2 Corpos Quadráticos e Ciclotômicos

2 – Corpos Quadráticos e

Ciclotômicos

 

2.1 Introdução

Neste capítulo apresentamos os conceitos de corpos quadráticos e corpos ciclotômicos, dando ênfase especialmente aos corpos ciclotômicos. Para isso usamos os resultados de Teoria Algébrica

dos Números vistos no capítulo 1. Concluindo o capítulo apresentamos a decomposição de um ideal primo em uma extensão onde fizemos o uso do Teorema de Kummer.

Temos duas classes importantes dos corpos de números que são a classe dos corpos quadráticos e a classe dos corpos ciclotômicos. Nosso objetivo nas próximas seções é determinar o anel dos inteiros algébricos, base integral e discriminante dos corpos quadráticos e dos corpos ciclotômicos.

2.2 Corpos quadráticos

Nesta seção apresentamos os corpos quadráticos juntamente com a teoria necessária para caracterizar seu anel dos inteiros, base integral e discriminante.

Definição 2.2.1. Uma extensão de corpos de grau 2 sobre o corpo ℚ é chamado um corpo quadrático.

Proposição 2.2.1. (Ribeiro, 2013, p.13, Prop.2.2.1) Todo corpo quadrático é da forma ℚ(√d), sendo d um inteiro livre de quadrados.

Demonstração: Sejam = ℚ(θ) um corpo quadrático, ou seja, um corpo de números de grau 2, e 2 f ( X ) = X+aX+b, com a, b ∈ ℚ, o polinômio minimal de 2 θ ∈ . Resolvendo a equação quadrática θ +

aθ + b = 0 temos que são as raízes de f(X). Como 2θ ± 2 2 2 a = √ a − 4 b segue que ℚ ( θ ) = ℚ (√ a − 4 b ). Por outro lado, a −4b

é um número racional que podemos escrever como 2 a − ,

com u, v ∈ ℤ, mdc(u, v) = 1 e de forma que u e v não sejam

quadrados perfeitos, pois caso contrário, teremos ℚ(θ) = ℚ. Assim,

. Suponhamos que uv =

k 2d, com k, d ∈ ℤ, e d livre de quadrados. Logo, ℚ(θ) = ℚ(√uv) =

ℚ 2 (√ kd) = ℚ(√d).

A Proposição 2.2.1 nos diz que todo corpo quadrático é da forma ℚ(√d), onde d é um inteiro livre de quadrados e {1, √d} é uma base

do espaço vetorial ℚ(√d) sobre ℚ.

Proposição 2.2.2. (Samuel, 1967, p.35) Seja = ℚ(√d), com d um inteiro livre de quadrados, um corpo quadrático. Se um elemento α = a 2 2 + b √ d ∈ ℚ (√ d ) é um inteiro algébrico, então 2 a e a − db são números inteiros.

Demonstração. Seja α ∈ um inteiro algébrico. Então existem a , ⋯ 0 , n n−1 a ∈ tal que α + a + a α n −1 ℤ α + ⋯ + a = 0. Assim, n −1 1 0 considerando σ um automorfismo de tal que σ(√d) = −√d, segue que, n−1 σ ( α ) n + a σ ( α ) + ⋯ + a σ(α) + a = 0, ou seja, σ(α) também n −1 1 0 é um inteiro algébrico de . Do Corolário 1.3.2, temos que α + σ(α) e ασ(α) também são inteiros algébricos de . Além disso, temos que se α = a + b√d, com a, b ∈ ℚ, então α + σ(α) = 2a ∈ ℚ 2 e ασ ( σ ) = a −

db2 ∈ ℚ. Como ℤ é integralmente fechado segue, da Proposição 1.3.4, que 2 2 2 a e a − db são números inteiros.

Observação 2.2.1. Se d > 0, a extensão ℚ(√d) é dita real e se d < 0,

a extensão ℚ(√d) é dita imaginária.

A seguir determinaremos o anel dos inteiros algébricos de um corpo quadrático = ℚ(√d), com d um inteiro livre de quadrados.

Teorema 2.2.1. (Stewart; Tall, 1987, p.67, Teo.3.2) Se = ℚ(√d) é um corpo quadrático com d ∈ ℤ livre de quadrados, então o anel dos

inteiros algébricos de ℚ(√d) é dado por: a) = ℤ[√d] se d ≡ 2 ou d ≡ 3(mod 4) e

b) se d ≡ 1(mod 4).

Demonstração: Seja α = a + b√d ∈ ℚ(√d), com a, b ∈ ℚ, um inteiro

algébrico sobre ℤ. Se b = 0 então o polinômio minimal de α sobre ℚ é dado por m(X) = X − a, e como α é um inteiro algébrico sobre ℤ,

segue que a ∈ ℤ. Se b ≠ 0, então o polinômio minimal m(X) de α sobre ℚ tem grau 2 e é obtido do seguinte modo:

α = a + b√d 2 2 ⇒ α-a = b√d ⇒ (α-a) = bd ⇒

α2 2 2 2 2 2-2aα+a = b d ⇒ α-2aα+(a-bd) = 0.

Logo 2 2 2 m ( X ) = X − 2 aX + a − db. Pela Proposição 2.2.2 temos que 2 2 2 2 2 a , a − db ∈ ℤ . Assim, (2 a ) − d (2 b ) ∈ ℤ 2 e daí d (2 b ) ∈ ℤ, pois 2a

∈ ℤ. Ainda temos que 2b ∈ ℤ, pois, caso contrário, no seu denominador existiria um fator primo 2 p que apareceria na forma p no

denominador de (2 2 b ) e como d é livre de quadrados teríamos que d 2 (2 b )∉ℤ, o que é um absurdo. Logo, 2b ∈ ℤ. Assim, podemos escrever:

Além disso, temos que

(2a)2 2-d(2b) ∈4ℤ.

(2.2)

 

Substituindo 2 2 a por e b por , obtemos u − dv ∈ 4ℤ.

a) Se d ≡ 2 ou 3(mod 4), temos que u e v são pares, pois se v fosse ímpar teríamos 2 2 2 v ≡ 1( mod 4). Assim, como u − dv ∈ 4 ℤ temos que u 2 2 ≡ dv ≡ d(mod 4), ou seja, d ≡ 0(mod 4) ou d ≡ 1(mod 4), o que é um absurdo. Portanto, concluímos que 2 v é par, isto é, v ≡ 0(mod 4) e assim, 2 u 2 ≡ dv ≡ 0(mod 4) o que implica que u é par. Logo, se α = a + b√d ∈ temos que α ∈ ℤ[√d] e assim, ⊂ ℤ[√d]. Por outro lado, tomando 2 α ∈ ℤ 2 [√ d ], temos que α é raiz do polinômio X −2 aX + a

− 2 db ∈ ℤ 2 2 [ X ], pois pela Proposição 2.2.2, temos que 2 a , a − db ∈ ℤ. Logo, ℤ[√d] ⊂ . Portanto, = ℤ[√d].

b) 2 2 Se d ≡ 1( mod 4), temos que u − dv ∈ 4 ℤ, e que u e v são de mesma paridade, isto é, são ambos pares ou ímpares. Se u e v são pares então a, b ∈ ℤ. Logo, α = a + b√d ∈ ℤ[√d]. Se u e v são ímpares, então α = a + b√d = u/2 + v/2√d = (u − v)/2 + v((1 + √d)/2) ∈

ℤ . Portanto, α ∈ ℤ , ou seja, ⊂ ℤ . Por outro

lado, se α = a + b ∈ ℤ com a, b ∈ ℤ, temos que 2a + b 2 ∈ ℤ 2 2 2 e ( a + b /2) − d ( b /2) = a + ab + (1 − d ) b/4 ∈ ℤ, pois d ≡

1(mod 4). Logo, ℤ ⊂ , pois os coeficientes do polinômio minimal de 2 2 2 α , m ( X ) = X − (2 a + b ) X + a + ab + (1 − d ) b/4 estão em

ℤ. Portanto, ℤ = .

Exemplo 2.2.1. Seja o corpo quadrático ℚ(√−1). O anel dos

inteiros algébricos de é dado por = ℤ[i] = {a + bi : a, b ∈ ℤ}, onde i = √−1 pois d = −1 ≡ 3(mod 4). O anel dos inteiros algébricos

do corpo quadrático ℚ(√−3)é ℤ .

Como os ℚ-monomorfismos de = ℚ(√d), com d ∈ ℤ livre de

quadrados, em ℂ são σ e σ , onde σ (√d) = √d e σ (√d) = −√d, 1 2 1 2 segue que o discriminante absoluto de um corpo quadrático é obtido do seguinte modo:

i) se d ≡ 1(mod 4), então

 

ii) se d ≡ 2 ou (mod 4) então

 

Exemplo 2.2.2. Dado = ℚ(√5), tem-se , isto é,

é uma base integral de e o discriminante absoluto de

é 5. Os monomorfismos de em ℂ são σ a inclusão e σ a 1 2 conjugação complexa, isto é, σ (a + b√5) = a + b√5 e σ (a+ b√5) = 1 2

a−b√5. Logo, e

 

 

Exemplo 2.2.3. Dado = ℚ(i) então = ℤ[√−1], isto é, {1, √−1} é uma base integral para e o discriminante absoluto de é −4. Os

monomorfismos de em ℂ são σ a inclusão e σ a conjugação 1 2 complexa, isto é, σ (a + b√−1) = a + b√−1 e σ (a + b√−1) = a−b√−1. 1 2

Logo, e

2.3 Corpos ciclotômicos

Nesta seção apresentamos os corpos ciclotômicos. Esses corpos desempenham um papel fundamental na Teoria Algébrica dos Números, uma vez que é possível caracterizar o anel dos inteiros algébricos de um corpo ciclotômico e, consequentemente, seu discriminante.

Definição 2.3.1. Seja um corpo. Um elemento ζ ∈ é chamado uma raiz n-ésima da unidade se ζ n = 1, para n ≥ 1, um inteiro.

Segue da Definição 2.3.1 que as raízes n-ésimas da unidade são raízes do polinômio n r r x − 1. Seja U = { ζ 1 , ... , ζn } o conjunto de todas as raízes distintas de n i j n i n j n X − 1 em . Como ( ζ ζ ) = ( ζ ) ( ζ ) =

, segue que o conjunto U é um

grupo multiplicativo. Como todo grupo multiplicativo finito num corpo é cíclico então segue que U é um grupo cíclico. Assim, podemos representar as 2 n n raízes n-ésimas da unidade por ζ , ζ , ... , ζ = 1, onde ζ é um gerador do grupo U. As raízes n-ésimas primitivas da unidade são os geradores do grupo k U , isto é, os elementos ζ com mdc(k, n) = 1, para k = 1, 2, ... , n. O número das raízes n-ésimas primitivas da unidade é dado por

ϕ(n) = #{0 < m < n : mdc(m, n) = 1, m ∈ℤ}

onde ϕ é a função de Euler. Dado n um inteiro positivo, definimos ζn como sendo e o corpo ℚ(ζ ) é chamado o n−ésimo corpo n ciclotômico.

 

Definição 2.3.2. O polinômio é chamado de n−ésimo polinômio ciclotômico.

Lema 2.3.1. (Lang, 1972, p.206) Se n é um inteiro positivo, então

.

Demonstração: n Sendo f ( X ) = X−1, temos que as raízes de f(X) são 1, 2 n−1 n N−1 ω , ω , ... , ω . Logo X − 1 = ( X − 1)( X − ω ) ... ( x − ω). Analisando os períodos de cada raiz de f(X), e escrevendo todas as raízes de mesmo período como um polinômio da forma φ (X) = d

.

Exemplo 2.3.1. 6 Considere o polinômio f ( X ) = X −1. Temos que as raízes de f 2 3 4 5 6 2 3 4 ( X ) são ω , ω , ω , ω , ω , ω . Deste modo, ω , ω , ω , ω,

e ω5 tem período 6, 3, 2, 3 e 6, respectivamente. Assim, φ (X) = (X − 1 ω 6 3 2 4 ) = ( X − 1), φ ( X ) = ( X − ω ), φ ( φ ) = ( X − ω )( X − ω), φ (X) = 2 3 6 ( 5 X − ω )( X − ω). Como os divisores de 6 são 1, 2, 3, 6, temos que

, 6 ou seja, X−1 = φ (X)φ (X)φ3(X)φ (X) = (X − 1)(X − 1 2 6

ω 3 2 4 5 )( X − ω )( X − ω )( X − ω )( X − ω).

Como consequência do Lema 2.3.1 temos que

Assim

 

 

. Quando n = p, onde p é um número primo,

segue que

 

que é chamado de r p-ésimo polinômio ciclotômico . Quando n = p,

onde r é um número inteiro maior que 1 e p é um número primo, de acordo com o Lema 2.3.1,

 

Logo . Este polinômio

é chamado de r p-ésimo polinômio ciclotômico.

Teorema 2.3.1. (Lang, 1972, p.204, Teo.6) Se ζ é uma raiz n-ésima n primitiva da unidade, então [ℚ(ζ ) : ] = ϕ( ). n ℚ n

Demonstração. Seja f(X) um polinômio mônico, irredutível e de

menor grau de n ζ sobre . Logo X f(X h(X h(X ∈ n ℚ −1 = ) ), com ) ℚ[X]. Pelo lema de Gauss segue que f(X), h(X) ∈ ℤ[X]. Seja p um número primo tal que p p ∤ n . Assim, ζ é raiz n-ésima primitiva da unidade. n

Logo ( p n p p p p p ζ ) − 1 = f ( ζ ) h ( ζ ), ou seja, 0 = f ( ζ ) h ( ζ ). Assim, se ζ n n n n n n não for raiz de p f ( X ), então ζ é raiz de h(X), e portanto ζ é raiz de n n h p ( X). Portanto, pelo modo como tomamos f(X), segue que, f(X) | h p p ( X ), ou seja, h ( X) = f(X)g(X), com g(X) ∈ ℤ[X] pelo lema de Gauss. Como consequência do pequeno Teorema de Fermat, p a ≡ a(mod p) e daí p p p h ( X ) ≡ h ( X ) ( mod p ). Assim, f ( X ) g ( X ) ≡ h ( X )(mod p), e portanto h p p ( X ) ≡ f ( X ) g ( X )( mod p ). Logo, h ̅( ζ̅ )̅ = 0̅, pois ζ é raiz de f(X). E n n recursivamente chegamos que h̅(ζ ) = 0. Portanto f̅ e h̅ tem uma raiz n em comum. Assim n n X − 1̅ = f ̅( X ) h ̅( X ), e portanto X − 1̅ tem raízes

múltiplas. Logo n−1 n−1 nX = 0̅ e assim, para qualquer α ∈ ℤ , nα = 0̅. p Como a característica de ℤ é p segue que p|n, o que contradiz o p

fato de termos suposto que p p ∤ n . Portanto ζ é raiz de f(X) ∀ p ∤ n e n mdc(p, n) = 1. Logo ∂(f(X)) ≥ ∂(φ (X)), pois toda raiz de φ (X) é raiz n n de f(X), e como f(X)|φ (X), segue que ∂(φ (X)) ≥ ∂(f(X)). Portanto n n ∂(f(X)) = ∂(φ (X)) = ϕ(n). n

Observação 2.3.1. Existe um único polinômio minimal f(X) tal que f(ζ ) = 0. Pelo Teorema 2.3.1, ∂(f(X)) = ∂(φ (X)), e φ (ζ ) = 0. Assim n n n n f(X) = φ (X), e assim φ (X) é irredutível. n n

Lema 2.3.2. (Lang, 1972, p.204) Se mdc(m, m) = 1, então U ≅ U MNm × U . n

Demonstração. Seja a seguinte função:

φ : U × U ➝ U m nmn

(a, b) ➝ ab

i) mn m n n m φ esta bem definida, pois ( ab ) = ( a ) ( b ) = 1

ii) φ é homomorfismo, pois ∀ (a, b), (c, d) ∈ U × U temos que φ((a, m n b) · (c, d)) = φ(ac, bd) = (acbd) = (ab)(cd) = φ(a, b)φ(c, d).

iii) φ é injetora: Temos que provar que Ker(φ) = {(a, b) ∈ U × U : m n φ(a, b) = 1} = {1}. Deste modo, temos que mostrar que para ∀ (a, b) ∈

U k × U tal que φ ( a , b ) = ab = 1 a = b = 1. Para isto, seja a = ζ , m n m

b l k l = ζ , onde 0 ≤ k ≤ m − 1 e 0 ≤ l ≤ n − 1. Assim, ab = 1 ζ ζ = 1 n m n

ζk − nk nl nk = ζ ζ = ζ − ζ = 1. Logo, como ζ é uma raiz m n m n m m

m-ésima primitiva da unidade, segue que m|nk, e como mdc(m, n) = 1 então m|k, e isto implica que k = mx. Analogamente n|l, e isto implica que k mx -ny -1 l = ny . Deste modo, ζ = ζ = 1 = ζ = ζ , ou seja, m m n n ζ k -1 = ζ = 1, e isto implica que k = l = 0, pois ζ e ζ são raízes m-m n m n ésima e n-ésima primitivas da unidade, respectivamente. Portanto ab = 1 a = b = 1. Portanto Ker(φ) = {1} e assim φ é injetora.

iv) φ é sobrejetora: Como o(U × U ) = o(U ) e φ é injetora, segue m n mn que φ é sobrejetora. Por iii) e iv), φ é bijetora. Portanto φ é isomorfismo.

Proposição 2.3.1. k l ( Lang, 1972, p.205 ) Temos que ζ ζ , para 0 ≤ k m n ≤ m−1 e 0 ≤ l ≤ n−1, é uma raiz mn-ésima primitiva da unidade se, e somente se, ζ k l é uma raiz m-ésima primitiva da unidade e ζ é uma m n raiz n-ésima primitiva da unidade.

Demonstração. k Se ζ não é uma raiz m-ésima primitiva da m

unidade, então temos que mdc(k, m) = d > 1. Assim,

, o que é absurdo, pois . Reciprocamente,

se k l ζ é uma raiz m-ésima primitiva da unidade e ζn é uma raiz n-m

ésima primitiva da unidade, então mdv(k, m) = mdc(l, n) = 1. Assim,

 

Como mdc(m, n) = 1 segue que m|a. De modo análogo, n|a. Ainda, usando o fato de que mdc(m, n) = 1 segue que mn|a. Assim temos que, ( k l mn m kn n lm ζ ζ ) = ( ζ ) ( ζ ) = 1. Assim, mn é a menor potência tal m n n n

que ( k l mn k l ζ ζ ) = 1. Portanto ζ ζ é uma raiz mn-ésima primitiva da m n m n unidade.

Corolário 2.3.1. (Lang, 1972, p.205) ℚ(ζ ) mℚ(ζ ) = (ζ ). n ℚ mn

Sejam p um número primo e ζ uma raiz p-ésima primitiva da p unidade. Como em p−2 φ ( X ) o coeficiente a do termo X é igual a 1, p p −2 segue que

 

Consequentemente,

 

Os elementos 1 − j ζ , para j = 1, ... , p − 1, são todos os conjugados p

de 1 − k ζ , para k = 1, ... , p − 1. Assim, pela Definição 2.3.2, segue p

que k N (1 − ζ) = φ (1) = p, para k = 1, ... , p − 1. ℚ ( ζ )/ p ℚ p p

Lema 2.3.3. (Simonato, 2000, p.18, Lema1.4.4) Se é o anel dos

inteiros algébricos de = ℚ(ζ ) então: p

i) (1 − ζ ) ∩ p p ℤ = ℤ.

ii) Tr ((1 − ζ )y) ∈ p / ℤ, ∀ y ∈ . ℚ p

Demonstração: i) O p-ésimo polinômio ciclotômico de ζ é φ (X) = p p

Xp−1 2 p−1 K + ... + X + 1 = ( X − ζ )( X − ζ ) ⋯ ( X−ζ ). Como N (1 − ζ) p p p ℚ ( ζ )/ p p ℚ = (1 − 2 p−1 ζ )(1 − ζ ) ... (1 − ζ ) = p, segue que φ (1) = (1 − ζ )(1 − p p p p p ζ 2 p−1 j ) ... (1 − ζ ) = p . Como 1 − ζ ∈ , para j = 1, ... , p − 1, segue p p p que p ∈ (1 − ζ ) . Portanto p ⊂ p ℤ (1 − ζ ) ∩ pℤ. Para mostrar a outra inclusão, vamos supor por absurdo que pℤ está contido

propriamente em (1 − ζ ) ∩ ⊂ p ℤ ℤ. Como pℤ é um ideal maximal

de ℤ, então (1 − ζ ) ∩ = ∈ p ℤ ℤ . Como 1 ℤ segue que 1 = (1 − ζ )a, p para algum j a ∈ . Logo 1 − ζ é inversível em , e assim 1 − ζ p p

são inversíveis em 2 , para j = 2, ... , p − 1. Assim, (1− ζ )(1 − ζ) ... p p (1 − p−1 ζ) é inversível em ∩ p ℤ, isto é, p é inversível em ∩ ℤ, o que é um absurdo. Portanto (1 − ζ ) ∩ p . p ℤ = ℤ ii) i i Cada conjugado y (1− ζ ) de y (1− ζ ) é um múltiplo de 1− ζ em i p p p , para i i−1 i = 1, 2, ... , p − 1. Como 1 − ζ = (1 − ζ )(1 + ζ + ... + ζ) p p p p segue que 1 − i ζ é um múltiplo de 1 − ζ em . Sendo o traço a p p

soma dos conjugados, 2 Tr ( y (1 − ζ )) = y (1 − ζ ) + y (1 − ζ) + ⋯ / ℚ p 1 p 2 p + p−1 y (1 − ζ) = α(1 − ζ ), α ∈ . Portanto Tr(y(1 − ζ )) ∈ (1 − p −1 p p p ζ ). Como, pela Proposição 1.3.4, é integralmente fechado, segue p ℤ

pelo Corolário 1.5.1 que Tr(y(1 − ζ )) ∈ . Assim, Tr(y(1 − ζ (1 p ℤ )) ∈ p − ζ ) ∩ p ). p ℤ = ℤ , onde a igualdade segue de ( i

Teorema 2.3.2. (Samuel, 1967, p.43, Teo.2) O anel dos inteiros de

= ℚ(ζ ) é = ℤ p−2 [ ζ ] e {1, ζ , ⋯ , ζ} é uma base de [ζ ] como um p p p p ℤ p ℤ-módulo.

Demonstração: Seja o anel dos inteiros de = ℚ(ζ ). Como p ℤ[ζ ] ⊂ , falta mostrar que ⊂ [ζ ]. Se α ∈ , então α ∈ ζ p ℤ p ℚ ( ), p e assim podemos escrever

 

com a ∈ ℚ, para i = 0, 1, ... , p − 2. Multiplicando por 1 − ζ em i p ambos os membros temos que

 

Aplicando o traço nesta equação e usando a sua linearidade, obtemos que

 

pelo Lema 2.3.3. Como i i+1 Tr ( ζ − ζ) = 0, para i = 1, 2, ... , p − 2, p p segue que −1 p−1 a Tr (1− ζ ) = a p ∈ p e assim a ∈ . Como ζ = ζ 0 p 0 ℤ 0 ℤ p p

segue que −1 ζ ∈ , e portanto pela Equação (2.6) segue que p

Multiplicando ambos os membros por 1 − ζ temos que p

 

 

Logo

 

Mas a Tr(1 − ζ ) = a p ∈ p e assim a ∈ . Continuando dessa 1 p 1 ℤ 1 ℤ forma, chegamos que a ∈ = 0, 1, ... p − 2. Portanto i ℤ , para todo i

⊆ −2 ℤ p + ℤ ζ + ... + ζ p ℤ, ou seja, ⊆ ℤ[ζ ]. Deste modo concluímos p p que = ℤ p−2 [ ζ ]. Além disso, como 1, ζ , ... , ζ são linearmente p p p

independentes sobre ℤ, pois são sobre ℚ e como = ℤ+ℤζ p +...+ p−2 −2 ℤ p ζ segue que {1, ζ , ... , ζ} é uma base de p pℤ[ζ ]. p p

Proposição 2.3.2. (Simonato, 2000, p.19, Obs.1.4.6) O discriminante

absoluto de = ℚ(ζ ) sobre é dado por D = p ℚ

.

Demonstração: Sejam p um número primo e ζ uma raiz p-ésima da p unidade. Vimos que {1, p−2 ζ , ... , ζ} é uma base integral de [ζ p p ℤ ]. p

Pela Proposição 1.6.4 temos que p−2 D (1, ζ , ... , ζ) = ℚ ( ζ )/ p p ℚ p

, e deste modo vamos mostrar que

N p−2 ( φ′ ( ζ )) = p. Como o p-ésimo polinômio ciclotômico é dado ℚ ( ζ )/ Q p p p

por , segue que derivando ambos os lados temos que

. Substituindo p X por ζ temos que

. Como p ζ = 1, pois ζ é uma raiz p-ésima da p p

unidade, temos que , ou seja, , e

isto implica que . Aplicando a norma e usando a

sua linearidade obtemos que

 

p p−2. Portanto .

Sejam p um número primo e n ≥ 1 um inteiro. O Lema 2.3.3 estende

naturalmente para o r p-ésimo corpo ciclotômico, ℚ(ζ r), ou seja, p valem

 

onde é o anel dos inteiros de = ℚ(ζ r). Nosso objetivo agora é p encontrar o anel dos inteiros algébricos, , de = ℚ(ζ r). p

Lema 2.3.4. (Marcus, 1977, p.30, Lema.1) Temos que ℤ[1−ζ r] = p ℤ[ζ r] e que p

 

onde pr ≥ 3.

 

Demonstração. Por definição, . Logo, para qualquer 2 α ∈ ℤ [1 − ζ r ] temos que α = b + b (1 − ζ r ) + b (1 − ζ r ) + p 0 1 p 2 p

... + ( r−1 p −1) p −1 b (1 − ζ ) = (b + b + b + ... + b ) +

( r−1 r r−1 p −1) p −1 p 0 1 2 ( p −1) p −1 (− 2 b − 2 b ) ζ r + b ζ r + ... . Assim, temos que α é da forma a + a ζ r 1 2 p 2 p 0 1 p

+ 2 r−1 ( p −1) p−1 a ζ r + ... + a r −1 ζ r, ou seja, α ∈ [ζ r]. Portanto [1 2 p ( p −1) p −1 p ℤ p ℤ

− ζ r] ⊂ ℤ[ζ r]. Por outro lado, seja α ∈ ζ r]. Assim, α = p ℤ [a + a ζ r + p p 0 1 p a 2 r−1 ζ r + ... + a r −1 ζ r ( p −1) p −1. Observando que ζ r = 1 − (1 − 2 p ( p −1) p −1 p p ζ r), temos que p

 

Dessa forma, chegamos que α é da forma b + b (1 −ζ r )+ b2(1 − 0 1 p

ζ 2 r−1 r −1 p −1 r r ∈ ) + ... + b ( p −1) p −1(1 − ζ ) p −1) , isto é, α p r ℤ [1 − ζ]. p p

Assim ℤ[ζ r] ⊂ [1 − ζ p ℤ r]. Portanto, das duas inclusões concluímos p

que ℤ[ζ r] = ζ r]. Para a segunda parte, como os conjugados p ℤ [1 − p

de k r r ζ r são os elementos ζ r tais que k = 1, ... , p − 1 e mdc ( k , p) = 1, p p

segue que os elementos 1 − k ζ r são os conjugados de 1 − ζ r . p p Como det( i σ ( ζ r)) é o determinante de uma matriz de Vandermonde, j p

 

Lema 2.3.5. k ( Marcus, 1977, p.31, Lema 2 ) Temos que ζ r) = p p r , onde o produto é tomado sobre todos os k , com 1 ≤ k ≤ p, e tal que p ∤ k.

Demonstração. Como ... +

X( r−1 p −1) p k r , segue que todos os ζ r , onde 1 ≤ k ≤ p e tal que são p

raízes de pr r−1 p φ r ( X ) pois são raízes de X − 1 mas não de X − 1. p

Deste modo, r e existem exatamente ϕ ( p) = ( r−1 p −1) p valores de k pois ∂(φ r (X)) = (p−1)p . Tomando X = 1, p r −1

temos que .

Teorema 2.3.3. (Marcus, 1977, p.29, Teo.9) Sejam {α , ... , α } uma 1 n

base de sobre ℚ consistindo de inteiros algébricos e d = D (α , / ℚ 1 ... , α ). Se α ∈ , então α pode ser expresso na forma n

, 2 com m ∈ n j ℤ e m divisível por d, para j = 1, 2, ... , . j

Demonstração. Se α ∈ , então α ∈ . Como {α , ... , α } é uma 1 n base de sobre ℚ, segue que

α = x α + ... + x α , 1 1 n n

com x ∈ j n. Sejam σ -monomorfismos j ℚ , para = 1, ... , , ... , σ os 1 n ℚ

de em ℂ. Aplicando cada σ , para i = 1, ... , n, em α, obtemos um i

sistema de n equações dada por

σ (α) = x σ (α ) + ... + x σ (α ), 1 1 i 1 n 1 n

para i = 1, ... , n. Resolvendo esse sistema pela regra de Cramer,

obtemos que as n raízes são dadas por , onde δ = det(σ (α )) e i j γ é obtido de δ trocando a j-ésima coluna por σ (α). Temos que os γ , j i j para j = 1, 2, ... , n, e δ são inteiros algébricos pois são obtidos a partir dos α′ s, que são, por hipótese, inteiros algébricos. Pela i Proposição 1.6.3, temos que 2 δ = d e portanto δ é γ j

um inteiro algébrico. Como ℤ é integralmente fechado segue que dxj ∈ ℤ, para j = 1, 2, ... , n. Seja m = dx , para j = 1, 2, ... n. Se j j

mostrarmos que ∈ ℤ 2 , teremos que m é divisível por d. Mas, j

como ∈ ℚ e como ℚ é o corpo de frações de ℤ então é suficiente

 

mostrarmos que é um inteiro algébrico. Como m = dx = δ segue j j γ j

que 2 2 2 2 2 2 2 m = d x = δ γ = γ . Logo = γ é um inteiro algébrico pois j j j j j

γ 2 é um inteiro algébrico. Portanto ∈ e assim m j ℤ é divisível por j d.

Lema 2.3.6. n−1 ( Marcus, 1977, p.31 ) Se d = D (1, ζ r , ... , ζ r), ℚ ( ζ )/ pr ℚ p p

onde n r s = ϕ ( p ), então d = p para algum s ∈ ℕ.

Demonstração: Pela Equação (2.3) temos que

 

onde p r−1 r g ( X ) = X −1 e φ r ( X ) é o polinômio irredutível de ζ sobre p p

ℚ r . Derivando a Equação (2.7) temos que r p −1 p X = φ′ (X)g(X) + φ

pr r p

(X)g′ (X), e substituindo X por ζ r obtemos que p

 

Como φ r (ζ r) = 0 segue que p p

e isto é equivalente a

 

ou seja,

 

Aplicando a função norma nesta última igualdade obtemos que

 

Pela Proposição 1.6.4, temos que

 

Logo, nr s d | p , ou seja, d = p, para algum inteiro s.

Teorema 2.3.4. (Marcus, 1977, p.30, Teo.10) O anel dos inteiros

algébricos de = ℚ(ζ r) é [( p ℤζ r]. p

Demonstração. Mostraremos que = ℤ[1 − (ζ r], e assim o p teorema segue pelo Lema 2.3.4. Suponhamos que ≠ ℤ[1 − (ζ r]. p Pelo Teorema 2.3.3, todo elemento α ∈ pode ser expresso na

forma

 

onde r n = ϕ ( p), e m ∈ i ⋯ n i ℤ , para = 1, 2, , . Pelo Lema 2.3.6, temos que s d = p, onde s ∈ ℕ. Logo, existe α ∈ de modo que nem todos

os s m são divisíveis por p. Seja i ≤ n tal que m não seja divisível por j i p s s s . Assim, temos que m = p q + r , onde q , r ∈ r < p. Logo, i ℤ e podemos reescrever α da seguinte forma

Desse modo, contém um elemento da forma

 

 

Multiplicando ambos os lados por s−1 p, obtemos que

 

que podemos reescrever como

 

com a ∈ a não divisível por p. Pelo Lema 2.3.5, temos que /(1 − j ℤ e p i

ζ n k r ) ∈ ζ r ] pois 1 − ζ ζ p ℤ [ r é divisível, em [ ζ ], por 1 − p p ℤ r r. Então p/(1 p p − i i ζ r ) ∈ r . Subtraindo p ℤ [ ζ r ] e portanto temos que β /(1 − ζ ) ∈ p p p termos que estão em , obtemos que a /(1−ζ r) ∈ . Disto segue i p

que i N (1 − ζ r )| N ( a ). Como N ( a ) = a e pelo ℚ ( ζ )/ )/ )/ pr ℚ p ℚ ( ζ i i pr ℚ ℚ ( ζ n pr ℚ

Lema 2.3.5, temos que n N (1 − ζ r ) = p . Assim p | a , o que é ℚ ( ζ )/ pr ℚ p i

impossível pois a não é divisível por p. Portanto = [1 − ζ r] = i ℤ p

ℤ[ζ r]. p

Observação 2.3.2. r Como o p-ésimo polinômio ciclotômico tem grau ( pr−1 p − 1) e seu termo independente é igual a 1, obtemos pela seção 1.4, que

Proposição 2.3.3. (Simonato, 2000, p.22, Prop.1.4.9) O discriminante absoluto de = ℚ(ζ r) sobre p ℚ é dado por D =

 

D ϕ r r−1 ( p )−1 p · (r(p−1)−1) (1, ζ r , ... , ζ r ) = ± p. ℚ ( ζ )/ p pr ℚ p

Demonstração. Pela Proposição 1.6.4 temos que

 

Derivando ambos os membros de , temos que

 

e substituindo X por ζ r temos que p

 

Como pr ζ r = 1 segue que p

Temos que . Aplicando a função norma

em ambos os membros e usando sua linearidade temos que

 

Da Equação (2.8) temos que r N ( ζ r ) = ±1. Também N (− p ℚ ( ζ )/ ( pr ℚ p ℚ ζ )/ pr ℚ

) = (− r r−1 ( p −1) p p ) e

 

Portanto .

A seguir nosso objetivo é determinar o anel dos inteiros para

qualquer corpo ciclotômico, ℚ(ζ ), onde ζ é uma raiz n-ésima n n primitiva da unidade. Esta generalização seguirá de um resultado mais geral considerando os inteiros algébricos de um corpo composto , onde e são corpos numéricos.

Se e são dois corpos numéricos, então o corpo composto (definido como o menor subcorpo de ℂ contendo e ) consistem de todas as somas finitas

 

Se , e são os anéis dos inteiros algébricos de , e , respectivamente, então contém o anel Em geral, não temos uma igualdade. Entretanto, podemos mostrar que = sob certas condições sobre os corpos ciclotômicos.

Sejam m e n os graus de e , respectivamente, sobre ℚ, e seja d = mdc(d , d ), onde d e d são o discriminante absoluto de e , 1 2 1 2

respectivamente.

Teorema 2.3.5. (Marcus, 1977, p.33, Teo.12) Se [ : ℚ] = mn, então

.

Demonstração. Sejam {α , ... , α } uma base de sobre e {β 1 m ℤ , ... 1 , β } uma base de sobre B = {α j , i = 1, ... , n ℤ . Assim, temos que β m; j = 1, ... , n} é uma base de sobre ℤ e também uma base de

sobre ℚ. Se α ∈ , então α pode ser expresso na forma

 

onde r e todos os m estão em , e que estes + 1 inteiros não tem j ℤ mn

fatores comuns maiores que 1, ou seja, mdc(r, mdc(m )) = 1. Para ij mostrar o teorema, temos que mostrar que r|d para qualquer α. Para isto, devemos mostrar que r|d e r|d pois assim, pela definição de 1 2 máximo divisor comum, teremos que r | d. Temos que todo monomorfismo σ de em ℂ estende a um monomorfismo (que também denotamos por σ) de em ℂ, fixando . Portanto, para cada σ temos que

Tomando , para cada i = 1, ⋯ , m, obtemos m equações

para cada σ. Agora, resolvendo este sistema pela regra

de Cramer, obtemos que , onde δ é o determinante da matriz formado pelos coeficientes σ(α ) e γ é obtido de δ trocando a i-ésima i i coluna por σ(α), para i = 1, 2, ... , m. Temos que δ e todos os γ são i inteiros algébricos, pois todos os 2 σ ( α ) e σ ( α ) são, e além disso δ = i

d . Se e = d , temos que ex = δγ ∈ , onde é o anel dos 1 1 i i ℂ ℂ

inteiros algébricos de ℂ, e portanto . Lembrando que {β , ⋯ , β } forma uma base integral para , 1 n

concluímos que os números racionais devem ser inteiros, e

deste modo r divide em , para todo i e j. Como assumimos que r é ij

relativamente primo com mdc(m ), segue que r|e = d . ij 1 Analogamente, r|d . Portanto, r | d e assim d = kr, com k ∈ , ou seja, 2 ℤ

. Substituindo na Equação (2.11) temos que

. Logo . Portanto .

 

Corolário 2.3.2. (Marcus, 1977, p.34, Corol.1) Se [ : ℚ] = mn e d = 1, então = .

Demonstração. Como ⊂ e como d = 1 segue, pelo Teorema 2.3.5, que = .

Teorema 2.3.6. (Marcus, 1977, p.34, Corol.2) O anel dos inteiros de

ℚ(ζ ) é R = [ζ n ℤ ]. n Demonstração: O teorema já foi provado se n é primo ou se é uma potência de um primo. Agora, se n não é primo ou não é uma potência de um primo, então podemos escrever n = n n , para 1 2 inteiros relativamente primos n , n maiores que 1. Vamos mostrar 1 2 por indução que se o resultado também é válido para n e n , então o 1 2 resultado é válido para n. Assim, suponhamos por hipótese de indução que R = [ζ R 1 ℤ ] e = n 1 2ℤ[ζ ]. Para aplicar o Corolário 2.3.2, n 2 temos que mostrar que

1)ℚ(ζ ) = ζ [ζ ] = [ n ℚ ( ) ( ζζ ζ ]. n 1 ℚ ) e como consequência ] n 2 ℤ n ℤ [ n 1 ℤ n 2 2) ϕ(n) = ϕ(n )ϕ(n ). 1 2

3) d = 1.

A parte (1) segue do Corolário 2.3.1 e a parte (2) segue do fato de n1 e n serem relativamente primos. Para a parte (3), temos da 2

Proposição 1.6.4 que .

Seja d e d o discriminante absoluto de [ζ ] e ], n 1 n 2 ℤ [ ζ n 1 ℤ n 2 respectivamente. Como n n −1 f ( X ) = X 1 − 1, segue que f ′( X ) = n n X 1, e 1 1

substituindo X por ζ segue que . Assim n 1

aplicando a função norma em ambos os lados e usando a sua linearidade temos que

 

Portanto ϕ(n ) d = ± n 1 , e isto implica que n 1 1

 

Analogamente,

Sendo d = mdc(d , d ), temos que n 1 n 2

 

Como ϕ(n ) ϕ(n ) mdc ( n 1 , n 2) = 1 segue que d|1, e portanto d = 1. 1 2

Finalmente então concluímos que R = R R = [ζ [ζ [ 1 2 ℤ ] n 1 ℤ ] = n 2 ℤζ ]. n

Teorema 2.3.7. (Washington, 1982, p.11) O discriminante absoluto

de = ℚ(ζ ) sobre é dado por n ℚ

 

Demonstração: Por (Ribenboim, 1972, p.217, prop.7O) temos que

. Aplicando a função logaritmo em ambos os

lados e usando as propriedades do logaritmo segue que log |D | =

[ : ℚ] log |D | + [ : ℚ] log |D |. Como toda extensão ciclotômica é

Galoisiana, segue que [ : ℚ] = [ : ℚ][ : ℚ], e assim

 

Portanto, se temos que

 

onde a = ( ), i = 1, 2, ... , . Assim, pela Proposição 2.3.3, temos i ℚ ζ i r p i

que

e consequentemente,

 

 

Assim, e portanto,

 

2.4 Decomposição de ideais primos em uma

extensão

Nesta seção apresentamos a decomposição de um ideal primo em um extensão. Assim, dados A ⊂ B, anéis e um ideal de A, denotamos por B ao ideal de B formado pelos elementos da forma

, com x ∈ e y ∈ B. Além disso, consideramos ⊂ corpos de i i

 

números tais que [ : ] = n.

Se é um ideal primo de B, consideremos a inclusão i : A B, a projeção canônica h : B B/ e a composição f = h ∘ i. O núcleo de f é A ∩ e portanto A/(A ∩ ) ≃ f(A) ⊂ B/ , e deste modo, A/(A ∩ ) é um domínio, isto é, A ∩ é um ideal primo de A.

Proposição 2.4.1. (Samuel, 1967, p.71, Prop.1) Sejam um ideal

primo não nulo de e a decomposição do ideal em ideais primos de . Então os s são os únicos ideais primos de i′ cuja interseção com coincide com e nestas condições dizemos

que é um ideal acima de . i

Demonstração: Para cada i = 1, ... , g temos que ⊇ ⊇ , e i portanto ∩ é um ideal primo de que contém . Sendo i

maximal resulta que = ∩ . Agora, se d é um ideal primo de i

tal que d ∩ = , então d = . Assim, d ⊇ , para algum i. i Como é maximal segue que d = . i i

O anel / pode ser considerado como um subanel de / i através do homomorfismo induzido acima. Além disso, / e / i são corpos e / é um espaço vetorial de dimensão finita sobre i

/ , uma vez que e / são finitamente gerados como -i

módulo e / -módulo, respectivamente. A dimensão [ / : / ], i denotada por f ou f( , ) é denominada de grau residual de i i i sobre . O expoente e ou e( , ) é denominado índice de i i ramificação de sobre . Quando e > 1, para algum índice i, i i dizemos que se ramifica em .

As igualdades podem ser vistas em ([6], p.71, Teo.1) e este resultado é conhecido como Igualdade Fundamental.

A igualdade fundamental forma alguns tipos de decomposições de . Diremos, então, que o ideal primo de é (i) totalmente decomposto em , se g = n e consequentemente, e = f ii = 1, i = 1, ... , g.

(ii) inerte em , se g = 1, e = 1 e consequentemente f = n. 1 1 (iii) totalmente ramificado em , se g = 1 e consequentemente f = 1 1 e e = n. 1

Teorema 2.4.1. (Lang, 1970, p.27, Prop.25) (Kummer) Seja A um anel de Dedekind com corpo quociente . Seja uma extensão finita separável de . Seja o fecho integral de A em e assuma que

= A[α] para algum elemento α. Seja f(X) o polinômio irredutível de α

sobre . Seja um ideal primo de A. Seja f̅(X) a redução de f(X) e , e seja

 

a fatoração de f̅(X) em potências de fatores irredutíveis sobre A̅ = A/ , com coeficiente dominante 1. Então

 

é a fatoração de em , de modo e é o índice de ramificação de i

i sobre , e temos que

 

se μ (X) ∈ A[X] é um polinômio com coeficiente dominante 1 cuja i

redução módulo ? é ?μ̅ (X). i Demonstração: Sejam μ̅(X) um fator irredutível de f̅(X), α̅ uma raiz de μ̅(X), e o ideal primo de que é o kernel da função

 

Temos que + μ(α) está contido em . Por outro lado, seja

g(α) ∈ onde g(X) ∈ A[X]. Então para algum

h̅(x) ∈ A̅[X], e portanto g(X) − μ(X)h(X), que é um polinômio com coeficientes em A, uma vez que tem coeficientes em . Isto prova a inclusão contrária, provando (2.13). Para provar (2.12), seja e′ o i índice de ramificação de , tal que i

 

e seja d o grau de μ̅ . Como f(α) = 0, e como i i

 

segue que

 

Por outro lado, temos que

 

consequentemente usando a Equação (2.14) temos que

 

Isto prova que e ≥ e′ para todo i. Mas sabemos que i i Assim e = e′ para todo i, o que prova (2.12). i i

Teorema 2.4.2. (Samuel, 1967, p.74, Teo.1) Se é um corpo de números, então um ideal primo p ℤ de ℤ se ramifica em se, e somente se, p divide D .

Decorre deste resultado que existe apenas um número finito de ideais primos de ℤ que se ramificam em .

Lema 2.4.1. (Marcus, 1977, p.78, Corol.) Sejam ζ uma raiz m-ésima m da unidade, n = ζ(m), p um número primo e O (p) a ordem de p m

módulo m. Se p não divide m, então pℤ[ζ ] se decompõe em m

ideais primos distintos de ℤ[ζ ]. m

Exemplo 2.4.1. Se = ℚ 2 (√−17), então = ℤ [√−17] e f ( X ) = X + 17 é o polinômio minimal de √−17 sobre ℚ. Vamos obter a fatoração dos ideais 2 , 3 e 5 em produto de ideais primos de usando o Lema de Kummer. Como

 

segue que

 

Portanto, 2 f 2 = , onde é o ideal primo de , com N ( ) = p1 = 1 1 1

2. Pela Proposição 2.4.1 segue que é o único ideal de acima 1 do ideal 2ℤ e é totalmente ramificado em . Para o ideal 3 como

 

Segue que:

Portanto, 3 = onde e são os únicos ideais primos de 1 2 1 2

acima de 3 ℤ com norma 3 e o ideal 3ℤ é totalmente decomposto

em 2 2 . Finalmente, para o ideal 5 , temos que X + 17 ≡ X + 2(mod ( ℤ 2 /5 ℤ )[ X ]) e X + 2 é irredutível sobre ℤ/5ℤ. Logo 5 é um ideal primo de com norma 25 e o ideal 5 ℤ é inerte em .

Exemplo 2.4.2. Sejam = ℤ[ζ ] o anel de inteiros algébricos de 15 = 7 ℚ 8 5 4 3 ( ζ ) e f ( X ) = X − X + X − X + X −X+ 1 o polinômio minimal de 15

ζ sobre . Vamos obter a fatoração de 15 ℚ 3 . Como

f(X) 4 3 2 2 ≡ (X + X + X + X + 1)(mod ℤ/3ℤ)[X]),

segue que

 

Portanto, 2 3 = , onde é o único ideal primo de acima de 1 1

3 4 ℤ com norma 3. Note que neste caso 3ℤ se ramifica em , mas não é totalmente ramificado em .

 

Tendo em vista o Lema 2.4.1 e considerando , temos que a

menor decomposição possível do ideal p ℤ[ζ ] em produto de ideais m primos distintos de ℤ[ζ ] ocorre primeiramente em m = 3 e p ≡ 1(mod m

3), pois pℤ[ζ ] se decompõe em 2 ideais primos distintos de [ 3 ℤζ ]. 3 Usando o Lema de Kummer vejamos, por exemplo, como se dá a

fatoração do ideal 13ℤ[ζ ]. Note que 13 ≡ 1(mod 3) e o polinômio 3

minimal de 2 ζ sobre é X + X + 1. Logo 3 ℚ

Agora, sejam ⊂ corpos de números com uma extensão Galoisiana de de grau n. Veremos que em uma extensão Galoisiana a decomposição de um ideal em , dado como no Teorema 2.4.1, assume certas características particulares. Seja G o grupo de Galois de sobre . Se G for um grupo abeliano diremos que é uma extensão abeliana de .

Observação 2.4.1. Seja um corpo de números. Se = (ζ ), m então é uma extensão galoisiana de e o grupo de Galois de sobre é isomorfo a um subgrupo de * ( ℤ / m ℤ ).

Decorre da Observação 2.4.1 que toda extensão ciclotômica de é abeliana e, em particular, todo subcorpo de um corpo ciclotômico é uma extensão abeliana de ℚ. Reciprocamente, se é uma extensão

abeliana de ℚ, então existe um inteiro m tal que ⊂ ℚ(ζ ). Este m resultado é conhecido como Teorema de Kronecker-Weber.

Lema 2.4.2. (Samuel, 1967, p.89, Lema 1) Sejam A um anel e , , 1

... , ideais primos de A tais que não esteja contido em , para i = r i 1, ... , r. Então existe b em tal que b não está em , para todo i = 1, i ... , r.

Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos considerar o caso em que não está contido em , para j ≠ i. Tomemos j i elementos x ∈ − (para j ≠ i, 1 ≤ i e j ≤ r) e elementos a ∈ – . ij j i i i

Se , então b ∈ , b ∈ A− e b ∈ , para j≠i. Colocando i i i i j

b = b + ⋯ + b , tem-se que b ∈ e b ≡ b (mod ), isto é, é 1 r i i o elemento procurado.

 

Seja α um elemento de . Aplicando σ ∈ G na equação de dependência inteira de α sobre temos que σ(α) ∈ , ou seja, σ(

) = para todo σ ∈ G. Por outro lado, se é um ideal primo de

e é um ideal primo de tal que contém como na

Proposição 2.4.1, ou seja, ∩ = , então σ( )∩ = para todo σ ∈ G, ou seja, σ( ) contém e tem o mesmo expoente que .

Neste caso dizemos que e ′ = σ( ) são ideais primos conjugados contidos em .

Proposição 2.4.2. (Samuel, 1967, p.89, Prop.1) Se é um ideal primo de , então os ideais primos de acima de são dois a i dois conjugados, têm o mesmo grau residual f e o mesmo índice de

ramificação e. Portanto,

Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que existam ideais primos e ′ acima de tais que σ( ) ≠ ′, para todo σ ∈ G. Como e ′ são ideais maximais, podemos supor que não esteja contido em σ( ′), para σ ∈ G. Pelo Lema 2.4.2, existe um elemento

. Sendo α inteiro sobre , segue que σ(α) também é

inteiro sobre , de onde é um elemento de , e portanto um elemento de ∩ .

Por outro lado, σ(α) não está em ′ , pois caso contrário teríamos σ −1 −1 ( σ ( α )) = α ∈ σ( ′), contrariando a hipótese feita sobre α. Dessa

forma, não pertence a ′ (pois ′ é ideal primo) e assim não está contido em ′ , o que é um absurdo.

Exemplo 2.4.3. Se p é um número primo e é o anel dos inteiros

algébricos de = ℚ(ζ ), então o ideal p é da forma p = (1 − p

ζ p−1 ) . De fato: Se 1 ≤ k, j ≤ j − 1, então existe um inteiro t, onde 1 p

≤ t ≤ p − 1 tal que j ≡ kt(mod p). Assim,

 

e portanto, k j j k (1 − ζ )|(1 − ζ ). Analogamente (1 − ζ )|(1 − ζ). Assim p p p p

1 − j k ζ e 1 − ζ são associados em . Como , segue que p p

existe um elemento inversível β em )p−1 tal que p = (1− ζ.β. p Assim, p p−1 = (1 − ζ ) e (1 − ζ ) é um ideal primo de e p p da igualdade fundamental, segue que o grau residual de (1 − ζ ) p sobre ℤ é 1.

Exemplo 2.4.4. De modo análogo ao Exemplo 2.4.3, temos que se p é um número primo, r um número maior que 1 e o anel dos

inteiros algébricos de ( r−1 p −1) p = ℚ ( ζ r ) então p = (1 − ζ r ) . p p Em síntese podemos classificar o ideal primo pℤ como totalmente

ramificado em ℚ(ζ r ), com r ≥ 1. p

Definição 2.4.1. Seja um ideal primo de . Para cada ideal primo

de satisfazendo ∩ = , os conjuntos

 

são subgrupos de G, chamados de grupo de decomposição e grupo de inércia de com relação a , respectivamente.

Quando é uma extensão abeliana de , os grupos D( , ), para i = i 1, ... , g, onde os ′ s são os ideais de acima de , são todos i

iguais, dependendo somente do ideal de . O mesmo acontece com os grupos E( , ), para i = 1, ... , g. Em não havendo i

possibilidade de confusão denotamos tais grupos simplesmente por D( ) e E( ).

Se g denota o número de conjugados de , então

 

Cada σ ∈ D( ) induz um automorfismo σ̃ de tal que σ̃(x + ) = / σ(x) + (uma vez que o homomorfismo x σ(x) + de em /

é sobrejetivo e tem núcleo ). Como é uma extensão /

Galoisiana de grau f de ([6], p.90, Prop.2) e σ̃ fixa o subcorpo /

/ , pois σ fixa ⊃ , concluímos que σ̃ ∈ G̃, onde G̃ denota o

grupo de Galois de sobre e tal grupo é cíclico de ordem f. / / Além disso, temos que σ σ̃ é um homomorfismo sobrejetor de D( ) em G̃ com núcleo E( ). Com isso, temos a seguinte proposição.

Proposição 2.4.3. (Marcus, 1977, p.99) E( ) é um subgrupo normal de D( ) e D( )/E( ) G̃ é um isomorfismo de grupos.

Como consequência da Proposição 2.4.3 temos que

card −1 ( G̃ ) = card ( D ( )) card ( E ( )), ou seja, card(E( )) = e.

Exemplo 2.4.5. 8 6 4 Sejam = ℚ ( ζ ), = [ ζ X ) = − X X 20 ℤ ] e f ( X + 20

− 2 X + 1 o polinômio minimal de ζ sobre . A decomposição do 20 ℚ ideal 5 em ideais primos de satisfaz:

 

Portanto, 4 5 = ( ). O grupo g dos automorfismos de sobre 1 2 ℚ é dado por G i = { σ : mdc ( i , 20) = 1 de forma que σ ( ζ ) = ζ } = {σ , i i 20 20 1 σ , σ , σ , σ , σ , σ , σ }. Além disso, temos que e são 3 7 9 11 13 17 19 1 2 conjugados, uma vez que σ ( ) = e σ ( ) = . Logo, e são 3 1 2 3 2 1 1 2 ideais primos conjugados que têm o mesmo índice de ramificação (e=4) e o mesmo grau residual (f=1), conforme a Proposição 2.4.2. Visto que é uma extensão abeliana de ℚ, o grupo de

decomposição D(5ℤ), é dado por:

 

Da mesma forma, o grupo de inércia E(5 ℤ) é dado por:

 

Como card(E(5ℤ)) = 4 e como E(5ℤ) é um subgrupo de D(5ℤ) segue que E(5 ℤ) = D(5ℤ).

Quando tratamos de ideais no anel dos inteiros algébricos do corpo de números = ℚ(ζ ) com p e q números primos distintos, a pq

fatoração dos ideais p ou q em produto de ideais primos de

assume algumas particularidades interessantes que serão

essenciais no próximo capítulo. Sejam D (p) o grupo de

decomposição de um ideal de acima de pℤ e D (P) o grupo de

decomposição de um ideal de A acima de Pℤ em = ℚ(ζ ). q

Observação 2.4.2. Sejam o anel dos inteiros algébricos de =

ℚ e ( ζ ), σ̅ a conjugação complexa de ( ζ e p = ( ... pq ℚ ) ) pq 1 2 g como na Proposição 2.4.2. Se σ̅ não pertence ao grupo D (p), então para cada i = 1, ... , g, existe um único índice k, k ≠ i, tal que σ̅( ) = i i = (note que σ̅( ) = ). Aplicando σ̅ no ideal p temos que k i i Podemos supor e assim sucessivamente. Reordenando os ideais de maneira conveniente, obtemos que

 

Para saber em que situações teremos a fatoração acima, precisamos caracterizar quando σ̅ pertence ao grupo de decomposição.

Proposição 2.4.4. (Flores, 2000, p.69, Teo.3.5.4) Com as notações acima, temos que σ̅ pertence a D (p) se, e somente se, σ̅ pertence a D (p).

Demonstração: s Seja σ ∈ D ( p ) dado por σ ( ζ ) = ζ . Para cada σ s s q qs ∈ D (p), existem p − 1 automorfismos σ de D (p) tais que σ (x) = s,i s,i σ (x) para qualquer x ∈ (ζ s ℚ ). Consideremos u e v tais que pu + qv = q

1. Como cada σ é definido por seu valor em ζ , temos: s,i pq

 

Deste modo, σ̅ ∈ D (p) se, e somente se, existirem s, i tais que pus + qvi ≡ −1(mod pq) e isto é o mesmo que

 

A primeira condição vale sempre pois s pode assumir qualquer valor não nulo módulo p e a segunda condição equivale a σ̅ ∈ D (p), e isso conclui a demonstração.

Corolário 2.4.1. (Flores, 2000, p.70, Corol.3.5.5) A conjugação complexa σ̅ pertence a D (p) se, e somente se, O (p) ≡ 0(mod 2). q

Demonstração: Pelo Lema 2.4.1 e pela Proposição 2.4.2 temos que

o número g de conjugados de um ideal primo em ℚ(ζ ), acima de q p ℤ é . Temos que e assim, . Comparando

com , temos que card(D (p)) = O (p), e assim 2 divide q O (p). Portanto O (p) ≡ 0(mod 2). Reciprocamente, suponhamos que p p

O (p) ≡ 0(mod 2). Como o grupo D (p) é cíclico de ordem par, q

decorre que {−1, 1} é o único subgrupo de ordem 2 deste grupo.

Exemplo 2.4.6. Sejam = ℚ(ζ ), p = 3 e q = 5. Como O (3) = 4, 15 5 pelo Corolário 2.4.1, segue que σ̅ está em D (3) e, portanto, o ideal 3

não se decompõe segundo a Observação 2.4.2. Visto que O (5) 3

= 2, o mesmo ocorre com o ideal 5 .

Exemplo 2.4.7. Sejam = ℚ(ζ ), p = 19 e q = 3. Como O (19) = 1, 57 3 segue pelo Corolário 2.4.1, que σ̅ não pertence a D (19). Portanto o ideal 19 se decompõe segundo a Observação 2.4.2.