Introdução

 

Em um sistema de comunicação digital, o objetivo é transmitir dados de uma fonte até um usuário. O meio usado para esta transmissão é chamado de canal e pode ser um cabo coaxial, fibra óptica, a atmosfera (no caso de ondas de rádio) etc.

Em um sistema tradicional, os dados gerados pela fonte são símbolos de um alfabeto A. Como cada símbolo tem sua probabilidade de ocorrência, estes dados são processados pelo codificador de fonte, com o objetivo de eliminar redundância, ou seja, tornar os símbolos equiprováveis e desta forma compactar a informação.

As sequências geradas pelo codificador de fonte são então processadas pelo codificador de canal, que introduz redundância, gerando sequências de símbolos de A que são chamadas de palavras código. Para a transmissão, o modulador associa a cada palavra código x um símbolo analógico, que é então enviado pelo canal.

A imperfeição do canal gera distorções e o sinal recebido nem sempre coincide com o enviado. O demodulador faz então a melhor estimativa, fornecendo uma sequência r de símbolos de A. Devido ao ruído, é possível que r não seja uma palavra código. Então o decodificador de canal associará uma palavra código, que é a melhor estimativa. Finalmente, o decodificador de fonte associará a esta palavra código a suposta sequência original de símbolos enviada. O diagrama abaixo ilustra o processo.

Cada uma destas etapas gerou grandes áreas de pesquisa, que se desenvolveram, de certa forma, independentemente.

A teoria dos códigos corretores de erros nasceu em 1948, com o famoso trabalho de Shannon (1948), no qual foi demonstrado o Teorema da Capacidade de Canal. Em linhas gerais, este resultado diz que para transmissão de dados abaixo de uma taxa C (símbolos por segundo), chamada de capacidade do canal, é possível obter a probabilidade de erro tão pequena quanto se deseja através de códigos corretores de erros eficientes.

A prova do Teorema da Capacidade do Canal implica que no caso de valores altos da relação sinal-ruído (SNR), um código de bloco ótimo para um canal com ruído gaussiano branco (AWGN), limitado em faixa consiste em um empacotamento denso de sinais dentro de uma esfera, no espaço euclidiano n-dimensional, para n suficientemente grande. Assim, se estabeleceu o vínculo entre empacotamento esférico e Teoria da Informação.

Para cada n, Minkowski provou a existência de reticulados no espaço euclidiano n-dimensional com densidade de empacotamento esférico δ satisfazendo

 

onde ζ é a função zeta de Riemann. Como consequência, obtém-se

 

Depois disto, Leech mostrou como usar códigos corretores de erros

para construir empacotamentos esféricos densos no ℝn, Conway e Sloane (199) provaram que reticulados satisfazendo a cota de Minkowski, dada pela Equação (1) são equivalentes a códigos atingindo a capacidade do canal.

O problema clássico do empacotamento esférico consiste em encontrar um arranjo de esferas idênticas no espaço Euclidiano n-dimensional de forma que a fração do espaço coberto por essas esferas seja a maior possível. Isto pode ser visto como a versão euclidiana do 18º Problema de Hilbert, proposto em 1900.

Dentre os métodos de geração de reticulados, o homomorfismo de Minkowski apresenta características interessantes. Usando teoria algébrica dos números, Craig (1978) reproduziu o reticulado de Leech Λ através da representação geométrica de um ideal no anel 24

de inteiros de ℚ(ζ ). Com o mesmo método, ainda obteve a família 39

Am em dimensões n = p − 1, através de ζ é um número n ℚ ( ), onde p p primo.

Embora os resultados apresentados aqui não sejam traduções àéis dos originais, eles são equivalentes ou consequências dos mesmos. Dessa forma, o restante do livro está delineado na sequência que segue.

O Capítulo 1, visa atender aos leitores com menos conhecimentos em teoria algébrica dos números. Sendo assim, introduzimos os conceitos de módulo, inteiro algébrico, norma e traço de um elemento, discriminante, base integral, anel de Dedekind e outros conceitos indispensáveis ao desenvolvimento dos demais capítulos. Além disso, estudamos formas quadráticas, cuja aplicação se faz quando tentamos determinar o raio de empacotamento da

realização geométrica de um ideal em questão. No Capítulo 2, apresentamos um estudo sobre corpos de números, dando ênfase ao estudo dos anéis dos inteiros e discriminantes de corpos quadráticos e ciclotômicos. Também apresentamos a decomposição de um ideal primo em uma extensão fazendo uso do Teorema de Kummer.

No Capítulo 3, apresentamos as definições de reticulado, empacotamento esférico, volume e densidade de centro. Além disso, apresentamos o método de Minkowski para obtenção de reticulados via a representação geométrica de ideais dos anéis de inteiros algébricos.

O estudo desses capítulos proporcionou-nos ferramentas

necessárias para o estudo do Capítulo 4, no qual apresentamos o tema central desse livro. Este capítulo traz um método para o cálculo da densidade de centro de reticulados gerados através de

ideais dos anéis de inteiros de ℚ(ζ ), pℚ(ζ r) e (ζ p ℚ ), onde p e q pq são números primos distintos e r é um inteiro maior ou igual a 1.

No Capítulo 5, no qual ànalizamos nosso trabalho, apresentamos através do trabalho de Boutros; Viterbo; Rastello; Belfiori (1996), constelações de reticulados que são eficientes para ambos os canais Gaussianos e Rayleigh com desvanecimento, enfocando as construções das versões rotacionadas dos reticulados já conhecidos na literatura, tais como, D , K e Λ , através da matriz mudança de 4 12 16 base de um ideal contido no anel dos inteiros de um corpo de números.

1 – Corpos de Números

 

1.1 Introdução

Neste capítulo, apresentamos uma coletânea de resultados básicos de teoria algébrica dos números. O objetivo é fornecer a base teórica para o desenvolvimento dos demais capítulos. Aqui introduzimos os conceitos de módulos, elementos inteiros sobre um anel, elementos algébricos sobre um corpo e extensões algébricas, norma e traço em uma extensão, discriminante, anéis noetherianos e anéis de Dedekind, norma de um ideal e formas quadráticas sobre

o ℝn.

1.2 Módulos

Iniciamos esta seção com as definições de módulos e submódulos. Em seguida apresentamos um teorema que será de grande utilidade posteriormente.

Definição 1.2.1. Seja A um anel. Um A-módulo M é um grupo abeliano (aditivo) munido de uma aplicação A × M M, denotada por (a, m) am, tal que, para quaisquer a, b ∈ A e x, y ∈ M, tem-se:

i) a(x + y) = ax + ay;

ii) (a + b)x = ax + bx;

iii) (ab)x = a(bx);

iv) 1x = x.

Definição 1.2.2. Sejam A um anel e M um A-módulo. Um subconjunto N ⊂ M não vazio é um A-submódulo de M se, com as operações herdadas de M, também é um A-módulo.

Um A-módulo M é dito finitamente gerado se existem x , ⋯ , x ∈ M 1 r tais que M = Ax + ... + Ax e, neste caso, dizemos que x , ... , x 1 r 1r formam um sistema de geradores de M. Um conjunto de elementos y , ... , y ∈ M são linearmente independentes (sobre A) 1 s

se a igualdade , com a ∈ A, implicar que a = ... = a = 0. j 1 s Mas, se além disso, y , ⋯ , y formarem um sistema de geradores 1 s

de M, então eles formam uma base de M. Porém, é importante notar que nem todo módulo finitamente gerado possui um base. Um A-módulo que possui uma base é chamado de um A-módulo livre, e o número de elementos da base é chamado de posto de M.

Teorema 1.2.1. Sejam A um anel principal, M um A-módulo livre de posto n, e M um A-submódulo de M. Então: i) M é livre de posto q, 0 ≤ q ≤ n. ii) Se M ≠ 0, então existe uma base {e1, ... , e } de M e elementos n não nulos a , ⋯ , a ∈ A tais que {a e , ⋯ , a e } é uma base de M e 1 q 1 1 q q que a divide a , 1 ≤ i ≤ q − 1. i i+1

Demonstração. (Samuel, 1976, p.21, Teo.1).

 

1.3 Elementos inteiros sobre um anel

Nesta seção apresentamos as definições de elemento algébrico, extensão algébrica e polinômio minimal.

Definição 1.3.1. Sejam B um anel e A B um subanel. Um ⊂ elemento α ∈ B é chamado inteiro sobre A se α é raiz de um

polinômio mônico com coeficientes em A. Se A = ℤ e B ⊂ ℂ, dizemos que α é um inteiro algébrico.

Observação 1.3.1. Denotaremos o conjunto dos elementos que estão em B e são inteiros sobre A por , ou seja, = {α ∈ B : α é B B inteiro sobre A}.

Observação 1.3.2. é chamado fecho inteiro de A em B ou anel B

dos inteiros de A em B. Se A é um domínio e B = é o corpo de frações de A, dizemos que é o fecho inteiro de A em .

Exemplo 1.3.1. O elemento α = √2 + √3 é inteiro sobre ℤ, pois é raiz do seguinte polinômio X 4 2 − 10 X + 1 ∈ ℤ[X].

Definição 1.3.2. Sejam B um anel e A ⊂ B um subanel. Seja p(X) ∈ B[X] um polinômio mônico tal que p(α) = 0, com α ∈ B. A relação p(α) = 0 é chamada uma equação de dependência inteira de α sobre A.

Exemplo 1.3.2. O elemento α = √2 ∈ ℝ é inteiro sobre ℤ. A relação α2 − 2 = 0 é uma equação de dependência inteira.

Teorema 1.3.1. (Samuel,1967, p.27, Teo.1) Sejam B um anel, A um subanel de B e α um elemento de B. Então as seguintes condições são equivalentes:

1) é inteiro sobre A.

2) O anel A[α] é um A-módulo finitamente gerado. 3) Existe um subanel R de B tal que R é um A-módulo finitamente gerado contendo A e α.

Demonstração (1) (2) Como α ∈ B é inteiro sobre A, então α ∈ B , ou seja, α é raiz de um polinômio mônico com coeficientes em A. Logo existem a , a , ... , a ∈ A não todos nulos tal que 0 1 n −1

αn n-1 + a α+...+a α+a+a =0. n-1 1 0

Seja 2 n−1 M = [1, α , α , ... , α] o A-módulo finitamente gerado. Vamos mostrar que A[α] = M. Por definição e assim, pelo modo como definimos M, segue que M ⊂ A[α]. Por outro lado,

αn n-1 = -(a α+...+a α+a ) n-1 1 0

(1.1)

e assim n 2 n−1 n α ∈ M . Portanto 1, α , α , ... , α , α ∈ M. Agora provaremos por indução sobre j j que α ∈ M, ∀ j = n + 1, n + 2, ... . Para j = 0, ... , n vimos acima que o resultado é válido. Agora suponhamos que o resultado seja válido para j > n e provemos que o resultado vale para j n−1 j + 1. Sendo α = b + b α + ... + b α com 0 1 n −1 b ∈ A, então i

αj+1 2 n-1 n =b α +b α +...+ b α + b α. 0 1 n-2 n-1

(1.2)

Substituindo (1.1) em (1.2) temos

αj+1 n-1 =-b a +(b-b a ) α+...+ (b-b a ) α n-1 0 0 n-1 1 n-2 n-1 n-1

e assim j+1 α ∈ M. Portanto A[α] ⊆ M. Portanto A[α] = M.

(2) (3) Como A ⊂ A[α], α ∈ A[α] e, por hipótese, A[α] é um A-módulo finitamente gerado, então é suficiente tomar R = A[α]. (3) (1) Seja R um A-módulo finitamente gerado que contém A e α e sejam {y , y , ... , y } os geradores de R, ou seja, R = Ay + ... + 1 2 n 1 Ay . Como α ∈ R e como R é um subanel de B segue que ay ∈ R, ∀ n i i = 1, ... , n. Assim,

Daí segue que ; onde δ = 1 se i = j e δ = 0 se i ≠ j. ij ij

Considere o sistema linear homogêneo definido pelas n equações nas variáveis y , ... , y . Ou seja, 1 n

 

Seja d = det(δ α − a ). Por Cramer dy = 0, ∀ i = 1, ⋯ , n. Portanto db ij ij i = 0, ∀ b ∈ R. Em particular d·1 = d = 0. Mas d é uma expressão polinomial em α e o coeficiente da maior potência de α é 1, pois o

termo de maior grau aparece na expansão do produto das

entradas da diagonal principal. Portanto α é inteiro sobre A.

Corolário 1.3.1. (Samuel, 1967, p.28, Prop.1) Sejam B um anel, A um subanel de B e {α , α , ... , α } ⊂ B. Se α é inteiro sobre A[α , α , 1 2 n i 1 2 ... , α ], em particular, se α é inteiro sobre A para todo i = i, ... , n, i −1 i

então A[α , α , ... , α ] é um A-módulo finitamente gerado. 1 2 n

Demonstração. A demonstração será feita por indução sobre n. Para n = 1 segue do Teorema 1.3.1, pois se α é inteiro sobre A, 1 então A[α ], é um A-módulo finitamente gerado. Assim, suponhamos 1

que o teorema seja verdadeiro para n − 1 elementos e provaremos que o teorema é válido para n elementos. Por hipótese de indução temos que R = A[α , ... , α ] é um A-módulo finitamente gerado, 1 n −1

isto é, , onde v , ... , v ∈ R. Visto que α é inteiro sobre R 1 n n temos, pelo Teorema 1.3.1, que R[α ] é um R-módulo finitamente n

gerado, isto é, , onde w , ... , w ∈ R[α ]. Então 1 s n

. Portanto {v w } gera A[α , ... j i 1

, α ] como um A-módulo. Portanto A[α , ... , α ] é um A-módulo n 1 n finitamente gerado.

Teorema 1.3.2. (Stewart; Tall, 1987, p.47, Teo.2.9) Se α é uma raiz de um polinômio mônico, onde os coeficientes são inteiros algébricos, então α é um inteiro algébrico.

Demonstração. n n−1 Seja α + α α + ... + α α + α , tal que α , i = 1, n −1 1 0 i ... , n − 1 pertença ao conjunto de todos os números complexos que

são raízes de polinômios mônicos com coeficientes em ℤ. Fazendo

B = ℤ[a , ... , a , α] e b = a , ... , b = a e b = α e temos, pelo 0 n −1 0 0 n −1 n −1 n

Corolário 1.3.1, que ℤ[b , ... , b ] é um -módulo finitamente gerado 0 n ℤ e portanto α é um inteiro algébrico.

Corolário 1.3.2. (Samuel, 1967, p.29, Corol.1 ) Sejam B um anel e A um subanel de B. Se α, β ∈ B são inteiros sobre A, então , αβ ∈

B .

Demonstração. Pela Observação 1.3.1, temos que mostrar que , αβ são inteiros sobre A. Temos que , αβ ∈ A[α, β]. Como α, β são inteiros sobre A temos então, pelo Corolário 1.3.1, que A[α, β] é um A-módulo finitamente gerado. Assim, existe um A-módulo finitamente gerado, A[α, β], que contém e αβ. Deste modo, pelo Teorema 1.3.1, e αβ são inteiros sobre A, isto é, , αβ ∈ . B

Corolário 1.3.3. (Samuel, 1967, p.29, Corol.2) Sejam B um anel e A um subanel de B. O conjunto dos elementos de B que são B inteiros sobre A é um subanel de B que contém A.

Demonstração. Pelo Corolário 1.3.2, segue que ∈ e αβ ∈ , B B ∀ α, β ∈ , assim é subanel de B. Por outro lado A ⊂ , pois B B B se a ∈ A, então a é raiz do polinômio mônico p(X) = X − a, que tem coeficientes em A, isto é, a é inteiro sobre A e assim a ∈ . B Definição 1.3.3. Sejam B um anel e A um subanel de B. Dizemos que B é inteiro sobre A, se todo elemento de B é inteiro sobre B, isto é, se = B. B

Exemplo 1.3.3. Dentre os anéis que satisfazem esta condição,

citamos o anel dos inteiros de Gauss contendo ℤ, pois todo elemento a 2 2 2 + bi de ℤ [ i ] é raiz do polinômio X −2 aX +( a + b) ∈ ℤ[X].

Proposição 1.3.1. (Samuel, 1967, p.29, Prop.2) Sejam R um anel, B um subanel de R e A um subanel de B. Então R é inteiro sobre A se, e somente se, R é inteiro sobre B e B é inteiro sobre A.

Demonstração. Suponhamos R inteiro sobre A e seja α ∈ B. Como B ⊂ R, segue que α é inteiro sobre A, ou seja, B é inteiro sobre A. Para mostrar que R é inteiro sobre B, seja α ∈ R. Então existem a , 0 a n n−1 , … , a ∈ A tal que a + a α + ... + a α + a = 0. Como A ⊂ 1 n −1 n −1 1 0 B, segue que α é inteiro sobre B, ou seja, R é inteiro sobre B. Por outro lado, seja α ∈ R. Como R é inteiro sobre B, então existem b , 0 b n n−1 , ... , b ∈ B , não todos nulos tal que α + b α + ... + b α + b 1 n −1 n −1 10 = 0. Seja C = A[b , b , ... , b ]. Logo α é inteiro sobre C, pois α é 0 1 n −1 raiz de um polinômio mônico com coeficientes em C. Como B é inteiro sobre A, segue que os b s ∈ B são inteiros sobre A. Daí pelo i Corolário 1.3.1 temos que A[b , .... , b , α] = C[α] é um A-módulo 0 n −1 finitamente gerado e pela parte (c) do Teorema 1.3.1, segue que α é inteiro sobre A. Portanto R é inteiro sobre A.

Proposição 1.3.2. (Samuel, 1967, p.29, Prop.3) Sejam A⊆ B anéis com B um domínio e inteiro sobre A. Então A é um corpo se, e somente se, B é um corpo.

Demonstração. Suponha que A seja um corpo. Seja α ∈ B, α ≠ 0. Como B é inteiro sobre A então α é inteiro sobre A e portanto pelo Teorema 1.3.1 segue que A[α] é um espaço vetorial finitamente gerado sobre A, pois A é um corpo. Seja

Temos que ϕ é A-linear e Ker(ϕ) = {b ∈ A[α] : ϕ(b) = 0} = {0}, pois ϕ(b) = 0 se, e somente se, bα = 0 e como B é um domínio e α ≠ 0 segue que b=0. Deste modo, ϕ é injetora e como estamos considerando espaços de mesma dimensão finita, segue que ? é sobrejetora. Portanto ϕ é bijetora. Assim, como 1 ∈ A[α] segue que exite b ∈ A[α] tal que b α = 1, ou seja, α é inversível em B. Portanto B é um corpo. Por outro lado, seja α ∈ A, α ≠ 0. Como A ⊂ B então α −1 ∈ B e como B é um corpo segue que α ∈ B. Como B é inteiro sobre −1 A , e α ∈ B segue que

 

(α-1 n -1 n-1 -1 ) + a ( α ) +...+ a (α)+a = 0, n-1 1 0

com n−1 a ∈ A não todos nulos. Multiplicando por α, obtemos i

α-1 n-2 n-1 + a +...+ a α +a α = 0 n-1 1 0

e então −1 n−2 n−1 α = −( α + ... + a α + a α) ∈ A. n −1 1 0

Portanto A é um corpo.

Definição 1.3.4. Um anel A é chamado integralmente fechado quando A é um domínio e é seu próprio fecho inteiro. Em outras palavras, um anel A é integralmente fechado se todo elemento do seu corpo de frações que é inteiro sobre A está em A.

Proposição 1.3.3. (Samuel, 1967, p.30, Ex.1) Se A é domínio, então é integralmente fechado. B

Demonstração. Segue do fato de que o fecho inteiro de é inteiro B

sobre , portanto sobre A. B

Proposição 1.3.4. (Samuel, 1967, p.30, Ex.2) Se A é um domínio principal então A é integralmente fechado.

Demonstração. Seja o corpo de frações de A. Seja α ∈ inteiro

sobre A, isto é, α ∈ tal que , a, b ∈ A, b ≠ 0 e mdc(a, b) = 1. Então existem a ∈ A, i = 0, 1, ... , n − 1, não todos nulos, tal que i

α n n-1 +a α +...+ a α+a = 0 n-1 1 0

 

Substituindo α por temos

 

Multiplicando por n b ambos os lados, obtemos

an n-1 n-1 n +a a b +...+ a ab +a 0 b = 0 n-1 1

e assim

an n-1 n-2 n-1 = -b(a a +...+ a ab + a b) n-1 1 0

Portanto n b | a e como mdc(a, b) = 1 segue que b|a, ou seja, a = bc. Sendo mdc(a, b) = 1 então existe x , y ∈ A tal que ax + by = 1 0 0 0 0 bcx + by = 1 b(cx + y ) = 1. Portanto b é inversível em A. 0 0 0 0

Assim, −1 α = ab ∈ A. Portanto ⊂ A e como A ⊂ segue que A =

. Portanto A é integralmente fechado.

Exemplo 1.3.4. O anel ℤ dos números inteiros é integralmente fechado, pois é principal.

Exemplo 1.3.5. Todo domínio fatorial é integralmente fechado, uma vez que é principal.

1.4 Elementos algébricos sobre um corpo e

extensões algébricas Nesta seção apresentamos as definições de elemento algébrico, extensão algébrica e polinômio minimal.

Para isso, sejam A um anel e um corpo de A. Dizemos que um elemento α ∈ A é algébrico sobre , se α é raiz de um polinômio não nulo, com coeficientes em . Se todo elemento de A for algébrico sobre , dizemos que A é algébrico sobre . Um elemento de A que não é algébrico sobre é dito transcendente sobre . Se A é um corpo então A é chamado uma extensão algébrica de . Um corpo de números é uma extensão finita dos racionais. Sabemos, pelo Teorema do Elemento Primitivo, que um corpo de números

de grau n é da forma ℚ(α) para algum elemento α ∈ . Como o

polinômio minimal de α sobre ℚ é de grau n, segue que ℚ(α) = {a + 0

a n−1 α + ... + a α : a ∈ , i = 0, ... , n − 1}, e esta representação é 1 n −1 i ℚ

única, ou seja, {1, n−1 α , ... , α} é uma base para o espaço vetorial

ℚ(α) sobre ℚ.

Segundo a definição, sendo α um elemento algébrico sobre um corpo , n n−1 α satisfaz uma equação do tipo, a α + a α +...+a α+a n n −1 10 = 0, com −1 a ∈ , a ≠ 0. Multiplicando essa equação por a, i n n obtemos uma equação de dependência inteira, n −1 n−1 a + a a α + n n −1 ... + −1 −1 a a α + aa = 0, e portanto, sobre um corpo, o conceito de n 1 n 0

elemento algébrico coincide com o de elemento inteiro.

Exemplo 1.4.1. O elemento α = √3 + √−5 é algébrico sobre ℚ, pois é raiz do polinômio X 4 2 + 4 X + 64 ∈ ℚ[X].

Definição 1.4.1. Sejam ⊆ uma extensão de corpos e α um elemento de . O polinômio mônico e de menor grau em [X] que tem α como raiz é chamado de polinômio minimal de α sobre e

seu grau é [ (α) : ].

 

1.5 Norma e traço em uma extensão Nesta seção apresentamos os conceitos de norma e traço, onde a Proposição 1.5.2 e o Corolário 1.5.1 são os principais resultados.

Sejam A um anel e B um A-módulo livre de posto n. Sejam ψ : B B um homomorfismo de anéis e {e , e , ... , e } uma base de B 1 2 n sobre A. Então

 

com a ∈ A, para todo i, j = 1, ... , n. Assim ij

 

Definição 1.5.1. Definimos o traço de ψ por , a norma de ψ por N(ψ) = det(a ) e o polinômio característico de ψ por g(X) = ij

det(X.I − ψ) = det(Xδ − a ). ij ij

Como consequência imediata desta definição tem-se:

Tr(ψ+ψ) = Tr(ψ) + Tr(ψ ),

N(ψψ ) = N(ψ)N(ψ ),

det( n n-1 n X.I - ψ ) - X - Tr ( ψ )X +...+ (-1) det(ψ).

Definição 1.5.2. Sejam A um anel e B um A-módulo livre. Seja o endomorfismo ψ : B B definido por ψ (x) = ax, para todo x ∈ B. a a Definimos o traço (respectivamente, norma e polinômio característico) de α ∈ B relativo a A, como o traço (respectivamente, determinante e polinômio característico) do endomorfismo ψ . a

Usaremos as notações Tr (α), N (α), ou simplesmente, Tr(α), B/A A /B N(α) quando não houver possibilidade de confusão. Observação 1.5.1. i) O traço e a norma são elementos de A. ii) O polinômio característico é um polinômio mônico com coeficientes em A.

iii) Para α, α′ ∈ B e a ∈ A temos que ψ + ψ = ψ e ψ º ψ = α α′ α+α′ α α′ ψ e ψ = aψ . Além disso, a matriz de ψ com respeito a uma αα′ αα α a base de B sobre A é a matriz diagonal cujas entradas não nulas são a.

Proposição 1.5.1. (Samuel, 1967, p.36, Prop.1) Sejam um corpo de característica zero ou um corpo finito, uma extensão algébrica de de grau n, α um elemento de e α , ... , α as raízes do 1 n polinômio minimal de α sobre . Então Tr (α) = α + ... + α , N / 1 n / (α) = α ... α e g(X) = (X − α ) ... (X − α ). 1 n 1 n

Demonstração. Consideraremos primeiramente o caso em que α é um elemento primitivo de sobre . Seja ƒ(X) o polinômio minimal de n−1 α sobre . Então é -isomorfo a [ X ]/ < ƒ( X ) > e {1, α , ... , α}

é uma base de sobre . Tomando ƒ( n n−1 X ) = X + a X +...+a , n −1 0 com a ∈ , temos que a matriz do endomorfismo ψ com respeito a i a esta base é dada por

 

Assim, det(X.I − ψ ) é o determinante da matriz α

 

Expandindo esse determinante como um polinômio em X, obtemos o polinômio característico de α, que é igual a ƒ(X) e temos que Tr(α) = − n a e N ( α ) = (−1)a . Como α é primitivo, segue que ƒ(X) = (X − n −1 0

α ) ... (X − α ) e igualando os coeficientes vemos que Tr(α) = α + ... 1 n 1 + α e N(α) = α ... α . n 1 n

Consideremos agora o caso geral. Se r = [ : [α]], é suficiente mostrarmos que o polinômio característico g(X) de α, com relação a

sobre , é igual a r-ésima potência do polinômio minimal de α

sobre . Seja {y } uma base de [α] sobre e seja {z } i i =1,..., q jj=1,...,r uma base de sobre [α]. Então {y z } é uma base de sobre i j com n = qr. Se M = (a ) é a matriz de multiplicação por α em [α] ih

com relação a base {y }, temos que . Então temos, i

. Logo,

 

Assim, a matriz do endomorfismo de α em com relação a base {y z }, ordenada lexicograficamente é dada por j j

 

isto é, M aparece r-vezes na diagonal como blocos na matriz M . 1 Daí, a matriz XI −M consiste de r blocos diagonais, cada um tem a n 1

forma r XI − M , e consequentemente, det ( XI − M ) = det ( XI − M ). q n 1 q 1

Assim g(X) = det(XI − M) e det(XI − M) é o polinômio característico q q de α sobre , de acordo com a primeira parte da demonstração.

Proposição 1.5.2. (Samuel, 1967, p.38, Prop.2) Sejam A um domínio, seu corpo de frações com característica zero, uma extensão finita de e α um elemento de inteiro sobre A. Então os coeficientes do polinômio característico g(X) de α relativo a sobre

em particular, Tr (α) e N (α), são inteiros sobre A. / /

Demonstração. Pela Proposição 1.5.1, temos que g(X) = (X − α ) ... 1 (X−α ). Como os coeficientes de g(X) a menos de sinal, são somas n

de produtos dos α ′s, é suficiente mostrarmos que cada α é inteiro i i sobre A. Mas cada α é um conjugado de α sobre , ou seja, existe i

um -isomorfismo σ : [α] [α ] tal que σ (α) = α . Como α é i i i i inteiro sobre A, então

αn n-1 +a α +...+ a α+a = 0, n-1 1 0

com a ∈ A não todos nulos. Aplicando σ , obtemos i i

σ n n-1 (α) + a σ (α) +...+ a σ (α) + a = 0, i n-1 i 1 i 0

ou seja, σ (α) = α é inteiro sobre A, portanto Tr (α) e N (α), são i i / / inteiros sobre A.

Corolário 1.5.1. (Samuel, 1967, p.38, Corol.1) Nas condições da Proposição 1.5.2, se A é um anel integralmente fechado, então os coeficientes do polinômio característico de α, e em particular, Tr / (α) e N (α) são elementos de A. /

Demonstração. Por definição esses coeficientes são elementos de

. Pela Proposição 1.5.2 são inteiros sobre A. Logo, são elementos

de A, pois A é integralmente fechado.

Observação 1.5.2. Observando a Proposição 1.5.2 temos que

, onde σ = 1, ..., n são os -i

monomorfismos de em ℂ.

Sejam ⊂ ⊂ corpos de números, α, α ∈ e a ∈ . Então >valem as seguintes propriedades:

1.6 Discriminante

Nesta seção apresentamos o conceito de discriminante enfocando suas principais propriedades, e o Teorema 1.6.1 é o principal resultado.

Definição 1.6.1. Sejam B um anel e A um subanel de B tal que B é um n A-módulo livre de posto finito n . Dado ( α , α , ... , α ) ∈ B, 1 2 n definimos o seu discriminante por

D (α ,α ,...,α ) = det (Tr(α α )). B/ A 1 2 n i j

Exemplo 1.6.1. Sejam = ℚ(√3) um corpo de números e {1, √3}

uma base de sobre ℚ. Então

 

Proposição 1.6.1. (Samuel, 1967, p.38, Prop.1) Seja (α , ... , α ) ∈ 1 n Bn n . Se ( β , ... , β ) ∈ B é um conjunto de elementos de B tais que 1 n

, com a ∈ A, então ij

D 2 (β ,...β ) = (det(a ))D (α ,...,α ). B/ A 1 n ij B/ A 1 n

Demonstração. Sejam , com a , a ∈ A. Assim, pi qj

, e então Tr(β β ) = p q

. Na forma matricial, temos (Tr(β β )) = (a ) p q pi

( t Tr ( α α ))( a ). Pela Definição 1.6.1 temos que D (β , ⋯ , β ) = i j qj B/A 1 n det(Tr(β β )). Logo p q

D t (β ,...,β ) = det ((a )(Tr(α α ))(a ) B/ A 1 n pi i j qj

= det t ((a )det(Tr(α α ))det(a ) pi i j qj

= det 2 (a )D (α ,...,α ). ij B/ A 1 n

Exemplo 1.6.2. Pelo exe 1.6.1 vimos que o discriminante da base

{1, √3} do corpo de números = ℚ(√3) é igual a 12. Agora, considerando uma outra base para o corpo , por exe, {2 −√3, 3 + 4√3}, segue pela Proposição 1.6.1, que 2 − √3 = 2 · 1 + (−1) · √3 e 3 + 4√3 = 3 · 1 + 4 · √3. Assim

 

Observação 1.6.1. A Proposição 1.6.1 implica que o discriminante das bases de B sobre A são associados, isto é, a matriz (a ) que ij expressa uma base em termos da outra tem uma matriz inversa com entradas em −1 A . Portanto, ambos det ( a ) e det ( a ) são inversíveis ij ij em A.

Definição 1.6.2. Sejam B um anel e A um subanel de B tal que B é um A-módulo livre de posto finito n. O discriminante de B sobre A é um ideal de A, dado por

B/ A = 〈D (α ,...,α ) B/ A 1 n〉

onde {α , ... , α } é base de B sobre A. 1 n Proposição 1.6.2. (Samuel, 1967, p.39, Prop.2) Suponhamos que B/A contém um elemento que não é um divisor de zero. Então, para

que n ( α , ... , α ) ∈ B seja uma base de B sobre A, é necessário e 1 n

suficiente que, D (α , ... , α ) gera . B/A 1 n B/A

Demonstração. Se {α , α , ... , α } é uma base de B sobre A, então 1 2 n pela Proposição 1.6.1, segue que D (α , ... , α ) gera . B/A 1 n B/A Reciprocamente, suponhamos que d = D (e , ... , e ) gera . B/A 1 n B/A Sejam {e , ... , e } uma base de B sobre A, d′ = D (e , ... , e ) e 1 n B/A 1 n

com a ∈ A, 1 ≤ i ≤ n. Pela Proposição 1.6.1, segue que d = ij

det 2 ( a )d′. Por hipótese, Ad = = Ad′ . Logo, existe um elemento ij B/A b 2 ∈ A tal que d ′ = bd . Então d = det ( a )bd, e portanto d(1 − ij det 2 ( a )b) = 0. Temos que d não é um divisor de zero, pois se fosse ij

todo elemento de Ad = seria um divisor de zero, contrariando a B/A

hipótese. Logo, 1 − 2 det ( a )b = 0, e portanto det(a ) é inversível. ij ij Assim, a matriz M = [a ] é inversível. Portanto, {α , ⋯ , α } é uma ij 1 n base de B sobre A.

Lema 1.6.1. ( Lema de Dedekind) (Samuel, 1967,p.39) Sejam Gum grupo, um corpo e σ , ... , σ homomorfismos distintos de G no 1 n grupo multiplicativo *. Então {σ , ... , σ } são linearmente 1 n independentes sobre .

Demonstração. Suponhamos que os σ ′ s sejam linearmente i

dependentes. Seja , a ∈ uma combinação linear mínima i com a ≠ 0, ∀i. Logo, para qualquer x ∈ G, temos que i

a σ (x)+a σ (x)+...+a σ (x) = 0. 1 1 2 2 m m

(1.3)

Como os homomorfismos são distintos, então existe c ∈ G tal que σ (c) ≠ σ (c). Agora, como cx ∈ G, segue que 1 m

a σ (cx)+a σ (cx)+...+a σ (cx) = 0 1 1 2 2 m m

(1.4)

e então

a σ (c)σ (x)+a σ (c)σ (x) +...+a σ (c)σ (x) = 0. 1 1 1 2 2 2 m m m

(1.5)

Multiplicando (1.3) por σ (c), obtemos 1

a σ (c)σ (x)+a σ (c)σ (x) +...+a σ (c)σ (x) = 0. 1 1 1 2 1 2 m 1 m

(1.6)

Subtraindo (1.5) de (1.6) obtemos

a σ (x)(σ (c))+...+a σ (x)(σ (c)-σ (c)) = 0. 2 2 2 m m m 1

(1.7)

Como isso vale para todo x ∈ G e m é mínimo, segue que a (σ (c)− m m σ (c)) = 0, ou seja, σ (c) = σ (c) para todo c ∈ G, visto que a ≠ 0, o 1 m 1 m que contradiz a hipótese de que os homomorfismos são distintos.

Proposição 1.6.3. (Samuel, 1967, p.39, Prop.3) Sejam um corpo,

uma extensão finita de de grau n e σ , ... , σ os n -1 n

isomorfismos distintos de em um corpo algebricamente fechado F contendo . Se {α , ... , α } é uma base de sobre , então 1 n Demonstração. Temos que D (α , ... , α ) = det(Tr(α α )). Como o / 1 n i j traço de α α é a soma dos seus conjugados, segue que D (α , ... , i j / 1

α ) = det(Tr(α α )) = = det(σ (α )) det(σ (α )) = n i j k i k j (det( 2 σ ( α ))), uma vez que i j

 

Suponha por absurdo que det(σ (α )) = 0. Então existem a , ... , a ∈ k j 1 n

F, não todos nulos, tal que para todo j. Se α ∈ , então

, com b ∈ , e por linearidade concluímos que . i

Mas isto contradiz o Lema de Dedekind e portanto det(σ (α )) ≠ 0. k j

Corolário 1.6.1. (Ribeiro, 2013, p.21, Corol.2.4.1) Sejam um corpo, uma extensão finita de de grau n e σ , σ , ... , σ os n -1 2 n isomorfismos distintos de em um corpo algebricamente fechado F

contendo . Então a forma bilinear ψ : × ℝ definida por ψ(α, β) = Tr(αβ) é não degenerada, isto é, se Tr(αβ) = 0 para todo iβ ∈ , então α = 0.

Demonstração. Seja {α , ... , α } uma base de sobre . É 1 n suficiente mostrar que se Tr(αα ) = 0, para todo j = 1, ... , n, então α = j 0. Temos que α = a α +a α +⋯+a α , com a ∈ , i = 1, ... , n. 1 1 2 2 n n i Assim, se a Tr(α α ) + a Tr(α α ) + ... + α Tr(α α ) = Tr(αα ) = 0, para 1 1 j 2 2 j n n j j todo j = 1, ⋯ , n, então obtemos o seguinte sistema linear homogêneo

Da Proposição 1.6.3, temos que det(Tr(α α )) ≠ 0, e portanto o i j sistema possui solução única dada por a = a = ... = a = 0. 1 2 n Portanto, α = 0.

 

Corolário 1.6.2. (Ribeiro, 2013, p.22, Obs.2.4.1) A aplicação ψ :

Hom ( , ) definida por ψ(α) = S , onde S (β) = Tr(αβ), β ∈ , é α α

um isomorfismo. Assim, se {α , ... , α } é uma base de sobre , 1 n então existe {ψ , ... , ψ } base dual de Hom ( , ) tal que Tr(αα ) = β β j 1 n

ψ (α ) = δ . β j ij 1

Demonstração.

i) ψ é -linear, uma vez que para β ∈ temos que S (β) = Tr((α α1+ β21 + α )β) = Tr(α β) + Tr(α β) = S (β) + S (β) = (S + S )(β). 2 1 2 α 1 α 2 α 1 α 2 Portanto ψ(α + α ) = S = S + S = ψ(α ) + ψ(α ). Por outro 1 2 α 1 + α 2 α 1 α 2 1 2 lado, S (β) = Tr((ka)β) = Tr(kαβ) = kS (αβ) = kS (β). Portanto ψ(kα) ka α α = S = kSα = kψ(α). kα

ii) ψ é injetora: Seja α ∈ tal que ψ(α) = 0. Então ψ(α) = S = 0, e α isto implica que S (β) = Tr(αβ) = 0, ∀β ∈ . Pelo Corolário 1.6.1 α

segue que α = 0. Portanto Ker(ψ) = {0}, ou seja, ψ é injetora. iii) * * ψ é sobrejetora: Como dim = dim , onde = Hom( , ), segue que ψ é sobrejetora.

Por (i), (ii), e (iii) concluímos que ψ é um isomorfismo.

Teorema 1.6.1. (Samuel, 1967, p.40, Teo.1) Sejam A um anel integralmente fechado, seu corpo de frações com característica zero, uma extensão finita de de grau n e o fecho inteiro de em . Então A é um A-submódulo de um A-módulo livre de posto n. Demonstração. Seja {α , ... , α } uma base de sobre . Como 1 n toda extensão finita é algébrica, segue que cada α é algébrico sobre i

e assim existem a ∈ A, i = 1, ... , n, não todos nulos tal que i

 

Suponhamos que n−1 a ≠ 0 e multiplicando esta equação por a, n n temos que

 

ou seja,

 

Portanto a α ∈ , ou seja, a α é inteiro sobre A. Logo, a α = z , n i n i n i i com z ∈ . Portanto {z , ... , z } forma uma base de sobre i 1 n contida em , uma vez que se b z + ... + b z = 0 com b ∈ , 1 1 n n i então b (a α )+ ...+ b (a α ) = 0, ou seja, (b a )α + ...+(b a )α = 0. 1 n 1 n n n 1 n 1 n n n Como {α , ... , α } é base de sobre , segue que b a = 0, para 1 n i n todo i, e como a ≠ 0, segue que b = 0, para todo i, o que prova que n i {z , ... , z } é linearmente independente, e como possui n elementos, 1 n

segue que é uma base de sobre . Pelo Corolário 1.6.2 existe uma base {β , ... , β } de sobre , tal que Tr(z β ) = δ . Tomando p 1 n i j ij ∈ , e como {β , ... , β } é uma base de sobre , escrevemos 1 n

 

com c ∈ . Para todo i temos z ∈ , uma vez que z ∈ j iρ i

A. Portanto, pelo Corolário 1.5.1, temos que Tr(z ) ∈ A. Assim, iρ

como , concluímos

que c ∈ A, para todo i, o que implica que é um submódulo do A- i

módulo livre .

Corolário 1.6.3. (Samuel, 1967, p.40, Corol.1) Considerando as hipóteses do Teorema 1.6.1, se A é um anel principal, então é

um A-módulo livre de posto n.

Demonstração. Pelo Teorema 1.2.1 temos que um submódulo de um A-módulo livre com A principal, é livre com posto ≤ n. Pelo Teorema 1.6.1 vimos que contém uma base com n elementos de

sobre . Logo tem posto n.

Exemplo 1.6.3. Sejam uma extensão finita de ℚ e A = ℤ. O anel

dos inteiros algébricos de é um ℤ-módulo livre de posto [ : ℚ],

visto que ℤ é principal.

Definição 1.6.3. Sejam uma extensão finita de ℚ, A = ℤ e o

anel dos inteiros algébricos de . Temos que é um ℤ-módulo livre de posto [ : ℚ], cuja base é chamada de base integral, e seu discriminante é chamado de discriminante absoluto e denotamos por D .

Observação 1.6.2. Qualquer base integral de é uma ℚ-base de

mas nem toda ℚ-base de consistindo de inteiros algébricos é

uma base integral de .

Exemplo 1.6.4. Temos que {1, √5} é uma ℚ-base de = ℚ(√5),

mas não é uma base integral de , pois o elemento é raiz de X 2 − X + 1 e portanto inteiro algébrico, mas não é combinação

linear, com coeficientes em ℤ, de 1 e √5.

Proposição 1.6.4. (Ribeiro, 2013, p.23, Prop.2.4.4) Sejam um corpo, = [α] uma extensão finita de de grau n e ƒ(X) o polinômio minimal de α sobre . Então,

onde ƒ (α) é a derivada de ƒ(α).

 

Demonstração. Se α , ... , α são as raízes de ƒ(X) em alguma 1 n

extensão de , então são conjugados de α. Pela Proposição 1.6.3 temos que n−1 j 2 j 2 D (1, α , ... , α ) = ( det ( σ ( α ))) = det ( α ), com i = 1, ... / i i , j n e j = 0, ... , n − 1. Como det ( α) é um determinante de i Vandermonde segue que

 

Exemplo 1.6.5. Sejam = ℚ, = ℚ 2 (√3) e ƒ( X ) = X − 3 o polinômio

minimal de √3 sobre ℚ. Então D (1, √3) = /

 

1.7 Anéis Noetherianos e anéis de Dedekind

Os principais objetivos desta seção são provar que o anel dos inteiros algébricos de um corpo de números é um domínio de Dedekind e mostrar a unicidade da fatoração de um ideal não nulo como um produto de ideais primos neste domínio.

Definição 1.7.1. Sejam A um anel e M um A-módulo. Dizemos >que M é um A-módulo Noetheriano se satisfaz uma das seguintes condições:

i) Todo conjunto não vazio de submódulos de M contém um elemento maximal.

ii) Toda sequência crescente de submódulos de M é estacionária. iii) Todo submódulo de M é finitamente gerado. Um anel A é chamado Noetheriano se quando considerado como um A-módulo for Noetheriano.

Exemplo 1.7.1. Todo anel principal é Noetheriano, uma vez que seus ideais são submódulos gerados por um elemento.

Proposição 1.7.1. (Samuel, 1967, p.46, Prop.1) Sejam A um anel, M um A-módulo e M′ um submódulo de M. Então M é Noetheriano

se, e somente se, M′ e são Noetherianos.

Demonstração. Suponhamos que M é Noetheriano. Seja (M ) nn≥0 uma sequência crescente de submódulos de M′, que também é uma sequência de submódulos de M. Como M é Noetheriano, segue que (M ) é estacionária, ou seja, M′ é Noetheriano. Para mostrarmos n n ≥0

que é Noetheriano, sejam S = {conjunto dos submódulos de M

contendo M′} e S′ = {conjunto dos submódulos de }. Temos que

existe uma aplicação bijetora ϕ : S S′ definida por ϕ(H) = φ(H)

onde φ : M é o homomorfismo canônico. A inversa de ϕ é dada por −1 θ : S′ S , onde θ ( θ ′) = ?(H′). Através do isomorfismo ϕ

 

temos que também é Noetheriano, uma vez que se (H′ ) é n n ≥0

 

uma sequência crescente de submódulos de , então (θ(H′ )) é n n ≥0 uma sequência crescente de submódulos de M e como M é Noetheriano, segue que (θ(H′ )) é estacionária, o que implica que n n ≥0

 

(H′ ) é estacionária, ou seja, é Noetheriano. n n ≥0

Reciprocamente, suponha que M′ e são Noetherianos. Seja (M ) uma sequência crescente de submódulos de M. Como M′ é n n ≥0

Noetheriano, segue que a sequência (M′ ∩ M ) é estacionária, e n n ≥0

 

como é Noetheriano, segue que a sequência é estacionária. Assim, a sequência (M + M′) é estacionária e n n ≥0 portanto (M ) é estacionária, ou seja, M é Noetheriano. n n ≥0

Corolário 1.7.1. (Samuel, 1967, p.47, Corol.1) Sejam A um anel e M , ... , M A-módulos Noetherianos. Então M × ... × M é um A-1 n 1 n módulo Noetheriano.

Demonstração. Faremos a prova por indução sobre n. Para n = 2 identificando M ≃ M × {0} ⊆ M × M e M ≃ {0} × M ⊆ M × M , 1 1 1 2 2 2 1 2

 

temos que é isomorfo a M . Como M e M × {0} são 2 2 1 Noetherianos, segue da Proposição 1.7.1 que M × M é 1 2 Noetheriano. Agora, suponha por hipótese de indução que M = M × 1 ... × M é Noetheriano. Como M é Noetheriano, segue do caso n n −1 n = 2 que M = M1 × ... × M é Noetheriano. n

Corolário 1.7.2. (Samuel, 1967, p.47, Corol.2) Sejam A um anel Noetheriano e M um A-módulo finitamente gerado. Então M é um A-módulo Noetheriano.

Demonstração. Seja {e , ... , e } um conjunto de geradores de M 1 n sobre n A . Temos que a aplicação ϕ : A M definida por

é um homomorfismo sobrejetor e que é

isomorfo a n M . Pelo Corolário 1.7.1 temos que A é Noetheriano, e da Proposição 1.7.1, segue que Ker(ϕ) e M são Noetherianos. Proposição 1.7.2. (Samuel, 1967, p.47, Prop.1) Sejam A um anel Noetheriano e integralmente fechado, seu corpo de frações com característica zero, uma extensão de de grau n e A o fecho inteiro de A em . Então A é um A-módulo finitamente gerado e um anel Noetheriano.

Demonstração. Segue do Teorema 1.6.1 que é um A-submódulo de um A-módulo livre de posto n, e portanto A é um A-módulo finitamente gerado. Pelo Corolário 1.7.2, segue que é

um A-módulo Noetheriano. Como os ideais de são A-submódulos de , e sendo um A-módulo Noetheriano segue que os ideais de são Noetherianos. Portanto, é um anel Noetheriano.

Proposição 1.7.3. (Samuel, 1967, p.47, Lema 1) Sejam B um anel, A um subanel de B e um ideal primo de B. Então ∩ A é um ideal primo de A.

Demonstração. Consideremos os seguintes homomorfismos

, onde i é a inclusão e π a projeção, e seja o

homomorfismo θ = π º i : A B/ , definido por θ(a) = a + , ∀a ∈ A. Temos que θ é um homomorfismo, pois é composição de homomorfismos, e que Ker(θ) = A ∩ , pois se x ∈ Ker(θ) então x ∈ A e θ(x) = 0̅ o que implica que x ∈ A e x + = 0̅, ou seja, x ∈ A ∩ . Logo, Ker(θ) ⊂ A ∩ . Por outro lado, se y ∈ A ∩ então θ(y) = (π º i)(y) = π(y) = y + = 0̅ e assim y ∈ Ker(θ), ou seja, A∩ ⊂ Ker(θ). Portanto, Ker(θ) = A∩ . Logo, pelo Teorema do Isomorfismo de anéis, temos que A/A ∩ ≃ Im(θ) ⊂ B/ . Mas como B/ é um domínio, Im(θ) é um domínio. Portanto, A/A ∩ é um domínio, ou seja, A ∩ é um ideal primo.

Proposição 1.7.4. (Samuel, 1967, p.48, Lema 2) Se um ideal primo

de um anel A contém um produto ... de ideais de A, então 1 n

contém pelo menos um dos ideais . i Demonstração. Suponhamos que ⊄ , ∀ i = 1, ... , n. Então para i cada i = 1, ... , n existe um elemento a ∈ − . Assim α ... α ∉ , j i 1 n pois é um ideal primo, e α ... α ∈ ... ⊂ o que é um 1 n 1 n absurdo uma vez que α ∉ , ∀ i = 1, ... , n. Portanto, ⊂ , para i i algum i = 1, ... , n.

Proposição 1.7.5. (Samuel, 1967, p.48, Lema 3) Se A é um anel Noetheriano, então todo ideal não nulo de A contém um produto de ideais primos não nulos de A.

Demonstração. Sendo A Noetheriano, seus ideais são A-módulos Noetherianos. Seja F o conjunto de todos os ideais não nulos de A que não contém um produto de ideais primos não nulos de A. Suponha que F ≠ ∅. Como A é Noetheriano segue que F possui um elemento maximal M. Temos que M não é primo, pois caso contrário, M não pertenceria a F. Além disso, temos que M ≠ A. Por M não ser um ideal primo, existem elementos x, y ∈ A − M tais que xy ∈ M, e que os ideais < x > +M e < y > +M contém M propriamente. Pela maximalidade de M estes ideais não estão em F, e assim existem ideais , ... , , , ... , primos não nulos de A, 1 r 1 s tais que < x > + M ⊃ ... e < y > +M ⊃ ... . Assim, M ⊃< xy 1 r 1 s > +M ⊃ ... ... , o que é um absurdo. Assim F = ∅ e portanto 1 r 1 s

todo ideal não nulo de A contém um produto de ideais primos não nulos de A.

Definição 1.7.2. Um anel A é chamado um anel de Dedekind, se A é Noetheriano, integralmente fechado e se todo ideal primo não nulo de A é maximal.

Exemplo 1.7.2. Todo domínio A de ideais principais é um domínio de Dedekind. De fato, do exe 1.7.1 segue que A é Noetheriano. Da Proposição 1.3.4 segue que é A integralmente fechado. Além disso, em um domínio de ideais principais todo ideal primo não nulo é maximal. Portanto A é um domínio de Dedekind.

Teorema 1.7.1. (Samuel, 1967, p.49, Teo.1) Sejam A um anel de Dedekind, seu corpo de frações, uma extensão de grau finita de

e o fecho inteiro de A em . Então é um anel de Dedekind.

Demonstração. Sabemos que é integralmente fechado, Noetheriano e é um A-módulo finitamente gerado. Falta mostrar que todo ideal primo ≠ 0 de é maximal. Pela Proposição 1.7.3, temos que ∩ A é um ideal primo de A. Seja x ∈ − 0 e consideremos a equação de dependência inteira de x sobre A dada por n n−1 x + a x + ... + a x + a = 0, com a ∈ A, i = 1, ... , n − 1, não n −1 1 0 i todos nulos, de grau mínimo. Assim a ≠ 0, pois caso contrário 0 obteríamos uma equação de grau menor. Portanto temos que a = 0 − n−1 n−2 x ( x + a x + ... + a ) ∈ x ∩ A ⊂ ∩ A, ou seja, ∩ A ≠ 0 n −1 1

. Como A é Dedekind, segue que ∩ A é um ideal maximal de A e portanto A/( ∩ A) é um corpo. Além disso, A/ ∩ A pode ser identificado com um subanel de / , e como é inteiro sobre A, segue que / é inteiro sobre A/ ∩ A. Assim, pela Proposição 1.3.2 temos que / é corpo e portanto é maximal.

Exemplo 1.7.3. Segue do Teorema 1.7.1 que o anel do inteiros de um corpo de números é um anel de Dedekind.

Exemplo 1.7.4. Seja o anel Z[√−5]. Temos que Z[√−5] não é fatorial, uma vez que 6 = 2 · 3 = (1 + √−5)(1 − √−5). Além disso, Z[√−5] não é um anel principal. De fato, temos que N(1 + √−5) = N(1 −√−5) = 6, N(2) = 4 e N(3) = 9, e que 1 + √−5 não possui um divisor não trivial em Z[√−5] pois se a + b√−5 é um divisor não trivial de 1 + √−5, ou seja, se 1 + √−5 = (a+ b√−5)y, com y ∈ Z[√−5], y ≠ ±1 e y ≠ 1 + √−5, então 6 = N(1 + √−5) = N(a + b√−5)N(y) e que N(a + b√−5) seria um divisor não trivial de 6, mas isto é impossível, pois a2 2 2 + 5 b = 2 e a

+ 5 2 b = 3, não possui solução em ℤ. Assim, 1 + √−5 é um elemento primo. Agora, se Z[√−5] fosse principal e como 1 + √−5 divide 6 = 2 · 3, segue que 1 + √−5 divide 2 ou 3. Tomando as normas temos que 6 divide 4 ou 9, o que é um absurdo. Portanto Z[√−5] não é um anel principal.

Definição 1.7.3. Sejam A um domínio e seu corpo de frações. Um A-submódulo I de é chamado de ideal fracionário de A se existe um d ∈ A − {0} tal que d · I ⊂ A. Quando d = 1 dizemos que I é um ideal inteiro.

Observação 1.7.1. Segue da Definição 1.7.3 que os elementos >de um ideal fracionário I tem um denominador comum d ∈ A.

Proposição 1.7.6. (Ribeiro, 2013, p.29) Se A é um domínio Noetheriano então todo ideal fracionário I de A é um A-módulo finitamente gerado.

Demonstração. Como I é um ideal fracionário, então existe d ∈ A − {0} tal que −1 −1 d · I ⊂ A . Assim, I ⊂ d A . Além disso, dA é um A-módulo e a função −1 −1 ϕ : A d A tal que ϕ ( x ) = dx define um isomorfismo entre −1 A e dA, e como A é Noetheriano então concluímos que −1 dA é Noetheriano. Logo, I é um A-módulo finitamente gerado.

Proposição 1.7.7. (Ribeiro, 2013, p.29) Sejam A um domínio e seu corpo de frações. Todo A-submódulo finitamente gerado de é um ideal fracionário.

Demonstração. Se {x , ... , x } é um conjunto finito de geradores de 1 n I, então os x ′ s tem um denominador comum d dado pelo produto i

dos denominadores −1 d , onde x = a d, com a , d ∈ A. Assim dI ⊂ A i i i i i i e portanto I é um ideal fracionário.

Observação 1.7.2. O produto II′ de dois ideais fracionários I e I′ é

 

definido como o conjunto das somas com x ∈ I e y ∈ I. i i Sendo I e I′ ideais fracionários com denominadores comuns d e d′ , então os conjuntos I ∩ I′ , I + I′ e II′ são ideais fracionários, os quais são A-submódulos de e tem denominadores comuns d ou d′, dd′ , e dd′ , respectivamente.

Lema 1.7.1. (Ribeiro, 2013, p.31, Lema 2.7.1) Sejam A um anel de Dedekind que não é um corpo e seu corpo de frações. Seja um ideal maximal de A. Então = {x ∈ : x ⊂ A} é um ideal fracionário de .

Demonstração. Como A não é um corpo, temos que ≠ {0} e que

′ ≠ ∅, pois 0 ∈ ′. Sejam x, y ∈ ′. Então pela definição de ′,

temos que x ⊂ A e y ⊂ A, e portanto (x + y) = x + y ⊂ A, ou seja, x + y ∈ ′. Agora, sejam x ∈ ′ e a ∈ A. Assim x ⊂ A, e portanto (xa) = a(x ) ⊂ A, ou seja, xa ∈ ′. Finalmente, temos que d ⊂ A, para todo d ∈ A − {0}, ou seja, ′ é um ideal fracionário de .

Teorema 1.7.2. (Samuel, 1967, p.50, Teo. 2) Sejam A um anel de Dedekind que não é um corpo e seu corpo de frações. Todo ideal maximal de A é inversível no conjunto dos ideais fracionários de A.

Demonstração. Seja um ideal maximal de A. Pelo Lema 1.7.1

temos que ′ = {x ∈ : x ⊂ A} é um ideal fracionário de . Pela definição de ′ , segue que ′ ⊂ A, e como é um ideal de A, segue que = A ⊂ ′ ⊂ A. Desde que é maximal, temos que ′ = ou ′ = A. Vamos mostrar que ′ ≠ . Para isto suponhamos que 2 ′ = . Seja x ∈ ′ . Então x ⊂ ; x

⊂ ; ... ; n n x ⊂ . Se d ∈ é não nulo, temos que xd ∈ A,

para todo n ∈ ℩. Assim, A[x] é um ideal fracionário de A, e como A é Noetheriano, segue da Proposição 1.7.6 que A[x] é um A-módulo finitamente gerado. Portanto, pelo Teorema 1.3.1 segue que x é inteiro sobre A, e como A é integralmente fechado, segue que x ∈ A, ou seja, ⊂ A. Como A ⊂ , segue que A = ′ . Por outro lado, se a ∈ − < 0 >, então pela Proposição 1.7.5, o ideal aA contém um produto de ideais primos não nulos ... , de A com n o menor 1 n possível. Assim, ⊃ aA ⊃ ... . Pela Proposição 1.7.4 temos 1 n que ⊃ , para algum i = 1, ... , n, e sem perda de generalidade, i

digamos que ⊃ . Como é maximal pois A é Dedekind, 1 1 segue que = . Tomando = ... , temos que aA ⊃ e 1 2 n aA ⊅ devido a minimalidade de n. Assim, existe z ∈ tal que

z∉aA. Como ⊂ aA segue que ⊂ A. Assim, ∈ ′ , e

como z∉aA, temos que ∉A, ou seja, ′ ≠ A, o que contradiz o fato de ′ = A. Portanto, ′ = A, ou seja, ′ é o inverso de .

Teorema 1.7.3. (Samuel, 1967, p.50, Teo.3(a)) Sejam A um anel de Dedekind e ≠ A um ideal não nulo de A. Então existem ideais primos não nulos , ... , de A e inteiros positivos , ... , tal que 1 t 1 t

, e esta expressão é única.

Demonstração. Pela Proposição 1.7.5, existem ideais primos , ..., 1

v não nulos de A tal que . ... . ⊂ . Provemos que é um 1 v

produto de ideais primos por indução sobre v. Se v = 1, temos que ⊂ , mas como é maximal, pois A é Dedekind, então = , e 1 1 1 assim é primo. Agora, suponhamos que todo ideal que contém um produto com v−1 ideais primos não nulos de A é um produto de ideais primos de A. Temos que ... ⊂ , e como A é Dedekind 1 v segue que está contido em um ideal maximal −1 de A. Seja o ideal fracionário inverso de . Como ⊃ ⊃ ... , segue da 1 v Proposição 1.7.4, que contém um dos ′ s, para i = 1, ... v. i Suponhamos que ⊃ , e assim, = , pois é maximal. v v v Portanto ... ⊂ ′ ⊂ ′ = A. Da hipótese de indução 1 v −1

decorre que −1 = ... , com ′ s, para j = 1, ... , s, ideais 1 s j primos não nulos de A, e portanto = ... , como queríamos. 1 s v

Para provar a unicidade suponhamos que . Então

. Se e − e ≠ 0, podemos separar os expoentes positivos i j

e os expoentes negativos e reescrevê-los como com , ideais primos não nulos de A e α , β > 0 para ≠ , ∀i, j. i j i j i j Portanto β β β contém 1 2 ... v e pela Proposição 1.7.4 segue 1 1 2 v que ⊃ , para algum j. Suponhamos sem perda de generalidade 1 j

que ⊃ . Como e são ideais maximais, segue que = . 1 1 1 1 1 1 Portanto e − e = 0, isto é, e = e , o que é uma contradição pois ≠ i j i j i

j , ∀i, j e assim concluímos que a expressão é única.

Corolário 1.7.3. Se A é um anel de Dedekind, então o conjunto dos ideais fracionários não nulos de A formam um grupo com relação a multiplicação.

Demonstração. (Samuel, 1967, p.50, Teo.3(b)).

 

1.8 Norma de um ideal

 

Sejam uma extensão finita de ℚ e o anel dos inteiros de . Nesta seção apresentamos a norma de um ideal como uma generalização da norma de um elemento de .

Definição 1.8.1. Seja um ideal não nulo de . A norma do ideal

, é definida como o número de elementos do anel quociente / ,

isto é, N ( ) = #( / ). / ℚ

Observação 1.8.1. Quando não houver dúvida quanto ao anel que contém o ideal , usaremos N( ) ao invés de N ( ). / ℚ

Exemplo 1.8.1. 2 Seja um ideal principal de ℤ [ i ], onde i = −1,

gerado por 2 − i. Assim, A norma de é o número das classes laterais de . Uma vez que 2 − i ≡ 0(mod ),

segue que 2 ≡ i(mod ). Assim para x = a+ bi, com a, b ∈ ℤ, temos que x = a + bi ≡ a + 2b(mod ). Como (2 + i)(2 − i) = 5 ∈ , segue

que as classes laterais de em ℤ[i] são {0, 1, 2, −1, −2}, ou seja, N(

) = 5.

Proposição 1.8.1. (Samuel, 1967, p.52, Prop.1) Se α ∈ , α ≠ 0, então |N(α)| = # / α.

Demonstração. Seja α ∈ , α ≠ 0. Então, pelo Corolário 1.5.1,

temos que N(α) ∈ ℤ. Pelo Corolário 1.6.3 temos que é um ℤ-módulo livre de posto n. Além disso, como ψ : α definida

por ψ(a) = aα, com a ∈ , é um isomorfismo, segue que α é um

ℤ-submódulo livre de posto n de . Pelo Teorema 1.2.1 existe uma

base {e , e , ... , e } do -módulo e elementos c ∈ 1 2 n ℤ i ℕ tal que {c e , c e , ... , c e } é uma base de α. Também temos que o 1 1 2 2 n n

grupo abeliano / α é isomorfo ao grupo abeliano , cuja ordem é c c ... c . Agora seja a aplicação linear ϕ : α 1 2 n

definida por ϕ(e ) = c α , i = 1, ... , n. Temos que det(ϕ) = c c ... c . i i i 1 2 n Por outro lado, como {αe , ... , αe } também é uma base de α, 1 n segue que existe um endomorfismo de ℤmódulo φ : α α,

definido por φ(c e ) = αe , i = 1 ... , n. Logo, como o det(φ) ∈ e é i i i ℤ

inversível, segue que det(φ) = ±1. Mas, a composição φϕ é um homomorfismo, que é a multiplicação por α, e seu determinante é por definição N(α). Portanto, como det(φϕ) = det(φ) det(ϕ), segue que N(α) = ±c ... c = ±#( / α). 1 n

Proposição 1.8.2. (Samuel, 1967, p.52) Se é um ideal não nulo

de , então o quociente / é finito.

Demonstração. Seja α ∈ , α ≠ 0. Temos que α ⊂ . Logo

 

. Assim, .

 

Portanto, é finito.

Proposição 1.8.3. (Samuel, 1967, p.52, Prop.2) Se e são ideais não nulos de , então N( ) = N( )N( ).

Demonstração. Pelo Teorema 1.7.3, temos que , onde

 

os ′ s são ideais primos não nulos de e α ≥ 0, i ∈ i. Como é i i um domínio de Dedekind, então os ideais , i ∈ I, são ideais i maximais. Seja = , para algum i ∈ I. Por indução sobre o i

número de fatores, é suficiente provar que

N(am) = N(a)N(m).

(1.8)

Segue da definição de norma que (1.8) se verifica se

 

Mas, do homomorfismo sobrejetor , definido por

φ(x + ) = x + , temos que , e pelo Teorema do

 

Isomorfismo temos que, . Logo,

 

De (1.9) e (1.10), podemos concluir que (1.8) é verificado se

 

. Agora, mostremos que é um espaço

 

vetorial sobre de dimensão 1. De fato, sejam as operações

Estão bem definidas:

 

Soma: x + = x′ + e y + = y′ + x̅ − x̅′ = 0̅ e y − y̅′ = 0̅ x̅ + y̅ = x̅′ + y̅′ (x + + (y + ) = (x′ + ) + (y′ + )

(x′ + y′) + = (x′ + y′) + .

Produto: x + = x′ + e α + = α′ + x − x′ ∈ e α −

 

α′ ∈ . Assim, α′ x′ − α = x′ (α′ − α) + (x′ − x)α ∈ . Assim, é

 

um espaço vetorial sobre . Temos que os -submódulos de

 

são ideais e são do tipo , onde é um ideal tal que

⊆ ⊆ . Mas, como todo ideal num domínio de Dedekind admite inverso, segue que

 

Portanto, não existe tal que ⊆ ⊆ . Assim, os -

 

submódulos de , ou os subespaços do espaço vetorial

 

são apenas os triviais. Portanto, e então

 

.

1.9 Formas quadráticas sobre o n ℝ

Nesta seção apresentamos as formas quadráticas sobre o ℝn, que serão muito útil no estudo das aplicações das formas quadráticas aos corpos ciclotômicos e desta forma calcular a densidade de centro dos reticulados obtidos via esses corpos.

Para cada inteiro n, seja Q (X) a forma quadrática sobre o n ℝn definida por

 

Da igualdade

 

obtém-se que

 

Observamos que Q (X) é uma função positiva definida e totalmente n

simétrica, isto é, Q (X , ... , X ) = Q (X , ⋯ , X ), onde σ é uma n 1 n n σ (1) σ ( n ) permutação qualquer do conjunto {1, ... , n}.

A próxima proposição é de grande importância no cálculo do raio de empacotamento de certos reticulados.

Proposição 1.9.1. (Flores, 1996, p.64, Prop.3.4.1) i) O menor valor que Q (X , ... , X ) assume com entradas inteiras não todas nulas é n 1 n

n.

ii) n Para a ∈ ℤ, temos que Q (a) = n quando a = ±(1, 1, ... , 1) ou a = n

± n e , i = 1, ... , n ; onde { e , ... , e } é a-base canônica de. i 1 n ℤ ℤ Demonstração. i) Observe que

 

Se 2 2 2 a = ... = a = 0, então Qn ( a , ... , a ) = a +( n −1) a = na ≥ 1 n −1 1 n n n n

n, para a ≠ 0. Caso contrário, por hipótese de indução, tem-se que n

Q (a , ... ,a )≥ n-1, n-1 1 n-1

e neste caso

 

De fato, se 2 a ≠ 0 então a ≥ 1. Caso contrário, pelo menos uma n n

das parcelas ( 2 a − a ) será não nula. i n

ii) A prova se faz usando novamente indução sobre n. Para j = 1 temos que 2 Q ( a ) = Q ( a ) = a = 1, onde a = ±1. Suponhamos que 1 1 1 1 1

o resultado seja válido para j = n − 1. Observe que . Assim temos que Q (a) = Q (a , ... , a ) = n n 1 n

. Agora, se

então Q (a , ... , a ) assumiria um valor maior que n+ 1, o que n 1 n

 

contraria o item (i). Portanto, e assim Q (a) = Q (a , n n 1 ... , a ) = n − 1 + 1 = n, se a = ±(1, ... , 1) ou a = ± e , i = 1, ... , n n i onde { n e , ... , e } é a -base canônica de 1 n ℤ ℤ.

Lema 1.9.1. (Flores, 1996, p.80, Lema A.1) Se Q (X , ... , X ) = n 1 n

 

, n e a = ( a , ... , a ) ∈ , então 1 n ℝ

Q 2 2 (a , ..., a ) = d (a, 0 ) + n.d(a,Δ), n 1 n

onde d2 2 ( a , 0) e d(a, Δ) são os quadrados das distâncias euclidianas

de a até a origem e de a até a diagonal de ℝn, respectivamente.

Demonstração. Se X = (x, ... , x) é um elemento qualquer da

diagonal de n ℝ, então

 

Esta distância será mínima quando , e isto

ocorre para . Assim

 

Logo,

 

e somando em ambos os membros chegamos ao resultado desejado.

Teorema 1.9.1. (Flores, 1996, p.81, Teo.A.2) Sejam os números reais a , ... , a , com r < n. Se 1 r

F(X ,...,X ) = Q (a ,...,a ,X ,...,X ), r+1 n n 1 r r+1 n

então F atinge seu mínimo com coordenadas inteiras no ponto

 

onde [z] denota o inteiro mais próximo de z. Caso z + 1/2 seja inteiro, então [z] denota z − 1/2.

Demonstração. Os pontos da reta, em ℝn−r, passando por P = (x, x,

 

... , x), onde e tendo (b , ... , b ) como vetor r +1 n diretor são da forma

X = P+t(b , ... ,b ) = (x+tb , ... x+tb ). r+1 n r+1 n

Assim

 

Como esta expressão é uma função de segundo grau na variável t, segue que derivando com relação a t, obtemos que

Em t = 0, temos que

 

 

Assim, sobre as retas passando por P, o gráfico de F é uma parábola com concavidade voltada para cima, cujo menor valor é

 

assumido em P. Seja Y = (y, y, ... , y), onde . Supomos no que 1

segue que y ≤ x, sendo que para o caso y ≥ x a demonstração é análoga. As parábolas descritas acima têm coeficiente dominante

 

onde v = (b , ... , b ) e Q é a forma quadrática definida no início r +1 n n − r

da seção. Pelo Lema 1.9.1, segue que este coeficiente dominante é

 

onde 2 2 d ( v , 0) e d(v, Δ) representam os quadrados das distâncias de

v n−r até a origem e diagonal de ℝ, respectivamente. Para determinar a direção de menor crescimento destas parábolas, consideremos vetores diretores v com comprimento 1. Na direção de v, o coeficiente dominante da parábola passando por P é dado por

(r+1)+(n-r)d2(v, Δ)

Logo, a direção de menor crescimento dessas parábolas é dada com 2 d(v, Δ) mínimo, ou seja, na direção de Y , que é a diagonal. 1

Observe que para outra direção o crescimento dessas parábolas

será estritamente maior. Consequentemente, se Y ∈ ℝn−r é tal que F(Y) = F(Y ), temos que 1

d(Y, P) ≤ d(Y , P), 1

(1.11)

com igualdade se, e somente se, n−r Y estiver na diagonal de ℝ. Agora, dado o conjunto

A = {Y n-r ∈ℝ; F(Y) ≥ F(Y )}, 1

vamos calcular A ∩ ℤ. Para isso, vamos escrever A como a união disjunta de dois conjuntos A e A , onde 1 2

A n-r = {Y ∈ℝ; F(Y) < F(Y )} 1 1

e

A n-r = {Y ∈ℝ; F(Y) = F(Y )} 2 1

Temos que A ∩ = ∅. Para calcular note, por (1.11), que 1 ℤ A ∩ n − r 2 ℤ para todo Y em A temos que d(Y, P) < d(Y , P) ou Y está na 2 1 diagonal de −r ℝ n. Os Y que satisfazem a primeira possibilidade não

são inteiros. Caso n−r Y esteja na diagonal de ℝ, novamente, por (1.11), temos d(Y, P) = d(Y , P). Para concluir, consideremos dois 1

casos:

1º caso: x < y + 1/2. Aqui, d(Y, P) = d(Y , P) ocorre apenas para Y = 1 Y ; 1

2º caso: n−r x = y +1/2. Neste caso, os únicos pontos da diagonal de ℤ

satisfazendo d(Y, P) = d(Y , P) são Y e Y = (y + 1, ... , y + 1). 1 1 2

Assim,

 

Para concluir, observe que para todo ponto Y de ℤn−r temos que

F n−r ( Y ) ≥ F ( Y ), ou seja, Y é o ponto de mínimo de F em . 1 1 ℤ

Teorema 1.9.2. (Flores, 1996, p.84, Teo.A.3) Sejam m ∈ ℕ e Q′ (m) n = Q (m, t, ... , t), onde t = [m/2], isto é, Q′(m) é o menor valor que n

Q (m, X , ... , X ) assume fazendo X , ... , X variar no conjunto dos n 2 n 2 n números inteiros. Então Q′ é uma função crescente de m.

 

Demonstração. Se m for par, então , é inteiro e

Q(m) = Q 2 2 (m, m/2, ..., m/2) = m + 2(n-1)(m/4). n

Neste caso, [m + 1] = 1/2, e

Q(m+1) = Q (m+1, m/2, ..., m/2) = n

(m+1)2 2 2 + (n-1)(m /4) + (n-1)(1+m/2).

Logo, Q′ (m + 1) > Q′(m). A prova para o caso m ímpar se faz de modo análogo.

Denotaremos por m I o conjunto {( a , ... , a ) ∈; |a | ≤ d}. d 1 m ℤ i

Lema 1.9.2. (Flores, 1996, p.76, Lema 3.4.13) A forma quadrática

Q (a , ... , a ) não atinge o valor n + 1, para (a , ... , a ) ∈ n 1 n 1 ℤn. n

Demonstração. n Para a ∈ I = {( a , ... , a ) ∈, |a | ≤ 1} o resultado 1 1 n ℤ i é verdadeiro. Tomemos a ∈ I − I . Sem perda de generalidade, 2 1 podemos supor que a = (2, a , ... , a ), para inteiros a , ... , a . Pelo 2 n 2 n Teorema 1.9.1 temos que

Q (a)≥Q (2, 1, ..., 1) = 4+n-1+n-1 = 2n+2 > n+1, n n

e pelo Teorema 1.9.2, Q (a) > n + 1, ∀ j e a ∈ I . n j

Definição 1.9.1. Dados p um número primo e m um número inteiro positivo, denotamos por v (m) a valorização p-ádica de m, ou seja, p

o maior número α para o qual p α divide m.

Proposição 1.9.2. (Simonato, 2000, p.61, Lema A.1) Se n é um

número inteiro positivo, p um número primo e b , b , ... , b ∈ , com 0 1 n ℤ 0 ≤ s b ≤ p − 1 são tais que n = b + b p + ... + b p, então i 0 1 s

 

onde v (n!) é a valorização p-ádica de n! . p

Demonstração. Faremos por indução sobre n. i) Se n=1, a conclusão é imediata. ii) s Suponhamos verdadeira para n , onde n = b + b p + ... + b p e 0 1 s mostremos que a asserção é verdadeira para n + 1, onde

 

1º Caso: s n + 1 = ( b + 1) + b p + ... + b p, se b ≠ p − 1. Pelo fato 0 1 s 0 de que pois b + 1≢0(mod p), e da hipótese de indução segue 0

que

 

2º Caso: r r+1 s n + 1 = ( b + 1) p + b p + ... + b p, se b = b = ... = r r +1 s 0 1 b = p − 1. Assim r −1

n+1 = p r s-r [(b +1)+b p+ ... +b p] e r r+1 s

v ((n+1)!) = r+v (n!) p p

Sendo r−1 r r+1 s n = ( p −1)+( p −1) p +...+( p −1) p + b p + b p +...+ b p, r r +1 s

segue que

 

Corolário 1.9.1. (Simonato, 2000, p.62, Corol.A.2) Se p é um número primo e m, n são inteiros positivos com m ≤ n tais que

n = a s + a p + ... + a p, 0 ≤ a ≤ p-1, 0 1 s i m = b s + b p + ... + b p, 0 ≤ b ≤ p-1, 0 1 s i

n-m = c s + c p + ... + c p, 0 ≤ c ≤ p-1, 0 1 s i

 

então a valorização p-ádica de é dada por

 

Demonstração. Aplicação da Proposição 1.9.2.

Proposição 1.9.3. (Flores, 1996, p.74, Lema 3.4.10) Sejam p um número primo, r um número inteiro positivo e m r−2 = p. Então

 

para i = 1, ... , m − 1.

Demonstração. Sejam b , ... , b , c , ... , c , números naturais 1 m 1 m satisfazendo 0 ≤ b ≤ p − 1, 0 ≤ c ≤ p − 1 e tais que i = b + b p + ... i i 0 1 + m a p e (m − i) = c + c p + ... + c p . m 0 1 m m

Pela Proposição 1.9.2, temos que

 

de onde segue que

 

Como , o resultado segue.