8. Reductio ad improvável

 

O PONTO FILOSÓFICO mais pegajoso no teste de significância vem logo no começo, antes de executarmos qualquer dos sofisticados algoritmos desenvolvidos por Fisher e aprimorados por seus sucessores. Está bem ali no começo do segundo passo:

“Suponha que a hipótese nula seja verdadeira.”

Mas o que tentamos provar, na maioria dos casos, é que a hipótese nula não é verdadeira. A droga funciona, Shakespeare alitera, a Torá prediz o futuro. Parece muito suspeito do ponto de vista lógico assumir exatamente o que tentamos refutar, como se estivéssemos correndo o perigo de recair num argumento circular.

A essa altura, pode ficar descansado. Assumir a verdade de algo que, secretamente, acreditamos ser falso é um método de argumentação consagrado ao longo dos séculos, que remonta aos tempos de Aristóteles. É a prova por contradição, ou reductio ad absurdum. A reductio é um tipo de judô matemático no qual primeiro afirmamos o que desejamos eventualmente negar, como um plano de levantá-lo sobre os ombros e derrotá-lo por sua

própria força. Se uma hipótese implica falsidade,a então a hipótese deve ser falsa. O plano é o seguinte:

 

• Suponha que a hipótese H seja verdadeira.

• Segue-se de H que um certo fato F não pode ocorrer.

• Mas F ocorre.

• Portanto, H é falsa.

 

Digamos que alguém declare que duzentas crianças foram mortas a tiros no distrito de Columbia em 2012. Essa é uma hipótese. Mas ela pode ser um tanto difícil de checar (lembro que digitei “número de crianças mortas por armas em DC em 2012” no Google e não encontrei a resposta de imediato). Por outro lado, se assumimos que a hipótese esteja correta, então não pode haver menos de duzentos homicídios em DC em 2012. Mas houve menos. Na verdade,

houve 88.1 Então, a hipótese da pessoa que fez a declaração deve estar errada. Aqui não há circularidade, nós “assumimos” a hipótese falsa numa espécie de caminho tentativo, exploratório, estabelecendo o mundo mental contrafatual no qual H é assim, e aí a observamos desabar sob a pressão da realidade.

 

Formulada dessa maneira, a reductio parece quase trivial, e num certo sentido é mesmo. Talvez seja mais correto dizer que ela é uma ferramenta mental à qual de tal modo nos acostumamos a manipular que esquecemos quão poderosa ela é. Na verdade, é uma simples reductio que leva à prova pitagórica da irracionalidade da raiz quadrada de 2; aquela que é tão desafiadora dos paradigmas que tiveram de matar seu autor; uma prova tão simples, refinada e compacta que se possa escrevê-la toda numa página.

Suponha:

 

H: a raiz quadrada de 2 é um número racional,

 

ou seja, é uma fração onde m e n são números inteiros. Podemos muito bem escrever essa fração em seus termos mais reduzidos, o que significa que, se houver um fator comum entre o numerador e o denominador, dividimos ambos por esse fator, deixando a fração inalterada. Não há motivo para escrever em vez da forma simplificada . Então, vamos

reformular a hipótese:

 

H: a raiz quadrada de 2 é igual a , onde m e n são números inteiros sem fator comum.

 

Na verdade, isso significa que podemos ter certeza de que m e n não são ambos pares, pois dizer que ambos são pares é exatamente o mesmo que dizer que ambos têm 2 como fator. Nesse caso, como no de , poderíamos dividir numerador e denominador por 2 sem alterar a

fração, o que equivale a dizer que ela afinal não estava nos termos mais reduzidos. Então

 

F: m e n são ambos pares

 

é falso.

Agora, como = , então quando elevamos ambos os membros ao quadrado vemos que 2

= , ou, de modo equivalente, 2n2 = m2. Logo m2 é um número par, o que significa que o próprio m é par. Um número é par quando pode ser escrito como o dobro de um número inteiro. Assim, podemos escrever, e escrevemos, m como 2k, para algum número inteiro k. O que significa que 2n2 = (2k)2 = 4k2. Dividindo ambos os membros por 2, descobrimos que n2 = 2k2.

Qual o sentido de toda essa álgebra? Simplesmente mostrar que n2 é o dobro de k2, e portanto que é um número par. Mas se n2 é par, então n também deve ser, exatamente como m. Mas isso significa que F é verdadeiro! Assumindo H, chegamos a uma falsidade, até a um absurdo: F é falso e verdadeiro ao mesmo tempo. Então H deve ter estado errada. A raiz quadrada de 2 não é um número racional. Assumindo que fosse, provamos que não era. Esse é um truque realmente esquisito, mas funciona.

Você pode pensar o teste de significância da hipótese nula como uma espécie de versão diluída da reductio:

 

• Suponha que a hipótese nula H seja verdadeira.

• Segue-se de H que um certo resultado R é muito improvável (digamos, menos que o

limiar de Fisher, de 0,05).

• Mas R foi realmente observado.

• Portanto, H é muito improvável.

 

Essa não é uma reductio ad absurdum, em outras palavras, mas uma reductio ad improvável.

 

Um exemplo clássico vem de John Michell, sacerdote e astrônomo do século XVIII, um dos

primeiros a levar a abordagem estatística para o estudo dos corpos celestes.2 O aglomerado de estrelas tênues numa das extremidades da constelação de Touro tem sido observado por praticamente todas as civilizações. Os Navajo as chamam Dilyehe, “A figura cintilante”; os Maori as chamam Matariki, “Os olhos de deus”. Para os romanos antigos, tratava-se de um punhado de uvas, em japonês são Subaru (aí você já sabe o porquê do logo de seis estrelas da fabricante de carros). Nós as chamamos Plêiades.

Todos esses séculos de observação e formação de mitos não conseguiram responder à pergunta científica fundamental em relação às Plêiades: esse aglomerado é realmente um aglomerado? Ou estarão as seis estrelas separadas por distâncias inimagináveis, mas arranjadas por acaso, quase exatamente na mesma direção relativa à Terra? Pontos de luz, dispostos ao acaso no nosso campo de visão, têm mais ou menos o seguinte aspecto:

 

Você vê amontoados, certo? Isso é de esperar. Haverá inevitavelmente alguns grupos de estrelas que se juntam quase uma em cima da outra, por simples casualidade. Como podemos ter certeza de que não é isso que está ocorrendo com as Plêiades? É o mesmo fenômeno que Gilovich, Vallone e Tversky ressaltaram: um armador perfeitamente consistente, que não costuma ter sequências quentes nem sofrer baixas súbitas, poderá, mesmo assim, às vezes acertar cinco arremessos seguidos.

Na verdade, se não houvesse grandes aglomerados visíveis de estrelas, como nesta figura,

isso por si só seria evidência do funcionamento de algum processo não aleatório. A segunda figura pode parecer “mais aleatória” a olho nu, mas não é. Ela atesta que aqui os pontos não

 

têm uma tendência intrínseca a se aglomerar.3

Assim, a mera presença de um aparente aglomerado não deveria nos convencer de que as estrelas em questão estejam realmente amontoadas no espaço. Por outro lado, poderia haver um grupo de estrelas no céu tão espremido que nos levasse a duvidar se isso teria acontecido por acaso. Michell mostrou que, se as estrelas visíveis estivessem dispostas aleatoriamente pelo espaço, a chance de seis delas se arranjarem de modo tão ordeiro a ponto de apresentar aos nossos olhos o aglomerado de Plêiades era de fato pequena – cerca de uma em 500 mil, pelos seus cálculos. Mas lá estão elas acima de nós, como um cacho apertado de uvas. Só um tolo, concluiu Michell, poderia acreditar que isso aconteceu por acaso.

Fisher escreveu sobre o trabalho de Michell em tom de aprovação, deixando explícita a analogia que via entre o argumento de Michell e a reductio clássica: “A força sobre a qual essa conclusão se apoia é logicamente aquela de uma simples disjunção: ou uma chance

excepcionalmente rara aconteceu ou a teoria da distribuição aleatória não é válida.”4

O argumento é convincente, e suas conclusões corretas: as Plêiades de fato não são uma coincidência ótica, mas um aglomerado real – de várias centenas de estrelas adolescentes, e não só das seis visíveis ao olho. O fato de vermos aglomerados de estrelas muito espremidos como as Plêiades, mais espremidos do que seria provável por acaso, é uma boa evidência de que as estrelas não estão dispostas aleatoriamente, e sim juntadas por algum fenômeno físico real lá fora, no espaço.

Mas aí vem a má notícia: a reductio ad improvável, ao contrário de sua ancestral aristotélica, em geral não é logicamente sólida. Ela nos leva a seus próprios absurdos. Joseph

Berkson,5 por muito tempo chefe da divisão de estatísticas médicas da Clínica Mayo, que cultivava (e alardeava sonoramente) um vigoroso ceticismo acerca de metodologias que ele julgava duvidosas, ofereceu um exemplo famoso demonstrando as armadilhas do método.

Suponha que você tenha um grupo de cinquenta sujeitos experimentais, com a hipótese (H) de que sejam seres humanos. Você observa (O) que um deles é albino. O albinismo é extremamente raro, afetando não mais que uma em 20 mil pessoas. Logo, dado que H esteja correta, a chance de encontrar um albino entre os seus cinquenta sujeitos é bastante pequena,

menos de 1 em 400,b ou 0,0025. Assim, o valor-p, a probabilidade de observar O, dada H, é muito inferior a 0,05.

Somos inexoravelmente levados a concluir, com alto grau de confiança estatística, que H é incorreta: os sujeitos na amostra não são seres humanos.

É tentador pensar em “muito improvável” como significando “essencialmente impossível”, e, a partir daí, proferir a palavra “essencialmente” cada vez mais baixo com a nossa voz

mental, até pararmos de prestar atenção nela.c Mas impossível e improvável não são a mesma coisa – nem são coisas próximas. Coisas impossíveis jamais acontecem. Coisas improváveis acontecem um bocado. Isso significa que estamos numa posição lógica muito insegura quando tentamos fazer inferências a partir de uma observação improvável, como a reductio ad improvável nos pede. Aquela vez em que o conjunto 4, 21, 23, 34, 39 da loteria da Carolina do Norte saiu duas vezes na mesma semana suscitou um monte de perguntas. Havia algo de errado no jogo? Mas cada combinação de números tem exatamente a mesma probabilidade de sair que qualquer outra.

Os números 4, 21, 23, 34, 39, saindo como resultado na terça-feira, e os números 16, 17, 18, 22, 39, saindo como resultado na quinta, representam algo tão improvável de acontecer quanto o que realmente ocorreu – há apenas uma chance em 300 bilhões, ou algo assim, de saírem esses números nos sorteios dos dois dias. Na verdade, qualquer resultado particular de sorteios de loteria tem uma chance em 300 bilhões. Se você tende a adotar o ponto de vista de que um resultado altamente improvável leva-o a questionar a honestidade do jogo, você deve ser aquela pessoa que manda um e-mail zangado para o encarregado da loteria toda quinta-feira, não importa quais bolas numeradas saiam da gaiola.

Não seja essa pessoa.

 

Aglomerados de primos e a estrutura da desestrutura

 

O insight crítico de Michell, de que aglomerados de estrelas poderiam aparecer aos nossos olhos mesmo que elas estivessem distribuídas aleatoriamente pelo nosso campo de visão, não se aplica somente à esfera celeste. Esse fenômeno foi o ponto de partida do episódio-piloto do

drama matemático-policial Numb3rs.d Uma série de ataques sinistros, marcados por pinos no mapa de parede do quartel-general, não mostrava aglomerados. Logo, estava em ação um único assassino em série muito astuto, que deixava intencionalmente um espaço entre as vítimas, e não um surto de assassinos psicóticos sem conexão entre si. Isso era um tanto forçado como história policial, porém, matematicamente, estava correto.

O surgimento de aglomerados em dados aleatórios proporciona compreensão mesmo em situações em que não há nenhuma aleatoriedade real, como o comportamento dos números

primos. Em 2013, Yitang “Tom” Zhang,6 popular professor de matemática na Universidade de New Hampshire (UNH), estarreceu o mundo da matemática pura ao anunciar que havia provado a conjectura dos “intervalos limitados” acerca da distribuição dos números primos. Zhang havia sido aluno brilhante da Universidade de Beijing, mas nunca progrediu depois de se mudar para obter o doutorado nos Estados Unidos, na década de 1980. Não havia publicado um só artigo acadêmico desde 2001. A certa altura, abandonou inteiramente a matemática acadêmica para vender sanduíches na Subway, até que um ex-colega de Beijing o localizou e o ajudou a obter um emprego de professor convidado na UNH. Pela aparência exterior, ele estava acabado. Assim, foi uma grande surpresa quando publicou um artigo provando um teorema que alguns dos maiores nomes da teoria dos números haviam tentado conquistar em vão.

Mas o fato de a conjectura ser verdadeira não era nenhuma surpresa. Matemáticos têm reputação de se recusarem terminantemente a aceitar baboseiras e papo-furado; de não acreditar em nada enquanto não estiver provado e sacramentado. Isso não é bem verdade. Todos nós acreditávamos na conjectura dos intervalos limitados antes da grande revelação de Zhang, e todos acreditamos na conjectura, parente próxima da conjectura dos primos gêmeos, mesmo que ela não fosse provada. Por quê?

Comecemos com aquilo que as duas conjecturas dizem. Os números primos são aqueles maiores que 1 e que não são múltiplos de nenhum número menor que eles próprios e maior que 1; então, 7 é primo, mas 9 não é, porque é divisível por 3. Os primeiros primos da lista são 2, 3, 5, 7, 11 e 13.

Todo número positivo pode ser expresso de uma única maneira como produto de números primos. Por exemplo, 60 é composto de dois 2, um 3 e um 5, porque 60 = 2 × 2 × 3 × 5. (É por isso que não consideramos 1 um número primo, embora alguns matemáticos o tenham feito no passado; ele quebra a exclusividade da composição, porque, se 1 for contado como primo, 60 poderia ser escrito 2 × 2 × 3 × 5 e 1 × 2 × 2 × 3 × 5 e 1 × 1 × 2 × 2 × 3 × 5 …) E os números primos em si? Tudo bem com eles. Um número primo, como o 13, é o produto de um único número primo, o próprio 13. E o 1? Nós o excluímos da nossa lista de primos, então, como ele pode ser um produto de primos, cada qual maior que 1? Simples: 1 é o produto de nenhum primo.

Nesse ponto, às vezes me perguntam: “Por que o produto de nenhum primo é 1, e não zero?” Aqui está uma explicação ligeiramente arrevesada: se você pegar o produto de algum conjunto de primos, como 2 e 3, mas dividi-lo pelos mesmos primos pelos quais multiplicou, você deveria acabar com o produto de nada; e 6 dividido por 6 é 1, e não zero. (A soma de nenhum número, por outro lado, é de fato zero.)

Os primos são os átomos da teoria dos números, as entidades básicas e indivisíveis das quais todos os números são feitos. Como tal, têm sido objeto de intenso estudo desde que teve início a teoria dos números. Um dos primeiros teoremas provados em teoria dos números é o de Euclides, que nos diz que os primos são infinitos em número, jamais se esgotarão, não importa a que distância na reta numérica permitimos nossa mente avançar.

Mas os matemáticos são tipos gananciosos, não inclinados a se satisfazer com uma mera afirmação da infinitude. Afinal, há infinitos e infinitos. Há infinitas potências de 2, mas elas são muito raras. Entre os primeiros mil números, há apenas dez:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 e 512.

 

Também há infinitos números pares, mas são muito mais comuns: exatamente quinhentos nos primeiros mil números. Na verdade, é bastante visível que nos primeiros N números, exatamente (½)N sejam pares.

Primos, por sua vez, são um meio-termo – mais comuns que as potências de 2, porém mais raros que os números pares. Entre os primeiros N números, cerca de N são primos; este é

o teorema dos números primos, provado no fim do século XIX pelos teóricos dos números Jacques Hadamard e Charles-Jean de la Vallée Poussin.

 

Uma nota sobre o logaritmo e o flogaritmo

 

O fato de que dificilmente alguém saiba o que é o logaritmo tem me chamado a atenção. Gostaria de contribuir para corrigir isso. O logaritmo de um número positivo N, chamado ln N, é o número de dígitos que ele tem.

Espere aí? Só isso?

Não. Não é realmente isso. Podemos chamar o número de dígitos de “falso logaritmo” ou flogaritmo. Ele é suficientemente próximo da coisa de verdade para dar a ideia geral do que o logaritmo significa num contexto como este. O flogaritmo (portanto, também o logaritmo) é uma função que cresce muito devagar. O flogaritmo de 1.000 é 4, o flogaritmo de 1 milhão, mil

vezes maior, é 7, e o flogaritmo de 1 bilhão é somente 10.e

 

Agora voltemos aos aglomerados de primos

 

O teorema dos números primos diz que, entre os primeiros N inteiros, uma proporção de cerca de N deles é prima. Em particular, os números primos vão ficando cada vez menos comuns

à medida que os números crescem, embora a diminuição seja muito lenta. Um número ao acaso com vinte dígitos tem a metade da probabilidade de ser primo que um número ao acaso de dez dígitos.

Naturalmente, imagina-se que quanto mais comum for um certo tipo de número, menor os intervalos entre os casos desse tipo de número. Se você está olhando um número par, nunca precisa viajar mais que dois números para diante a fim de encontrar o par seguinte. Na verdade, os intervalos entre os números pares são sempre exatamente de tamanho 2. Para as potências de 2, a história é diferente. Os intervalos entre duas potências sucessivas de 2 crescem exponencialmente, ficando cada vez maiores, sem recuos, à medida que você percorre a sequência. Uma vez tendo passado pelo 16, por exemplo, nunca mais você verá duas potências de 2 separadas por um intervalo de 15 ou menos.

Esses dois casos são fáceis, mas a questão dos intervalos entre primos consecutivos é mais difícil. É tão difícil que, mesmo depois da sacada de Zhang, ele continua um mistério sob muitos aspectos.

Contudo, nós achamos que sabemos o que esperar, graças a um ponto de vista extraordinariamente fecundo: pensamos nos primos como números aleatórios. O motivo de essa fecundidade ser tão extraordinária é que o ponto de vista é muito, muito falso. Primos não são aleatórios! Nada em relação a eles é arbitrário ou sujeito ao acaso, exatamente o contrário. Nós os tomamos como características imutáveis do Universo e os entalhamos nos discos de ouro que enviamos para o espaço interestelar a fim de provar aos ETs que não somos bobos.

Os primos não são aleatórios, mas, sob muitos aspectos, agem como se fossem. Por exemplo, quando você divide um número inteiro aleatório por 3, o resto é 0, 1 ou 2, e cada caso aparece com igual frequência. Quando você divide um número primo grande por 3, o quociente não pode ser exato, senão o chamado número primo seria divisível por 3, o que significaria que ele não era absolutamente primo. Mas um velho teorema de Dirichlet diz que o resto 1 aparece com a mesma frequência, aproximadamente, que o resto 2, tal como acontece no caso dos números aleatórios. No que se refere ao “resto quando se divide por 3”, os números primos, à parte de não serem múltiplos de 3, parecem aleatórios.

E quanto aos intervalos entre primos consecutivos? Você poderia pensar que, pelo fato de os números primos ficarem cada vez mais raros à medida que os números crescem, eles também vão se afastando mais e mais. Em média, é isso que acontece. Mas Zhang provou que há infinitos pares de primos que diferem no máximo em 70 milhões. Em outras palavras, o intervalo entre um primo e o seguinte está limitado a 70 milhões em infinitos casos – daí a conjectura dos “intervalos limitados”.

Por que 70 milhões? Só porque foi isso que Zhang conseguiu provar. Na verdade, a publicação de seu artigo deflagrou uma explosão de atividade, com matemáticos do mundo todo trabalhando juntos num “Polymath” – uma “Polimatemática” –, uma espécie de comunidade matemática on-line, para reduzir ainda mais o intervalo usando variações do método de Zhang. Até julho de 2013, o coletivo havia demonstrado que há infinitos intervalos de tamanho máximo de 5.414. Em novembro, James Maynard, então recém-doutor em Montreal, fez o limite despencar para 600, e a Polymath agitou-se toda para combinar suas conclusões com as demais. Quando você estiver lendo isso, o limite sem dúvida terá se reduzido ainda mais.

À primeira vista, os intervalos limitados poderiam parecer um fenômeno miraculoso. Se os primos tendem a se afastar cada vez mais, o que está fazendo com que haja tantos pares tão próximos? Será algum tipo de gravidade dos primos?

Não é nada desse tipo. Se você pega números aleatoriamente, é muito provável que alguns pares, por puro acaso, estejam muito próximos, assim como pontos gotejados de forma aleatória num plano formam aglomerados visíveis.

Não é difícil calcular que, se os números primos se comportassem como números aleatórios, você veria precisamente o comportamento que Zhang demonstrou. E ainda mais: esperaria ver infinitos pares de primos separados por apenas 2, como 3-5 e 11-13. São os chamados primos gêmeos, cuja infinitude permanece conjectural.

(Segue-se uma breve computação matemática. Se você não está a fim disso, desvie os olhos e retome o texto onde ele diz “E uma porção de primos gêmeos…”)

Lembre-se: entre os primeiros N números, o teorema dos números primos nos diz que cerca de N são primos. Se estes fossem distribuídos ao acaso, cada número n teria uma chance de N de ser primo. A chance de que n e n + 2 sejam ambos primos é portanto cerca de ( N) × ( N) = ( N)2. Então, quantos pares de primos separados por 2 deveríamos esperar encontrar? Há aproximadamente N pares (n, n + 2) na faixa de interesse, e cada um tem uma chance de ( N)2 de ser um primo gêmeo, então, deve-se esperar encontrar cerca de primos gêmeos no intervalo.

Há alguns desvios em relação à aleatoriedade pura cujos pequenos efeitos os teóricos dos números sabem como tratar. O ponto principal é que o fato de n ser primo e n + 2 ser primo não são eventos independentes. O n primo, de algum modo, torna mais provável que n + 2 seja primo, o que significa que nosso uso do produto ( N) × ( N) não está muito correto. (Uma coisa: se n é primo e maior que 2, então ele é ímpar, o que significa que n + 2 também é ímpar, o que aumenta a probabilidade de n + 2 ser primo.) G.H. Hardy, o das “perplexidades desnecessárias”, com seu colaborador permanente, J.E. Littlewood, calcularam uma predição mais refinada levando em conta essas dependências, e prevendo que a quantidade de primos gêmeos deveria ser aproximadamente 32% maior que . Essa melhor aproximação

fornece uma previsão de que a quantidade de primos menores que 1 quatrilhão deve ser de cerca de 1,1 trilhão, valor bastante bom quando comparado com a cifra real de 1.177.209.242.304. Isso é uma porção de primos gêmeos.

Uma porção de primos gêmeos é exatamente o que os teóricos dos números esperam encontrar, não importa quanto os números cresçam – não porque pensamos que haja alguma estrutura profunda, milagrosa, oculta nos primos, mas precisamente porque não pensamos assim. Esperamos que os primos estejam distribuídos por aí ao acaso como poeira. Se a conjectura dos primos gêmeos fosse falsa, isso seria um milagre, exigindo que alguma força até então desconhecida separasse os primos.

Não quero me alongar demais, mas um monte de conjecturas famosas na teoria dos números funciona dessa maneira. A conjectura de Goldbach, de que todo número par maior que 2 é a soma de dois primos, é outra que teria de ser verdadeira se os primos se comportassem como números aleatórios. O mesmo ocorre com a conjectura de que os primos contêm progressões aritméticas de qualquer extensão que se queira, cuja resolução, obtida por Ben Green e Terry Tao em 2004, ajudou Tao a ganhar a Medalha Fields.

A mais famosa de todas é a conjectura feita por Pierre de Fermat em 1637, que afirmava que a equação

 

An + Bn = Cn

 

não tem soluções com A, B, C e n números inteiros positivos, com n maior que 2. (Quando n é igual a 2, há uma porção de soluções, como 32 + 42 = 52.)

Todo mundo acreditava firmemente que a conjectura de Fermat era verdadeira, assim como

acreditamos agora na conjectura dos primos gêmeos, mas ninguém sabia como prová-laf até a descoberta de Andrew Wiles, matemático de Princeton nos anos 1990. Nós acreditávamos nela porque enésimas potências perfeitas são muito raras, e a chance de encontrar dois números cuja soma resultasse num terceiro conjunto aleatório de tão extrema escassez é quase nula. E ainda mais: a maioria das pessoas acreditava que não há soluções para a equação de Fermat generalizada

 

Ap + Bq = Cr quando os expoentes p, q e r são grandes o suficiente. Um banqueiro em Dallas chamado Andrew Beal lhe dará US$ 1 milhão se você conseguir provar que essa equação não tem soluções para as quais p, q e r sejam maiores que 3, e A, B e C não tenham fator primo

comum.g Acredito plenamente que o enunciado seja verdadeiro, porque seria verdadeiro se potências perfeitas fossem aleatórias. Mas acho que teremos de compreender algo realmente novo sobre os números antes de abrir caminho para uma prova. Passei alguns anos, com um punhado de colaboradores, provando que a equação generalizada de Fermat não tem solução com p = 4, q = 2 e r maior que 4. Só para este caso, tivemos de desenvolver algumas técnicas novas, e é claro que elas não serão suficientes para cobrir totalmente o problema do US$ 1 milhão.

Apesar da aparente simplicidade da conjectura dos intervalos limitados, a prova de Zhang

exige alguns dos mais profundos teoremas da matemática moderna.h Elaborando a partir do trabalho de muitos predecessores, Zhang é capaz de provar que os números primos parecem aleatórios sob o primeiro aspecto que mencionamos, que diz respeito aos restos obtidos após

divisão por muitos inteiros diferentes. A partir daíi ele consegue mostrar que os números primos parecem aleatórios num sentido totalmente diferente, que tem a ver com os tamanhos dos intervalos entre eles. Aleatório é aleatório!

O sucesso de Zhang, e o trabalho correlato de outros medalhões contemporâneos, como Ben Green e Terry Tao, aponta para uma perspectiva ainda mais empolgante que qualquer resultado individual relativo aos primos: de que poderíamos, enfim, estar a ponto de desenvolver uma teoria mais rica da aleatoriedade. Digamos, um meio de especificar precisamente o que queremos dizer quando falamos que os números agem como se fossem aleatoriamente distribuídos sem nenhuma estrutura governante, apesar de surgirem a partir de processos completamente deterministas. Que paradoxo maravilhoso: o que nos ajuda a romper os mistérios finais sobre os números primos podem ser ideias matemáticas novas que estruturem o conceito da própria falta de estrutura.

 

a Algumas pessoas irão insistir na distinção de que o argumento só é uma reductio se a consequência da hipótese for autocontraditória, ao passo que, se a consequência é meramente falsa, o argumento é um modus tollens.

b Como boa regra prática, você pode calcular que cada sujeito contribui com de chance de encontrar um albino na

amostra, produzindo Esse cálculo não é exatamente correto, mas em geral é próximo o bastante em casos

como esse, em que o resultado é muito próximo de zero.

c De fato, é um princípio geral de retórica que, quando alguém diz “X é essencialmente Y”, na maior parte das vezes ele quer dizer “X não é Y, mas, para mim, seria mais simples se X fosse Y, então seria ótimo se você pudesse simplesmente ir em frente e fingir que X é Y, tudo bem?”.

d Revelação: eu costumava ler os roteiros de Numb3rs antecipadamente para checar a correção matemática e fazer comentários. Só uma linha que sugeri chegou a ir ao ar: “Tentar encontrar uma projeção de um triespaço afim sobre a esfera sujeita a algumas restrições abertas.”

e x Aqui embaixo, no pé da página, posso revelar em segurança a definição real de 1n N; ele é o número x tal que e = N. Aqui e é o número de Euler, cujo valor é aproximadamente 2,71828… Eu digo “e”, e não “10”, porque o logaritmo a que nos referimos é o logaritmo natural, não o logaritmo comum decimal ou de base 10. O logaritmo natural é aquele que sempre será usado se você for matemático ou se tiver e dedos.

f Fermat escreveu uma nota num livro alegando que tinha uma prova, mas que ela era longa demais para caber na margem. Atualmente ninguém acredita nisso.

g Essa condição pode parecer meio que tirada do ar, mas acontece que existe um jeito fácil de gerar montes de soluções “desinteressantes” se você permitir fatores comuns entre A, B e C.

h Sobretudo os resultados de Pierre Deligne, relacionando médias de funções da teoria dos números com geometria de espaços de dimensões elevadas.

i Seguindo o caminho aberto por Goldston, Pintz e Yıldırım, os últimos a fazer algum progresso quanto aos intervalos de primos.