4. Quanto é isso em termos de americanos mortos?

 

QUAL A GRAVIDADE do conflito no Oriente Médio? O especialista em contraterrorismo Daniel Byman, da Universidade de Georgetown, apresenta os números árduos, frios, na revista Foreign Affairs: “Os relatórios militares israelenses reportam que, do começo da segunda intifada (2000) até o fim de outubro de 2005, os palestinos mataram 1.074 e feriram 7.520 israelenses – números impressionantes para um país tão pequeno, o equivalente proporcional

a mais de 50 mil mortos e 300 mil feridos para os Estados Unidos.”1 Esse tipo de cálculo tem se tornado lugar-comum em debates sobre a região. Em dezembro de 2001, a Câmara dos Representantes dos Estados Unidos declarou que as 26 pessoas assassinadas por uma série de

ataques em Israel eram “equivalentes, em base proporcional, a 1.200 mortes americanas”.2 E

Newt Gingrich,3 em 2006: “Lembrem-se de que quando Israel perde oito pessoas, por causa

da diferença em população, isso equivale a perder quase quinhentos americanos.”4 Para não ficar atrás, Ahmed Moor escreveu no Los Angeles Times: “Quando Israel matou 1.400 palestinos em Gaza – proporcionalmente equivalentes a 300 mil americanos –, na Operação

Chumbo Fundido, o recém-eleito presidente Obama permaneceu calado.”5

A retórica da proporção não é privilégio da Terra Santa. Em 1988, Gerald Caplan escreveu no Toronto Star: “Cerca de 45 mil nicaraguenses, em ambos os lados do conflito, foram mortos, feridos ou sequestrados nos últimos oito anos; em perspectiva, isso é equivalente a

300 mil canadenses ou 3 milhões de americanos.”6 Robert McNamara, o secretário de Defesa na época da Guerra do Vietnã, disse em 1997 que os cerca de 4 milhões de mortes vietnamitas

durante a guerra eram “equivalentes a 27 milhões de americanos”.7 Em qualquer momento em que muita gente de um país pequeno tenha um fim trágico, os editorialistas pegam suas réguas de cálculo e começam a computar quanto é isso em termos de americanos mortos?

Eis como esses números são gerados. Os 1.074 israelenses mortos por terroristas correspondem a cerca de 0,015% da população israelense (que entre 2000 e 2005 era de cerca de 6 a 7 milhões). Então os estudiosos estimam que a morte de 0,015% da população muito maior dos Estados Unidos, que chega a cerca de 50 mil, teria aproximadamente o mesmo impacto aqui.

Isso é lineocentrismo em sua forma mais pura. Segundo o argumento da proporção, você pode achar o equivalente a 1.074 israelenses em qualquer lugar do globo com o gráfico a seguir:

As 1.074 vítimas israelenses equivalem a 7.700 espanhóis ou 223 mil chineses, mas somente a trezentos eslovenos, um ou dois tuvaluanos.

Finalmente (ou talvez imediatamente?) o raciocínio começa a ruir. Quando há dois homens num fim de noite num bar, e um deles derruba o outro com um soco, isso não equivale, em termos contextualizados, a 150 milhões de americanos levarem simultaneamente um soco na cara.

Quando 11% da população de Ruanda foi aniquilada, em 1994, todos concordam que esse estava entre os piores crimes do século. Mas não descrevemos a carnificina lá dizendo: “No contexto da Europa de 1940, foi nove vezes pior que o Holocausto.” Fazer isso provocaria, justificadamente, forte clamor de indignação.

Uma regra importante de higiene matemática: quando você está testando em campo um método matemático, tente computar a mesma coisa de várias maneiras diferentes. Se você obtiver respostas diferentes, há algo de errado em seu método.

Por exemplo, os atentados a bomba de 2004, na estação ferroviária de Atocha, em Madri, mataram quase duzentas pessoas. Qual seria o atentado equivalente na Grand Central Station, em Nova York?

Os Estados Unidos têm quase sete vezes a população da Espanha. Então, se você pensar em duzentas pessoas como 0,0004% da população espanhola, descobrirá que um ataque equivalente teria matado 1.300 pessoas nos Estados Unidos. Por outro lado, duzentas pessoas é 0,006% da população de Madri; fazendo a escala correspondente para Nova York, que é duas vezes e meia maior, você obtém 463 vítimas. Ou deveríamos comparar a província de Madri com o estado de Nova York? Isso lhe dá algo mais perto de seiscentos. Essa multiplicidade de conclusões deve servir de alerta. Há algo de suspeito no método das proporções.

Não se pode, claro, rejeitar totalmente as proporções. Elas têm sua importância! Se você quer saber que partes dos Estados Unidos têm o maior problema de câncer no cérebro, não faz muito sentido olhar os estados com a maioria de mortes de câncer cerebral, que são Califórnia, Texas, Nova York e Flórida, com a maioria dos casos de câncer no cérebro porque

são os mais populosos.8 Steven Pinker apresenta questão semelhante em seu mais recente best-seller, Os anjos bons da nossa natureza, argumentando que o mundo tem ficado regularmente menos violento ao longo da história da humanidade. O século XX tem má reputação pelos vastos números de pessoas presas nas engrenagens da política de poder. Mas nazistas, soviéticos, o Partido Comunista da China e os senhores coloniais não foram realmente carniceiros efetivos em base proporcional, argumenta Pinker. É que simplesmente há tanta gente para matar hoje! Atualmente não derramamos muitas lágrimas por matanças antigas como a Guerra dos Trinta Anos. Mas esse conflito teve lugar num mundo menor, e, pela estimativa de Pinker, matou uma em cada cem pessoas sobre a Terra. Fazer isso agora significaria aniquilar 70 milhões de pessoas, mas que a quantidade de pessoas mortas nas duas guerras mundiais juntas.

Então, é melhor estudar os índices de mortes em proporção à população total. Por exemplo, em vez de contar “números brutos” de mortes por câncer cerebral segundo o estado, podemos computar a proporção da população de cada estado que morre anualmente de câncer no cérebro. Isso compõe um quadro muito diferente. Dakota do Sul ganha o indesejável primeiro prêmio, com 5,7 mortes de câncer cerebral por ano por 100 mil habitantes, bem acima do índice nacional de 3,4. Dakota do Sul é seguido na lista por Nebraska, Alasca e Maine. Parece que estes são os lugares a serem evitados se você não quer ter um câncer no cérebro. Então, para onde você deve se mudar? Percorrendo a lista até embaixo, encontramos Wyoming, Vermont, Dakota do Norte, Havaí e o distrito de Columbia.

Agora, isso é estranho. Por que em Dakota do Sul o câncer no cérebro é tão fundamental e Dakota do Norte está quase livre da doença? Por que você haveria de estar seguro em Vermont, mas correndo risco no Maine?

Resposta: Dakota do Sul não está necessariamente causando câncer no cérebro, e Dakota do Norte não está necessariamente prevenindo a doença. Os cinco estados no topo da lista têm algo em comum, e os cinco estados na base da lista também têm. E é a mesma coisa: há muito pouca gente morando lá. Dos nove estados (e um distrito) que se situam no alto e no topo da lista, o maior é Nebraska, que atualmente está empatado com Virgínia Ocidental numa luta renhida para ser o 37º estado mais populoso. Morar num estado pequeno, aparentemente,

resulta em probabilidade muito maior e muito menor de ter câncer no cérebro.9

Como isso não faz sentido, é melhor buscarmos outra explicação.

Para ver o que está acontecendo, vamos jogar um jogo imaginário. O jogo chama-se quem é o melhor em cara ou coroa. É bem simples. A gente lança um punhado de moedas e quem tirar mais caras ganha. Para deixar um pouco mais interessante, porém, nem todo mundo tem a mesma quantidade de moedas. Alguns – Time Pequeno – têm apenas dez moedas, enquanto os membros do Time Grande recebem cem moedas.

Se formos fazer a contagem pelo número absoluto de moedas, uma coisa é praticamente certa: o vencedor do jogo virá do Time Grande. O jogador Grande típico vai tirar cerca de cinquenta caras, número que ninguém dos Pequenos tem possibilidade de alcançar. Mesmo que o Time Pequeno tivesse cem membros, a contagem mais alta entre eles provavelmente será em

torno de oito ou nove.a

Isso não parece justo! De saída, o Time Grande tem uma vantagem maciça! Então, aí vai uma ideia melhor. Em vez de fazer a contagem pelo “número bruto”, vamos contar por proporções. Isso deverá pôr os dois times em situação mais justa.

Mas não põe. Como eu disse, se houver uma centena de Pequenos, pelo menos um deles tem probabilidade de tirar oito caras. Então a contagem dessa pessoa será no mínimo 80%. E os Grandes? Nenhum dos Grandes conseguirá obter 80% de caras. Isso é fisicamente possível, claro. Mas não vai acontecer. Na verdade, você precisaria de mais ou menos 2 bilhões de jogadores no time Grande para ter uma chance razoável de ver um resultado tão distorcido. Isso deve se encaixar em sua intuição acerca de probabilidade. Quanto mais moedas você lança, maior sua probabilidade de estar perto de 50-50.

Você pode tentar sozinho! Eu tentei, e eis o que aconteceu. Lançando repetidamente dez moedas de cada vez para simular os jogadores Pequenos, tirei uma sequência de caras com o seguinte aspecto:

 

4, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 3, 5, 7, 4, 5, 7, 7, 9 …

 

Com cem moedas, como os Grandes, tirei:

 

46, 54, 48, 45, 45, 52, 49, 47, 58, 40, 57, 46, 46, 51, 52, 51, 50, 60, 43, 45 …

 

E com mil:

 

486, 501, 489, 472, 537, 474, 508, 510, 478, 508, 493, 511, 489, 510, 530, 490, 503, 462, 500, 594 …

 

Tudo bem, para ser honesto, não lancei mil moedas. Pedi a meu computador que simulasse cara ou coroa. Quem tem tempo de lançar mil moedas?

Um sujeito que fez isso foi J.E. Kerrich, matemático da África do Sul que arriscou uma desaconselhável visita à Europa em 1939. Seu semestre no exterior logo se transformou numa detenção não programada em um campo de internamento na Dinamarca. Numa situação em que um prisioneiro com menos mentalidade estatística teria passado o tempo riscando os dias na

parede de uma cela, Kerrich lançou a moeda 10 mil vezes ao todo,10 mantendo o registro do número de caras, enquanto prosseguia. Seus resultados tinham o seguinte aspecto:

 

Como você pode ver, a fração de caras converge inexoravelmente para 50% à medida que se lançam mais e mais moedas, como que espremida por uma máscara invisível. Você pode ver o mesmo efeito nas simulações. As proporções de caras no primeiro grupo de lançamentos, os Pequenos, variam de 30% a 90%. Com cem lançamentos de cada vez, o intervalo se estreita: apenas de 40% a 60%. E com mil lançamentos, o intervalo das proporções é de apenas 46,2% a 53,7%. Algo está empurrando esses números para chegar cada vez mais perto de 50%. Esse algo é a fria e forte mão da lei dos grandes números. Não vou enunciar esse teorema com precisão (embora ele seja impressionantemente simpático!), mas você pode pensar nele assim: quanto mais moedas você lançar, cada vez se torna mais extravagantemente improvável que você tire 80% de caras. Na verdade, se você lançar moedas suficientes, até a chance de obter 51% se torna mínima! Observar um resultado altamente desequilibrado em dez lançamentos não tem nada de extraordinário; obter o mesmo desequilíbrio proporcional em cem lançamentos seria tão surpreendente a ponto de você se perguntar se alguém não teria aprontado alguma trapaça com as moedas.

A compreensão de que os resultados de um experimento tendem a se assentar numa média fixa quando o experimento é repetido mais e mais vezes não é nova. Na verdade, é quase tão velha quanto o estudo matemático da própria probabilidade; uma elaboração informal desse princípio foi enunciada no século XVI por Girolamo Cardano; no entanto, foi apenas na década de 1800 que Siméon-Denis Poisson surgiu com o vigoroso nome la loi des grands nombres para descrevê-la.

 

O chapéu do gendarme

 

No começo do século XVIII, Jakob Bernoulli havia elaborado um enunciado preciso e uma prova matemática da lei dos grandes números. Agora não se tratava mais de uma observação, mas de um teorema.

O teorema nos diz que o jogo Grande-Pequeno não é limpo. A lei dos grandes números sempre forçará a contagem dos jogadores Grandes para 50%, enquanto a contagem dos Pequenos tem uma variação muito mais ampla. No entanto, seria loucura concluir que o Time Pequeno é “melhor” em tirar caras, mesmo que ele ganhe qualquer jogo. Se você fizer a média de caras tiradas por todos os jogadores Pequenos, e não só daquele com contagem maior, provavelmente ela estará em torno dos mesmos 50% que os Grandes. E se buscarmos o jogador com menos caras, e não aquele com mais, o Time Pequeno de repente parece ruim. É muito provável que um dos seus jogadores tenha apenas 20% de caras. Nenhum dos Grandes jamais terá resultado tão ruim. Fazer a contagem pelo “número bruto” de caras dá ao Time Grande uma insuperável vantagem. Mas usar a porcentagem deturpa o jogo de forma igualmente ruim em favor dos Pequenos. Quanto menor o número de moedas – o que chamaríamos em estatística de tamanho da amostra –, maior a variação na proporção de caras.

Esse é exatamente o mesmo efeito que torna as pesquisas políticas de opinião menos confiáveis quando se incluem menos eleitores. O mesmo vale também para o câncer no cérebro. Estados pequenos têm tamanhos de amostras pequenos – são meros bambus açoitados de um lado para outro pelos ventos da probabilidade, enquanto os estados grandes são enormes carvalhos antigos que mal se dobram. A medição do número absoluto de mortes por câncer cerebral é distorcida para os estados grandes; mas medir os índices mais altos – ou os mais baixos! – põe os estados pequenos na liderança. É assim que Dakota do Sul pode ter um dos índices mais altos de morte por câncer cerebral, enquanto Dakota do Norte tem um dos menores. O motivo não é porque o monte Rushmore ou a loja Wall Drug sejam tóxicos para o cérebro, mas porque populações menores têm, de forma inerente, variação maior.

Esse é um fato matemático que você já sabe, embora não saiba que sabe. Quem é o melhor arremessador da NBA? Em um mês da temporada 2011-12, cinco jogadores estavam empatados com maior porcentagem de arremessos da liga: Armon Johnson, DeAndre Liggins, Ryan Reid, Hasheem Thabeet e Ronny Turiaf.

Quem?

Aí está a questão. Esses não foram os cinco melhores arremessadores da NBA. Foram pessoas que mal chegaram a jogar. Armon Johnson, por exemplo, apareceu em um jogo dos Portland Trail Blazers. Fez um arremesso. A bola entrou. Os cinco caras daquela lista fizeram ao todo treze arremessos e acertaram todos. Amostras pequenas têm maior variação, então, o arremessador líder da NBA será sempre alguém que fez apenas um punhado de arremessos e teve sorte toda vez. Você jamais diria que Armon Johnson foi melhor arremessador que o jogador com melhor ranking da lista e que jogou quase o tempo todo, Tyson Chandler, dos

Knicks, que converteu 141 de 202 arremessos no mesmo período.b (Qualquer dúvida quanto a este ponto pode ser resolvida olhando a temporada 2010-11 de Johnson, quando ele converteu inabaláveis 45,5% dos arremessos de quadra.) É por isso que o quadro-padrão de liderança não mostra sujeitos como Armon Johnson. Em vez disso, a NBA restringe os rankings a jogadores que atingiram certo tempo mínimo de jogo; de outro modo, qualquer joão-ninguém que atue em tempo parcial e com pequenos tamanhos de amostra dominaria a lista.

Mas nem todo sistema de ranqueamento tem a habilidade quantitativa de fazer concessões à lei dos grandes números. O estado da Carolina do Norte, como muitos outros nessa era de prestação de contas educacional, instituiu programas de incentivo para escolas que se saem bem em testes padronizados. Cada escola é avaliada com base na melhora média de pontuação nos testes dos alunos de uma primavera para outra; as 25 melhores escolas do estado segundo esse critério recebem uma flâmula para pendurar no ginásio de esportes e o direito de se vangloriar para as cidades vizinhas.

Quem vence esse tipo de competição?11 A vencedora de 1999, com 91,5 de “escore composto de desempenho”, foi a C.C. Wright Elementary, em North Wilkesboro. Essa escola estava do lado pequeno, com 418 alunos num estado onde as escolas de ensino fundamental têm em média quase quinhentas crianças. Não muito atrás ficaram Kingswood Elementary, com um escore de 90,9, e Riverside Elementary, com 90,4. Kingswood tinha apenas 315 alunos, e a minúscula Riverside, na cidadezinha de Newland, nos Apalaches, tinha somente 161.

Na verdade, as escolas pequenas em geral faturaram a medida da Carolina do Norte. Um

estudo de Thomas Kane e Douglas Staiger12 descobriu que 28% das escolas menores no estado participaram das 25 melhores em algum momento no intervalo de sete anos estudados; entre todas as escolas, apenas 7% chegaram a ganhar a flâmula no ginásio de esportes.

Parece que as escolas pequenas, onde os professores realmente conhecem os alunos e suas famílias e têm tempo de dar uma instrução individualizada, são melhores para aumentar os escores dos testes.

Mas talvez eu deva mencionar que o título do artigo de Kane e Staiger é, aqui traduzido, “A promessa e as armadilhas de usar medidas imprecisas de prestação de contas escolar”. E que escolas menores não mostraram qualquer tendência, em média, de ter escores significativamente mais altos nos testes. E que as escolas contempladas com “equipes de assistência” (leia-se: que ganharam uma reprimenda dos encarregados estaduais pelos baixos resultados nos testes) também eram predominantemente escolas menores.

Em outras palavras, até onde sabemos, a Riverside Elementary não é uma das escolas de ponta na Carolina do Norte, não mais do que Armon Johnson é o melhor arremessador na liga. A razão de escolas pequenas dominarem as 25 de cima não é porque escolas pequenas sejam melhores, mas porque elas têm uma variação maior nos escores de testes. Alguns meninos-prodígios ou alguns vagabundos da 3ª série podem mudar radicalmente a média de uma escola pequena; numa escola grande, o efeito de alguns escores extremos simplesmente será dissolvido na média maior, mal afetando o valor geral.

Sendo assim, como podemos saber que escola é melhor, ou que estado está mais propenso ao câncer, se pegar as médias simples não dá certo? Se você é um executivo administrando uma porção de equipes, como pode avaliar com exatidão os desempenhos quando os times menores têm maior probabilidade de predominar tanto no alto quanto na base de seu ranking?

Infelizmente, não há uma resposta fácil. Se um estado minúsculo como Dakota do Sul vivencia um surto de câncer cerebral, pode-se presumir que o pico deve-se em grande medida ao acaso, e pode-se estimar que o índice de câncer cerebral no futuro tem probabilidade de estar mais perto da média nacional. É possível ver isso pegando algum tipo de média ponderada do índice de Dakota do Sul em relação ao índice nacional. Mas como atribuir peso aos dois números? É um pouquinho de sorte, envolvendo boa dose de labuta técnica, da qual

pouparei você aqui.13

Um fato relevante foi observado inicialmente por Abraham de Moivre, um dos primeiros a contribuir para a moderna teoria da probabilidade. O livro de De Moivre, The Doctrine of Chances, de 1756, foi um dos textos-chave sobre o assunto. (Mesmo então, a popularização dos progressos matemáticos era uma atividade vigorosa. Edmond Hoyle, cuja autoridade em questões de jogos de cartas era tão grande que as pessoas ainda usam a frase “segundo Hoyle”, escreveu um livro para auxiliar os jogadores a dominar a nova teoria – o livro chamava-se An Essay Towards Making the Doctrine of Chances Easy to Those who Understand Vulgar Arithmetic Only, to Which Is Added Some Useful Tables on Annuities.)

De Moivre não estava satisfeito com a lei dos grandes números, segundo a qual, a longo prazo, a proporção de caras numa sequência de lançamentos chega cada vez mais perto de 50%. Ele queria saber quanto mais perto. Para entender o que ele descobriu, voltemos a dar uma olhada naquela contagem de lançamentos. Mas agora, em vez de listar o número total de caras, vamos registrar a diferença entre o número de caras realmente lançadas e o número de caras que seria de esperar, 50% dos lançamentos. Em outras palavras, estaremos medindo quão afastados estamos da paridade perfeita entre cara e coroa.

Para os lançamentos de dez moedas, temos:

 

1, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 4, 2, 0, 2, 1, 0, 2, 2, 4 …

 

Para os lançamentos de cem moedas:

 

4, 4, 2, 5, 2, 1, 3, 8, 10, 7, 4, 4, 1, 2, 1, 0, 10, 7, 5 …

Para os lançamentos de mil moedas:

 

14, 1, 11, 28, 37, 26, 8, 10, 22, 8, 7, 11, 11, 10, 30, 10, 3, 38, 0, 6 …

 

Você pode ver que as discrepâncias em relação a 50-50 ficam maiores em termos absolutos à medida que a quantidade de lançamentos cresce, ainda que (como exige a lei dos grandes números) estejam ficando cada vez menores em relação à quantidade de lançamentos. O

insight de De Moivre é que o tamanho da discrepância típicac é governado pela raiz quadrada da quantidade de lançamentos que você faz. Lance uma moeda cem vezes como antes, e a discrepância típica cresce num fator de 10 – pelo menos em termos absolutos. Como proporção do número total de lançamentos, a discrepância encolhe à medida que o número de moedas aumenta, porque a raiz quadrada do número de moedas cresce muito mais lentamente que o número de moedas em si. Os lançamentos de mil moedas às vezes erram uma distribuição equitativa por até 38 caras; mas, como proporção do total de lançamentos, isso está apenas 3,8% distante do 50-50.

A observação de De Moivre é a mesma que fica subjacente à computação do erro-padrão numa pesquisa de opinião política. Se você quer reduzir o erro pela metade, precisa pesquisar quatro vezes mais pessoas. E se quiser saber quanto você deve se impressionar com uma boa sequência de caras, pode perguntar quantas raízes quadradas ela está afastada dos 50%. A raiz quadrada de 100 é 10. Então, quando tirei sessenta caras em cem lançamentos, isso estava exatamente uma raiz quadrada distante dos 50-50. A raiz quadrada de 1.000 é mais ou menos 31; então, quando tirei 538 caras em mil lançamentos, consegui algo ainda mais surpreendente, mesmo que tenha tirado apenas 53,8% de caras no último caso e 60% de caras no caso anterior.

Mas De Moivre não tinha acabado. Ele descobriu que as discrepâncias em relação ao 50-50, a longo prazo, sempre tendem a formar uma perfeita curva de sino, ou, como a chamamos no nosso ofício, uma distribuição normal. (O pioneiro da estatística Francis Ysidro Edgeworth

propôs que a curva fosse chamada de chapéu do gendarme,14 e eu preciso dizer que lamento que o nome não tenha pegado.)

A curva do sino/chapéu do gendarme é alta no meio e muito achatada perto das bordas, o que quer dizer que, quanto mais longe a discrepância está de zero, menos provável ela é. E isso pode ser quantificado de modo preciso. Se você lança n moedas, a chance de acabar se desviando de 50% de caras no máximo pela raiz quadrada de n é de 95,45%. A raiz quadrada de 1.000 é mais ou menos 31; de fato, dezoito em vinte dos nossos lançamentos grandes de mil moedas, ou 90%, ficaram dentro de 31 caras distantes de 500. Se eu continuasse jogando esse jogo, a fração de vezes que acabaria com algo entre 469 e 531 caras ficaria cada vez mais

perto da cifra de 95,45%.d

Tem-se a sensação de que algo faz isso acontecer. De fato, o próprio De Moivre pode ter sentido isso. Segundo muitos relatos, ele encarava as regularidades no comportamento de lançamentos repetidos de uma moeda (ou qualquer outro experimento sujeito ao acaso) como obra da própria mão de Deus, que transformava as irregularidades de curto prazo de moedas, dados e da vida humana em comportamento de longo prazo previsível, governado por leis

imutáveis e fórmulas decifráveis.15

É perigoso sentir isso. Porque, se você acha que a mão transcendental de alguém – Deus, a Fortuna, Lakshmi, não importa – está forçando as moedas a dar cara na metade das vezes, você começa a acreditar na chamada lei das médias: cinco caras seguidas e a próxima quase com certeza deve dar coroa. Você tem três filhos homens, decerto uma filha vem depois. Afinal, De Moivre não nos disse que resultados extremos, como quatro filhos homens seguidos, são altamente improváveis? Ele disse, e são. Mas se você já teve três filhos homens, um quarto filho não é tão improvável assim. Na verdade, é tão provável quanto ter um filho homem da primeira vez.

À primeira vista, isso parece estar em conflito com a lei dos grandes números, que deveria

estar forçando sua prole a se dividir meio a meio entre meninas e meninos.e Mas o conflito é uma ilusão. É mais fácil ver o que está se passando com as moedas. Eu posso começar lançando e obter dez caras seguidas. O que acontece a seguir? Bem, uma coisa que poderia acontecer é você começar a desconfiar de que há algo de estranho com a moeda. Voltaremos a esse assunto na Parte II, mas por enquanto vamos assumir que a moeda é honesta. Então a lei exige que a proporção de caras deve se aproximar de 50% à medida que lanço a moeda mais e mais vezes.

O senso comum sugere que, a essa altura, coroa deve ser ligeiramente mais provável, para corrigir o desequilíbrio existente.

Mas o senso comum diz com muito mais insistência que a moeda não pode se lembrar do que aconteceu nas primeiras dez vezes em que a lancei!

Não vou manter o suspense – o segundo senso comum está certo. A lei das médias não tem um nome muito bom porque leis deveriam ser verdadeiras, e esta é falsa. Moedas não têm memória. Assim, a próxima moeda que você lançar tem 50-50 de chance de dar cara, a mesma que em qualquer outro lançamento. A proporção geral vai se assentando em 50% não porque o destino favorece as coroas para compensar as caras que já saíram; não porque esses primeiros dez lançamentos se tornam cada vez menos importantes à medida que você lançar outras moedas. Se eu lanço uma moeda mais mil vezes, e obtenho cara cerca de metade das vezes, a proporção de caras nos primeiros 1.010 lançamentos também será perto de 50%. É assim que funciona a lei dos grandes números, não compensando o que já aconteceu, mas diluindo o que já aconteceu com dados novos, até que o passado seja tão desprezível proporcionalmente que pode ser esquecido.

 

Sobreviventes

 

O que se aplica a moedas e contagens de testes vale também para massacres e genocídios. Se você avalia o massacre pela proporção relativa à população nacional eliminada, os piores crimes tenderão a se concentrar nos países menores. Matthew White, autor do reconhecidamente mórbido Great Big Book of Horrible Things, classificou as matanças do século XX, e descobriu que as três maiores foram o massacre dos hererós, na Namíbia, pelos colonizadores alemães, a chacina de cambojanos por Pol Pot e a guerra do rei Leopoldo no

Congo.16 Hitler, Stálin, Mao e as grandes populações que dizimaram não entram na lista.

Esse desvio para as nações menos populosas apresenta um problema – onde está nossa regra matematicamente certificada para calcular com precisão quanta dor experimentar quando lemos sobre as mortes de pessoas em Israel, Palestina, Nicarágua ou Espanha?

Eis uma regra prática que para mim faz sentido: se a magnitude de um desastre é tão grande que parece correto falar de “sobreviventes”, então tem sentido mensurar o sacrifício da morte como proporção da população total. Quando você fala de um sobrevivente do genocídio em Ruanda, poderia estar falando de qualquer tutsi que vive em Ruanda; então faz sentido dizer que o genocídio aniquilou 75% da população tutsi. E estaria justificado em dizer que uma catástrofe que matou 75% da população da Suíça é o “equivalente suíço” do que sucedeu com os tutsis.

Mas seria absurdo chamar alguém de Seattle de “sobrevivente” do ataque ao World Trade Center. Então, provavelmente não é útil pensar nas mortes do World Trade Center como uma proporção de todos os americanos. Apenas um em 100 mil americanos, ou 0,001%, morreu no World Trade Center naquele dia. Esse número está muito próximo de zero para sua intuição conseguir captá-lo. Você não tem a sensação do que significa essa proporção. Então é arriscado dizer que o equivalente suíço dos ataques ao World Trade Center seria um assassinato em massa de 0,001% de suíços, ou oitenta pessoas.

Então, como devemos classificar essas atrocidades, se não for pelos números absolutos e pela proporção? Algumas comparações são claras. O genocídio em Ruanda foi pior que o 11 de Setembro, e o 11 de Setembro foi pior que o massacre de Columbine, e Columbine foi pior que uma pessoa morta num acidente provocado por um motorista bêbado. Outras mortes, separadas por vastas diferenças no tempo e no espaço, são mais difíceis de comparar. Teria sido a Guerra dos Trinta Anos realmente mais letal que a Primeira Guerra Mundial? Como se compara o genocídio terrivelmente rápido de Ruanda com a longa e brutal guerra entre o Irã e o Iraque?

A maioria dos matemáticos diria que, no final, os desastres e atrocidades da história formam o que chamamos de conjunto parcialmente ordenado. Essa é uma maneira disfarçada de dizer que alguns pares de desastres podem ser significativamente comparados, outros não. Não porque não tenhamos uma contagem de mortos exata o bastante, ou opiniões firmes quanto aos méritos relativos de ser aniquilado por uma bomba versus morrer de fome induzida pela guerra. Mas porque a questão de uma guerra ser pior que outra é fundamentalmente diferente do problema de um número ser maior que outro. Este último sempre tem uma resposta. A primeira, não. E se você quer avaliar o significado de 26 pessoas mortas por atentados terroristas, não imagine 26 pessoas mortas por atentados terroristas do outro lado do mundo, mas na sua própria cidade. Esse cálculo é matemática e moralmente irretocável, e não se faz necessário nenhuma calculadora.

 

a Não vou fazer esses cálculos, mas se você quiser conferir meu trabalho, o termo-chave é “teorema binomial”.

b A porcentagem de arremessos é função tanto dos arremessos que você escolhe fazer quanto de sua habilidade intrínseca de acertar a cesta (Kirk Goldsberry, “Extra points: a new way to understand the NBA’s best scorers”, Grantland, 9 out 2013;

disponível em: www.grantland.com/story/_/id/9795591/kirk-goldsberry-introduces-new-way-understand-nba-best-scorers; acesso em 13 jan 2014. Ele sugere uma maneira de ir além das porcentagens de arremessos para desenvolver medidas mais informativas do desempenho ofensivo); o grandalhão cujos arremessos são principalmente bandejas e enterradas tem uma grande vantagem inicial. Mas isso é tangencial à questão que aqui demonstramos.

c Os especialistas perceberão que estou evitando cuidadosamente a expressão “desvio padrão”. Os não especialistas que queiram se aprofundar devem consultar o termo.

d Para ser preciso, é um pouco menos, mais para 95,37%, uma vez que 31 não é bem a raiz quadrada de 1.000, mas um pouco menor.

e Na realidade, mais perto de 51,5% meninos e 48,5% meninas, mas quem está contando?