13. Onde os trilhos do trem se encontram

 

A NOÇÃO DE UTILIDADE ajuda a dar sentido a um traço intrigante da história do Cash WinFall. Quando o grupo de apostas de Gerald Selbee chegou com maciças quantidades de bilhetes, eles usaram Quick Pik, deixando que os computadores da loteria escolhessem aleatoriamente os números nos volantes. A Random Strategies, por outro lado, fazia questão de escolher seus números. Isso significava que precisavam preencher centenas de milhares de volantes à mão, depois alimentar as máquinas com eles, um a um, nas lotéricas escolhidas, tarefa hercúlea e incrivelmente monótona.

Os números vencedores são completamente aleatórios, cada bilhete de loteria tem o mesmo valor esperado; os 100 mil do Quick Pik de Selbee introduziam a mesma quantia no prêmio em dinheiro, em média, que os bilhetes artesanalmente marcados de Harvey e Lu. No que diz respeito ao valor esperado, a Random Strategies fazia um bocado de serviço pesado sem qualquer compensação. Por quê?

Considere esse caso, mais simples, porém da mesma natureza. Você preferiria ter US$ 50 mil nas mãos ou fazer uma aposta 50/50 entre perder US$ 100 mil e ganhar US$ 200 mil? O valor esperado dessa aposta é

 

ou seja, a mesma quantia. De fato, há motivo para se sentir indiferente entre as duas escolhas. Se você fizesse a aposta vezes e vezes seguidas, quase certamente ganharia US$ 200 mil na metade das vezes, e perderia US$ 100 mil na outra metade. Imagine que você alternasse entre ganhar e perder. Após duas apostas, você teria ganhado US$ 200 mil e perdido US$ 100 mil, obtendo um ganho líquido de US$ 100 mil. Após quatro apostas você já tem US$ 200 mil; após seis apostas, US$ 300 mil; e assim por diante. Isso é um lucro de US$ 50 mil por aposta, em média, a mesma coisa que você ganharia se tivesse ido pelo caminho seguro.

Mas agora finja por um momento que você não é um personagem num problema teórico de um livro de economia, e sim uma pessoa real – uma pessoa real que não tem US$ 100 mil em dinheiro na mão. Quando você perde aquela primeira aposta, e o seu agente de apostas – o seu enorme, irado, careca e musculoso agente de apostas – vem receber o dinheiro, será que você diz “Um cálculo de valor esperado mostra que é muito provável que eu consiga lhe devolver o dinheiro a longo prazo”? Você não diz isso. Esse argumento, embora sólido matematicamente, não atingirá o objetivo.

Se você é uma pessoa real, deve pegar os US$ 50 mil.

Esse raciocínio é bem captado pela teoria da utilidade. Se eu sou uma corporação com fundos ilimitados, perder US$ 100 mil pode não ser tão ruim – digamos, vale −100 Utis –, enquanto ganhar US$ 200 mil me traz 200 Utis. Nesse caso, dólares e Utis se encaixam de maneira bastante linear; um Util é simplesmente outro nome para a nota de mil.

Mas se eu sou uma pessoa real com magras economias, o cálculo é bem diferente. Ganhar US$ 200 mil mudaria a minha vida mais do que a da corporação, então, talvez valha mais para mim – digamos, 400 Utis. Mas perder US$ 100 mil não só raspa minha conta bancária, como me põe nas garras do agente irado, careca e musculoso. Esse não é só um dia ruim para a folha de pagamentos, é um sério risco de contusão. Talvez o avaliemos em −1.000 Utis. Nesse caso, a utilidade esperada da aposta é:

 

A utilidade negativa dessa aposta significa que ela não só é pior que os US$ 50 mil garantidos, como é pior que não fazer nada. Uma chance de 50% de ficar totalmente duro é um risco que você não pode se permitir, pelo menos sem a promessa de uma recompensa muito maior.

Essa é uma maneira matemática de formalizar um princípio que você já conhece: quanto mais rico você é, mais pode se dar ao luxo de correr riscos. Apostas como essa aí são como investimentos arriscados em ações com um retorno esperado positivo em dólares. Se você fizer uma porção desses investimentos, às vezes pode perder um punhado de dinheiro de uma tacada, mas a longo prazo vai sair no lucro. A pessoa rica, que tem reservas suficientes para absorver essas perdas ocasionais, investe e fica mais rica. A pessoa não rica fica exatamente onde está.

Um investimento de risco pode fazer sentido mesmo que você não tenha dinheiro para cobrir suas perdas, contanto que tenha um plano alternativo. Certa jogada de mercado pode vir com 99% de chance de ganhar US$ 1 milhão e 1% de chance de perder US$ 50 milhões. Você deve fazer a jogada? Ela tem um valor esperado positivo, então parece uma boa estratégia. Mas você pode vacilar ante o risco de absorver perda tão grande, em especial porque é

dificílimo ter alguma certeza sobre pequenas probabilidades.a Os profissionais chamam jogadas desse tipo de “catar centavos na frente de um rolo compressor” – a maior parte do tempo, você ganha um pouco de dinheiro, mas um pequeno deslize deixa você esborrachado.

Então, o que você faz? Uma estratégia é se alavancar até a cabeça, até ter ativos em papel suficientes para fazer a jogada de risco, mas multiplicada por um fator de cem. Agora você tem probabilidade de ganhar US$ 100 milhões numa transação. Ótimo! E se o rolo compressor pegar você? Você perde US$ 5 bilhões. Só que não perde, porque a economia mundial, nesses nossos tempos interconectados, é uma casa de árvore grande e frágil, presa por cordas e pregos enferrujados. Um colapso épico de uma parte da estrutura traz o sério risco de derrubar a casa inteira. O Federal Reserve – o banco central americano – tem uma forte disposição para não deixar isso acontecer. Como diz o velho ditado, se você perde US$ 1 milhão, o problema é seu, se perde US$ 5 bilhões, o problema é do governo.

Essa estratégia financeira é cínica, mas com frequência funciona. Funcionou para a Long-

Term Capital Management,1 na década de 1990, tal como narrado no soberbo livro de Roger Lowenstein, When Genius Failed, e funcionou para as firmas que sobreviveram e até lucraram com o colapso financeiro de 2008. Na ausência de mudanças fundamentais, que parecem não

estar à vista, irá funcionar novamente.b

Firmas financeiras não são seres humanos, e a maioria dos homens, mesmo os ricos, não gosta de incerteza. O investidor rico pode alegremente fazer a aposta 50-50 com valor esperado de US$ 50 mil, mas provavelmente preferiria pegar logo os US$ 50 mil. O termo relevante da arte é variância, uma medida da amplitude em que estão dispersos os possíveis resultados de uma decisão, e qual a probabilidade de encontrar os extremos de qualquer um dos lados. Entre apostas com o mesmo valor esperado em dinheiro, a maioria das pessoas, em particular pessoas sem ativos líquidos ilimitados, prefere aquela com menor variância. É por isso que algumas investem em letras de câmbio municipais, mesmo que as ações ofereçam taxas de retorno mais altas a longo prazo. Com letras de câmbio, você tem certeza de que vai receber seu dinheiro. Invista em ações, com sua variância maior, e você provavelmente se dará melhor, porém, pode terminar muito pior.

Lutar com a variância é um dos principais desafios de administrar o dinheiro, quer você conheça isso ou não. É por causa da variância que os fundos de pensão diversificam seus investimentos de capital. Se você tem todo seu dinheiro em ações de gás e petróleo, um só choque grande no setor de energia pode torrar toda sua carteira de investimentos. Se você tem metade em gás e metade em tecnologia, uma grande alteração numa leva de ações não precisa necessariamente ser acompanhada por qualquer movimento das outras, porque essa é uma carteira de variância mais baixa. Você quer ter os ovos em cestas diferentes, num montão de cestas diferentes. É exatamente isso que você faz quando põe suas economias num gigantesco fundo indexado, que distribui seus investimentos por toda a economia. Os livros de autoajuda financeira com boa mentalidade matemática, como A Random Walk Down Wall Street, gostam muito dessa estratégia. Ela é tediosa, mas funciona. Se o planejamento da aposentadoria é empolgante…

Ações, pelo menos a longo prazo, tendem a ficar mais valiosas em média. Investir no mercado de ações, em outras palavras, é uma jogada com valor esperado positivo. Para apostas que tenham valor esperado negativo, o cálculo oscila. As pessoas detestam a perda certa assim como adoram o ganho certo. Então, você procura uma variância maior, não menor. Você não vê gente na roleta pondo uma ficha em cada número. Esse é apenas um jeito desnecessariamente elaborado de entregar as fichas para a banca.

O que tudo isso tem a ver com o Cash WinFall? Como dissemos no começo, o valor esperado em dinheiro de 100 mil bilhetes de loteria é o que é, não importa quantos bilhetes você compre. Mas a variância é outra história. Suponha, por exemplo, que eu resolva entrar no jogo de apostas de grande volume, mas tenha uma abordagem diferente: compro 100 mil cópias do mesmo resultado.

Se os meus bilhetes acertarem quatro de seis números no sorteio da loteria, então serei o felizardo dono de 100 mil bilhetes que fizeram a quadra, e vou pegar todo o prêmio de US$ 1,4 milhão, com um belo lucro de 600%. Mas se meu conjunto de números for perdedor, perco todo o meu monte de US$ 200 mil. Essa é uma aposta de alta variância, com grande chance de uma perda grande e pequena chance de um ganho ainda maior.

Assim, “Não ponha todo seu dinheiro em um número” é um conselho bastante bom – é muito melhor espalhar suas apostas. Mas não era exatamente isso que a gangue de Selbee estava fazendo ao usar a máquina de Quick Pik, que escolhe os números ao acaso?

Não exatamente. Em primeiro lugar, ainda que Selbee não estivesse pondo todo seu dinheiro em um bilhete, ele estava comprando, sim, a mesma numeração múltiplas vezes. No começo isso parece estranho. No máximo da sua atividade, ele estava comprando 300 mil bilhetes por sorteio, deixando o computador escolher os números ao acaso entre quase 10 milhões de alternativas. Suas compram perfaziam meros 3% dos resultados possíveis. Quais as chances de ele comprar a mesma numeração duas vezes?

Na verdade, as chances são realmente boas. Do fundo do baú: aposte com os convidados de uma festa que duas pessoas na sala têm o mesmo dia de aniversário. É melhor ser uma festa

grande – digamos que haja trinta pessoas. Trinta aniversários em 365 opçõesc não é muita coisa, e você poderia pensar que é bem pouco provável que dois deles caiam no mesmo dia. Mas a grandeza relevante não é o número de pessoas, mas o número de pares de pessoas. Não

é difícil verificar que há 435 pares de pessoas,d e cada par tem uma chance em 365 de compartilhar o aniversário. Logo, numa festa desse tamanho, seria de esperar que haja um par compartilhando o aniversário, ou talvez até dois pares. Na verdade, a chance de duas pessoas entre trinta fazerem aniversário no mesmo dia é um pouco mais de 70% – uma chance bastante boa. Se você compra 300 mil bilhetes de loteria escolhidos ao acaso em 10 milhões de opções, a chance de sair uma numeração repetida é tão perto de um que eu prefiro dizer “é certeza” que calcular quantos algarismos 9 a mais eu vou precisar depois de “99,9%” para especificar a probabilidade exata.

Não são só os bilhetes repetidos que geram problemas. Como sempre, pode ser mais fácil ver o que está se passando com a matemática se tornarmos os números pequenos o bastante para poder desenhar figuras. Vamos simular um sorteio de loteria com apenas sete bolas, das quais o Estado pega três como combinação para o prêmio. Há 35 conjuntos de prêmios, correspondentes às 35 maneiras diferentes de três números serem escolhidos do conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (Os matemáticos gostam de dizer, abreviando, “combinação de 7 3 a 3 é 35”.) Aqui estão eles, em ordem numérica:

 

123 124 125 126 127

134 135 136 137

145 146 147

156 157

167

234 235 236 237

245 246 247

256 257

267

345 346 347

356 357

367

456 457

467

567

 

Digamos que Gerald Selbee vá a uma lotérica e use Quick Pik para comprar sete bilhetes ao acaso. Sua chance de ganhar o prêmio continua bastante pequena. No entanto, nessa loteria, você também ganha um prêmio se acertar dois dos três números. (Essa estrutura lotérica particular é às vezes chamada de “loteria da Transilvânia”, mas não consegui encontrar nenhuma evidência de que tal jogo tenha algum dia sido jogado na Transilvânia, nem por vampiros.)

Dois em três é um jeito fácil de ganhar. Então, para eu não ter de ficar repetindo “dois em três”, vamos chamar um bilhete que ganha esse prêmio menor de duque. Se o sorteio der 1, 4 e 7, por exemplo, os quatro bilhetes com 1, 4 e algum outro número diferente de 7 são todos duques. Além desses quatro, há quatro bilhetes que acertam 1-7 e quatro que acertam 4-7. Logo, doze em 35, um pouquinho mais de das combinações possíveis, são duques. O que sugere haver pelo menos um par de duques entre os sete bilhetes de Gerald Selbee. Para ser preciso, você pode calcular que Selbee tem

 

5,3% de chance de não ter nenhum duque.

19,3% de chance de exatamente um duque.

30,3% de chance de dois duques.

26,3% de chance de três duques.

13,7% de chance de quatro duques.

4,3% de chance de cinco duques.

0,7% de chance de seis duques.

0,1% de chance de todos os sete bilhetes serem duques.

 

O número esperado de duques é, portanto:

 

5,3% × 0 + 19,3% × 1 + 30,3% × 2 + 26,3% × 3 + 13,7% × 4 + 4,3% × 5 + 0,7% × 6 + 0,1% × 7 = 2,4

 

A versão da Transilvânia de James Harvey, por outro lado, não usa Quick Pik. Ele preenche seus sete bilhetes à mão, e aí vão eles:

 

124

135

167

257

347

236

456

 

Suponha que a loteria sorteie 1, 3 e 7. Então Harvey tem três duques na mão: 135, 167 e 347. E se a loteria sortear 3, 5, 6? Então Harvey, mais uma vez, tem três duques entre seus bilhetes, com 135, 236 e 456. Continue tentando combinações possíveis, e logo você verá que as escolhas de Harvey têm uma propriedade muito especial: ou ele ganha o grande prêmio ou ganha exatamente três duques. A chance de o grande prêmio ser um dos sete bilhetes de Harvey é de sete em 35, ou 20%. Então ele tem:

20% de chance de não ter nenhum duque.

80% de chance de ter três duques.

 

Seu número esperado de duques é

 

20% × 0 + 80% × 3 = 2,4

 

exatamente o mesmo de Selbee, como devia ser. Mas a variância é muito menor. Harvey tem uma incerteza muito pequena acerca de quantos duques vai tirar. Isso torna a carteira de Harvey bem mais atraente para potenciais membros de um cartel. Note especialmente: sempre que Harvey não tira três duques, ele tira o grande prêmio. Isso significa que a estratégia de Harvey garante um retorno mínimo substancial, algo que os usuários de Quick Pik, como Selbee, nunca podem garantir. Você mesmo escolher os números pode fazer com que se livre do seu risco mantendo a recompensa, se escolher os números direito.

E como escolher os números direito? Essa é – literalmente, dessa vez! – a pergunta de US$ 1 milhão.

Primeira tentativa: simplesmente peça ao computador para fazê-lo. Harvey e sua equipe eram alunos do MIT, presumivelmente capazes de sacar algumas dúzias de linhas de um programa antes do café da manhã. Por que simplesmente não escrever um programa para rodar por todas as combinações dos 300 mil bilhetes de WinFall para ver qual oferecia a estratégia de menor variância?

Esse não seria um programa difícil de escrever. O único probleminha seria a forma como toda a matéria e energia do Universo decairiam em morte térmica quando seu programa tivesse manipulado o primeiro fragmento minúsculo de uma microlasca dos dados que estivesse tentando analisar. Do ponto de vista de um computador moderno, 300 mil não é um número muito grande. Mas os objetos que o programa proposto precisa vasculhar não são os 300 mil bilhetes, são os possíveis conjuntos de 300 mil bilhetes a serem adquiridos entre os 10 milhões de bilhetes possíveis do Cash WinFall. Quantos desses conjuntos existem? Mais de 300 mil. Mais que o número de partículas subatômicas que existem ou já existiram. Muito mais. Você provavelmente nunca ouviu falar num número tão grande de maneiras de escolher

seus 300 mil bilhetes.e

Estamos nos defrontando aqui com o temido fenômeno conhecido pelos carinhas das ciências da computação como “a explosão combinatória”. Em poucas palavras, operações muito simples podem transformar números grandes manipuláveis em números absolutamente impossíveis. Se você quer saber qual dos cinquenta estados americanos é o lugar mais vantajoso para instalar seu negócio, é fácil. Basta comparar cinquenta coisas diferentes. Mas se você quer saber qual rota, através dos cinquenta estados, é mais eficiente – o chamado problema do caixeiro-viajante –, a explosão combinatória é detonada, e você depara com uma dificuldade de uma escala totalmente diferente. Há cerca de 30 vintilhões de rotas a escolher. Em termos mais familiares, são 30 mil trilhões de trilhões de trilhões de trilhões de trilhões.

Bum!

Então, é melhor que haja outro jeito de escolher nossos bilhetes de loteria para analisar a variância. Você acreditaria se eu lhe dissesse que tudo se reduz à geometria plana?

Onde os trilhos do trem se encontram

 

Retas paralelas não se encontram. É isso que as torna paralelas.

Mas retas paralelas às vezes parecem se encontrar. Pense num par de trilhos de trem, sozinhos numa paisagem vazia. Os dois trilhos parecem convergir à medida que seus olhos os acompanham aproximando-se mais e mais do horizonte. (Eu acho que ajuda ter uma música country tocando, se você realmente quer ter uma imagem mental vívida disso aí.) Esse é o fenômeno da perspectiva. Quando você tenta retratar o mundo tridimensional no seu campo de visão bidimensional, é preciso abdicar de algo.

As pessoas que primeiro descobriram o que acontece aqui foram aquelas que precisaram entender ao mesmo tempo como as coisas são e como parecem, e a diferença entre ambas, ou seja, os pintores. O momento, no início do Renascimento italiano, no qual os pintores entenderam a perspectiva foi aquele em que as coisas mudaram para sempre; o instante em que as pinturas europeias deixaram de parecer os desenhos de seus filhos pregados na porta da geladeira (isso se seus filhos desenharam principalmente Jesus morto na cruz) e começaram a

parecer as coisas que eram pintadas.f

Como exatamente artistas como Filippo Brunelleschi vieram a desenvolver a moderna teoria da perspectiva é uma pergunta que tem ocasionado centenas de brigas entre historiadores da arte, não vamos entrar nisso. O que sabemos com certeza é que a descoberta juntou preocupações estéticas a novas ideias da matemática e da ótica. Um ponto central foi a compreensão de que as imagens que vemos são produzidas por raios de luz que incidem sobre os objetos e nele se refletem, e depois atingem nosso olho. Isso soa óbvio para o ouvido moderno, mas, acredite, não era óbvio na época. Muitos dos cientistas antigos, mais notoriamente Platão, argumentavam que a visão devia envolver algum tipo de fogo que emanava do olho. Essa perspectiva retrocede pelo menos até Alcméon de Crotona, um dos

esquisitões pitagóricos que conhecemos no Capítulo 2. O olho devia gerar luz,2 argumentava Alcméon: que outra fonte poderia haver para o fosfeno, as estrelinhas que você vê quando fecha os olhos e pressiona o globo ocular?

A teoria da visão por raios refletidos foi elaborada em grande detalhe pelo matemático cairota do século XI Abu ’Ali al-Hasan ibn al-Haytham (mas vamos chamá-lo de Alhazen, como faz a maioria dos autores ocidentais). Seu tratado sobre ótica, Kitab al-Manazir, foi traduzido para o latim e avidamente devorado por filósofos e artistas em busca de uma compreensão mais sistemática da relação entre a visão e a coisa vista. A questão principal é a seguinte: um ponto P na sua tela representa uma reta no espaço tridimensional. Graças a Euclides, sabemos que há uma única reta contendo quaisquer dois pontos específicos. Nesse caso, a reta é aquela que contém P e seu olho. Qualquer objeto no mundo que esteja nessa reta é pintado no ponto P.

Agora imagine que você é Filippo Brunelleschi parado na frente da pradaria plana, a tela à

sua frente, no cavalete, pintando os trilhos do trem.g A ferrovia consiste em dois trilhos, que

chamaremos de T e T . Cada um desses trilhos, desenhado na tela, vai parecer uma reta. E 1 2

exatamente como um ponto na tela corresponde a uma reta no espaço, uma reta na tela

corresponde a um plano. O plano P correspondente a T é o plano varrido pelas retas ligando 1 1 cada ponto do trilho ao seu olho. Em outras palavras, é um plano específico que contém tanto seu olho quanto o trilho T . Da mesma maneira, o plano P correspondente a T é aquele que 1 2 2 contém seu olho e T . Cada um dos dois planos corta a tela numa reta, e chamamos essas retas 2

de R e R . 1 2

 

Os dois trilhos são paralelos. Mas os dois planos não são. Como poderiam ser? Eles se encontram no seu olho, e planos paralelos não se encontram em nenhum lugar. Mas planos que não são paralelos precisam se interceptar numa reta. Nesse caso, a reta é horizontal, emanando do seu olho e prosseguindo paralela aos trilhos do trem. A reta, sendo horizontal, não se encontra com a pradaria – ela se lança rumo ao horizonte, sem nunca tocar o chão. Mas – e

aqui está a questão – ela se encontra com a tela em algum ponto V. Como V está no plano P , 1 que contém T , deve estar na reta R , onde P corta a tela. E como V está também no plano P , 1 1 1 2 que contém T , deve estar em R . Em outras palavras, V é o ponto na tela onde os trilhos do 2 2

trem pintados se encontram. Na verdade, qualquer trajetória reta sobre a pradaria que corra paralela aos trilhos da ferrovia será, sobre a tela, uma reta passando por V. V é o chamado ponto de fuga pelo qual devem passar as pinturas de todas as retas paralelas aos trilhos. Na verdade, todo par de trilhos paralelos determina algum ponto de fuga sobre a tela. A localização do ponto de fuga depende da direção para a qual as retas paralelas estão indo. (As únicas exceções são pares de retas paralelas à própria tela, como os dormentes entre os trilhos; eles continuam paralelos na pintura.)

A mudança conceitual que Brunelleschi fez aqui é o coração do que os matemáticos chamam de geometria projetiva. Em vez de pontos na paisagem, pensamos em retas através do nosso olho. À primeira vista, a distinção poderia parecer puramente semântica. Cada ponto no chão determina uma, e somente uma, reta entre o ponto e o nosso olho. Então, o que importa se pensamos no ponto ou pensamos na reta? A diferença é simplesmente esta: há mais retas através do nosso olho do que pontos no chão, porque há as retas horizontais, que não intersectam o chão. Estas correspondem aos pontos de fuga na nossa tela, os lugares onde os trilhos do trem se encontram. Você poderia pensar nessa reta como um ponto no chão “infinitamente distante” na direção dos trilhos. De fato, os matemáticos geralmente os chamam de pontos no infinito. Quando você pega o plano que Euclides conhecia e cola nele pontos no infinito, você obtém o plano projetivo. Eis uma figura dele:

A maior parte do plano projetivo parece o plano achatado regular ao qual você está acostumado. Mas o plano projetivo tem mais pontos, os chamados pontos no infinito: um para cada direção possível ao longo do qual uma reta pode ser orientada no plano. Você deve pensar no ponto P, que corresponde à direção vertical, como infinitamente alto ao longo do eixo vertical – mas também infinitamente baixo ao longo do eixo vertical. No plano projetivo, as duas extremidades do eixo y se encontram no ponto no infinito, e o eixo se revela não realmente uma reta, mas um círculo. Da mesma maneira, Q é o ponto que está infinitamente distante a nordeste (ou sudoeste!), e R é o ponto na extremidade do eixo horizontal. Ou melhor, em ambas as extremidades. Se você viajar infinitamente para a direita até chegar a R, e aí seguir viajando, vai se descobrir ainda viajando para a direita, só que agora voltando para o centro a partir da margem esquerda da figura.

Essa coisa de “sair para um lado e voltar pelo outro” fascinou o jovem Winston Churchill, que se recordava vividamente de uma epifania matemática em sua vida:

 

Certa vez tive uma sensação em relação à matemática, que eu via tudo – a profundidade além da profundidade me foi

revelada –, bismo e abismo. Eu vi, como se pode ver o movimento de Vênus – ou mesmo a parada de aniversário londrina,

uma grandeza passando pelo infinito e mudando de sinal, de mais para menos. Vi exatamente como acontecia e por que a

tergiversação era inevitável: e como um passo envolvia todos os outros. Era como a política. Mas foi depois do jantar, e eu

deixei passar!

 

Na verdade, o ponto R não é só o ponto extremo do eixo horizontal, mas de qualquer reta horizontal. Se duas retas diferentes são ambas horizontais, elas são paralelas. Todavia, em geometria projetiva, elas se encontram, no ponto do infinito. Perguntaram a David Foster Wallace, numa entrevista de 1996, acerca do final de Graça infinita, que muita gente considerou abrupto. Teria ele, indagou o entrevistador, evitado escrever um final porque “simplesmente se cansou de escrever”? Wallace respondeu, bastante irritado:

 

Pelo que me concerne, há um final.3 Supõe-se que certos tipos de retas paralelas comecem a convergir de tal modo que o

leitor possa projetar um “final” em algum lugar além da moldura direita. Se nenhuma convergência ou projeção dessas lhe

ocorreu, então o livro falhou para você.

 

O PLANO PROJETIVO tem o defeito de ser difícil de desenhar, mas a vantagem de tornar as regras da geometria muito mais aprazíveis. No plano euclidiano, dois pontos diferentes determinam uma única reta, e duas retas diferentes determinam um único ponto de interseção – a não ser que sejam paralelas, e nesse caso não se encontram. Em matemática, gostamos de regras e não gostamos de exceções. No plano projetivo, não é preciso fazer exceções para a regra de que duas retas se encontram num ponto, porque retas paralelas também se encontram. Quaisquer duas retas verticais, por exemplo, se encontram em P, e quaisquer duas retas apontando para o nordeste ou sudoeste se encontram em Q. Dois pontos determinam uma única

reta, duas retas se encontram num único ponto. Fim de papo.h

A geometria projetiva é perfeitamente simétrica e elegante, de um modo que a geometria plana clássica não consegue ser. Não é coincidência o fato de que a geometria projetiva tenha surgido naturalmente a partir de tentativas de solucionar o problema prático de retratar o mundo tridimensional numa tela plana. A elegância matemática e a utilidade prática são companheiras íntimas, como tem mostrado repetidamente a história da ciência. Às vezes os cientistas descobrem a teoria e deixam para os matemáticos descobrir por que é elegante, e outras vezes os matemáticos desenvolvem uma teoria elegante e deixam para os cientistas descobrir para que ela serve.

Uma coisa para a qual o plano projetivo é bom é a pintura figurativa. Outra, para escolher números de loteria.

 

Uma geometria minúscula

 

A geometria do plano projetivo é governada por dois axiomas.

 

Todo par de pontos é contido em exatamente uma reta comum.

Todo par de retas contém exatamente um ponto comum.

 

Tendo encontrado um tipo de geometria que satisfizesse esses dois axiomas perfeitamente sintonizados, era natural perguntar se haveria outra. Acontece que há uma porção. Algumas são grandes, algumas são pequenas. A mais minúscula de todas é chamada plano de Fano, em homenagem a seu criador, Gino Fano, que no fim do século XIX foi um dos primeiros matemáticos a levar a sério a ideia de geometrias finitas. A aparência dela é a seguinte:

 

Essa é uma geometria realmente pequena, consistindo apenas em sete pontos! As “retas” nessa geometria são as curvas mostradas no diagrama. São pequenas também, possuindo apenas três pontos cada. Elas são sete, seis delas têm aparência de retas e a outra aparência de um círculo. No entanto, essa assim chamada geometria, por mais exótica que seja, satisfaz os axiomas 1 e 2 tão bem quanto o plano de Brunelleschi.

Fano tinha uma abordagem admiravelmente moderna. Usando a frase de Hardy, ele tinha “o hábito da definição”, evitando a irrespondível pergunta de o que a geometria realmente era. Em vez disso, perguntava: que fenômenos se comportam como geometria? Nas palavras do próprio Fano: “Como base do nosso estudo, assumimos uma variedade qualquer de entidades de natureza qualquer, entidades que, por economia, chamaremos de pontos, mas de forma

bastante independente de sua natureza.”4

Para Fano e seus herdeiros intelectuais, não importa se uma reta “parece” uma reta, um círculo, um pato-bravo ou qualquer outra coisa. Tudo que importa é que as retas obedeçam às leis das retas estabelecidas por Euclides e seus sucessores. Se anda como geometria e grasna como geometria, nós chamamos de geometria. Para um determinado modo de pensar, essa atitude constitui uma ruptura entre a matemática e a realidade, e deve-se resistir a ela. Mas é uma visão muito conservadora. A ousada ideia de que podemos pensar geometricamente sobre

sistemas que não têm aparência de espaço euclidiano,i e até mesmo chamar esses sistemas de “geometrias”, de cabeça erguida, acabou revelando-se crítica para a compreensão da geometria do espaço-tempo relativista no qual vivemos. Hoje usamos ideias geométricas generalizadas para mapear paisagens na internet, que estão ainda mais distantes de qualquer coisa que Euclides pudesse ser capaz de reconhecer. Isso é parte da glória da matemática. Nós desenvolvemos um corpo de ideias. Uma vez que estejam corretas, elas são corretas, mesmo quando aplicadas longe, muito longe do contexto na qual foram inicialmente concebidas.

Por exemplo, eis novamente o plano de Fano, mas com os pontos rotulados pelos números de 1 a 7:

 

Parece familiar? Se listarmos as sete retas, registrando para cada uma o conjunto de três pontos que a constituem, obtemos:

 

124

135

167

257

347

236

456

Isso nada mais é que o pacote de sete bilhetes que vimos na última seção, aquele que acerta cada par exatamente uma vez, garantindo um retorno mínimo. Naquele momento, essa propriedade pareceu impressionante e mágica. Como poderia alguém surgir com um conjunto de bilhetes arranjado com tamanha perfeição?

Mas agora eu abri a caixa e revelei o truque: é simples geometria. Cada par de números aparece exatamente em um bilhete porque cada par de pontos aparece exatamente em uma reta. É apenas Euclides, ainda que agora estejamos falando de pontos e retas que Euclides não teria reconhecido como tais.

 

Desculpe, mas você disse “bofab”?

 

O plano de Fano nos diz como jogar a loteria de sete números da Transilvânia sem correr qualquer risco, mas e a loteria de Massachusetts? Há montes de geometrias finitas com mais que sete pontos, mas nenhuma, infelizmente, que atenda precisamente às exigências do Cash WinFall. É necessário algo mais geral. A resposta não vem diretamente da pintura renascentista nem da geometria euclidiana, mas de outra fonte improvável: a teoria do processamento digital de sinais.

Suponha que eu queira mandar uma mensagem importante para um satélite, como “Ligar o propulsor direito”. Satélites não falam inglês, então, o que estou de fato enviando é uma sequência de 1 e 0, que os cientistas da computação chamam de bits.

 

1110101 …

 

Essa mensagem parece direta e sem ambiguidade. No entanto, na vida real, os canais de comunicação têm ruídos. Talvez um raio cósmico atinja o satélite exatamente no momento em que ele está recebendo a transmissão e adultere um bit da mensagem, de modo que o satélite recebe

 

1010101 …

 

A mensagem não parece muito diferente, mas se a mudança do bit troca a instrução de “propulsor direito” para “propulsor esquerdo”, o satélite pode estar em sérios apuros.

Satélites são caros, então você realmente quer evitar o problema. Se estivesse tentando falar com um amigo numa festa barulhenta, você teria de se repetir para evitar que o ruído afogasse a mensagem. O mesmo artifício funciona com o satélite. Na nossa mensagem original, podemos repetir duas vezes cada bit, enviando 00 em vez de 0 e 11 em vez de 1:

 

11 11 11 00 11 00 11 …

 

Agora, quando o raio cósmico atinge o segundo bit da mensagem, o satélite vê

 

10 11 11 00 11 00 11 …

O satélite sabe que cada segmento de dois bits deve ser ou 00 ou 11, então aquele “10” inicial é uma bandeira vermelha, alguma coisa está errada. Mas o quê? É duro para o satélite descobrir. Como ele não sabe exatamente onde o ruído corrompeu o sinal, não há como saber se a mensagem original começava com 00 ou 11.

Esse problema também pode ser consertado. Basta repetir três vezes, em lugar de duas:

 

111 111 111 000 111 000 111 …

 

A mensagem chega corrompida da seguinte maneira:

 

101 111 111 000 111 000 111 …

 

Mas agora o satélite está numa boa. O primeiro segmento de três bits, ele sabe, deve ser 000 ou 111, de modo que a presença de 101 significa que algo está errado. Mas se a mensagem original fosse 000, dois bits muito próximos devem ter sido corrompidos, evento improvável, porque a frequência de raios cósmicos atingindo mensagens é bastante pequena. Então o satélite tem bons motivos para seguir a maioria: se dois dos três bits são 1, é muito boa a chance de que a mensagem original seja 111.

O que você acabou de testemunhar é um exemplo de código de correção de erros,

protocolo de comunicação que permite ao receptor eliminar os erros de um sinal com ruído.j A ideia, como basicamente tudo o mais na teoria da informação, vem do monumental artigo escrito por Claude Shannon em 1948, “Uma teoria matemática da comunicação”.

Uma teoria matemática da comunicação! Isso não soa um pouquinho pomposo? A comunicação não é fundamentalmente uma atividade humana que não pode ser reduzida a fórmulas e números frios?

Entenda o seguinte: eu endosso calorosamente, na verdade recomendo fortemente, um áspero ceticismo diante de todas as alegações que “tal e tal” entidade pode ser explicada, ou domada, ou completamente entendida, por meios matemáticos.

No entanto, a história da matemática é uma história de agressiva expansão territorial, à medida que as técnicas matemáticas ficam mais amplas e mais ricas e os matemáticos encontram formas de abordar questões antes julgadas fora de seu domínio. “Uma teoria matemática da probabilidade” agora soa familiar, mas na época poderia parecer uma enorme pretensão. A matemática dizia respeito ao certo e ao verdadeiro, e não ao casual e ao “talvez seja assim”! Tudo isso mudou quando Pascal, Bernoulli e outros descobriram leis matemáticas

que governavam o funcionamento do acaso.k Uma teoria matemática do infinito? Antes do trabalho de Georg Cantor, no século XIX, o estudo do infinito era tanto teologia quanto ciência. Agora compreendemos a teoria de Cantor de múltiplos infinitos, cada um infinitamente maior que o anterior, bem o bastante para ensiná-la a estudantes de matemática do 1º ano. (Para ser sincero, ela meio que pira a cabeça deles.)

Esses formalismos matemáticos não captam cada detalhe do fenômeno que descrevem, nem têm intenção de fazê-lo. Há questões sobre aleatoriedade, por exemplo, a respeito das quais a teoria da probabilidade se cala. Para algumas pessoas, os problemas que ficam fora do alcance da matemática são os mais interessantes. Contudo, pensar cuidadosamente sobre o acaso, nos dias atuais, sem ter a teoria da probabilidade presente em algum ponto é um erro. Se você não acredita em mim, pergunte a James Harvey. Ou melhor, pergunte às pessoas cujo dinheiro ele ganhou.

Haverá uma teoria matemática da consciência? Ou da sociedade? Da estética? Há gente tentando, até agora com sucesso apenas limitado. Você deve desconfiar de todas essas alegações por instinto. Mas deve também ter em mente que elas podem acabar acertando em alguns aspectos importantes.

De início, o código de correção de erros não parece matemática revolucionária. Se você está numa festa barulhenta, você repete o que diz, e problema resolvido! Mas essa solução tem um custo. Se você repetir três vezes cada pedacinho da sua mensagem, ela leva o triplo do tempo para ser transmitida. Isso talvez não seja problema numa festa, mas talvez fosse se você precisasse que o satélite ligasse o propulsor direito neste exato segundo. Shannon, no artigo em que lançou a teoria da informação, identifica a escolha básica com a qual os engenheiros precisam lidar até hoje: quanto mais resistente ao ruído você quer que seja o seu sinal, com mais lentidão seus bits são transmitidos. A presença do ruído insere um limite para o tamanho da mensagem que seu canal pode transmitir de forma confiável numa dada quantidade de tempo. Esse limite é o que Shannon chamou de capacidade do canal. Assim como um encanamento só pode escoar certa quantidade de água, um canal só pode escoar certa quantidade de informação.

Mas corrigir erros não requer que você torne seu canal três vezes mais largo, como no protocolo “repita três vezes”. Você pode se sair melhor, e Shannon sabia disso perfeitamente, porque um de seus colegas nos Laboratórios Bell, Richard Hamming, já havia descoberto como.

Hamming, jovem veterano do Projeto Manhattan,6 tinha acesso de baixa prioridade ao computador de relés mecânicos de 10 toneladas Modelo V dos Laboratórios Bell. Ele apenas tinha permissão de rodar seus programas nos fins de semana. O problema era que qualquer erro mecânico podia interromper sua computação, não havendo ninguém à disposição para religar a máquina até segunda-feira de manhã. Era muito irritante. E, como sabemos, a irritação é um dos grandes estímulos para o progresso técnico. Não seria melhor, pensou Hamming, se a máquina pudesse corrigir seus próprios erros e se manter ligada? Então ele desenvolveu um plano. Os dados de entrada para o Modelo V podiam ser pensados como uma série de 0 e 1, exatamente como a transmissão para o satélite – a matemática não se importa se esses dígitos são bits numa sequência digital, os estados de um relé elétrico ou furos numa tira de papel (na época, uma interface de dados refinadíssima).

O primeiro passo de Hamming foi quebrar a mensagem em blocos de três símbolos:

 

111 010 101 …

 

O código de Hammingl é uma regra que transforma cada um desses blocos de três dígitos numa sequência de sete dígitos. Eis o manual do código:

 

000 → 0000000

001 → 0010111

010 → 0101011

011 → 0111100

101 → 1011010

110 → 1100110

100 → 1001101

111 → 1110001

 

A mensagem codificada teria o seguinte aspecto:

 

1110001 0101011 1011010 …

 

Esses blocos de sete bits são chamados palavras de código. As oito palavras de código são os únicos blocos que o código permite. Se o receptor vir qualquer outra coisa chegar pelo fio, sem dúvida há algo errado. Digamos que você receba 1010001. Você sabe que isso não pode estar certo, porque 1010001 não é uma palavra de código. E mais, a mensagem que você recebeu difere em apenas uma posição da palavra de código 1110001. E não há nenhuma outra palavra de código que esteja tão perto da transmissão embaralhada que você efetivamente viu. Assim, você pode se sentir bastante seguro para adivinhar que a palavra de código que o seu correspondente quis enviar era 1110001, o que significa que o correspondente bloco de três dígitos na mensagem original era 111.

Você pode achar que nós apenas tivemos sorte. E se a transmissão misteriosa estivesse próxima de duas palavras de código diferentes? Não teríamos como fazer um julgamento confiante. Mas isso não pode ocorrer, e eis por quê. Olhe novamente as retas do plano de Fano:

 

124

135

167

257

347

236

456

 

Como você descreveria essa geometria para o computador? Computadores gostam de conversar em 0 e 1, então escreva cada reta como uma sequência de 0 e 1, onde 0 na posição n representa “ponto n está na reta” e 1 na posição n significa “ponto n não está na reta”. Logo, a primeira reta, 124, é representada como

 

0010111

 

e a segunda reta, 135, é

 

0101011

Você notará que ambas as sequências são palavras de código de Hamming. Na verdade, as sete palavras de código diferentes de 0 no código de Hamming correspondem exatamente às sete retas no plano de Fano. O código de Hamming e o plano de Fano (e, já que estamos no assunto, o pacote de bilhetes ideal para a loteria da Transilvânia) são exatamente o mesmo objeto matemático em duas roupagens diferentes!

Essa é a geometria secreta do código de Hamming. Uma palavra de código é um conjunto de três pontos no plano de Fano que formam uma reta. Trocar um bit na sequência equivale a adicionar ou apagar um ponto, então, enquanto a palavra de código original não for 0000000, a transmissão truncada que você recebe corresponde a um conjunto com quatro ou dois

pontos.m Se você recebe um conjunto de dois pontos, vai saber como descobrir o ponto que falta; é simplesmente o terceiro ponto na reta única que liga os dois pontos que você recebeu. E se você receber um conjunto de quatro da forma “reta mais um ponto extra”? Então você pode inferir que a mensagem correta consiste nos três pontos do seu conjunto que formam uma reta. Apresenta-se aqui uma sutileza: como você sabe que existe apenas um modo de escolher esse conjunto de três pontos? Para facilitar, vamos dar nomes aos pontos: A, B, C e D. Se A, B, C estão todos na mesma reta, então A, B e C deve ser o conjunto de pontos que o seu correspondente tentou lhe enviar. Mas e se A, C e D também estiverem numa reta? Não se preocupe: isso é impossível, porque a reta que contém A, B e C e a reta que contém A, C e D teriam dois pontos A e C em comum. Contudo, duas retas podem se intersectar apenas em um

ponto; a regra é essa.n Em outras palavras, graças ao axioma da geometria, o código de Hamming tem a mesma propriedade mágica de correção de erros que o “repita três vezes”; se uma mensagem é modificada durante o caminho em um único bit, o receptor sempre pode descobrir que mensagem o transmissor pretendia enviar. Mas em vez de multiplicar seu tempo de transmissão por três, seu novo código melhorado manda apenas sete bits para cada três bits da mensagem original, uma razão mais eficiente de 2,33.

A descoberta de códigos de correção de erros, tanto os primeiros códigos de Hamming quanto os códigos mais possantes que o seguiram, transformou a engenharia da informação. O objetivo não precisava mais ser construir sistemas tão pesadamente protegidos e duplamente conferidos, em que erros não podiam aparecer jamais. Depois de Hamming e Shannon, bastava tornar os erros raros o suficiente para que a flexibilidade do código de correção pudesse contra-atacar qualquer ruído que passasse. Os códigos de correção de erros são agora encontrados sempre que os dados precisam ser comunicados de forma rápida e confiável.

O satélite em órbita em torno de Marte, Mariner 9, enviou fotos da superfície do planeta para a Terra usando um código desses, o código de Hadamard. Os CDs são codificados com o código de Reed-Solomon, e é por isso que você pode arranhá-los, e eles ainda soam perfeitos. (Leitores nascidos após, digamos, 1990, que não têm familiaridade com CDs, podem simplesmente pensar em flash-drives, que usam, entre outras coisas, os códigos similares de Bose-Chaudhuri-Hocquenghem para evitar corrupção de dados.) O seu número de identificação bancária é codificado usando um código simples chamado checksum. Não se trata exatamente de um código de correção, mas apenas de um código de detecção de erros, como o protocolo “repita cada bit duas vezes”. Se você digita um número errado, o computador que está executando a transferência pode não ser capaz de identificar o número que você realmente quis digitar, mas pelo menos percebe que há algo de errado, e evita mandar seu dinheiro para o banco errado.

Não está claro se Hamming entendeu toda a extensão das aplicações de sua nova técnica, mas seus patrões na Bell decerto tinham alguma ideia, como ele descobriu quando tentou publicar seu trabalho:

 

O Escritório de Patentes não liberava a coisa até ter a cobertura de patente. … Eu não acreditava que pudessem patentear

um punhado de fórmulas matemáticas. Eu disse que não podiam. Eles disseram: “Você vai ver.” E estavam certos. Desde

então, fiquei sabendo que eu tenho uma compreensão muito parca da lei de patentes, porque, regularmente, coisas que não

se poderiam patentear – é ultrajante – podem ser patenteadas.7

 

A matemática avança com mais rapidez que o Escritório de Patentes. O matemático e físico suíço Marcel Golay ficou sabendo das ideias de Hamming por intermédio de Shannon, e desenvolveu ele mesmo muitos códigos novos, sem saber que o próprio Hamming havia elaborado os mesmos códigos por trás da cortina das patentes. Golay foi o primeiro a

publicar,8 o que gerou uma confusão sobre crédito que persiste até hoje. Quanto à patente, a Bell obteve-a, mas perdeu o direito de cobrar pela licença como parte de um acordo antitruste

de 1956.9

O que fez o código de Hamming dar certo? Para entender, você precisa chegar a ele vindo de outra direção e perguntar: o que o faria falhar?

Lembre-se, o terror de um código de correção de erros é um bloco de dígitos que esteja simultaneamente perto de duas palavras diferentes do código. Um receptor apresentado a uma sequência de bits contraventora ficaria desorientado a princípio, sem recursos para determinar qual palavra de código corrompida aparecia na transmissão original.

Parece que aqui estamos usando uma metáfora: blocos de dígitos binários não têm posições, então, a que estamos nos referindo quando dizemos “perto” de duas palavras de código diferentes? Uma das grandes contribuições conceituais de Hamming foi insistir em dizer que isso não era só uma metáfora, nem precisava ser. Ele introduziu uma nova noção de distância, agora chamada distância de Hamming, adaptada à nova matemática da informação exatamente como a distância entendida por Euclides e Pitágoras foi adaptada à geometria do plano. A definição de Hamming era simples: a distância entre dois blocos é o número de bits que você necessita alterar na ordem para transformar um bloco no outro. Assim, a distância entre as palavras de código 0010111 e 0101011 é 4; para passar da primeira para a última, você precisa mudar os bits na segunda, terceira, quarta e quinta posições.

As oito palavras de código de Hamming são um bom código porque nenhum bloco de sete bits está a uma distância de Hamming de 1 em relação a duas palavras diferentes do código. Se estivesse, as duas palavras do código estariam dentro de uma distância de Hamming de 2

uma da outra.o Mas você pode verificar sozinho e ver que nenhum par dessas palavras de código difere em apenas duas posições; na verdade, quaisquer duas palavras de código estão, entre si, a uma distância de Hamming de pelo menos 4. Você pode pensar nas palavras de código como algo semelhante a elétrons numa caixa, ou pessoas antissociais num elevador. Elas têm um espaço confinado para dividir e, dentro dessas restrições, tentam estabelecer a máxima distância mútua possível.

O mesmo princípio está por trás de todas as formas de comunicação resistentes a ruído. A linguagem natural funciona da seguinte maneira: se eu escrevo linvuagem em vez de linguagem , você pode descobrir o que eu queria dizer, porque não há nenhuma outra palavra que esteja distante por uma letra da palavra linvuagem . Isso cai por terra, claro, quando você começa a olhar palavras mais curtas: pano, cano, dano e mano – além de ano – são palavras que podem ser perfeitamente utilizadas, cada qual com seu significado, e um surto de ruído que apague o primeiro fonema torna impossível saber o que ele quer dizer. Mesmo nesse caso, porém, pode-se usar a distância semântica entre as palavras para ajudar a corrigir o erro. Se você fez uma roupa, provavelmente é pano; se conduziu água, provavelmente é cano; e assim por diante.

Você pode tornar a linguagem mais eficiente – porém, ao fazê-lo, depara com a mesma

difícil escolha que Shannon descobriu. Muita gente de credo nerd e/ou matemáticop tem trabalhado arduamente para criar linguagens que carreguem informação de maneira compacta e precisa, sem nada da redundância, sinonímia e ambiguidade que as línguas como a nossa

favorecem. Ro foi uma língua artificial10 criada em 1906 pelo reverendo Edward Powell Foster, que pretendia substituir o emaranhado do vocabulário inglês por um léxico no qual o sentido de cada palavra podia ser deduzido logicamente de seu som. Talvez não seja surpresa que entre os entusiastas do Ro estivesse Melvil Dewey, cujo Sistema Decimal Dewey impunha sobre o acervo da biblioteca pública uma organização igualmente rígida. De fato, o Ro é admiravelmente compacto; uma porção de palavras longas em inglês, como ingredient (“ingrediente”), ficam muito mais curtas em Ro, em que você simplesmente diz cegab.

Mas a compactação tem seu custo. Você perde a correção de erros que o inglês oferece como característica embutida. No elevador pequeno, lotado, os passageiros não têm muito espaço pessoal. Isso vale dizer que cada palavra em Ro é muito próxima de um monte de

outras, criando oportunidades de confusão. A palavra para “cor” em Ro é bofab. Mas se você mudar uma letra, formando bogab , tem a palavra para “som”. Bokab significa “eletricidade” e bolab significa “sabor”. Pior ainda, a estrutura lógica do Ro leva palavras de som similar a ter também sentidos similares, tornando impossível descobrir o que se passa a partir do

contexto. Bofoc, bofof, bofog e bofol significam “vermelho”, “amarelo”, “verde” e “azul”, respectivamente. Faz um pouco de sentido ter a semelhança conceitual representada no som, contudo, também dificulta muito falar sobre cores em Ro numa festa cheia de gente.

“Desculpe, você disse ‘bofoc’ ou ‘bofog’?”q

Algumas modernas línguas construídas, por outro lado, vão em outra direção, fazendo uso explícito dos princípios formulados por Hamming e Shannon. O lojban, um dos exemplos

contemporâneos mais bem-sucedidos,r tem uma regra estrita de que duas das raízes básicas, ou ginsu, jamais podem ser muito próximas foneticamente.

A noção de “distância” de Hamming segue a filosofia de Fano – uma grandeza que grasna como distância tem o direito de se comportar como distância. Mas por que parar aí? O conjunto de pontos a uma distância menor ou igual a 1 em relação a dado ponto central tem um nome em geometria euclidiana: chama-se círculo, ou, se adicionarmos dimensões superiores,

esfera.s Então, somos compelidos a chamar o conjunto de sequências a uma distância de

Hamming de no máximo 1t em relação a uma palavra de código como “esfera de Hamming”, com a palavra de código no centro. Para um código ser um código de correção de erros, nenhuma sequência – nenhum ponto, se vamos levar a analogia geométrica a sério – pode estar a uma distância menor que 1 de duas palavras de código diferentes; em outras palavras, pedimos que duas esferas de Hamming com centro nas palavras de código jamais tenham pontos em comum.

A questão de construir códigos de correção de erros tem a mesma estrutura que um problema clássico de geometria, o de empacotamento de esferas: como encaixamos num espaço pequeno um monte de esferas do mesmo tamanho da maneira mais apertada possível, de modo que duas delas não se superponham? De modo mais sucinto, quantas laranjas você consegue pôr numa caixa?

O problema do empacotamento de esferas é bem mais velho que os códigos de correção de

erros. Remonta ao astrônomo Johannes Kepler,11 que escreveu um livreto, em 1611, chamado Strena Seu De Nive Sexangula ou “O floco de neve de seis pontas”. Apesar do título bastante específico, o livro de Kepler contempla a questão geral da origem da forma natural. Por que os flocos de neve e os favos de uma colmeia formam hexágonos, enquanto as câmaras de sementes de uma maçã tendem a vir em grupos de cinco? E o mais relevante para nós agora: por que as sementes de romãs tendem a ter doze lados planos?

Eis a explicação de Kepler. A romã quer encaixar o máximo possível de sementes dentro da película. Em outras palavras, ela está realizando um problema de empacotamento de esferas. Se acreditarmos que a natureza faz o serviço da melhor maneira possível, então essas esferas devem ser arranjadas da forma mais densa possível. Kepler argumentou que o empacotamento mais compacto possível era obtido da maneira a seguir. Começamos com uma camada plana de sementes, arrumadas num padrão regular como:

 

A camada seguinte vai ter exatamente a mesma aparência que esta, só que colocada, astuciosamente, para que cada semente fique assentada no pequeno vão triangular formado pelas três sementes abaixo dela. Outras camadas se adicionam da mesma maneira. Aqui é bom ter um pouco de cuidado: apenas metade dos vãos vai sustentar esferas da camada acima, e em cada estágio você tem a opção de qual metade de vãos deseja preencher. A escolha costumeira, chamada reticulado cúbico de face centrada, tem uma bela propriedade: cada camada tem as esferas colocadas diretamente acima das esferas de três camadas abaixo. Segundo Kepler, não existe meio mais denso de empacotar esferas no espaço. A no empilhamento cúbico de face centrada, cada esfera toca exatamente doze outras. À medida que crescem as sementes da romã, raciocinou Kepler, cada uma se pressiona contra suas doze vizinhas, achatando sua superfície perto do ponto de contato e produzindo as figuras de doze lados observadas.

Não tenho ideia se Kepler tinha razão com respeito às romãs,u mas sua alegação de que o empilhamento cúbico de face centrada é o empacotamento de esferas mais denso tornou-se tema de enorme interesse matemático durante séculos. Kepler não ofereceu prova da sua afirmação; aparentemente, pareceu-lhe certo que o empilhamento cúbico de face centrada não podia ser superado. Gerações de quitandeiros, que empilham laranjas em configuração cúbica de face centrada sem preocupação nenhuma de saber se seu método é o melhor possível, concordam com ele. Os matemáticos, essa tribo exigente, queriam confirmação absoluta, e não em relação a círculos e esferas. Uma vez que você já está metido no reino da matemática pura, nada impede que vá além dos círculos e esferas para dimensões ainda mais altas, empacotando as chamadas hiperesferas de dimensão superior a 3. Será que a história geométrica dos empacotamentos de esferas de dimensão superior nos dá alguma compreensão sobre a teoria dos códigos de correção de erros, como aconteceu com a história geométrica do

plano projetivo? Nesse caso, o fluxo tem sido em sua maior parte no sentido oposto;v os insights da teoria da codificação instigaram progressos na área dos empacotamentos de esferas. John Leech, nos anos 1960, usou um dos códigos de Golay para construir um empacotamento incrivelmente denso de esferas 24-dimensionais, numa configuração agora conhecida como empilhamento de Leech. Esse é um lugar muito apertado, onde cada uma das esferas 24-dimensionais toca 196.560 de suas vizinhas. Ainda não sabemos se é o

empacotamento de 24 dimensões mais compacto possível, porém, em 2003, Henry Cohn w e

Abhinav Kumar12 provaram que, se houver um empilhamento mais denso, vencerá Leech por um fator de no máximo

 

1,00000000000000000000000000000165.

 

Em outras palavras, perto o suficiente.

Você pode ser perdoado por não dar importância a esferas 24-dimensionais e como ajeitá-las da melhor maneira possível, mas aqui está a coisa: qualquer objeto matemático tão impressionante quanto o empilhamento de Leech tende a ser importante. Acabou se descobrindo que o empilhamento de Leech era muito rico em simetrias de um tipo verdadeiramente exótico. John Conway, o mestre em teoria de grupos, ao deparar com o empilhamento, em 1968, calculou todas as simetrias numa orgia de doze horas de computação

em um único e gigantesco rolo de papel.13 Essas simetrias acabaram formando algumas das peças finais da teoria geral dos grupos de simetria finitos que preocupavam os algebristas

durante grande parte do século XII.x

 

QUANTO ÀS VELHAS e boas laranjas tridimensionais, acontece que Kepler estava certo: seu empacotamento era o melhor possível – mas isso ficou sem comprovação por quase quatrocentos anos, e afinal foi solucionado em 1998, pelas mãos de Thomas Hales, então professor na Universidade de Michigan. Hales resolveu o assunto com um argumento difícil e delicado, que reduzia o problema a uma análise de meros poucos milhares de configurações de esferas, com as quais lidou por meio de maciços cálculos de computadores. O argumento difícil e delicado não apresentava problema para a comunidade matemática. Estamos acostumados com eles, e essa parte do trabalho de Hales logo foi julgada e considerada correta. Os maciços cálculos de computador, por outro lado, eram mais traiçoeiros. Uma prova pode ser verificada até o último detalhe, mas um programa de computador é algo de outro tipo. Em princípio, um ser humano pode conferir cada linha de um programa. Todavia, mesmo depois de fazê-lo, como você pode ter certeza de que o programa rodou corretamente?

Os matemáticos aceitaram quase universalmente a prova de Hales, mas ele próprio parece ter sido picado pelo desconforto inicial com a dependência da prova em relação à computação. Desde a resolução da conjectura de Kepler, Hales se afastou da geometria, que o deixou famoso, e voltou-se para o projeto de verificação formal de provas. Ele vislumbra – e está trabalhando para criar – uma futura matemática com aspecto muito diferente da nossa. Na sua visão, as provas matemáticas, sejam elas auxiliadas pelo computador ou executadas por seres humanos, a lápis, tornaram-se tão complicadas e interdependentes que não podemos mais ter plena confiança em sua correção. A classificação de grupos simples finitos, o programa agora completo do qual a análise de Conway do empilhamento de Leech formou parte crucial, está distribuída em centenas de artigos de centenas de autores, totalizando cerca de 10 mil páginas. Nenhum ser humano vivo pode se considerar conhecedor de todo esse material. Então, como podemos dizer que realmente está certo?

Hales acha que não temos escolha a não ser começar tudo de novo, reconstruindo o vasto corpo do conhecimento matemático no interior de uma estrutura formal que possa ser verificada pela máquina. Se o programa que verifica a prova formal é ele próprio verificável (e isso, argumenta Hales, de forma convincente, é uma meta viável), podemos nos libertar para sempre de controvérsias como aquela que Hales enfrentou, debatendo se uma prova é realmente boa. E a partir daí? O passo seguinte talvez sejam computadores capazes de elaborar provas, ou mesmo de ter ideias, sem nenhuma intervenção humana.

Se isso efetivamente acontecer, terá terminado a matemática? É óbvio que, se as máquinas alcançarem e depois superarem os seres humanos em todas as dimensões mentais, usando-nos como escravos, rebanhos ou brinquedos, como predizem alguns dos futuristas mais extravagantes, então, sim, a matemática terá terminado, assim como todo o resto. Mas, fora isso, eu acho que a matemática provavelmente sobreviverá. Afinal, ela há décadas vem sendo auxiliada pelo computador. Muitos cálculos que um dia foram contados como “pesquisa” hoje não são considerados mais criativos ou elogiáveis que somar uma série de números de dez dígitos. Quando seu laptop pode fazer a conta, já não é mais matemática. Mas isso não tirou o trabalho da matemática. Nós conseguimos nos manter adiante do sempre crescente predomínio do computador, como heróis de filmes de ação que ganham a corrida de uma bola de fogo.

Será que a inteligência das máquinas do futuro irá nos liberar de grande parte do trabalho que hoje consideramos pesquisa? Se isso acontecer, reclassificaremos essa pesquisa como “computação”. O que quer que nós, seres humanos de mentalidade quantitativa, estivermos fazendo com nosso novo tempo livre, chamaremos isso de “matemática”.

O código de Hamming é bastante bom, mas ainda se pode esperar algo melhor. Afinal, há certo desperdício no código de Hamming. Mesmo nos tempos da fita perfurada e dos relés mecânicos, os computadores eram confiáveis o bastante para que todos os blocos de sete bits saíssem incólumes. O código parece conservador demais, e decerto nos daríamos bem acrescentando menos bits à prova de falhas à nossa mensagem. Isso é possível. E é isso que prova o famoso teorema de Shannon. Por exemplo, se os erros aparecem numa taxa de um para mil bits, Shannon nos diz que há códigos que tornam a mensagem apenas 1,2% mais longa que a forma não codificada. E, melhor ainda, fazendo os blocos básicos mais e mais compridos, você pode achar códigos que atinjam essa velocidade e satisfaçam qualquer grau desejado de confiabilidade, por mais estrito que seja.

Como Shannon construiu esses códigos excelentes? Bem, aí está, ele não construiu. Quando você encontra uma construção intrincada como a de Hamming, fica naturalmente inclinado a pensar que um código de correção de erros é algo muito especial, projetado e engendrado, torcido e retorcido até que cada par de palavras do código tenha sido delicadamente separado sem forçar qualquer outro par a se juntar a eles. A genialidade de Shannon foi notar que essa visão é totalmente errada. Os códigos de correção de erros são o oposto de alguma coisa especial. Shannon provou – e uma vez tendo ele entendido o que provar, realmente não foi tão difícil – que quase todos os conjuntos de palavras de código exibiam a propriedade de correção de erros. Em outras palavras, um código totalmente aleatório, sem nenhum projeto, tinha grande probabilidade de ser um código de correção.

Esse foi um avanço surpreendente, para dizer o mínimo. Imagine que você fosse incumbido da tarefa de construir um hovercraft. Sua primeira abordagem seria jogar aleatoriamente no chão um monte de partes de motor e tubulações de borracha, achando que o resultado disso fosse flutuar?

Quarenta anos depois, em 1986, Hamming, ainda impressionado, falou sobre a prova de Shannon:

 

Coragem é uma das coisas que Shannon tinha de forma suprema. Basta pensar no seu principal teorema. Ele quer criar um

método de codificação, mas não sabe o que fazer, então faz um código aleatório. Aí encalha. Então faz a pergunta

impossível: “O que faria o código aleatório médio?” Então prova que o código médio é arbitrariamente bom, e que portanto

deve haver pelo menos um código bom. Quem, a não ser um homem de coragem infinita, teria ousado pensar assim? Isso é

característico de grandes cientistas. Eles têm coragem. Eles prosseguem mesmo em circunstâncias incríveis. Pensam e

continuam a pensar.

 

Se um código aleatório tinha grande probabilidade de ser um código de correção de erros, qual o problema de Hamming? Por que não escolher palavras de código completamente aleatórias, assegurado pelo conhecimento de que o teorema de Shannon torna muito provável que o código corrija erros? Eis a questão desse plano: não basta que o código seja capaz de corrigir erros, em princípio; ele precisa ser prático. Se um dos códigos de Shannon usa blocos de tamanho cinquenta, então a quantidade de palavras do código é a quantidade de sequência 0-1 com 50 bits de comprimento, que é 2 elevado à potência 50, pouco mais de 1 quatrilhão. Número grande.

A sua espaçonave recebe um sinal, supostamente uma entre esse quatrilhão de palavras de código, ou pelo menos perto de ser uma. Mas qual? Se você tiver de passar pelo quatrilhão de palavras de código, uma a uma, estará em grandes apuros. É novamente a explosão combinatória, e nesse contexto ela nos força a fazer outra escolha. Códigos muito estruturados, como o de Hamming, tendem a ser fáceis de decodificar. Mas esses códigos muito especiais, como acabamos de descobrir, em geral não são tão eficientes quanto os códigos completamente aleatórios que Shannon estudou. Nas décadas entre aquela época e agora, os matemáticos tentaram dominar essa fronteira conceitual entre estrutura e aleatoriedade, batalhando para elaborar códigos aleatórios o bastante para serem rápidos, mas suficientemente estruturados para serem decodificáveis.

O código de Hamming é ótimo para a loteria da Transilvânia, mas não tão efetivo no caso do Cash WinFall. A loteria da Transilvânia só tem sete números; Massachusetts oferecia 46. Vamos precisar de um código maior. O melhor que pude encontrar para esse propósito foi

descoberto por R.H.F. Denniston,14 da Universidade de Leicester, em 1976. Ele é uma beleza.

Denniston escreveu uma lista de 285.384 combinações de seis números a partir de uma escolha de 48 números. A lista começa assim:

 

1 2 48 3 4 8

2 3 48 4 5 9

1 2 48 3 6 32 …

 

Os dois primeiros bilhetes têm quatro números em comum: 2, 3, 4 e 48. Mas – e aqui está o milagre do sistema de Denniston – você jamais encontrará quaisquer dois bilhetes que tenham cinco números em comum. Você pode traduzir o sistema de Denniston para um código, assim como fizemos com o plano de Fano: substituir cada bilhete por uma sequência de 48 1 e 0, com um 0 no lugar correspondente aos números no bilhete e 1 no lugar correspondente aos números ausentes no bilhete. O primeiro bilhete seria traduzido numa palavra de código.

 

000011101111111111111111111111111111111111111110

 

Verifique você mesmo: o fato de não haver dois bilhetes que tenham em comum cinco dos seis números significa que esse código, como o de Hamming, tem duas palavras de código

separadas por uma distância de Hamming não inferior a 4.y

Outra maneira de dizer isso é que toda combinação de cinco números aparece, no máximo, uma vez nos bilhetes de Denniston. E a coisa fica ainda melhor: na verdade, toda combinação

de cinco números aparece em exatamente um bilhete.z

Como você pode imaginar, muito cuidado é exigido na escolha dos bilhetes da lista de Denniston. Denniston incluiu no seu artigo acadêmico um programa de computador em Algol que verifica que a lista realmente tem a propriedade mágica que ele alega, um gesto bastante avançado para os anos 1970. Ainda assim, ele insiste que o papel do computador nessa colaboração deve ser entendido como estritamente subordinado ao seu próprio papel: “Eu gostaria, de fato, de deixar claro que todos os resultados aqui anunciados foram encontrados sem o recurso de computadores, embora eu sugira que os computadores possam ser usados para verificá-los.”

O Cash WinFall tem somente 46 números, então, para jogar no estilo de Denniston, você precisa destruir um pouco a bela simetria jogando fora todos os bilhetes do sistema Denniston contendo 47 ou 48. Isso ainda deixa você com 217.833 bilhetes. Suponha que você pegue US$ 435.666 de dentro do colchão e resolva jogar esses números. O que acontece?

A loteria sorteia seis números – digamos 4, 7, 10, 11, 34, 46. No improvável evento de que eles combinem exatamente com um de seus bilhetes, você ganhou a grande bolada. Mesmo que não, você ainda está na fila para ganhar uma saudável pilha de dinheiro por acertar cinco dos seis números. Você tem um bilhete com 4, 7, 10, 11, 34? Um dos bilhetes de Denniston é esse, então, o único jeito de você não ganhar é se o bilhete de Denniston com esses cinco números era 4, 7, 10, 11, 34, 47 ou 4, 7, 10, 11, 34, 48, e portanto foi para o lixo.

E quanto a uma combinação numérica diferente, como 4, 7, 10, 11, 46? Talvez você tenha tido azar da primeira vez, porque 4, 7, 10, 11, 34, 47 era um dos bilhetes de Denniston. Mas acontece que 4, 7, 10, 11, 46, 47 não pode estar na lista de Denniston, porque haveria cinco posições em comum com um bilhete que você já sabe que está lá. Em outras palavras, se o madito 47 não deixa você ganhar um prêmio da quina, não pode fazer você perder nenhum dos outros. O mesmo vale para 48. Assim, das seis possibilidades de acertar a quina:

 

4, 7, 10, 11, 34

4, 7, 10, 11, 46

4, 7, 10, 34, 46

4, 7, 11, 34, 46

4, 10, 11, 34, 46

7, 10, 11, 34, 46,

 

está garantido de que você tem pelo menos quatro delas entre seus bilhetes. Na verdade, se você comprar os 217.833 bilhetes de Denniston, terá:

 

2% de chance de acertar a grande bolada.

72% de chance de ganhar seis dos prêmios da quina.

24% de chance de ganhar cinco dos prêmios da quina.

2% de chance de ganhar quatro dos prêmios da quina.

 

Compare isso com a estratégia de Selbee, de usar Quick Pik para escolher bilhetes aleatoriamente. Nesse caso, há uma pequena chance, 0,3%, de ficar totalmente de fora dos prêmios da quina. Pior, há 2% de chance de tirar só um desses prêmios, 6% de tirar dois, 11% de tirar três e 15% de tirar quatro. Os retornos garantidos da estratégia de Denniston são substituídos pelo risco. Naturalmente esse risco tem seu lado positivo também. A equipe de Selbee tem 32% de chance de tirar mais que seis desses prêmios, o que é impossível se você escolher seus bilhetes de acordo com Denniston. O valor esperado dos bilhetes de Selbee é o mesmo que os de Denniston, ou de qualquer outra pessoa. Mas o método de Denniston protege o jogador dos ventos do acaso. Para jogar na loteria sem risco, não basta jogar centenas de milhares de bilhetes. Você tem de jogar as centenas de milhares de bilhetes certas.

Teria sido por causa dessa estratégia que a Random Strategies passava o tempo preenchendo as centenas de milhares de bilhetes à mão? Estariam usando o sistema de Denniston, desenvolvido no espírito de uma matemática completamente pura, para sugar dinheiro da loteria sem riscos para si mesmos? Esse é o ponto em que meu relato bate com a cara no muro. Consegui entrar em contato com Yuran Lu, mas ele não sabia exatamente como aqueles bilhetes haviam sido escolhidos. Disse-me apenas que tinham um “sujeito para consultar” nos alojamentos dos alunos que lidava com todas essas questões algorítmicas. Não posso ter certeza de que o sujeito usava o sistema de Denniston ou algo parecido. No entanto, se não usava, acho que ele deveria ter usado.

 

Ok, tudo bem, você pode jogar na loteria

 

A essa altura, já documentamos exaustivamente como a opção de jogar na loteria é quase sempre pobre em termos da quantia esperada, e como, mesmo nos raros casos em que o valor monetário esperado de um bilhete de loteria excede seu custo, exige-se grande cuidado para extrair o máximo possível de utilidade esperada dos bilhetes que você compra.

Isso deixa aos economistas com mentalidade matemática um fato inconveniente para explicar, o mesmo que deixou Adam Smith perplexo mais de duzentos anos atrás: loterias são muito, muito populares. A loteria não é o tipo de situação estudada por Ellsberg, na qual pessoas se defrontam com decisões contra chances desconhecidas e impossíveis de conhecer. A minúscula chance de ganhar na loteria está afixada aí para que todos vejam. O princípio de que as pessoas tendem a fazer escolhas que mais ou menos maximizem sua utilidade é um pilar da economia e faz um bom serviço para modelar o comportamento em tudo, desde práticas nos negócios até escolhas românticas. Mas não a loteria. Esse tipo de comportamento irracional é tão inaceitável para determinadas espécies de economistas quanto o valor irracional da hipotenusa era para os pitagóricos. Ele não se encaixa no modelo daquilo que pode ser. No entanto, ele é.

Os economistas são mais flexíveis que os pitagóricos. Em vez de afogar iradamente os portadores de más notícias, eles ajustam seus modelos de modo a se encaixar na realidade. Um relato popular foi fornecido pelos nossos velhos companheiros Milton Friedman e Leonard Savage, que propuseram a ideia de que os jogadores da loteria seguem uma rebuscada curva de utilidade, refletindo o que as pessoas pensam sobre riqueza em termos de classes, e não quantidades numéricas. Se você é um trabalhador de classe média que gasta cinco paus por semana em loteria e perde, essa escolha lhe custa um pouco de dinheiro, mas não altera sua posição de classe. Apesar da perda de dinheiro, a utilidade negativa é bastante próxima de zero. Mas se você ganhar, bom, isso desloca você para outro estrato da sociedade. Você pode pensar nisso como o modelo do “leito de morte” – no seu leito de morte, você vai se importar porque morreu com um pouquinho menos de dinheiro por ter jogado na loteria? Provavelmente não. Vai se importar em se aposentar aos 35 anos e passar o resto da vida praticando mergulho por ter ganhado o grande prêmio da loteria? Sim. Você vai dar importância a isso.

Num afastamento maior da teoria clássica, Daniel Kahnemann e Amos Tversky sugeriram que as pessoas em geral tendem a seguir um caminho diferente daquele imposto pelas exigências da curva de utilidade, não só quando Daniel Ellsberg lhes põe uma urna na frente da cara, mas no curso geral da vida. Sua “teoria do prospecto” (ou “teoria da perspectiva”), que posteriormente valeu o Prêmio Nobel a Kahnemann, agora é vista como o documento básico da economia comportamental, que visa a modelar com a maior fidelidade possível a maneira com que as pessoas de fato atuam, e não, segundo uma noção abstrata da racionalidade, como elas deveriam agir. Na teoria de Kahnemann-Tversky, as pessoas tendem a colocar mais peso em eventos de baixa probabilidade do que uma pessoa obediente aos axiomas de Von Neumann-Morgenstern. Assim, a sedução do pote de ouro excede o que permitiria um cálculo estrito da utilidade esperada.

Mas a explicação mais simples não requer muito halterofilismo teórico. É simples: comprar um bilhete de loteria, quer você ganhe ou não, é, de maneira inofensiva, um divertimento. Não um divertimento como umas férias no Caribe, nem como passar a noite dançando numa festa, porém, um divertimentozinho de US$ 2, que tal? É bem possível. Há motivos para se duvidar dessa explicação (por exemplo, os próprios apostadores de loteria tendem a citar a perspectiva de ganhar como a razão principal de se jogar), mas ela serve muito bem para explicar o comportamento que observamos.

Economia não é como física, e utilidade não é como energia. Ela não é conservativa, e uma interação entre dois seres pode deixar ambos com mais utilidade do que tinham no início. Essa é a visão ensolarada que o adepto do livre mercado tem da loteria. Ela não é um imposto regressivo, é um jogo no qual as pessoas pagam ao Estado uma pequena taxa por alguns minutos de entretenimento que o Estado pode prover de forma muito barata, e os recursos mantêm as bibliotecas abertas e a iluminação da rua funcionando. Exatamente como quando dois países transacionam entre si, as duas partes da transação levam vantagem.

Então, sim, jogue na loteria, se você se diverte jogando. A matemática lhe dá permissão!

No entanto, há problemas nesse ponto de vista. Eis novamente Pascal, uma opinião tipicamente morosa sobre a excitação de jogar:

 

Este homem passa a vida sem se cansar de jogar todo dia por uma aposta baixa. Dê-lhe toda manhã o dinheiro que ele pode

ganhar diariamente, na condição de não jogar; você o deixará infeliz. Talvez se diga que ele busca o divertimento do jogo, e

não ganhar. Faça-o jogar por nada; ele não se empolgará com isso e se sentirá entediado. Então, não é só o divertimento que

ele busca; um divertimento leve e desapaixonado o cansará. Ele precisa se excitar com isso, e se iludir com a fantasia de

que ficará feliz em ganhar o que não aceitaria como presente sob a condição de não jogar.15

 

Pascal via os prazeres do jogo como algo desprezível. Desfrutados em excesso, eles podem ser prejudiciais. O raciocínio que endossa as loterias também sugere que os negociantes de metanfetamina e seus clientes desfrutam uma relação ganha-ganha similar. Pode-se dizer o que quiser sobre a metanfetamina, você não pode negar que ela é ampla e

sinceramente apreciada.aa

Que tal outra comparação? Em vez de drogados fissurados, pense em donos de pequenos negócios, o orgulho dos Estados Unidos. Abrir uma loja ou vender um serviço não é a mesma coisa que comprar um bilhete de loteria. Você tem alguma medida de controle sobre seu sucesso. Mas os dois empreendimentos têm algo em comum: para a maioria das pessoas, abrir um negócio é uma aposta ruim. Não importa quanto você acredita que o seu churrasco seja delicioso, quanto você espera que seu aplicativo seja inovador, quanto você pretende que suas práticas comerciais sejam agressivas, quase malignas – você tem muito mais probabilidade de fracassar que de ter êxito. Essa é a natureza do empreendedorismo: você pesa uma probabilidade muito, muito pequena de ganhar uma fortuna contra uma probabilidade modesta de ganhar algo que dê para viver, contra uma probabilidade substancialmente maior de perder seu dinheiro. Para uma proporção grande de empreendedores potenciais, quando você espreme os números, o valor financeiro esperado, como o de um bilhete de loteria, é menos que zero.

Empreendedores típicos (como fregueses de loteria típicos) superestimam suas chances de

sucesso. Mesmo negócios que sobrevivem 16 em geral dão aos seus proprietários menos dinheiro do que ganhariam em salário trabalhando numa empresa já existente. No entanto, a sociedade se beneficia de um mundo no qual as pessoas, contrariando um julgamento mais sensato, abrem negócios. Queremos restaurantes, queremos barbeiros, queremos jogos nos smartphones. Será o empreendedorismo “um imposto sobre a estupidez”? Você seria chamado de louco se dissesse isso. Em parte porque nós valorizamos o dono de um negócio mais que valorizamos um jogador. É difícil separar nossos sentimentos morais em relação a uma atividade dos julgamentos que fazemos sobre sua racionalidade. Mas parte disso – a maior parte – é que a utilidade de dirigir um negócio, como a utilidade de comprar um bilhete de loteria, não é medida apenas em dinheiro esperado. O próprio ato de realizar um sonho, ou mesmo de tentar realizá-lo, é parte da recompensa.

Em todo caso, foi isso que James Harvey e Yuran Lu decidiram. Depois da queda do WinFall, mudaram-se para o Oeste e fundaram uma startup no Vale do Silício que vende sistemas de chat on-line para empresas. (A página contendo o perfil de Harvey menciona timidamente “estratégias de investimento não tradicionais” entre seus interesses.) Enquanto escrevo, eles ainda estão à procura de capital. Talvez consigam. Contudo, se não conseguirem, aposto que você os verá começarem de novo, valor esperado ou não, na esperança de que o próximo bilhete seja o vencedor.

 

a Analistas como Nassim Nicholas Taleb argumentam, de forma persuasiva, em minha opinião, que é um erro fatal atribuir probabilidades numéricas a eventos financeiros raros.

b Claro que há amplos motivos para acreditar que algumas pessoas dentro dos bancos sabiam que seus investimentos tinham enorme propensão a naufragar e mentiram a esse respeito. A questão é que mesmo quando os banqueiros são honestos os incentivos os empurram na direção de assumir riscos estúpidos, com eventual prejuízo do público.

c Se você contar os anos bissextos, são 366, mas não vamos ficar preocupados com a precisão.

d A primeira pessoa no par pode ser qualquer uma das trinta presentes na sala, e a segunda, qualquer uma das 29 restantes, dando 30 × 29 alternativas; mas isso conta cada par duas vezes, pois conta {Ênio, Beto} e {Beto, Ênio} separadamente; logo, o número certo de pares é = 435.

e A menos que tenha ouvido falar de um googolplex; este, sim, é um número grande, cara.

f Ou pelo menos parecidas com certos tipos de representações óticas das coisas pintadas, nas quais, ao longo dos anos, começamos a pensar como realistas; o que conta como “realismo” tem sido sujeito a acaloradas disputas entre críticos de arte desde que a crítica de arte existe.

g É um anacronismo, tudo bem, mas vamos nessa.

h Mas e se as retas contendo R forem todas horizontais e as retas contendo P forem todas verticais, o que é a reta que passa por R e P? É uma reta que não desenhamos, a reta no infinito, que contém todos os pontos no infinito e nenhum dos pontos do plano euclidiano.

i Para ser justo, há outro sentido no qual o plano de Fano realmente tem aparência de uma geometria mais tradicional. Descartes nos ensinou a pensar em pontos no plano como pares de coordenadas x e y, que são números reais. Se você usar a construção de Descartes, mas desenhar as coordenadas a partir de sistemas numéricos diferentes dos números reais, você

obtém outras geometrias. Se você fizer geometria cartesiana usando o sistema booliano de números, 5 adorado pelos cientistas da computação, que possui apenas dois números, os bits 0 e 1, você obtém o plano de Fano. Essa é uma história linda, mas não é a que estamos contando no momento. Ver as notas finais para saber mais um pouco.

j E todo sinal tem ruído, em maior ou menor grau.

k The Emergence of Probability, de Ian Hacking, inclui de forma magnífica essa história.

l Para os que fazem questão dos detalhes técnicos, o que estou descrevendo aqui é na verdade um dual do código de Hamming habitual; neste caso, um exemplo de código de Hamming perfurado.

m Se a palavra de código original é 0000000, então a versão com um bit errado tem seis 0 e apenas um 1, dando ao receptor bastante confiança de que o sinal pretendido era 0000000.

n Se você não pensou nisso antes, provavelmente achou que o argumento deste parágrafo é difícil de acompanhar. A razão disso é que você não pode introduzir um argumento desses no seu cérebro simplesmente sentado e lendo – você tem que pegar uma caneta e tentar anotar um conjunto de quatro pontos que contenha duas retas diferentes no plano de Fano, aí perceber que não consegue e entender por que não conseguiu. Não há outro jeito. Eu encorajo você a escrever diretamente no livro, se não o pegou emprestado na biblioteca nem o estiver lendo na tela.

o Para os entendidos: a distância de Hamming satisfaz a desigualdade triangular.

p Não é a mesma coisa!

q Eu gostaria de pensar que o fato de bebop ser a palavra em Ro para “elástico” é um fragmento não descoberto da história secreta do jazz, mas provavelmente é só uma coincidência.

r Segundo as Perguntas Mais Comuns em lojban.org, o número de pessoas que sabem falar lojban em nível de conversação “abrange mais do que pode ser contado nos dedos de uma das mãos”, o que, neste ramo, é de fato muito bom.

s Para ser mais preciso, uma esfera é o conjunto de pontos à distância exata de 1 do seu centro; o espaço aqui descrito, uma esfera preenchida, geralmente é chamado bola.

t O que vale dizer, à distância de 0 ou 1, uma vez que as distâncias de Hamming, ao contrário das usuais, em geometria, precisam ser números inteiros.

u No entanto, sabemos que os átomos nas formas sólidas de alumínio, cobre, ouro, irídio, chumbo, níquel, platina e prata se arranjam em forma cúbica de face centrada. Mais um exemplo de teoria matemática encontrando aplicações que seus criadores jamais teriam imaginado.

v Embora, em contextos em que os sinais são modelados como sequências de números reais, e não sequências de 0 e 1, o problema do empacotamento de esferas seja precisamente aquilo de que se precisa para projetar códigos de correção de erros.

w Cohn trabalha na Pesquisa da Microsoft, que de certa forma é uma continuação do modelo dos Laboratórios Bell de matemática pura respaldada por indústria de alta tecnologia, na esperança de beneficiar a ambas.

x Mais uma história longa e tortuosa demais para percorrer aqui, mas veja Symmetry and the Monster, de Mark Ronan.

y Qual é o sentido, se Shannon provou que uma escolha de código totalmente aleatória deve funcionar igualmente bem? Sim, num certo sentido, mas seu teorema, na forma mais forte, requer que as palavras de código possam ficar tão longas quanto se desejar. Num caso como esse, em que as palavras de código são fixas num comprimento de 48, você pode bater o código aleatório com um pouco de cuidado adicional, e foi exatamente o que Denniston fez.

z Em termos matemáticos, isso ocorre porque a lista de bilhetes de Denniston forma o que é chamado sistema de Steiner. Em janeiro de 2014, Peter Keevash, jovem matemático de Oxford, anunciou um avanço fundamental, provando a existência de mais ou menos todos os possíveis sistemas de Steiner que os matemáticos vêm considerando.

aa Não estou inventando esse argumento. Se você quiser examiná-lo na totalidade, veja a teoria do vício racional de Gary Becker e Kevin Murphy.