Chapitre VI

L’ESPACE A QUATRE DIMENSIONS ET LES GÉOMÉTRIES NON-EUCLIDIENNES

 

Pour expliquer la figure du Monde, les Einsteiniens ont essayé de reprendre à leur profit l’ancienne hypothèse d’un Hyperespace ou espace à plus de trois dimensions.

Il faut donc de toute nécessité, si l’on veut essayer de comprendre les relativistes, ou tout au moins suivre leurs raisonnements, posséder quelques notions sur un sujet paraissant de prime abord complètement étranger aux études abordées dans cet ouvrage.

Il ne saurait être question ici, je tiens à le déclarer, d’entrer dans des détails que mon lecteur trouvera beaucoup plus développés dans mon livre sur la Mort[51]; mais je donnerai l’essentiel, c’est-à-dire la partie nécessaire à la discussion philosophique du sujet.

[51] TH. MOREUX: Que deviendrons-nous après la Mort (Ed. Scientifica, Paris 1913). Ce chapitre est en partie un résumé des notions développées dans cet ouvrage antérieur à celui-ci.

Plaçons une bille sur une table de billard; je vais maintenant vous prier, après l’avoir enlevée, de la remettre à la place exacte qu’elle occupait,—Rien de plus simple, direz-vous; il suffit de repérer sa position au moyen d’un point tracé à la craie.—Eh bien, un géomètre eût probablement opéré d’autre façon.

Supposons la bille en A; je puis constater que cette bille se trouve à 30 centimètres de la bande de gauche, largeur du billard et à 20 centimètres de la bande représentant la longueur (fig. 10).

Les nombres 30 et 20 sont les coordonnées du point A par rapport aux bandes qui sont deux axes se coupant à angle droit; le point A est donc connu si je vous donne ses deux coordonnées.

[Illustration: Fig. 10.]

[Illustration: Fig. 11.]

Maintenant, imprimons un mouvement à la bille et soit la position B qu’elle prend, après avoir décrit la droite AB. Le point B aura deux nouvelles coordonnées; il sera à 60 centimètres de la bande de gauche et à 40 de la bande du haut, sur la figure 11. Pendant tout le temps qu’il a fallu à la bille pour passer de A en B, cette bille a donc eu à chaque instant 2 coordonnées, et c’est l’ensemble de ces nombres qui a formé ou plutôt déterminé la droite AB. On exprime ceci en disant que la position de la bille est toujours fonction de 2 variables, c’est-à-dire deux quantités qui varient.

On voit que le calcul de toutes les positions successives de la bille devient un problème d’algèbre; les coordonnées à trouver seront les deux inconnues x et y d’une équation.

Mais nous n’avons opéré ainsi que sur une surface plane; cela va bien pour fixer les positions d’un point sur un plan; le procédé est insuffisant pour repérer un objet placé dans une chambre par exemple.

Voici une lampe poste sur un guéridon; comment fixerons-nous sa position? Nous allons d’abord abaisser une verticale de la lampe au plancher, mesurer la hauteur de cette verticale, puis opérer sur le plancher comme nous l’avons fait pour la bille du billard.

Je constaterai ainsi que ma lampe se trouve (fig. 12) je suppose:

1º) à 1 mètre au dessus du plancher; 2º) à 3 mètres du mur Ouest; 3º) à 2 mètres du mur Nord.

Ainsi, dans l’espace, la position dépend non plus de 2, mais de 3 nombres, de 3 coordonnées, qui entreront dans les équations et correspondront à 3 inconnues: x, y et z.

[Illustration: Fig. 12.—Comment on repère un point dans l’espace.]

On voit que pour toute position de la lampe par rapport aux murs et au plancher de ma chambre, j’aurai nécessairement 3 coordonnées qui varieront. Si ma lampe se meut suivant une trajectoire quelconque, la ligne tracée dans l’espace me sera donnée, on le conçoit, par l’étude de la variation d’une fonction à 3 variables.

Mais ici je ne fais qu’imiter le physicien: nous avons en effet toutes raisons de croire que la trajectoire d’un objet n’est pas continue—conclusion de notre dernier chapitre—; ses positions dans l’espace sont en nombre fini, et si le procédé analytique nous réussit, ce n’est que grâce à l’énorme multiplicité des positions que présentent des mobiles, ou si vous le préférez, ce que nous appelons leur trace dans l’espace.

Et voilà qui va nous permettre de résoudre un problème vieux comme la Philosophie. On s’est souvent demandé si la Géométrie était fille de l’expérience ou bien engendrée seulement par notre esprit. Les uns tiennent pour la première hypothèse, les autres pour la seconde; la théorie des Quanta appliquée à l’étendue est de nature à lever tous les doutes.

Notre Géométrie est la science de l’espace; or l’espace n’est que la généralisation de l’étendue, donc l’abstraction du réel. En tant qu’il se sert des données sensibles sur lesquelles il applique sa faculté d’abstraction, notre esprit peut donc fabriquer l’espace et la Géométrie. Cette dernière science n’a donc rien de mystérieux, ni d’inné; elle n’est pas davantage issue d’une forme a priori de notre sensibilité, comme le voulait Kant; elle est l’abstraction du donné et le donné nous est imposé.

Et puisque l’étendue nous est livrée avec ses trois dimensions, je veux dire puisque trois coordonnées nous suffisent pour fixer la position d’un point dans ce que nous appelons l’étendue, il s’ensuit que l’espace, abstraction de l’étendue phénoménale et base de notre Géométrie, nous est imposé par la réalité.

H. Poincaré avait coutume de dire que notre Géométrie n’était peut-être pas plus exacte qu’une autre, mais que nous l’avions choisie pour une raison de commodité. Le mot prête à équivoque; une Table de Logarithmes peut n’être pas plus commode qu’une autre, sans que cela infirme son exactitude; ce que nous désirons savoir dans notre cas, c’est précisément quelle qualité objective d’exactitude comporte notre Géométrie.

Nous venons de montrer comment, en raison de la multiplicité des éléments de l’étendue phénoménale, le géomètre peut appliquer à ce discontinu physique, une géométrie du continu, c’est une première réponse.

Que si maintenant nous envisageons le problème de l’étendue en tenant compte, non seulement des forces élémentaires distinctes, mais aussi de leurs rapports réciproques, nous arriverons à une conclusion analogue, car ces rapports sont en nombre inconcevable.

Quant à la question de savoir si nous connaissons tous ces rapports et si parmi eux, quelques-uns moins importants peut-être, n’échappent pas à notre sensibilité, même aidée des plus forts instruments et des méthodes les plus délicates, elle nous échappe totalement.

Notre abstraction de l’espace correspond bien à notre perception de l’étendue prise en gros, et, du point de vue géométrique seul, nous n’apercevons jamais une non-concordance, mais il semble que le réel dépasse en certaines occasions, ce que nous y constatons d’une manière générale, notamment lorsque nous essayons de pénétrer dans le domaine de l’atome et dans celui plus mystérieux encore de la gravitation; mais n’anticipons pas et revenons à l’espace tel que nous l’employons pratiquement.

 

*

 

Habitué à traiter la Géométrie comme une branche de l’Algèbre, le mathématicien n’avait aucune raison de s’arrêter à un espace à trois coordonnées et il s’est demandé où le conduirait le fait d’envisager un espace à quatre dimensions. L’effort à donner était d’ailleurs insignifiant, puisqu’il suffisait d’introduire dans ses coordonnées une quatrième variable. Le problème n’offre en lui-même rien de contradictoire. La Physique nous a appris depuis longtemps à étudier des phénomènes dépendant de quatre conditions et même davantage.

Le volume d’un gaz, par exemple, dépend non seulement de l’enceinte qui le renferme, mais encore de sa pression et de sa température, en tout cinq variables et l’on en pourrait imaginer d’autres.

Si donc, la position d’un point dans l’espace dépend de trois coordonnées, hypothèse que nous posons parce que nous y sommes contraints, il n’y a aucune impossibilité intrinsèque de supposer qu’une quatrième variable ne pourrait entrer en ligne de compte.

Notez qu’ici, il ne s’agit pas précisément du réel, mais du possible; nous pensons que le réel est tel parce que le Créateur en a ainsi fixé les lois, mais ces lois ne sont pas nécessaires et les actions réciproques des forces élémentaires pourraient avoir été réglées autrement; de façon par exemple à nous imposer cette quatrième variable.

Mais, direz-vous, quelle serait cette nouvelle coordonnée? Nous l’ignorons totalement et la question au point de vue mathématique est bien indifférente; l’important ici est que nos équations soient construites en toute logique et voilà comment le géomètre doit être amené peu à peu à édifier des espaces à plus de trois dimensions, c’est à dire des espaces où les figures sont encore définies à l’aide de formules analytiques impeccables.

Simple jeu d’esprit, penserez-vous! Peut-être; en tout cas, il est assez curieux de constater que ces symboles algébriques, nous ont conduits à des théorèmes ayant élucidé plus d’une partie restée obscure dans le domaine de la Géométrie à trois dimensions.

 

*

 

Ces questions, hélas! sont loin de nous fixer sur la légitimité des théorèmes premiers ayant servi de base à notre science géométrique de l’espace. L’Analyse appliquée à la Géométrie est un merveilleux instrument, mais elle ressemble un peu à ces machines à calculer qui opèrent sur des unités quelconques, à la seule condition que ce soient des unités de même espèce; elle ne saurait, en présence du résultat, en donner une interprétation adéquate à la réalité.

Prenons, par exemple, notre Géométrie à trois dimensions: deux de ses coordonnées déterminent un plan; les trois réunies nous donnent un trièdre de référence, mais les trois faces de ce trièdre sont toujours des plans; en combinant savamment ces trois coordonnées, nous arrivons à construire toute la science de l’espace et nos théorèmes s’enchaînent avec toute la rigueur attachée à la méthode algébrique.

Avons-nous le droit de dire que cette construction n’est pas arbitraire? Oui, si le point de départ est exact; non, si la base n’en est pas assurée. Or toute la question revient à définir le plan; on le fait au moyen de la ligne droite, mais c’est reculer le problème: Qu’est-ce qu’une ligne droite?

Cherchez dans tous les Traités de Géométrie, je vous mets au défi de trouver autre chose qu’une énumération de quelques propriétés de la ligne droite dont l’essence même paraît nous échapper.

Vous y verrez, par exemple, des propositions de ce genre: «Par deux points de l’espace, on ne peut faire passer qu’une droite.» Oui, à condition que le plan soit possible; droite et plan apparaissent comme des notions dépendantes l’une de l’autre et se définissent l’une par l’autre. Cela ressemble fort à un cercle vicieux et c’est un bien mauvais début pour une science prétendue exacte.

Ainsi, toutes les Géométries à 3, à 4 et à 5 dimensions ont besoin de passer par l’étude préalable de l’espace à 2 dimensions qui, lui, nous offre le plan comme base de nos constructions, et c’est là précisément que nous sommes arrêtés.

Cette notion de plan est cependant fort claire, penserez-vous; l’hypothèse suivante pourrait bien être de nature à vous faire changer d’avis.

Supposons des êtres tout en surface, ayant par conséquent longueur et largeur sans aucune épaisseur, ou du moins avec une épaisseur extrêmement petite de l’ordre d’un atome ou même d’un électron.

Plaçons ces êtres sur une surface courbe, par exemple, sur une sphère de rayon tellement grand que la courbure soit insensible.

L’hypothèse, n’a rien d’absurde en elle-même et si la Terre, quoique petite, était rigoureusement polie, nous pourrions nous en servir pour y déposer nos curieux sujets.

Ces êtres pratiquement dépourvus de hauteur, mais possédant deux dimensions, vont pouvoir, en évoluant à la surface de leur habitat, fonder une Géométrie tout-à-fait particulière.

Notez que pour eux, ils seront censés faire de la Géométrie plane, à deux dimensions, par conséquent.

Mais, suivant qu’ils travailleront dans leur cabinet ou qu’ils se livreront aux opérations sur le terrain, ils arriveront à des résultats différents.

Aussi inacceptable que soit cette conclusion, de prime abord, il va nous être facile de la prouver.

S’agit-il de tirer des droites sur un petit espace, nos habitants ne pourront jamais soupçonner la faible courbure du plan sur lequel ils évoluent. Nous-mêmes, sur notre sphère terrestre de grand rayon, nous ne possédons aucun moyen matériel assez délicat pour mettre en évidence la sphéricité réelle de la surface liquide d’un bassin.

Lorsque nous traçons des triangles sur une telle surface, en y décrivant des arcs de grands cercles qui se coupent, rien ne nous avertit que nous avons affaire à des triangles sphériques.

Nos êtres hypothétiques à deux dimensions sont donc en mesure de fonder une Géométrie plane analogue à celle d’Euclide.

Mais supposez-leur l’esprit des voyages, des explorations et des découvertes, et les voilà plongés dans les pires incertitudes.

S’il s’avise à l’un d’eux de s’en aller droit devant lui, en ne déviant ni à droite, ni à gauche, il finira par accomplir sans s’en douter, tout le tour de la sphère qu’il occupe et reviendra à son point de départ.

Si ce point a été repéré, il conclura non sans raison, que toute droite est une ligne finie, et pour lui, cette proposition prendra l’allure d’un axiome.

Imaginons maintenant que le grand cercle ainsi parcouru, soit l’équateur de la sphère; si, sur ce cercle, il leur vient l’idée d’élever de loin en loin des perpendiculaires analogues à nos méridiens, rien ne les avertira que ces perpendiculaires ne sont point rigoureusement parallèles.

Ils admettront donc leur parallélisme comme un fait à la fois logique et expérimental; mais qu’il prenne à quelques-uns d’entre eux, la fantaisie de se rendre compte de la propriété de ces pseudo-parallèles, en parcourant différents méridiens, le résultat obtenu renversera toutes leurs notions péniblement acquises.

En continuant leur route dans une direction invariable en apparence, ils arriveront en effet à se rencontrer forcément aux pôles; d’où ils concluront que, «par un point donné, on peut abaisser plusieurs perpendiculaires sur une même droite dans un plan unique», principe contraire à la Géométrie que nous professons.

Or, qui nous assure que nous ne sommes pas comparables, jusqu’à un certain point, à ces êtres hypothétiques nécessités par leur situation à construire une Géométrie différente de la nôtre?

Ce sont des considérations de ce genre qui ont guidé les mathématiciens dans la construction des Géométries dites non-euclidiennes.

Puisque, disait Lobatchewsky, toute notre géométrie repose sur un postulat, celui d’Euclide[52], postulat indémontrable, voyons ce qui arriverait en supposant que, par un point pris hors d’une droite, on puisse mener plusieurs parallèles à cette droite. Et le savant géomètre russe est arrivé à construire une géométrie différente de celle d’Euclide, évidemment, mais dont les propositions sont aussi fortement enchaînées; on y enseigne, en particulier, que la somme des angles d’un triangle est plus petite que deux angles droits.

[52] Le postulatum d’Euclide peut être formulé ainsi: «Par un point pris hors d’une droite, on ne peut mener qu’une parallèle à cette droite.» On est bien arrivé à démontrer ce postulat, mais c’est toujours en introduisant à la base de la Géométrie un autre postulat, donc une autre proposition indémontrable; autant vaut donc garder celui d’Euclide.

Tout autre est le point de vue de Riemann qui part d’un pseudo-plan dont la courbure n’est pas nulle: dès lors, par un point, on ne peut faire passer aucune droite parallèle à une autre droite et on aboutit à une troisième Géométrie aussi logique que les deux précédentes et dans laquelle la somme des angles d’un triangle est plus grande que deux droits. Et nous voilà revenus à la supposition de nos êtres infiniment plats se débattant sur une surface courbe. De là toute une série de Géométries liées à la valeur du rayon de courbure; et nous aboutissons finalement à des espaces sphériques, elliptiques, hyperboliques, etc… Envisagée sous ce point de vue nouveau, notre Géométrie d’Euclide ne serait qu’un cas particulier d’une Géométrie plus générale qu’on étudie aujourd’hui sous le nom de Métagéométrie.

Toutefois, il est bon de faire remarquer que dans notre Géométrie, aussi bien que dans celle de l’espace elliptique ou hyperbolique, les conclusions sont les mêmes pour des surfaces extrêmement petites; elles ne commencent à différer qu’à partir du moment où les figures sont immenses; mais de telles figures ne sont plus à notre disposition. Impossible, donc de savoir si l’espace que nous imaginons répond à l’étendue réelle.

 

*

 

Devant une telle incertitude, quel parti prendre? Le cas paraît bien embarrassant, mais au fond, n’est-ce pas une querelle de mots? L’espace, pure abstraction, n’est qu’une idée générale, partant une idée assez imprécise; cette idée correspond-elle bien en fait à une Géométrie déterminée? Il est permis d’en douter.

Lorsque nous descendons dans le détail, nous voyons que la Géométrie se réduit toujours à une question de métrique, et l’idée d’espace paraît bien, dans tous les cas, s’accorder avec cette conception. Le nœud du problème n’est donc pas là et la question de fait n’est pas résolue.

Supposer en effet que nous habitons au sein d’un espace courbe, c’est énoncer une supposition qui n’a aucun sens pour nous, puisque c’est l’étendue phénoménale qui a provoqué en nous l’idée d’espace, généralisation du donné. Dès lors, espace et étendue réelle doivent forcément cadrer.

Que cette dernière contienne des particularités qui échappent à ma sensation, que je ne perçois pas, qui par conséquent n’entrent pas dans mes généralisations, cela est possible et tout à fait vraisemblable—la discontinuité m’en offre un bon exemple—mais pour imparfaite qu’elle soit, ma notion d’étendue généralisée n’est pas fausse, puisque déjà elle m’indique des rapports constatés, constants et réels.

Si l’on insiste en disant que notre plan euclidien pourrait être une surface à courbure peu prononcée, je demanderai comment vous pouvez avoir acquis cette notion de courbure. Dès lors que vous êtes à même de supposer une ligne courbe, c’est que vous avez la notion de la droite à laquelle vous la comparez. Vous me rappellerez, il est vrai, nos êtres de tantôt, tout en surface. Mais ici, la comparaison ne tient plus, car nous avons, nous, une épaisseur dont nous nous sommes rendu compte, donc une notion de troisième dimension et ceci nous suffit pour distinguer une ligne droite d’une autre qui ne le serait pas, quelle que soit la longueur envisagée.

Notre droite, a-t-on dit encore, est une pure convention; je vous l’accorde, mais la couleur rouge rentre dans le même cas. Avant que le physicien ait pu définir le rouge objectivement, jusqu’à un certain point, c’est-à-dire en fixant quelques conditions de son existence, cette couleur répondait à une réalité et seuls les daltoniens la confondaient avec le vert.

Dès lors, pourquoi nier l’existence de la ligne droite, sous prétexte que nous ne pouvons la définir autrement que par ses propriétés?

Encore une fois, vous ne reprocherez pas au physicien sa croyance à la vibration lumineuse dont il ne vous a jamais révélé l’essence; ne vous montrez donc pas plus exigeants pour le géomètre, à propos de la ligne droite.

En résumé, bien que nous ne connaissions pas l’essence de la ligne droite, ni celle du plan qui en dérive, nous en possédons une notion claire déduite de leurs propriétés. Les Géométries non-euclidiennes autres que celles à trois dimensions nous apparaissent comme des constructions purement artificielles, simple jeu de formules analytiques où le mathématicien n’atteint pas ou dépasse le réel.

Dire que notre Géométrie euclidienne est simplement commode, c’est méconnaître les rapports de l’objectif et du subjectif; c’est nier toute correspondance entre les données fournies par le monde extérieur et nos perceptions; c’est mettre en suspicion la légitimité de notre acte de la connaissance et ouvrir la voie au subjectivisme le plus exagéré.

Nos conclusions ne sont plus les mêmes en ce qui concerne la possibilité d’une étendue à quatre dimensions. Il se peut que nous ne saisissions pas tous les rapports qu’échangent entre elles les forces élémentaires qui provoquent en nous la sensation d’étendue. Celle-ci est à trois dimensions au moins, puisque nous sommes contraints par les faits à imaginer ce nombre pour rendre compte du réel, mais ce réel peut de beaucoup dépasser le donné. Les forces extérieures pourraient échanger des rapports cachés à nos sens grossiers, rapports qui constitueraient la quatrième dimension. Évidemment, c’est une hypothèse, mais une hypothèse non contradictoire et qu’on ne peut écarter au nom de la logique. Au physicien de chercher si, au milieu des faits qu’il enregistre, surtout dans le domaine de la Physique moléculaire, il n’en existe pas quelques-uns qui ne pourraient s’expliquer autrement que par la présence de cette quatrième variable, dimension peut-être réelle ajoutée aux trois autres.

C’est la prétention des relativistes de l’avoir trouvée: on voit que le sujet est d’importance; ce sera mon excuse d’avoir imposé à mes lecteurs le chapitre que je termine. L’étude de la conception d’un Espace-Temps montrera que la digression était nécessaire.