6.4 Exemplos de aplicação

O próximo item deste capítulo traz alguns exemplos de aplicação da Teoria

dos Conjuntos Aproximados.

 

6.4 Exemplos de aplicação

Apresentada a conceituação básica sobre Conjuntos Aproximados, os exemplos a seguir mostrarão a aplicação da TCA em alguns contextos relacionados com a extração de conhecimentos em sistemas de diagnóstico ou decisão, modelagem de funções e sistemas de controle.

 

Exemplo 6.1

Este exemplo básico ilustra um sistema de informação simples representado

pela Tabela 6.2. Essa tabela contém observações que podem eventualmente definir possíveis informações que indiquem condições mais favoráveis para contratações de profissionais por uma determinada empresa. Os seguintes dados e atributos foram considerados no contexto em questão: que os candidatos tenham (S) ou não (N) alguma experiência profissional (EXP); possuam ou não alguma especialização (MBA, por exemplo); graduaram-se (GRAD) em universidades com mais (A) ou com menos (C) prestígio; e as contratações (Contrat) correspondentes realizadas (Maior, Média, Baixa e Não). O problema consiste em determinar quais são os atributos relevantes para uma eventual contratação.

 

Considerando o conjunto B = {MBA, GRA, EXP} de todos os possíveis atributos do SI em questão, o conjunto de todas as classes de equivalência determinadas por IND(B) é:

 

Para gerar a matriz de discernibilidade do sistema, é montada a tabela a

seguir, contendo apenas os exemplos distintos (e 1, e2, e3) referentes aos atributos de condição do SI em questão.

A partir da Tabela 6.3, é definida a matriz de discernibilidade, cujo

conteúdo de cada célula dessa matriz está ilustrado na Tabela 6.4.

 

Tabela 6.3

Exemplos distintos relativos à Tabela 6.2

 

Tabela 6.4

Matriz de discernibilidade associada ao Exemplo 6.1

Tabela 6.5

Sistema de informação associado ao Exemplo 6.2

 

A função de discernibilidade resultante é dada por:

 

Simplificando a expressão anterior, tem-se:

 

Expressando F(B) na forma “soma do produto”, tem-se:

Assim, têm-se os redutos correspondentes {{MBA, GRAD}, {MBA,

 

EXP}} do SI considerado. Para o reduto {MBA, GRAD} têm-se as seguintes regras de decisão:

 

Para o reduto {MBA, EXP}, seguem as regras de decisão

correspondentes:

 

Conclusão referente aos conhecimentos relativos às regras de decisão

geradas: As melhores chances de contratação estão associadas aos candidatos formados em universidades de mais prestígio, ou então com

experiência profissional. No Anexo 6.1 encontra-se a resolução desse exemplo, através da ferramenta de acesso livre Rosetta (Ohrn e

Komorowski, 1997).

 

Exemplo 6.2

Este exemplo está relacionado com a determinação da menor combinação de exames clínicos necessários para classificar os diagnósticos que estão

sendo avaliados em um experimento. A Tabela 6.5 contém observações de certos exames clínicos (Ex1, Ex2, Ex3 e Ex4) que podem classificar três tipos de diagnósticos (D1, D2 e D3). As informações dos exames são classificadas como positiva (P) ou negativa (N), e em classes de valores como 1, 2, 3 e 4, ou < 12, 12-23, 24-32 e > 32.

Em Conjuntos Aproximados geralmente trabalha-se com valores discretos e não contínuos, assim, as informações das faixas referentes ao atributo “Exame4” podem ser representadas por etiquetas no lugar de faixas de valores, por exemplo: F1 para os valores < 12; F2 para a faixa 12-23; F3

para 24-32; F4 para os dados > 32. A Tabela 6.6 a seguir ilustra a matriz de discernibilidade do sistema de informação correspondente.

 

Tabela 6.6

Matriz de discernibilidade do Exemplo 6.2

 

Com as informações da matriz de discernibilidade obtém-se a função de

discernibilidade associada:

 

Simplificando e colocando na forma da “soma do produto”, tem-se:

Assim, obtêm-se os redutos {{Exame1}, {Exame2, Exame3}, {Exame3,

 

Exame4}}. Escolhendo o reduto com menor número de atributos, ou seja, {Exame1}, têm-se as regras de decisão correspondentes:

 

Logo, para a classificação dos diagnósticos (D1, D2 e D3), a informação

do primeiro exame (Ex1) é suficiente. O conhecimento extraído possibilita reduzir o número de exames necessários para se classificar os diagnósticos almejados.

Tabela 6.7

Sistema de informação associado ao Exemplo 6.3

 

Exemplo 6.3

O exemplo em questão está relacionado em determinar qual é a melhor

combinação de características de um produto que possui algumas versões

ofertadas. O objetivo consiste em reduzir os itens em estoque de forma a

maximizar o lucro associado ao volume das versões vendidas. A tabela a

seguir mostra observações de vendas anteriores com as descrições das

opções do produto (essas foram baseadas em Patrício et al., 2005). Os atributos de condição considerados foram Cor, Dimensão, Densidade,

Acabamento e Material. O atributo de decisão está relacionado com as Vendas.

Para os atributos de condição B = {Cor, Dimensão, Densidade, Acabamento, Material}, vem: U/IND(B) = {{o }, {o }, {o }, {o }, {o }, {o , 1 2 3 4 5 6 o }, {o }, {o }, {o }}. 9 7 8 10

Para o conjunto O = {o , o , o , o } relativo à condição de venda alta, 3 6 7 8

têm-se as aproximações:

 

As respectivas métricas são:

 

Graficamente as aproximações correspondentes estão ilustradas na

Figura 6.1.

 

FIGURA 6.1 Ilustração gráfica das aproximações associadas ao

Exemplo 6.3.

Para a matriz de discernibilidade do sistema montou-se a Tabela 6.8, que

contém apenas os exemplos distintos (e , e ,..., e ) associados aos atributos de 1 2 9 condição do SI.

 

Tabela 6.8

Exemplos distintos relativos à Tabela 6.7

 

Considerando as abreviações Co, Di, De, Ac e Ma para os respectivos

atributos, a Tabela 6.9 constitui a matriz de discernibilidade do sistema correspondente.

Tabela 6.9

Matriz de discernibilidade do Exemplo 6.3

 

A função de discernibilidade associada às informações da matriz correspondente está indicada abaixo.

 

Simplificando a função, tem-se:

 

Logo, os redutos resultantes são {{Cor, Densidade, Material}, {Cor,

Densidade, Acabamento}, {Dimensão, Densidade, Acabamento}}. Para os

respectivos redutos têm-se as regras de decisão relativas à condição de

venda alta:

 

Conclusões referentes às regras de decisão geradas: As melhores

aquisições futuras do produto, objetivando um estoque com menores combinações de características e um lucro maior (venda alta), estão relacionadas com as regras de decisão geradas. As novas aquisições do produto podem ser escolhidas por uma das três combinações de atributos (ou de suas características construtivas) definidas pelos redutos obtidos, os quais definem os conhecimentos extraídos dos dados do sistema de informação em questão.

 

Exemplo 6.4

Este problema é similar ao do Exemplo 2.1 (Capítulo 2) referente à

aproximação da função associada aos dados da Figura 2.8. Os domínios das variáveis x (ou x ) e y estão compreendidos nas faixas [0, 10] e [2, 11], 1

respectivamente. Conceitos relacionados com a TCA podem ser aplicados

na aproximação de funções e na modelagem de sistemas dinâmicos com comportamentos não lineares. Mais detalhes podem ser encontrados em

Pinheiro et al., (2010), onde se mostra também como podem ser obtidas

regras difusas a partir de conceitos da TCA.

A variável x constitui o atributo de condição do sistema de informação

associado, e a variável y define o atributo de decisão. A variável x constitui

o reduto intrínseco desse SI. Como os dados associados à variável x

possuem valores fracionários, é necessário aplicar um procedimento de

discretização nesses valores. Realizando o procedimento em três níveis,

têm-se: [0, 3,375]; [3,375, 6,875]; [6,875, 10]. Assim, as regras de decisão correspondentes são:

 

(6.13)

No Anexo 6.2(a) encontra-se a obtenção das regras de decisão desse

exemplo, através da ferramenta Rosetta, e no Anexo 6.2(b), o programa de simulação dele.

As regras de decisão obtidas são classificadas como inconsistentes ou

regras possíveis. Em Pinheiro et al. (2010) foi proposta a utilização da

equação (6.14) de interpolação linear para a estimação de valores de modelos denominados aproximados, que constituem uma classe de modelos

baseados em regras passíveis de aproximar funções genéricas ou modelar sistemas dinâmicos não lineares.

 

(6.14)

Para o exemplo da aproximação da função em questão, considerando N = 1

(uma única variável de condição) na equação (6.14), tem-se (6.15) que

constitui a expressão de interpolação de Lagrange.

(6.15)

 

O procedimento descrito em Pinheiro et al. (2010) consiste em utilizar os valores extremos das variáveis associadas a cada regra obtida, de modo que

podemos reescrever (6.13) na forma (6.16).

 

(6.16)

 

Utilizando (6.15), as regras (6.16) podem ser escritas na forma (6.17),

que representam o conhecimento inerente ao processo. A obtenção dos coeficientes da primeira regra é dada por y = 2 + (3,8419 – 2)*(x – 1 0)/(3,375 – 0) = 0,5457x + 2, e de forma similar para os coeficientes das 1

outras duas regras deste exemplo.

 

(6.17)

 

Para x = 2, tem-se y = 0,5457*2 + 2 = 3,0914. Para valores extremos da 1

variável de condição (x ), se mais de uma regra fornecer um valor estimado 1

y para a função, o dado resultante é fornecido pela média aritmética dos

valores inferidos pelas regras em questão. A Figura 6.2 ilustra a aproximação obtida para a função correspondente.

FIGURA 6.2 Resultado da modelagem aproximada associada a

(6.17).

 

Exemplo 6.5

Esta exemplificação refere-se ao sistema de suspensão mostrado no

Exemplo 2.4 (Capítulo 2), no qual foram empregadas regras fuzzy para

controlar o sistema, e que agora serão utilizadas regras de controle obtidas via conceitos relacionados com a TCA. Informações gerais dos

procedimentos envolvidos estão detalhadas em Pinheiro et al., 2012, onde também é mostrado como obter regras nebulosas via TCA. Os gráficos da

Figura 6.3 mostram informações do sistema de suspensão como velocidade absoluta (Absolute speed), velocidade relativa (Relative speed), informação de comando (Command input) e força de compensação (Compensation force), todas associadas com a estratégia de controle continuamente variável (2.22), citada anteriormente.

FIGURA 6.3 Informações relacionadas à Figura 2.18e às

equações (2.21) e (2.22).

 

As variáveis x1 = “velocidade absoluta” e x2 = “velocidade relativa”

constituem os atributos de condição do sistema de informação correspondente, e a variável y define o atributo de decisão relacionado à força de compensação ou a informação de comando associada ao processo de controle. As variáveis x e x constituem os redutos intrínsecos deste SI. 1 2

Utilizando o software Rosetta (de forma similar à exemplificada no Anexo

6.2), com cinco níveis de discretização no processamento dos dados do SI

em questão, obtêm-se as 25 regras de decisão (6.18) cujos valores dos

intervalos das variáveis de condição são: x (a) = -2,385; x (b) = -0,681; x (c) = 1 1 1

-0,184; x (d) = 0,383; x (e) = 0,9; x (f) = 2,731; x (a) = -0,3153; x (b) = -0,078; 1 1 1 2 2

x (c) = -0,008; x (d) = 0,04; x (e) = 0,1; x (f) = 0,368. Essas regras representam 2 2 2 2 o conhecimento associado à estratégia de controle considerada.

(6.18)

Utilizando a equação (6.14) de interpolação linear e considerando duas

variáveis de entrada (logo, N = 2), tem-se (6.19) para o valor da informação de atuação do processo de controle considerado.

 

(6.19)

 

A Figura 6.4 ilustra o resultado da simulação da aceleração

(Acceleration) do processo de suspensão controlado via estratégia de

controle clássica (Classical Control) definida por (2.22), e utilizando as

regras de controle (6.18) com a informação de comando fornecida com a

interpolação dada por (6.19), em uma forma resultante denominada controle

aproximado (Rough Control). Similarmente ao Exemplo 2.4, o resultado da estratégia definida pelas regras de comando foi melhor que com o controle clássico, pois essas regras mapearam adequadamente as variações possíveis no contexto do sistema de controle em questão.

 

FIGURA 6.4 Resposta do sistema de suspensão veicular via

estratégia com as regras (6.18).