2.4 Relações Fuzzy e Lógica Fuzzy

FIGURA 2.7 Ilustração gráfica da operação min entre os conjuntos A e B.

2.3.5 Medidas de possibilidade e necessidade

Objetivando comparações entre conjuntos nebulosos foram definidas as

medidas de possibilidade e necessidade expressas por (2.6) e (2.7) respectivamente, onde “sup” denota valor supremo e “inf” valor inferior.

(2.6)

(2.7)

2.4 Relações Fuzzy e Lógica Fuzzy Sejam X e Y universos de discurso de um conjunto de dados. A relação R em XxY é um conjunto do produto cartesiano R:XxY → {0, 1}. Exemplo: Para U = {1,2,3}, V = {1,2,3,4}, μ (u)/u = 1/1 + 0,7/2+ 0,3/3, μ (v)/v = 0,8/1 + 0,6/2 A B + 0,4/3 + 0,2/4, e considerando que seja adotado o produto algébrico como operador entre os conjuntos, então o produto cartesiano resultante AxB é dado por:

O resultado anterior pode ser representado por uma matriz de relação R

conforme indicado na forma tabular ilustrada a seguir.

2.4.1 Composição multirrelacional

Se R e S são relações fuzzy nos espaços cartesianos UxV e VxW, a composição

de R e S é uma relação dada por uma sup-t composição expressa por (2.8).

(2.8)

Considerando o exemplo de sentença ou regra (2.9), tem-se a composição

relacional (2.10).

(2.9)

(2.10)

Se x e y estão associados a conjuntos difusos A e B, pode-se escrever a

composição geral (2.11).

(2.11)

Os chamados sistemas fuzzy possuem representações baseadas em modelos

relacionais ou por intermédio de regras na forma de (2.12) e (2.13), que são

conhecidas como regras linguísticas ou de Mamdani (1976), e funcionais ou

de Takagi-Sugeno (1985). Onde α , β , φ , σ são conjuntos nebulosos e c c i i i i i,0i,1

c , c definem coeficientes numéricos da função do modelo fuzzy i,2 i,N

considerado.

(2.12)

(2.13)

Dada uma relação difusa R:U→V, a qual define uma relação entre u e v

para um dado valor u de u, a composição resultante produz um valor v em B o

Um procedimento denominado defuzificação fornece um valor não fuzzy resultante das inferências das regras. Os principais procedimentos de defuzificação constituem o método do máximo, da média dos máximos e do

centro de área, que são definidos por (2.14), (2.15) e (2.16), respectivamente.

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Para regras do tipo Mamdani, os valores v correspondem aos centroides n

das funções de pertinência utilizadas nos consequentes das regras, e para regras do tipo Takagi-Sugeno, estes valores correspondem aos valores y das i funções associadas.

2.4.2 Obtenção de Regras Fuzzy

A obtenção de regras fuzzy pode ser realizada de várias formas, conforme listado a seguir:

• informações de especialistas;

• análise qualitativa de dados;

• técnicas de regressão, método dos mínimos quadrados etc.; • métodos de otimização;

• técnicas de agrupamento;

• métodos de treinamento, aprendizado de máquina etc.; • associação com outras técnicas de IA;

• outras.

Similarmente aos sistemas especialistas, sistemas fuzzy podem ser obtidos

por meio de informações fornecidas por especialistas de uma determinada área. As regras difusas são construídas por meio de variáveis linguísticas cujas denominações dos conjuntos nebulosos recebem etiquetas ou rótulos relacionados às informações do problema ou processo a ser modelado.

Os procedimentos relacionados com técnicas de análise qualitativa de dados

possuem certa similaridade à abordagem por especialistas. As informações relativas aos dados de um problema ou processo são analisadas de forma mais qualitativa do que quantitativa, fornecendo deste modo as regras fuzzy para o