2. Localmente reto, globalmente curvo

 

TALVEZ VOCÊ JAMAIS pensasse em necessitar de um matemático profissional para lhe dizer que nem todas as curvas são linhas retas. Mas o raciocínio linear está por toda parte. Você o utiliza toda vez que diz que, se é bom ter alguma coisa, ter mais dessa coisa ainda é melhor. Aqueles que berram opiniões políticas se baseiam nele: “Você apoia a ação militar contra o Irã? Aposto que você gostaria de lançar uma invasão por terra em cada país que olhe torto para nós!” Ou, do outro lado: “Envolver-se com o Irã? Você provavelmente também acha que Adolf Hitler foi simplesmente malcompreendido.”

Por que esse tipo de raciocínio é tão popular, quando um instante de reflexão revela quanto ele é errado? Por que haveria alguém de pensar, mesmo por um segundo, que todas as curvas são linhas retas, quando obviamente não são?

Um dos motivos é que, num sentido, elas são. A história começa com Arquimedes.

 

Exaustão

 

Qual a área do seguinte círculo?

 

No mundo moderno, esse é um problema tão padrão que poderia ser incluído num exame de ensino médio. A área de um círculo é πr2, e nesse caso o raio é 1, logo a área é π. Mas 2 mil anos atrás essa era uma questão incômoda, suficientemente importante para chamar a atenção de Arquimedes.

Por que era tão difícil? Por uma coisa: os gregos não pensavam realmente em π como um número, como nós pensamos. Os números que eles entendiam eram números inteiros, que contavam coisas: 1, 2, 3, 4 … Mas o primeiro grande sucesso da geometria grega – o teorema

de Pitágorasa – acabou se tornando a ruína de seu sistema numérico.

Eis uma figura:

O teorema de Pitágoras nos diz que o quadrado da hipotenusa – o lado aqui desenhado em diagonal, aquele que não toca o ângulo reto – é a soma dos quadrados dos outros dois lados, ou catetos. Nessa figura, isso significa que o quadrado da hipotenusa é 12 + 12 = 1 + 1 = 2. Em particular, a hipotenusa é mais comprida que 1 e mais curta que 2 (como você pode verificar com seus próprios olhos, sem que se faça necessário nenhum teorema). Que o comprimento não seja um número inteiro não era, em si, um problema para os gregos. Talvez simplesmente tenhamos medido tudo nas unidades erradas. Se escolhermos nossa unidade de comprimento de modo a deixar cada cateto com 5 unidades, você poderá verificar com uma régua que a hipotenusa tem cerca de 7 unidades de comprimento. Em torno disso – um pouquinho mais comprida. Pois o quadrado da hipotenusa é

 

52 + 52 = 25 + 25 = 50

 

e se a hipotenusa fosse 7, seu quadrado seria 7 × 7 = 49.

Ou, se você fizer os catetos com 12 unidades de comprimento, a hipotenusa tem quase exatamente 17 unidades, porém, é irritantemente curta demais, porque 12 + 12 é 288, uma pitada a menos que 172, que é 289.

 

Em algum momento por volta do século V AEC,b um membro da escola pitagórica fez uma descoberta chocante: não havia nenhum meio de medir o triângulo retângulo isósceles de modo que o comprimento de cada lado fosse um número inteiro. Pessoas modernas diriam que “a raiz quadrada de 2 é irracional” – isto é, não é a razão entre quaisquer dois números inteiros. Mas os pitagóricos não teriam dito isso. Como poderiam? Sua noção de quantidade assentava-se sobre a ideia de proporção entre números inteiros. Para eles, o comprimento daquela hipotenusa havia se revelado não absolutamente um número.

Isso causou um alvoroço. Os pitagóricos, você deve se lembrar, eram extremamente esquisitos. Sua filosofia era uma densa mistura de coisas que agora chamaríamos de matemática, de coisas que agora chamaríamos de religião e de coisas que agora chamaríamos de doença mental. Acreditavam que os números ímpares eram bons e os pares eram ruins; que um planeta idêntico ao nosso, Antícton, estava do outro lado do Sol; e que era errado comer grãos, segundo alguns relatos, porque eram o repositório das almas das pessoas mortas. Dizia-se que o próprio Pitágoras tinha a capacidade de falar com o gado (ele lhes dizia para não

comer grãos) e que havia sido um dos pouquíssimos gregos antigos a usar calças.1

A matemática dos pitagóricos estava inseparavelmente ligada à sua ideologia. Conta a história (provavelmente não verdadeira, mas dá a impressão exata do estilo pitagórico) que o pitagórico que descobriu a irracionalidade da raiz quadrada de 2 foi um homem chamado Hipaso, cuja recompensa por provar teorema tão repugnante foi ser lançado ao mar pelos colegas, para morrer.

Mas não se pode afogar um teorema. Os sucessores dos pitagóricos, como Euclides e Arquimedes, compreenderam que era preciso arregaçar as mangas e medir coisas, mesmo que isso obrigasse a sair do aprazível quintal murado que era o jardim dos números inteiros.

Ninguém sabia se a área de um círculo podia ser expressa usando somente números inteiros.c

Mas rodas precisam ser construídas, e silos, enchidos;d então, as medições precisam ser feitas.

A ideia original vem de Eudoxo de Cnido; Euclides a incluiu como Livro 12 dos Elementos. Mas foi Arquimedes quem realmente levou o projeto à sua fruição plena. Hoje chamamos sua abordagem de método da exaustão. E ele começa assim:

 

O quadrado na figura é chamado quadrado inscrito; cada um de seus vértices apenas encosta no círculo, mas não se estende além da fronteira do círculo. Por que fazer isso? Porque círculos são misteriosos e intimidantes, e quadrados são fáceis. Se você tem diante de si um quadrado cujo lado de comprimento é x, sua área é x vezes x – é por isso que chamamos a operação de multiplicar um número por si mesmo de elevar ao quadrado, ou quadrar o número! Uma regra básica da vida matemática: se o Universo lhe entrega um problema difícil, tente resolver outro mais fácil, em vez do primeiro, e fique na esperança de que a versão simples seja próxima o bastante do problema original para o Universo não fazer objeção.

O quadrado inscrito se divide em quatro triângulos, cada um dos quais nada mais é que o

triângulo isósceles que acabamos de desenhar.e Logo, a área do quadrado é quatro vezes a área do triângulo. Esse triângulo, por sua vez, é o que se obtém quando se pega um quadrado de 1 × 1 e o corta diagonalmente pela metade, como um sanduíche de atum.

 

A área do sanduíche de atum é 1 × 1 = 1, logo, a área de cada meio sanduíche triangular é ½ e a área do quadrado inscrito é 4 × ½, ou 2.

Falando nisso, suponha que você não saiba o teorema de Pitágoras. Adivinhe só – você sabe, sim! Ou pelo menos sabe o que ele tem a dizer a respeito desse triângulo retângulo específico. Porque o triângulo retângulo que forma a metade inferior do sanduíche de atum é exatamente igual ao que está no quadrante noroeste do quadrado inscrito. E sua hipotenusa está inscrita no lado do quadrado. Então, quando você eleva a hipotenusa ao quadrado, você obtém a área do quadrado inscrito, que é 2. Ou seja, a hipotenusa é aquele número que, ao ser elevado ao quadrado, dá 2; ou, no jargão usual mais conciso, raiz quadrada de 2.

O quadrado inscrito está inteiramente contido dentro do círculo. Se sua área é 2, a área do círculo deve ser pelo menos 2.

Agora desenhamos outro quadrado:

 

Este é o chamado quadrado circunscrito; ele também toca o círculo exatamente em quatro pontos. Mas esse quadrado contém o círculo. Seus lados têm comprimento 2, então sua área é 4; e assim sabemos que a área do círculo é no máximo 4.

Demonstrar que π está entre 2 e 4 talvez não seja tão impressionante. Mas Arquimedes mal começou. Pegue os quatro cantos do seu quadrado inscrito e marque novos pontos no círculo na metade do caminho entre cada par de vértices adjacentes. Agora você tem oito pontos igualmente espaçados. Quando você os liga, obtém um octógono inscrito, ou, em linguagem técnica, uma placa de trânsito “Pare”:

Calcular a área do octógono inscrito é um pouco mais difícil, e eu vou poupar você da trigonometria. O importante é que isso tem a ver com linhas retas e ângulos, e não com curvas; então, era possível fazer com os métodos disponíveis a Arquimedes. E a área é o dobro da raiz quadrada de 2, que é mais ou menos 2,83.

Você pode fazer o mesmo jogo com o octógono circunscrito,

 

cuja área é , pouco mais de 3,31.

Portanto, a área do círculo está presa entre 2,83 e 3,31.

Por que parar aqui? Você pode inserir pontos entre os vértices do octógono (seja inscrito ou circunscrito) para criar um 16-gono; depois de mais alguns cálculos trigonométricos, isso lhe diz que a área do círculo está entre 3,06 e 3,18. Faça mais uma vez, criando um 32-gono; e mais outra, e mais outra, e em pouquíssimo tempo você terá algo com um aspecto mais ou menos assim:

 

Espere aí, isso não é justamente o círculo? Claro que não! É um polígono regular com 65.536 lados. Você não percebeu?

O grande insight de Eudoxo e Arquimedes foi que não importa se é um círculo ou um polígono com muitos lados muito pequenos. As duas áreas estarão suficientemente próximas para qualquer propósito que você possa ter em mente. A área da minúscula margem entre o círculo e o polígono foi levada à “exaustão” pela nossa inexorável iteração. O círculo tem uma curva, é verdade. Mas cada pedacinho mínimo dele pode ser aproximado por uma linha perfeitamente reta, assim como o minúsculo pedaço da superfície da Terra sobre o qual

estamos parados é bem aproximado por um plano perfeitamente achatado.f

O slogan a se ter em mente é: localmente reto, globalmente curvo.

Ou pense nisso assim. Você está descendo em direção ao círculo vindo de uma grande altitude. No começo você vê a coisa inteira:

 

Depois só um segmento de arco:

 

E um segmento ainda menor:

Até que, aproximando, e aproximando, o que você vê é praticamente indistinguível de uma reta. Uma formiga nesse círculo, cônscia apenas de seus arredores imediatos, pensaria estar numa linha reta, assim como uma pessoa na superfície da Terra (a não ser que seja esperta o bastante para observar objetos surgindo no horizonte à medida que eles se aproximam de longe) sente que está parada num plano.

 

A página em que eu lhe ensino cálculo

 

Vou lhe ensinar cálculo. Pronto? A ideia, pela qual devemos agradecer a Isaac Newton, é que não existe nada de especial em relação a um círculo perfeito. Toda curva suave, quando você se aproxima o suficiente, parece exatamente uma reta. Não importa quanto ela seja sinuosa ou retorcida – basta que não tenha qualquer canto reto.

Quando você dispara um míssil, a trajetória tem o seguinte aspecto:

 

O míssil sobe, depois desce, numa arco de parábola. A gravidade torna todo movimento curvo no sentido da Terra; isso está entre os fatos fundamentais da nossa vida física. Mas, se aproximamos a lente e focalizamos um segmento muito curto, a curva começa a ter o seguinte aspecto:

 

E depois este:

Da mesma maneira que o círculo, a trajetória do míssil a olho nu parece uma linha reta, progredindo para cima com uma certa inclinação. O desvio em relação à reta causado pela gravidade é pequeno demais para ser visto – mas continua lá, claro. A aproximação da lente sobre uma região ainda menor da curva faz com que esta se torne ainda mais parecida com uma reta. Mais perto e mais reto, mais perto e mais reto…

Agora vem o salto conceitual. Newton disse, olhe aqui, vamos até o fim. Reduza o seu campo de visão até que ele seja infinitesimal – tão pequeno que é menor que qualquer tamanho possível de ser nomeado, mas não zero. Você está estudando o arco do míssil não ao longo de um intervalo de tempo muito curto, mas num único momento. O que era quase uma reta torna-se exatamente uma reta. E a inclinação dessa reta é o que Newton chamou de fluxão e o que chamamos agora de derivada.

Esse é o tipo de salto que Arquimedes não estava disposto a dar. Ele compreendeu que polígonos com lados cada vez menores chegavam mais e mais perto do círculo – mas jamais teria dito que o círculo era realmente um polígono com um número infinito de pequenos lados.

Alguns dos contemporâneos de Newton também relutaram em acompanhá-lo em sua viagem. Seu opositor mais famoso foi George Berkeley, que denunciou os infinitesimais de Newton num tom de alta zombaria tristemente ausente da literatura matemática corrente: “E o que são essas fluxões? As velocidades de incrementos evanescentes. E o que são esses incrementos evanescentes? Não são grandezas finitas nem grandezas infinitamente pequenas,

nem nada. Não poderíamos chamá-los de fantasmas das grandezas desaparecidas?”2

E todavia o cálculo funciona. Se você gira uma pedra amarrada num barbante sobre sua cabeça e de repente a solta, ela será disparada numa trajetória retilínea com velocidade

constante,g exatamente na direção que o cálculo diz que a pedra está se movendo no instante exato em que você a solta. Esse é outro insight newtoniano: objetos em movimento tendem a prosseguir numa trajetória retilínea, a menos que alguma outra força interfira para desviar o objeto numa direção ou outra. Essa é uma razão de o pensamento linear nos vir com tanta naturalidade: nossa intuição em relação ao tempo e ao movimento é formada pelos fenômenos que observamos no mundo. Mesmo antes de Newton ter codificado suas leis, algo em nós sabia que as coisas gostam de se mover em linha reta, a não ser que haja algum motivo para que ocorra algo diferente.

 

Incrementos evanescentes e perplexidades desnecessárias Os críticos de Newton tinham razão num ponto: sua construção das derivadas não redundava no que hoje chamamos de rigor matemático. O problema é a noção do infinitamente pequeno, que foi um aspecto ligeiramente nebuloso para os matemáticos durante milhares de anos. O problema começou com Zeno, filósofo grego do século V AEC, da escola eleática, que se especializou em fazer perguntas aparentemente inocentes sobre o mundo físico que imediatamente floresciam em gigantescos bafafás filosóficos.

Seu paradoxo mais famoso é o seguinte. Eu decido caminhar até a sorveteria. Agora, com certeza não posso chegar à sorveteria sem percorrer metade do caminho até ela. E uma vez tendo chegado à metade do caminho, não posso chegar sem percorrer metade do caminho que resta. Tendo feito isso, ainda preciso cobrir metade da distância restante. E assim por diante, e assim por diante. Posso ir chegando cada vez mais perto da sorveteria – porém, não importa quantos passos do processo eu execute, jamais efetivamente alcançarei a sorveteria. Estou sempre a alguma distância minúscula, mas diferente de zero, da minha casquinha com calda. Portanto, concluiu Zeno, é impossível andar até a sorveteria. O argumento funciona para qualquer destino; é igualmente impossível atravessar a rua, dar um único passo ou acenar com a mão. Todo movimento é descartado.

Dizia-se que Diógenes, o Cínico, teria refutado o argumento de Zeno ficando em pé e percorrendo a sala. Esse é um argumento bastante bom para mostrar que o movimento é possível. Então, algo deve estar errado com o argumento de Zeno. Mas onde está o erro?

Vamos decompor numericamente a ida à sorveteria. Primeiro você percorre metade do caminho. Depois percorre a metade da distância que resta, que é ¼ da distância total, ficando ¼ para percorrer. Então metade do que resta é , depois , depois . O seu progresso rumo à sorveteria é assim:

 

Se você somar dez termos dessa sequência obterá mais ou menos 0,999. Se somar vinte termos chega perto de 0,999999. Em outras palavras, você está chegando realmente, realmente, realmente, realmente perto da sorveteria. Mas não importa quantos termos você some, nunca chega a 1.

 

O paradoxo de Zeno é muito parecido com qualquer outro enigma: o decimal repetido 0,99999… é igual a 1?

Tenho visto gente quase dar um ataque com essa questão.h Ela é acaloradamente discutida em websites de fãs do jogo World of Warcraft até fóruns de debate sobre a filósofa Ayn Rand. Nosso sentimento mútuo sobre Zeno é: “Claro que você acaba chegando à sorveteria.” Mas nesse caso a intuição aponta para o sentido oposto. A maioria das pessoas, se você pressioná-

las,3 diz que 0,9999… não é igual a 1. Não parece 1, isso é certo. Parece menor. Mas não muito menor! Como o faminto amante de sorvetes de Zeno, ele vai chegando cada vez mais perto da meta, mas, ao que parece, jamais consegue chegar lá.

No entanto, professores de matemática em toda parte, inclusive eu mesmo, lhe dirão: “Não, é 1.”

Como eu convenço alguém a vir para o meu lado? Um bom artifício é argumentar como se segue. Todo mundo sabe que

 

Multiplique ambos os lados por 3 e você verá

 

Se isso não abala você, tente multiplicar 0,99999… por 10, que é só uma questão de mover a vírgula decimal uma casa para a direita.

 

10 × (0,99999…) = 9,99999…

 

Agora subtraia o incômodo decimal de ambos os lados:

 

10 × (0,99999…) − 1 × (0,99999…) = 9,99999… − 0,99999…

 

O lado esquerdo da equação é simplesmente 9 × (0,99999…) porque 10 vezes alguma coisa menos essa coisa é 9 vezes a coisa mencionada. E do lado direito demos um jeito de cancelar o terrível decimal infinito e ficamos com um simples 9. Então acabamos com

 

9 × (0,99999…) = 9.

 

Se 9 vezes alguma coisa é 9, essa coisa só pode ser 1 – não é?

Esses argumentos em geral são suficientes para trazer as pessoas para o nosso lado. Mas sejamos honestos: está faltando alguma coisa neles. Eles não abordam realmente a ansiosa incerteza induzida pela alegação 0,99999… = 1; em vez disso, representam um tipo de intimidação algébrica. “Você acredita que é 0,3 repetido – não acredita? Não acredita?”

Ou pior: talvez você tenha aceitado o meu argumento baseado na multiplicação por 10. Mas que tal este? O que é

 

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …?

 

Aqui o “…” significa “continue esta soma para sempre, adicionando cada vez o dobro”. Sem dúvida a soma deve ser infinita! Mas um argumento como o aparentemente correto referente a 0,9999… parece sugerir outra coisa. Multiplique a soma acima por 2 e você obtém

 

2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = 2 + 4 + 8 + 16 + …,

 

que parece muito a soma original; de fato, é exatamente a soma original (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) com o 1 tirado do começo, o que significa que 2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) é 1 a menos que (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …). Em outras palavras:

2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) − 1 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = −1.

 

Mas o lado esquerdo resulta na própria soma com que começamos, e então ficamos com

 

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = −1.

 

É nisso que você quer acreditar?i Que somar números cada vez maiores, ad infinitum, joga você na terra dos números negativos?

Mais maluquice: Qual é o valor da soma infinita

 

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

 

Pode-se observar inicialmente que a soma é

 

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + …

 

e argumentar que a soma de um monte de zeros, mesmo numa quantidade infinita, tem de ser zero. De outro lado, 1 − 1 + 1 é a mesma coisa que 1 − (1 − 1), porque negativo de negativo é positivo; aplicando este fato vezes e vezes repetidas, podemos reescrever a soma como

 

1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) … = 1 − 0 − 0 − 0…

 

que parece exigir, da mesma maneira, que a soma seja igual a 1!

Então, qual é a resposta, zero ou 1? Ou será, de algum modo, zero na metade das vezes e 1 na outra metade das vezes? Parece depender de onde você para – mas somas infinitas não param nunca!

Não resolva ainda, porque a coisa fica pior. Suponha que o valor da nossa soma misteriosa seja T:

 

T = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

 

Multiplicando ambos os lados por −1, teremos

 

−T = –1 + 1 − 1 + 1 …

 

Mas a soma no lado direito é precisamente o que se obtém quando pega a soma original definindo T e tira fora aquele primeiro 1, ou seja, subtraindo 1; em outras palavras,

 

−T = −1 + 1 − 1 + 1 … = T − 1.

 

Logo, − T = T − 1 é uma equação em T que é satisfeita apenas quando T é igual a ½. Pode uma soma de infinitos números inteiros, num passe de mágica, virar uma fração? Se disser não, você tem o direito de alimentar pelo menos alguma suspeita de argumentos cheios de artimanha como este. Mas note que algumas pessoas disseram sim, inclusive o matemático e

padre italiano Guido Grandi,4 em homenagem a quem a série 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +… foi batizada. Num artigo de 1703, ele argumentou que a soma da série é ½; e, mais ainda, que essa conclusão milagrosa representava a criação do Universo a partir do nada. (Não se preocupe, eu também não sigo este último passo.) Outros importantes matemáticos da época, como Leibniz e Euler, estavam a bordo do estranho cálculo de Grandi, se não de sua interpretação.

Mas na verdade a resposta para a charada do 0,999… (e para o paradoxo de Zeno, e para a série de Grandi) jaz um pouco mais fundo. Você não precisa se render à minha queda de braço algébrica. Você pode, por exemplo, insistir em que 0,999… não é igual a 1, e sim a 1 menos um minúsculo número infinitesimal. Sob esse aspecto, pode insistir também em que 0,333… não é exatamente igual a , e também por uma diferença infinitesimal. Esse ponto de vista requer alguma energia para forçar sua comprovação, mas isso pode ser feito. Certa vez tive um aluno de cálculo chamado Brian que, descontente com as definições de sala de aula, deduziu um bom bocado da teoria sozinho, referindo-se a suas grandezas infinitesimais como “números de Brian”.

Brian na verdade não foi o primeiro a chegar lá. Existe todo um campo da matemática

especializado em estudar números desse tipo, chamado análise não padronizada.j A teoria, desenvolvida por Abraham Robinson em meados do século XX, finalmente deu sentido aos “incrementos evanescentes” que Berkeley achou tão ridículos. O preço que se tem a pagar (ou, de outro ponto de vista, a recompensa que se tem a colher) é uma profusão de novos tipos de número; não só infinitamente pequenos, mas infinitamente grandes, uma nuvem enorme deles,

de todas as formas e tamanhos.k

E aconteceu de Brian estar com sorte – eu tinha um colega em Princeton, Edward Nelson, especialista em análise não padronizada. Arranjei um encontro entre os dois para que Brian aprendesse mais sobre o assunto. O encontro, Ed me contou depois, não foi muito bom. Assim que Ed deixou claro que as grandezas infinitesimais na verdade não viriam a ser chamadas de números de Brian, Brian perdeu todo o interesse.

(Moral da história: pessoas que entram na matemática em busca de fama e glória não ficam na matemática por muito tempo.)

Mas não chegamos mais perto de resolver nossa discussão. O que é 0,999… de fato? É 1? Ou é algum número infinitesimalmente menor que 1, um tipo doido de número que nem sequer havia sido descoberto cem anos atrás?

A resposta correta é desfazer a pergunta. O que é 0,999… de fato? O número parece se referir a uma espécie de soma:

 

0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + …

 

Mas o que significa isso? Essas desagradáveis reticências parecem ser o verdadeiro problema. Não pode haver controvérsia sobre o que significa somar dois, ou três, ou cem números. Essa é simplesmente a notação matemática para um processo físico que entendemos muito bem: pegue cem pilhas de alguma coisa, misture tudo e veja quanto você tem. Mas e infinitas pilhas? Isso é outra história. No mundo real, nunca se pode ter uma quantidade infinita de pilhas. Qual o valor numérico de uma soma infinita? Ela não tem um valor – até nós lhe darmos um. Essa foi a grande inovação de Augustin-Louis Cauchy, que introduziu no

cálculo a noção de limite, na década de 1820.l

O teórico britânico dos números G.H. Hardy, em seu livro Divergent Series, de 1949, explica melhor:

 

Não ocorre a um matemático moderno que uma coleção de símbolos matemáticos devesse ter um “significado” até que lhe

seja atribuído um por definição. Essa não era uma trivialidade nem para os maiores matemáticos do século XVIII. Eles não

tinham o hábito da definição: não era natural para eles dizer, em algumas palavras, “por X queremos dizer Y”. … É uma

verdade bem ampla dizer que os matemáticos antes de Cauchy não perguntavam “Como definiremos 1 − 1 + 1 − 1 + …”, e

sim “O que é 1 − 1 + 1 − 1 + …?”, e que esse hábito mental os levava a perplexidades e controvérsias desnecessárias que

muitas vezes se tornavam verbais.

 

Isso não é só relativismo matemático relaxado. Só porque podemos atribuir qualquer significado matemático que nos aprouver a uma corrente de símbolos matemáticos, isso não significa que devamos fazê-lo. Em matemática, como na vida, há boas e más escolhas. No contexto matemático, as escolhas boas são aquelas que resolvem perplexidades desnecessárias sem criar novas.

A soma 0,9 + 0,09 + 0,009 + … vai chegando cada vez mais perto de 1 à medida que novos termos são acrescentados. E nunca chega muito mais longe. Não importa quão apertado seja o cordão que amarremos em torno do número 1, após uma quantidade finita de passos, a soma acabará por penetrar nesse cordão para nunca mais sair. Nessas circunstâncias, disse Cauchy, deveríamos simplesmente definir o valor da soma infinita como 1. E aí ele trabalhou duro para provar que comprometer-se com essa sua definição não fazia com que contradições terríveis viessem à tona em outra parte. Ao encerrar esse trabalho, Cauchy havia construído um arcabouço que tornou absolutamente rigoroso o cálculo de Newton. Quando dizemos que uma curva tem localmente o aspecto de uma reta, em um certo ângulo, agora queremos dizer mais ou menos isso: à medida que você aproxima a lente, a curva se assemelha cada vez mais à reta dada. Na formulação de Cauchy, não há necessidade de mencionar números infinitamente pequenos, nem nada que fizesse um cético se assustar.

Claro que há um custo nisso. A razão de o problema do 0,999… ser difícil é que ele provoca um conflito em nossas intuições. Nós gostaríamos que a soma de uma série infinita se encaixasse direitinho nas manipulações aritméticas como as que realizamos nas páginas anteriores, e isso parece exigir que a soma seja igual a 1. Por outro lado, gostaríamos que cada número fosse representado por uma cadeia única de dígitos decimais, o que entra em conflito com a alegação de que o mesmo número possa ser chamado de 1 ou de 0,999…, conforme nos dê vontade. Não podemos nos prender simultaneamente a esses dois desejos, um deles precisa ser descartado. Na abordagem de Cauchy, que tem provado amplamente seu valor nos dois séculos depois de ser inventada, é a singularidade da expansão decimal que voa pela janela. Nós não temos problema com o fato de que nosso idioma às vezes utilize duas séries de letras (isto é, duas palavras) para se referir à mesma coisa, os sinônimos; da mesma maneira, não é tão ruim assim que duas diferentes séries de dígitos possam se referir ao mesmo número.

Quanto ao 1 − 1 + 1 − 1 + … de Grandi, esta é uma das séries que estão fora do alcance da teoria de Cauchy, ou seja, uma das séries divergentes que constituíam o tema do livro de Hardy. O matemático norueguês Niels Henrik Abel, um dos primeiros fãs da abordagem de Cauchy, escreveu em 1828: “Séries divergentes são invenção do diabo, e é uma vergonha

basear nelas qualquer demonstração.”m A visão de Hardy, que é a nossa atual, é mais complacente. Há algumas séries divergentes às quais devemos atribuir valores e outras às quais não devemos, e algumas às quais devemos ou não, dependendo do contexto no qual surge a série. Os matemáticos modernos diriam que, se vamos atribuir um valor à série de Grandi, deveria ser ½, porque, como se descobriu, todas as teorias interessantes de somas

infinitas ou dão valor ½ ou, como na teoria de Cauchy, não lhe atribuem qualquer valor.n

Anotar precisamente a definição de Cauchy exige um pouco mais de trabalho. Isso valeu especialmente para o próprio Cauchy, que não havia elaborado as ideias em sua forma limpa e

moderna.o (Em matemática, muito raramente você obtém o relato mais claro de uma ideia da pessoa que a inventou.) Cauchy era um resoluto conservador e monarquista, mas, em sua matemática, foi orgulhosamente revolucionário e um flagelo para a autoridade acadêmica. Uma vez que compreendeu como fazer as coisas sem os perigosos infinitesimais, reescreveu unilateralmente seu programa de estudos na École Polytechnique de modo a refletir suas novas ideias. Isso enfureceu todo mundo ao seu redor: seus mistificados alunos, que haviam se matriculado em cálculo para principiantes; seus colegas, que sentiam que os estudantes de engenharia da École não tinham necessidade do nível de rigor de Cauchy; e os administradores, cujas ordens de se ater à diretriz oficial do curso haviam sido completamente ignoradas. A École impôs um novo currículo, que enfatizava a abordagem infinitesimal tradicional do cálculo, e colocou na aula de Cauchy encarregados de tomar notas para se assegurar de que ele ia obedecer. Cauchy não obedeceu. Não estava interessado nas

necessidades dos engenheiros. Estava interessado na verdade.5

É difícil defender a posição de Cauchy com fundamentos pedagógicos. Mas, de qualquer maneira, sou solidário com ele. Um dos grandes prazeres da matemática é o inconfundível sentimento de ter entendido algo do jeito certo, tim-tim por tim-tim, até o final. Esse é um sentimento que não experimentei em nenhuma outra esfera da vida mental. E quando você sabe como fazer alguma coisa do jeito certo, é difícil – para alguns teimosos, impossível – obrigar-se a explicá-la do modo errado.

 

a Aliás, não sabemos quem foi o primeiro a provar o teorema de Pitágoras, mas os estudiosos estão quase certos de que não foi o próprio Pitágoras. Na verdade, além do fato nu e cru, atestado por contemporâneos, de que um homem culto com esse nome viveu e ganhou fama no século VI Antes da Era Comum (AEC), não sabemos praticamente nada de Pitágoras. Os principais relatos de sua vida e obra datam de quase oitocentos anos após sua morte. Nessa época, a pessoa real Pitágoras havia sido completamente substituída pelo Pitágoras mito, uma espécie de síntese em um só indivíduo da filosofia dos eruditos que se autodenominavam pitagóricos.

b AEC: Antes da Era Comum; EC: Era Comum: notação adotada na ciência, em substituição a a.C. e d.C. (N.T.)

c De fato não se pode, mas ninguém descobriu como provar isso até o século XVIII.

d Na verdade, os silos não eram redondos até o começo do século XX, quando um professor da Universidade de Wisconsin, H.W. King, inventou o desenho cilíndrico agora onipresente para solucionar o problema da deterioração dos cereais nos cantos do armazém.

e Ao contrário, cada um dos quatro pedaços pode ser obtido a partir do triângulo retângulo isósceles original deslizando-o e girando-o pelo plano; assumimos como dado que essas manipulações não modificam a área da figura.

f Pelo menos se, como eu, você mora no Meio-Oeste dos Estados Unidos.

g Desconsiderando os efeitos da gravidade, da resistência do ar etc. Mas, numa escala de tempo reduzida, a aproximação linear é mais que suficiente.

h Tudo bem, devo reconhecer que essa gente em particular eram adolescentes num acampamento de férias dedicado à matemática.

i Só para não deixar você no ar: há um contexto, o de números 2-ádicos, no qual esse argumento de aparência maluca está completamente correto. Mais sobre isso nas notas finais, para os entusiastas da teoria dos números. Na teoria de Cauchy, uma série que converge para um limite x significa que quando se somam mais e mais termos, o total vai chegando cada vez mais próximo de x. Isso requer que tenhamos em mente uma ideia do que significa dois números estarem “próximos” um do outro. Acontece que a noção familiar de proximidade não é a única! No mundo 2-ádico, diz-se que dois números são próximos entre si quando sua diferença é um múltiplo de uma potência grande de 2. Quando dizemos que a série 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … converge para −1, estamos dizendo que as somas parciais 1, 3, 7, 15, 31 … estão chegando mais e mais perto de −1. Com o significado usual de “próximo” isso não é verdade, mas usando a proximidade 2-ádica a história muda. Os números 31 e –1 têm uma diferença de 32, que é 25, um número 2-ádico bastante pequeno. Some mais alguns termos, e você obtém 511, cuja diferença de −1 é de apenas 512, ainda pequeno (2-adicamente). Muito da matemática que você conhece – cálculo, logaritmos e exponenciais, geometria – tem um análogo 2-ádico (e de fato um análogo p-ádico para qualquer p), e a interação entre todas essas diferentes noções de proximidade é uma história maluca e gloriosa por si só.

j Usa-se também o termo análise não standard. (N.T.)

k Os números surreais, desenvolvidos por John Conway, são exemplos charmosos e especialmente esquisitos, como sugere o nome; são estranhos híbridos entre números e estratégia de jogos, e sua profundidade ainda não foi plenamente explicada. O livro Winning Ways, de Berlekamp, Conway e Guy, é um bom lugar para aprender sobre esses números exóticos, e, paralelamente, de saber muito mais sobre a rica matemática dos jogos.

l Como todos os grandes avanços matemáticos, a teoria dos limites de Cauchy teve precursores – por exemplo, a definição de Cauchy estava muito no espírito das fronteiras para os termos de erro da série binomial de D’Alembert. Mas é inquestionável que Cauchy foi o ponto da virada; depois dele, a análise é moderna.

m Irônico, considerando-se a aplicação teológica original de Grandi de sua série divergente!

n Nas famosas palavras de Lindsay Lohan: “O limite não existe!”

o Se alguma vez você já fez um curso de matemática que usa épsilons e deltas, já viu os descendentes das definições formais de Cauchy.