os tais grupos comutativos ou abelianos, porém nunca como ideia de conjunto,

coleção, classe ou família. A isto se soma a babelização5 de termos matemáticos como consequência da valorização da sua produção acadêmica acontecida nos países do ocidente europeu. Assim, na língua portuguesa se aceita ou pelo menos se adapta a nomenclatura vinda de outras línguas como o inglês, o francês, o alemão e ainda do grego.

Muitas vezes, também, nos depararmos com um texto escrito, de qualquer área do conhecimento, passamos os olhos e, não raro, não o compreendemos. Por quê?

Nas escolas, o uso da linguagem é repleto de regras não usuais na linguagem que empregamos no dia a dia. E nesse sentido o saber acadêmico tem sua própria linguagem. Podemos em alguns casos até decodificar os símbolos impressos, mas não somos capazes de realizar a leitura do texto. Ler significa entender o significado do que está sendo dito.

A linguagem acadêmica produz algumas regras que para se diferenciar da linguagem comum e as mesmas variam muito entre as diversas áreas e disciplinas. A linguagem empregada em biologia é bastante distinta da empregada em física, por exemplo. Isso faz com que uma pessoa, um físico por exemplo, ao ler um texto de biologia, não seja capaz de compreendê-lo totalmente. Por quê? Porque a linguagem acadêmica se vale de uma terminologia específica, que só se relaciona com sua área de especialidade. O emprego de uma terminologia própria é uma das características da linguagem acadêmica. O uso dessa terminologia específica a uma área, entretanto, acarreta alguns problemas, quais sejam: a polissemia dos vocábulos e a consequente exclusão dos sujeitos que não apresentam o domínio do significado específico do termo. Feyerabend (2001, p. 35) expressa essa situação ao se referir que os matemáticos: “[...] utilizam muitas vezes num sentido técnico, palavras comuns e nem sempre fica claro de que sentido se trata”.

Hariki (1992, p. 102) também trata desse assunto ao falar do problema da ambiguidade da simbolização.

A história do descobrimento ou da criação dos objetos

matemáticos é uma das responsáveis por essa proliferação de

símbolos. Cada matemático pensa que seu símbolo é melhor

que o do outro. Observe-se que a discussão entre Newton e

Leibniz só representou um atraso para a matemática na

Inglaterra. Em que sentido um símbolo pode ser melhor que

outro?6

Assim, voltando ao caso do nosso zero, o mesmo pode significar o próprio número zero, pode ser utilizado para marcar um ponto de referência, representar um vetor nulo, uma transformação nula, uma matriz nula. Da mesma forma o símbolo “+” pode ser usado para adição de números, adição de funções, adição de vetores, reunião de conjuntos, entre outros.

Como vemos, o problema da simbolização se constitui a partir da tensão entre a vontade de matemática de precisão na síntese do pensamento e a claridade de poder representar os diferentes objetos matemáticos produzidos para cada ideia ou conceito.

Caberia se perguntar: que fazer diante desta situação? Escolher um para uso e citar os outros? Escolher um e só um para não confundir os alunos? Será que assim como babelizada a linguagem precisamos babelizar o pensamento?

Gostaríamos de concluir esta seção parafraseando Larrosa (2004, p. 82com ideias que nos fazem pensar: diante desse babelismo generalizado, começa a apontar um pensamento da diferença não mediada. Um pensamento mais heterológico que dialógico, mais babelizante que antibabelizante, um pensamento que não tenha a ver com a dificuldade da mediação, mas com a responsabilidade de diferença e com a diferença. Um convite que não seja pensar a língua a pesar de babel, mas uma comunidade realmente plural, uma comunidade realmente babélica, um aprender a habitar babel babelicamente, afirmando e não negando a condição babélica de todo o humano.

 

Pensando práticas de leitura e escrita em

matemática: uma possibilidade de interpretação,

argumentação, de produção de si, do outro e do

mundo

Um aspecto a ser destacado, e que é muito bem apontado por Suassuna (1997), em seu artigo “para além do linguístico: a produção escrita na escola”, refere-se ao funcionamento do discurso pedagógico no qual o aluno escreve com a finalidade de devolver e reproduzir um discurso esperado pelo professor em torno de certos conteúdos. Essa perspectiva, ainda muito presente na prática pedagógica escolar, o afasta da nossa intenção primeira de tornar a leitura e escrita uma forma de produção de si, em primeiro lugar. No que se refere à matemática, ele acaba reproduzindo apenas aquilo que o professor autoriza e lhe nega a possibilidade da produção/formulação de outras possibilidades, também matemáticas, que lhe abram perspectivas de pensamento, as quais devem perpassar, a nosso ver, por questões de caráter ético-cultural e, ainda, político, produzindo o outro e o mundo.

Sob a ótica da etnomatemática, como uma das propostas e discursos (BELLO, 2006) para se pensar a educação matemática na educação básica, muito tem se problematizado em torno da produção de saberes sobre um viés político-cultural.

Nesse sentido, entendemos que possibilidades de leitura e escrita matemática podem ser organizadas por nós, em caráter provisório, sob alguns pontos que consideramos centrais:

1. entender as narrativas em torno do sentido/presença do

discurso matemático na vida dos nossos alunos;

2. problematizar os significados matemáticos presentes dentro e

fora da escola, discutindo por que uns são mais valorizados do que outros;

3. constituir o processo de leitura e escrita um processo de criação

e socialização cultural;

4. identificar aspectos realmente significativos na formação

matemática dos estudantes.

Pode se perceber que, em nenhum dos aspectos anteriormente mencionados, deixa-se o discurso matemático longe das nossas considerações. Muito pelo contrário, ele passa a fazer parte do “tecido” constituído pelas narrativas em torno de sentidos, de significados dentro e fora da escola e a ser entendido como uma das ferramentas na formação escolar e social. Isto porque o discurso é possibilidade tanto do mundo de coisas quanto da constituição de um falante singular ou de uma comunidade de falantes.(LARROSA, 2002, p. 66).

Vamos pensar em uma aula a ser dada na Educação de Jovens e Adultos (EJA) para o ensino médio, na qual a temática a ser abordada dentro de uma perspectiva pedagogicamente “correta” de conhecimento e problematização da realidade seja a educação ambiental. Como consideramos que nossa prática pedagógica é contingencial, então o contexto a ser considerado para esta nossa abordagem será o assunto do desmatamento visto que podemos estar numa área rural ou nossos alunos desenvolverem uma atividade produtiva nesse sentido.

Inicialmente poderíamos perguntar ao(s) aluno(s) se ele(s) considera(m) esse tema importante. Por que nos últimos anos tem sido frequente o desmatamento em diferentes regiões e cidades brasileiras? Poderíamos pedir para citar algumas práticas que contribuem para agravar o problema e se conhecem algumas espécies vegetais e animais que têm sido mais afetadas com a prática do desmatamento na sua região? Esses comentários poderão ser registrados.

Da mesma forma poderíamos levar algumas das seguintes informações e ou verdades circulantes em torno da temática em questão, assim leria-se o seguinte: no período de 1995 a 2000, foram desmatados 177 800 hectares. Embora a área de desmatamento tenha sido reduzida para 21 800 hectares no período de 2000 a 2005, ainda é uma área muito grande. O método utilizado para o corte de árvores pouco difere de um país para outro. Após a queda corta-se a copa, galhos e o tronco da árvore onde este é dividido em partes com aproximadamente 5 metros de comprimento. Cada uma dessas partes é chamada de tora. Em algumas regiões do Brasil, o volume de uma tora é determinado com o auxílio de uma corda.

Após a leitura, lançaríamos a seguinte questão: como se faz a medição com corda de uma tora de árvore?

Esta questão poderá ser respondida na forma de relato ou narrada através de um texto escrito indistintamente pelos alunos envolvidos com a prática da extração da madeira. Outra opção poderia ser difundir e deixar registrado o que conhecemos sobre a referida prática de medição:

Primeiramente, dá-se uma volta completa com a corda ao redor da tora, posicionando a corda onde corresponda o valor médio do seu comprimento. A seguir, a corda é dobrada duas vezes pela metade, como se tivesse sido dividida em quatro partes e uma dessas partes é medida com uma trena. O valor obtido é elevado ao quadrado e em seguida multiplicado pelo comprimento da tora. Esse é o volume estimado de madeira da tora. Logo, considere valores para os alunos estimarem e discutirem em torno do cálculo do volume de madeira com este procedimento.

Outra maneira de se obter o volume estimado de madeira de uma tora é considerando-a como um cilindro circular reto.

 

O volume do cilindro é determinado da mesma maneira que calculamos o volume de um prisma, ou seja, multiplicando a medida

da área da base pela medida da altura.7

O primeiro procedimento apresentado é comumente utilizado pelas pessoas que se dedicam à extração de madeira , enquanto que o segundo é o processo de cálculo que poderíamos chamar de matemático formal.

Certamente, existem diferenças entre os resultados obtidos nos dois procedimentos utilizados. Caberia perguntar se essa diferença é significativa.

Segundo os que conhecem a técnica, e isto poderá ser avaliado pelos alunos, essa diferença, praticamente equivale às perdas de madeira no processo de corte para a comercialização. As pessoas que se dedicam à extração da madeira sabem dessa diferença e aceitam-na porque ao desdobrar a tora em tábuas, sobram as

costaneiras 8, que são as tábuas da periferia do tronco que não são comercializadas.

Por outro lado, o processo de medição de tora adotado pela indústria madeireira considera o comprimento da tora e seu diâmetro na extremidade mais fina como referência para a determinação do volume. Do resultado obtido diminui-se ainda 30% para desconsiderar o desperdício. Esse é o volume de madeira obtido através de um dos processos adotados pela indústria madeireira em algumas regiões do sul do País.

 

Assim, considerando a medida da tora acima, quais serão os cálculos necessários? Qual será o volume da tora apresentada acima? Qual será o volume aceito pela madeireira?

Diferentemente, o método adotado pelo Instituto Brasileiro do Meio Ambiente e de Recursos Renováveis (Ibama) para o cálculo estimado do volume de madeira nesse tipo de tora consiste em efetuar o produto da média entre as medidas das áreas das extremidades pela medida da altura da tora.

A diferença entre os métodos de obtenção do volume de madeira tem sido assunto de frequentes polêmicas entre o Ibamae as madeireiras.

Finalmente, vamos assumir que o volume da tora de madeira a ser estimado seja efetivamente o de um tronco de cone, sólido geométrico que se aproxima da forma desse tipo de tora.

 

No tronco do cone podemos destacar:

− A base maior de raio R;

− A base menor de raio r;

− A altura h, que é a medida da distância entre as duas bases.

O volume do tronco de cone é obtido pela relação matemática: Considerando os diversos métodos que se utilizam para o cálculo do volume de madeira, compare os resultados. O que você pode observar, argumentar, inferir, justificar? De que maneira todas as questões apontadas se relacionam ao “meio ambiente” social, cultural e político no qual você vive? Fez sentido discutir esses tipos de ações, procedimentos? Por quê?

Ao longo deste exemplo pretendemos que tenham ficado explícitos aqueles quatro pontos considerados centrais na interpretação, na leitura e na escrita a procura da produção de si, do outro e do mundo em meio a diferentes práticas discursivas, narrativas e significações entre elas e a matemática. Dessa perspectiva, a pedagogia de um modo mais geral, e em consequência a educação matemática, não pode ser vista como um espaço neutro e não problemático de mediação, ou no dizer do Larrosa (2002, p. 57) um mero espaço de acontecimentos e possibilidades para a autonomia, autocrítica, autoconfiança, autocontrole [auto-x]. Porém, um espaço de produção de experiências nas quais os indivíduos possam se tornar sujeitos de um modo particular.

 

Palavras não tão finais

Argumentar, narrar, julgar, expressar-se, posicionando-se e regulando-se através dos comentários às diferentes questões formuladas são, a partir da produção de sentidos no dizer do Larrosa (2002), formas de constituição do eu, constituição de si mesmo.

Como vimos desde o início do nosso texto a ambiguidade de diferentes discursos, inclusive do matemático, atravessando o espaço de sala de aula através das práticas de argumentação, de leitura e de escrita, coloca-nos também inevitavelmente diante da ambiguidade de sujeitos, posicionados e constituídos em lugares singulares. Assim, nem os sujeitos, nem o discurso matemático e nem qualquer outro discurso é plausível de ser capturado ou enquadrado por uma lógica unificadora, tornando-se impossível diferenciar ou definir o que poderá ser visto como verdade, ficção ou modo de pensar. Contudo, e pedagogicamente falando, podemos enunciar as regras com e pelas quais os nossos alunos possam definir para si como e quando alguma produção cultural possa ser considerada verdadeira, apenas ficção ou resultado do modo de pensar do outro.

 

Referências

BAKHTIN, M. Marxismo e filosofia da linguagem. São Paulo: Hucitec, 1995.

BELLO, Samuel Edmundo L. Diferenciação, relações de poder e etnomatemática: historiografia, perspectivas e (res)significações. Revista Horizontes, v. 24, n. 1, p. 51-67, jan/jun. 2006.

DANYLUK, O. Alfabetização matemática: as primeiras manifestações da escrita infantil. Porto Alegre: Sulina, 2002.

FEYERABEND, P. Diálogos sobre o conhecimento. São Paulo: Perspectiva, 2001.

HARIKI, Seiji. A ambigüidade do discurso matemático. Epsilon, Sec. Comunicações, n. 22, 1992. p. 999-103.

KNIJNIK, Gelsa; WANDERER, Fernanda; OLIVEIRA Cláudio José de. A “experiência de si” em um processo avaliativo de estágio docente no campo da educação Matemática. Educação e Cultura contemporânea. Rio de janeiro, v. 2, n. 4, p. 59-70, jul:dez 2005.

LERAT, P. Las lenguas especializadas. Barcelona: Ariel, 1997.

MACHADO, N. Matemática e língua materna (análise de uma impregnação mútua). São Paulo: Cortez, 1998.

MAZZEI, Luiz Davi. Dificuldades de ensino e aprendizagem do conhecimento matemático: analisando a linguagem empregada por professores e alunos. Dissertação (Mestrado) FACED-PUCRS, Porto Alegre, 2004.

SUASSUNA, Lívia. Para além do lingüístico: a produção escrita na escola. Presença Pedagógica. Belo Horizonte: Dimensão, v. 3 , n. 14, p. 4553, mar./abr. 1997.

 

1 Discurso, no contexto deste trabalho e em um sentido foucaultiano, refere-se ao conjunto de expressões verbais identificadas com certas instituições ou situações sociais, como por exemplo o discurso da ciência, o discurso da matemática, o discurso da sala de aula (SILVA, 2000, p. 43). Ao falarmos do campo discursivo da matemática e da educação matemática nos referiremos, todavia, aos efeitos sociais que produzem os saberes advindos dessas áreas de conhecimento como formas particulares de discurso.

2 Subjetivação como sentido e criação de subjetividade refere-se propriedades e elementos que caracterizam o ser humano como sujeito. No contexto deste texto, ainda, sujeito será entendido como efeito do discurso e do poder e não mais como aquele de natureza centrada, racional e autônoma do modo como apresentado, particularmente, pelas pedagogias críticas, construtivistas e libertadoras.

3 Tradução dos autores.

4 Tradução dos autores.

5 A referência à babelização que apontamos também se refere, no sentido assumido por Larrosa (p. 6972), a possibilidade de pluralidade e variação entre línguas quase infinita, segundo momentos históricos, contextos de uso, estados de confusão e de dispersão.

6 Esta discussão referia-se à utilização de certos símbolos para representar certas operações a serem efetuadas no cálculo infinitesimal.

7 Neste caso é bom lembrar que para o cálculo da área da base de um cilindro precisa-se saber calcular a área de uma figura circular qualquer e que para tanto é necessário prestar atenção aos saberes necessários para esse cálculo como por exemplo, do valor de pi = 3,14159....

8 Costaneira é a tábua obtida da extremidade exterior de um tronco ou de uma tora e que não é tão perfeita quanto as outras serradas da parte interior da tora.