5 Os Canais Gaussiano e Desvanecimento do tipo Rayleigh

5 – Os Canais Gaussiano e

Desvanecimento do tipo Rayleigh

 

5.1 Introdução

Neste capítulo, apresentamos através do trabalho de Boutros; Viterbo; Rastello; Belfiori (1996), constelações de reticulados que são eficientes para ambos os canais Gaussianos e com desvanecimento do tipo Rayleigh, enfocando a construção das versões rotacionadas dos reticulados já conhecidos na literatura: D , 4 K e Λ , através da matriz mudança de base de um ideal contido 12 16

no anel dos inteiros de um corpo de números.

 

5.2 Breve histórico

O rápido crescimento da comunicação sem fio requer um aumento na capacidade e melhoria no desempenho dos sistemas de transmissão. Os canais de comunicação móvel são agrupados em dois tipos: canal via satélite e canal terrestre. O canal de comunicação terrestre é caracterizado pelo efeito de múltiplos percursos de propagação. Tal efeito pode alterar de maneira significativa a amplitude do sinal, mesmo para uma pequena variação na distância ou orientação entre o transmissor e o receptor, comportamento que é comumente rotulado como desvanecimento. Limitações nas perdas de propagação, variação no tempo, ruído, inferência e desvanecimento fazem com que, nestes sistemas, a transmissão de dados com altas taxas de transmissão não seja uma tarefa fácil.

Para se alcançar essas altas taxas de transmissão de dados é necessário aumentar a capacidade do canal de comunicações móveis. Quando o desvanecimento compromete substancialmente a qualidade da transmissão, o aumento da capacidade do canal ou equivalentemente, a diminuição da taxa de erro é extremamente difícil.

Uma alternativa mais simples para aumentar a capacidade do canal com desvanecimento é utilizar técnicas de diversidade. Estas técnicas geralmente fornecem ao receptor réplicas da informação transmitida que experimentam desvanecimentos descorrelacionados. Neste caso, se uma componente do sinal estiver sobre um desvanecimento profundo, algumas das outras componentes terão uma grande probabilidade de sofrer uma atenuação mais leve.

A função densidade de probabilidade de Rayleigh caracteriza o desvanecimento percebido em uma comunicação móvel onde não há predominância direta entre a antena transmissora e a receptora. Esse desvanecimento indica que existe uma maior probabilidade da amplitude da envoltória do sinal recebido estar abaixo de um valor médio.

Os códigos projetados para canais com desvanecimento Rayleigh levam em conta dois parâmetros fundamentais: o ganho de diversidade, que descreve a diminuição exponencial da taxa de erro na decodificação em função da relação sinal-ruído na curva de desempenho e o ganho de codificação que resulta em deslocamentos à esquerda dessa curva. Os melhores valores para estes parâmetros foram obtidos maximizando-se, respectivamente, o posto mínimo e a média geométrica mínima dos autovalores, de um conjunto de matrizes complexas formadas pelas diferenças entre palavras-código tomadas duas a duas.

A principal desvantagem destes códigos é que são extremamente difíceis de se projetar, pois os critérios utilizados na sua construção baseiam-se em operações no domínio complexo das modulações em banda básica e não no domínio binário ou discreto no qual os códigos de canal são tradicionalmente projetados. Uma grande capacidade computacional é necessária para acompanhar a busca, codificação e decodificação destes códigos.

O canal de comunicação via satélite é um canal AWGN (Additive White Gaussian Noise) onde predominam fortes atenuações e muitas vezes grandes atrasos de propagação do sinal. O termo AWGN é utilizado em modulamentos matemáticos para caracterizar aqueles canais onde o tipo de ruído responsável por degradar a comunicação é um ruído branco adicionado ao sinal. Este tipo de ruído é um dos mais “bem comportados” e a teoria acerca do desenvolvimento de receptores ótimos para a utilização em canais AWGN já se tornou clássica.

O ruído branco é um sinal aleatório e tem um modelamento matemático que o considera como possuindo largura de faixa infinita, média nula e correlação nula entre suas amplitudes tomadas a instantes de tempo distintos, ou seja, o valor da amplitude do ruído em um determinado instante independe daquele observado em outro instante de tempo qualquer. O termo gaussiano se deve ao fato desse tipo de ruído possuir uma função densidade de probabilidade gaussiana com média nula, com desvio padrão igual à sua tensão rms e variância igual à potência dissipada de um resistor de 1W. No canal gaussiano, usando esquemas convencionais de modulação e codificação de canal apropriada, pode-se reduzir a probabilidade de erro e bit de 10−2 −3 a 10 por meio de um aumento da relação sinal-ruído de somente 1 ou 2 dB.

 

5.3 Boas constelações para ambos os canais

Gaussianos e com desvanecimento do tipo

Rayleigh

Nesta seção estabelecemos condições sobre os reticulados construídos para que tenhamos boas constelações para ambos os canais Gaussianos e Rayleigh com desvanecimento.

1. Canal Gaussiano

A probabilidade de erro de símbolo é limitada superiormente por

onde τ é o número de vizinhos, er fc é a função erro, N é a 0

variância gaussiana e d é a distância mínima Euclidiana do E min

reticulado Λ. O ganho de codificação do reticulado Λ é dado por

 

Constelações eficientes podem ser obtidas através de reticulados com alta densidade de empacotamento. Assim, constelações com boas propriedades de simetria podem ser obtidas.

Usando corpos de números totalmente reais e com discriminante absoluto mínimo a grande desvantagem é que a densidade de empacotamento esférico é baixa. Usando corpos de números totalmente complexos e com discriminante absoluto mínimo a grande vantagem é que é possível obter reticulados com alta densidade de empacotamento.

2. Canal Rayleigh com Desvanecimento

A probabilidade de erro de símbolo com alta relação sinal-ruído satisfaz,

 

onde onde E é a energia média por bit, é a eficiência b

espectral e (l) 2 d ( x , y ) é a distância l-produto normalizada de x a p

y, quando esses pontos diferem em l componentes e é dada por

onde 2 E = E (|| x ||) é a energia média por ponto da constelação

S.

Constelações eficientes, ou seja, aquelas em que a probabilidade de erro é mínima, podem ser obtidas através de reticulados com diversidade máxima L = min(l), menor energia média da constelação E e maior distância produto mínima d p,min = (L) min ( d(x, y)). p

Usando corpos de números totalmente reais e com discriminante absoluto mínimo, a grande vantagem é que eles apresentam diversidade máxima.

Usando corpos de números totalmente complexos e com discriminante absoluto mínimo a grande vantagem é que obtemos uma menor energia média da constelação.

Assim, concluímos que para obter boas constelações de reticulados para ambos os canais, procura-se construir reticulados com alta densidade de empacotamento e com diversidade máxima.

Através da família de reticulados A que vimos a partir de subcorpos n de ℚ(ζ ) é possível obter constelações que têm máxima diversidade p

e boa densidade de empacotamento, que fazem estes reticulados úteis para uso nos canais Gaussiano e Rayleigh com desvanecimento.

Corpos de números algébricos totalmente reais com discriminante absoluto mínimo são conhecidos até a dimensão 8 e são dados na

1º coluna da Tabela (5.3.1).

Discriminantes absolutos mínimos

(Valores com * são os melhores valores conhecidos)

n r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 2 2 2 2 2 2 5 -3 - - -3 49 -23 - - -4 725 -275 117 - -5 14641 -4511 1609 - -6 300125 -92779* 28037* -9747 -7 20134393 ? ? ? -8 282300416 ? ? ? 125778*

Tabela (5.3.1)

Pela Tabela (5.3.1) notamos que os discriminantes absolutos dos corpos totalmente complexos são menores do que dos corpos

totalmente reais. Os corpos da Tabela (5.3.1) (especialmente em dimensão acima de 4) tem sido objeto de estudos na teoria dos números algébricos computacionais.

Definição 5.3.1. A diversidade de um reticulado Λ é a distância mínima de Hamming entre quaisquer dois vetores de Λ.

Teorema 5.3.1. (BoutrosS; Viterbo; Rastello; Belfiori, 1996) Sejam

um corpo de números, {σ , σ , ... , σ } os -homomorfismos de 1 2 n ℚ

em ℂ e {ω , ω , ... , ω } uma base integral de . Os reticulados 1 2 n

obtidos a partir da matriz geradora G =

 

possuem diversidade L = r + r . 1 2

Demonstração. Seja z ≠ 0 um ponto arbitrário de Λ = σ( ). Assim

, com λ ∈ e v = (v ) = σ(w ) são as linhas do i i ij i

reticulado da matriz geradora G. Logo,

 

Os inteiros algébricos são não nulos pois todos os λ′ s são não i

nulos (z ≠ 0). Isto implica que e assim o primeiro produto

do lado direito da última igualdade contém exatamente r fatores 1 não nulos. O número mínimo de fatores não nulos no segundo e no terceiro produtos é r pois as partes real e imaginária de qualquer 2

um dos monomorfismos complexos não são ambos nulos. Assim concluímos que para tal reticulado temos uma diversidade L ≥ r + 1 r . Agora, se α = 1 em , então σ (1) = 1 para j = 1, 2, ... , r + r e 2 j 1 2 portanto σ(1) fornece r + r componentes não nulos. Assim L = r + 1 2 1 r . 2

No caso de um corpo de números algébricos totalmente real temos que a matriz geradora G é da forma

 

Neste caso, o reticulado Λ = σ( ) construído atinge o grau máximo

de diversidade L = n.

Para corpos totalmente complexos temos que r = n/2 é par e a 2 matriz geradora do reticulado σ( ) é dada por

Definição 5.3.2. Um polinômio minimal é chamado reduzido se as potências de uma de suas raízes (o elemento primitivo) é uma base integral do corpo de números.

 

A Tabela (5.3.2) apresenta os polinômios minimais reduzidos dos

corpos da Tabela (5.3.1) com o volume fundamental do reticulado correspondente obtido via o homomorfismo canônico, indicados por Λ . n , L

Λ µθ(x) redV n , L

ol(Λ ) n,L

 

Λ X2 - X + 1 0.8660 2, 2 2.2361 X - X - 1 1

Λ2,

2

 

Λ X3 - X - 1 2.3979 3, 3 2 7 X + X - 2 X - 1 2

Λ3,

3

 

Λ X4 3 2 - X - X + X + 1 2.7042 4, 4 3 8.2916 X - X + 2 X - 1 2 4 3 2 26.9258 Λ X - X - 3 X + X + 1 4,

3

Λ4,

4

 

Λ X5 3 2 - X + X + X - 1 10.0281 5, 5 3 2 33.5820 X - 2 X + X - 1 3 5 4 3 2 121 Λ X + X - 4 X - 3 X + 3 X + 1 5,

4

Λ5,

5

 

Λ X6 5 4 3 2 - 3 X + 4 X - 4 X + 4 X - 2X + 1 12.3409 6, 6 5 3 41.8606 X- 2 X + 3 X - 2 X - 1 3 6 5 4 3 2 152.2982 Λ X + X - 2 X - 3 X - X + 2 X + 1 6, 6 5 4 3 2 547.8367 X - X - 7 X + 2 X + 7 X - 2 X - 1 4

Λ6,

5

Λ6,

6

Λ 7 6 5 4 3 2 4487.1364 7,7 X + X - 6 X - 5 X + 8 X + 5 X - 2 X -

1

 

Λ X8 7 4 2 - 2 X + 4 X + 3 X - 2X + 1 70.0928 8, 8 7 6 5 4 3 X + 2 X - 7 X - 8 X + 15 X + 8 X -16801.798 4 2 0 9 X - 2 X + 1 Λ 8,

8

Tabela (5.3.2)

Os passos para a construção de um reticulado a partir de um corpo

de números algébricos K = ℚ(θ) pode ser resumido do seguinte modo:

Encontre uma base integral de , que identifica . Encontre as n raízes de g (X), que identifica os n θ monomorfismos σ , σ , ... , σ . 1 2 n Construa a matriz geradora aplicando o homomorfismo canônico.

Exemplo 5.3.1. Seja = ℚ(i√3). Como −3 ≡ 1(mod 4) segue que a base integral de é {1, (1+i√3)/2}. Os dois monomorfismos são σ (i√3) = i√3, σ (i√3) = −i√3 e a matriz geradora é dada por 1 2

 

O volume fundamental do reticulado é dado por

 

A diversidade é L = 1 pois r = 0 e r = 1. Portanto, σ ( ) 1 2 corresponde ao reticulado Λ . 2,1

Exemplo 5.3.2. Seja . As raízes do polinômio

minimal X4 2 −14 X+29 são

. O elemento primitivo é θ = θ e os 4 1

monomorfismos são σ (θ) = θ , σ (θ) = θ , σ (θ) = θ , e σ (θ) = θ . 1 1 2 2 3 3 4 4 Mas 2 3 4 2 {1, θ , θ , θ } não é base integral pois X − 14 X + 29 não é reduzido. Uma base integral é

. A matriz geradora é dada

por

 

O volume fundamental do reticulado é | det(G)| = 26.92. A diversidade é L = 4 pois r = 4 e r = 0. Portanto, σ ( ) 1 2 corresponde ao reticulado Λ . 4,4

5.4 Construção das versões rotacionadas dos

reticulados D K 4, 12, e Λ16

Craig (1978) como construir os reticulados E , E , Λ a partir dos 6 8 24 corpos ciclotômicos totalmente complexos = ℚ i2π/n ( E), para n = 9, 20, 39. Via este procedimento Boutros; Viterbo; Rastello; Belfiori (1996) encontrou D , K e Λ a partir das 8-ésima, 21-ésima e 40-4 12 16 ésima raízes da unidade. Estes reticulados são obtidos aplicando o homomorfismo canônico em ideais destes corpos ciclotômicos. Os

ideais são dados na Tabela (5.3.3). Os reticulados obtidos são subreticulados de σ( ), mas com um ganho fundamental muito

maior comparado com os reticulados presentes na Tabela (5.3.2). Sejam um corpo de números de grau n, o anel dos inteiros de

, ⊆ um ideal e {γ , ... , γ } uma -base de . Aplicando o 1 n

homomorfismo canônico σ ao ideal de , pela Proposição 3.5.2 obtemos o reticulado Λ = σ( ) de posto n contido em Λ = σ( ). A

matriz geradora G de Λ é dada por

 

Comparando > e como -módulo, vemos que existe uma relação entre as matrizes G de σ( ) e a matriz G de σ( ). Seja T a matriz mudança de base n × n da primeira base para a segunda base, isto é,

 

Como, os γ′ s são inteiros algébricos segue que são escritos como i

combinação linear dos w′ s, ou seja, , onde t ∈ . Assim i ik que T = [t ] é uma matriz inteira. A matriz T é conhecida como ij

matriz da representação integral de . Com isso temos a seguinte proposição.

Proposição 5.4.1. (Boutros; Viterbo; Rastello; Belfiori, 1996) A matriz geradora G do reticulado Λ é obtida a partir da matriz geradora G do reticulado Λ pela aplicação da matriz mudança de base T entre as -bases de e , isto é, G = TG.

Demonstração. O resultado segue diretamente da fórmula γ = i

, que também é válido tomando as partes real e imaginária de

ambos os lados , e isto conclui a demonstração.

Da igualdade G = TG temos que det G = det T · det G, o que significa que

V ol(Λa) = ∣det T∣ . V ol(Λ).

Se é um ideal principal, isto é, = α então a matriz mudança de base é dada por T = R(α). A -base do ideal principal = α é o conjunto {aw , i = 1, ... , n}. Assim podemos escrever i

 

A procura de reticulados rotacionados da Tabela (5.3.3) com dimensão n e diversidade n/2 segue os seguintes passos:

1. Calcule o polinômio minimal de ζ sobre nℚ que tem grau

ϕ(n).

2. Encontre todos os ideais de com norma inteira.

3. Usando a matriz mudança de base T, calcule a matriz

geradora G = TG e avalie os parâmetros dos reticulados, por

exemplo, a densidade de centro e o número de vizinhos. Se

eles são iguais aos parâmetros de D , E , E , Λ , Λ ou Λ , 4 6 8 12 16 24

então obtemos uma versão rotacionada destes reticulados pois

tais reticulados são os únicos com tais parâmetros.

Este procedimento é aplicado sucessivamente para obter uma

matriz geradora para cada um dos reticulados presentes na

Tabela (5.3.3).

Alguns reticulados conhecidos dos corpos ciclotômicos:

ℚ(θ) n Ideais

D 4 θ + 1 8 (2, θ + 1) 4,2

E 6 3 2 θ - θ + 1 9 (3, ( θ + 1)) 6,3

E 8 6 4 2 θ - θ + θ - θ + 1 20 (5, θ - 2) 8,4

K 12 11 9 8 6 4 θ- θ + θ - θ + θ - θ + 21 (7, θ + 3) 12,6

θ 3 - θ + 1

Λ 16 12 8 4 4 3 2 θ - θ + θ - θ + 1 40 (2, θ + θ + θ 16,8

+ θ + 1)

(5, 2 θ+ 2)

Λ 24 23 21 20 18 3 2 θ- θ + θ - θ + θ -39 (3, θ + θ - 1) 24,12

θ 17 15 14 3 2 + θ - θ + (3, θ + θ + θ

+ θ12 10 9 7 6 4 + 1) - θ + θ - θ + θ - θ

+ θ 3 (13, θ - 3) - θ + 1

Tabela (5.3.3)

Exemplo 5.4.1. (Construção de D ). Note que ϕ(8) = 4 e que para 4,2 outros valores de n tal que ϕ(n) = 4 não resultam na versão rotacionada de D , cuja densidade de centro é 1/8. O polinômio 4

minimal de θ = ζ sobre é dado na Tabela (5.3.2), o discriminante 8 ℚ

absoluto do corpo = ℚ 8 ( ζ ) é D = 2, r = 0 e r = 2. Pela Equação 8 1 2 (3.4) temos que

 

e para N( ) = 2 devemos tomar . O ideal com norma 2 pode ser obtido da fatoração do ideal primo 4 (2), que tem norma 2do seguinte modo Assim tem a norma desejada 2. A matriz geradora do reticulado é G = TG, onde T é a matriz da representação integral de

 

e G é a matriz geradora de σ( ). O reticulado gerado por G tem

densidade de centro e o número de vizinhos é 24, sendo exatamente como D . Como D é o único reticulado com estes 4 4 parâmetros, obtemos sua versão rotacionada com diversidade igual a 2.

Exemplo 5.4.2. (Construção de K ). Note que ϕ(21) = 12 e que 12,6 para outros valores de n tal que ϕ(n) = 21 não resultam na versão rotacionada de K , cuja densidade de centro é 1/27. O polinômio 12

minimal de θ = ζ sobre 21 ℚ é dado na Tabela (5.3.2), o discriminante

absoluto do corpo = ℚ 6 10 ( ζ ) é D = 3 .7, r = 0 e r = 6. Pela 21 1 2 Equação (3.4) temos que

 

e para N( ) = 7 devemos tomar . O ideal com norma 7 pode ser obtido da fatoração do ideal primo 12 (7), que tem norma 7, ou seja,

 

Como N( ) = N( ) = 7, podemos escolher = , que tem a norma 1 2 1 desejada. A matriz geradora do reticulado é G = TG, onde T é a matriz da representação integral de

e G é a matriz geradora de σ( ). O reticulado gerado por G tem

 

densidade de centro e o número de vizinhos é 756, sendo exatamente como K . Como K é o único reticulado com estes 12 12 parâmetros, obtemos sua versão rotacionada com diversidade igual a 6.

Exemplo 5.4.3. (Construção de Λ16,8). Note que ϕ(40) = 16 e que para outros valores de n tal que ϕ(n) = 16 não resultam na versão rotacionada de Λ , cuja densidade de centro é 1/16. O polinômio 16

minimal de θ = ζ sobre é dado na , o discriminante 40 ℚ Tabela (5.3.2)

absoluto do corpo 32 12 = ℚ ( ζ ) é D = 2 .5, r = 0 e r = 8. Pela 40 1 2 Equação (3.4) temos que

 

e para N 4 2 ( ) = 2 .5 devemos tomar ρ = √2.5. O ideal com tal norma pode ser obtido da fatoração dos ideais (2) e (5) que tem norma 16 16 2 e 5, respectivamente. Assim

 

Como, N 4 2 2 ( ) = 2 , N ( ) = 5 , N ( ) = 5, podemos escolher = 1 2 3 1 2 que tem a norma desejada N 4 2 ( ) = N ( ) = N ( ) N ( ) = 2 5. A 1 2 1 2 matriz geradora do reticulado é G = TG, onde T é a matriz da representação integral de e G é a matriz geradora de σ( ). O reticulado gerado por G tem densidade de centro 0,0625 e o número de vizinhos é 4320, sendo exatamente como Λ . Como Λ 1616 é o único reticulado com estes parâmetros, obtemos sua versão rotacionada com diversidade igual a 8.

 

5.5 Conclusão

Duas diferentes aproximações tem sido usadas para estudar duas famílias de reticulados com o objetivo de atingir bom desempenho sobre ambos os canais Gaussianos e Rayleigh com desvanecimento.

A primeira família é gerada pelo homomorfismo canônico sobre o anel dos inteiros de um corpo de números. Entre os reticulados desta família, demos importância aos reticulados obtidos a partir de corpos totalmente reais e totalmente complexos. Vimos que os reticulados obtidos a partir de corpos totalmente reais tem bom desempenho sobre o canal Rayleigh com desvanecimento com uma diversidade máxima n. Mas eles tem um ganho negativo sobre o canal Gaussiano causado pela sua baixa densidade de empacotamento. Os reticulados obtidos a partir de corpos totalmente complexos tem um acordo entre diversidade e densidade de empacotamento. Eles mostram um ganho positivo sobre o canal Gaussiano e bom desempenho sobre o canal Rayleigh com

desvanecimento com uma diversidade .

A segunda família de reticulados é gerada pelo homomorfismo canônico sobre determinados ideais nos anéis dos inteiros dos corpos ciclotômicos que são corpos totalmente complexos. Esta família inclui versões dos famosos reticulados conhecidos na literatura; D , E , E , K , Λ e Λ . Estes reticulados atuam de 4 6 8 12 16 24

modo análogo aos reticulados de diversidade sobre o canal Rayleigh e então podem atingir a diversidade de 2 até 12. Além disso, estes são os melhores reticulados para o canal Gaussiano.

O ponto importante nesta conclusão é o fato de que corpos de números com discriminante absoluto mínimos são conhecidos somente em graus menores ou iguais a 8. Assim, a diversidade de reticulados obtidos a partir de corpos totalmente reais não podem exceder 8, a menos que encontremos corpos ótimos com alto grau. Ao contrário, os reticulados da segunda família são menos limitados na diversidade, Λ atinge uma diversidade 12. Naturalmente, 24,12

podemos pensar em construir Λ e Λ que tem diversidades 32,16 64,32 16 e 32, respectivamente. Mas somos limitados pela proporção da complexidade de um sistema sobre o ganho prático. Não podemos nos esquecer também que o estudo da primeira família possibilita-nos construir e entender a segunda família.