Capítulo Dois. Lógica Fuzzy

C A P Í T U L O

D O I S

Lógica Fuzzy

2.1 Introdução

A Teoria dos Conjuntos Difusos (Fuzzy Sets) foi proposta por Zadeh (1965 como alternativa na representação de informações imprecisas ou vagas. A partir de uma das primeiras aplicações práticas dos conceitos desta teoria po

Mamdani (1974), esta área da IA contabiliza milhares de publicações entre artigos, livros e teses relacionadas a desenvolvimentos teóricos realizados neste campo, e às diversas aplicações desenvolvidas em áreas como tomada de decisões, agrupamentos de dados, classificações de padrões, sistemas de diagnósticos, processamento de sinais (sons, imagens etc.), sistemas de controle, e muitas outras.

A Teoria dos Conjuntos Nebulosos (ou difusos) pode ser classificada como

uma extensão da teoria dos conjuntos, e a forma como as informações são representadas e processadas neste contexto pode ser vista como uma extensão da lógica clássica, ficando conhecida como Lógica Fuzzy.

2.2 Conjuntos nebulosos (Fuzzy Sets)

Na lógica clássica as informações são quantificadas como “verdadeiras” ou “falsas”, e em representações correspondentes na álgebra booleana são classificadas como “1” ou “0”, respectivamente. Seja a representação baseada

em regras (2.1), que assumiremos estar relacionada a um exemplo

simplificado associado a um sistema especialista (Patterson, 1990) desenvolvido para diagnóstico de doenças. A informação da variável “x ” 1 referente à temperatura corporal, por exemplo, associada ao estado febri (temperatura corpórea tipicamente entre 37o e 38o), está representada

graficamente na Figura 2.1. O grau de pertinência associado à informação booleana correspondente assume o valor “1” para um universo de discurso em valores compreendidos no intervalo [37, 38], ou o grau de pertinência “0” para temperaturas nos intervalos To < 37 e To > 38. O conjunto de valores associados ao “Estado Febril” é chamado de convencional ou crisp, estando de acordo com as representações típicas da teoria (clássica) dos conjuntos.

(2.1)

FIGURA 2.1 Ilustração gráfica de um conjunto clássico relacionado ao estado febril.

Em um conjunto nebuloso o grau de pertinência associado a um

determinado conjunto também possui os valores limites “0” e “1”, mas pode assumir infinitos valores na faixa [0, 1]. A proposta dos conjuntos difusos

difere de outra anterior apresentada por Lukasiewicz (Klir e Folger, 1988) cujos valores de pertinência também foram definidos no intervalo [0, 1], mas utilizando-se de valores discretos entre “0” e “1”.

Formalmente um conjunto fuzzy F em um universo de discurso U é

caracterizado por uma função de pertinência de grau μ que assume valores no F intervalo [0, 1], ou seja, μF: U → [0, 1]. Genericamente um conjunto fuzzy F em U pode ser representado como um conjunto de pares ordenados compostos de valores de uma variável u e os respectivos valores de grau de pertinência μF

(u), com a notação expressa por (2.2).

(2.2)

Os conjuntos nebulosos são expressos por funções de pertinência diversas

como as ilustradas na Figura 2.2 (neste caso, conhecidas como triangulares), e

aqui estão relacionadas ao exemplo referenciado na Figura 2.1, onde são considerados agora três possíveis estados de temperatura corporal: Normal Febril; Febre.

FIGURA 2.2 Ilustração gráfica de conjuntos nebulosos.

A Figura 2.3 ilustra os valores modais (parâmetros) de uma função de

pertinência triangular típica, e a expressão (2.3) representa os valores associados a ela.

FIGURA 2.3 Função de pertinência triangular.

(2.3)

No exemplo ilustrado na Figura 2.2, o grau de pertinência relativo a cada

conjunto nebuloso associado à temperatura e os seus respectivos estados (Normal, Febril e Febre) é simbolizado por μ (x ). Por exemplo, para x = 37 F 1 1 têm-se: μ (x ) = 0; μ (x ) = 1; μ (x ) = 0. Normal 1 Febril 1 Febre 1

Esta conversão da informação de temperatura (ou de outra grandeza

qualquer) em um grau de pertinência entre [0, 1] é conhecida como fuzificação.

Considerando agora x = 37,5 têm-se: μ (x ) = 0; μ (x ) = 0,5; μ (x ) 1 Normal 1 Febril 1 Febre 1

= 0,5. Onde neste caso os conjuntos correspondentes aos estados “Febril” e “Febre” possuem o mesmo grau de pertinência (0,5). Já para x = 37,75 temos 1 μ (x ) = 0, μ (x ) = 0,25 e μ (x ) = 0,75 (que agora apresenta um Normal 1 Febril 1 Febre 1 maior grau de pertinência para o estado em questão do que em relação aos outros estados).

As escolhas ou atribuições de valores dos parâmetros das funções de

pertinência possibilitam a modelagem de informações imprecisas ou vagas de uma forma adequada, sendo esta uma das vantagens da utilização dos conjuntos difusos.

Outra vantagem diz respeito aos nomes ou denominações atribuídas aos

conjuntos nebulosos, que possibilitam representar informações linguísticas na forma de etiquetas ou rótulos como Normal, Alta, Baixa, Pequena, Média Grande etc. que também facilitam a modelagem de informações de uma forma qualitativa e não somente quantitativa.

Outros exemplos de funções de pertinências frequentemente utilizadas são

descritas a seguir, lembrando também que é possível empregar conjuntos

convencionais como o crisp exemplificado na Figura 2.1, ou de valor singelo (singleton) na qual o grau de pertinência é unitário para o valor modal em questão e nulo, caso contrário.

FIGURA 2.4 Função de pertinência trapezoidal.

(2.4)

(2.5)

FIGURA 2.5 Função de pertinência gaussiana.

A Figura 2.6 ilustra dois conjuntos nebulosos (A e B) relacionados com a

velocidade (v) de um veículo, por exemplo, que receberam as denominações “Baixa” e “Média”. Os valores de pertinência e os dados que definem estes conjuntos podem ser representados na forma a seguir com seus respectivos pares ordenados.

FIGURA 2.6 Ilustração dos dados de dois conjuntos nebulosos. 2.3 Operações básicas sobre conjuntos