18. “A partir do nada criei um estranho Universo novo”

 

CONDORCET ACHAVA QUE perguntas como “Quem é o melhor líder?” tinham algo parecido com uma resposta certa, e que os cidadãos eram mais ou menos semelhantes a instrumentos científicos para investigar esses problemas, sujeitos a desajustes nas medições, com certeza, mas em média bastante acurados. Para ele, democracia e regra da maioria eram formas de não estar errado com a ajuda da matemática.

Agora não falamos de democracia da mesma maneira. Para a maioria das pessoas, atualmente, o apelo da escolha democrática é que ela é justa. Falamos a linguagem dos direitos e acreditamos, com base moral, que as pessoas deveriam ser capazes de escolher seus próprios governantes, sejam as escolhas sensatas ou não.

Essa não é apenas uma discussão sobre política, é uma questão fundamental, que se aplica a todo campo de empenho mental. Queremos descobrir o que é verdadeiro, ou tentamos descobrir que conclusões são permitidas segundo nossas regras e nossos procedimentos? Felizmente essas duas noções com frequência concordam; mas toda dificuldade, e portanto todo material conceitualmente interessante, ocorre nos pontos em que elas divergem.

Você pode pensar que, obviamente, na maior parte das vezes, queremos descobrir o que é verdadeiro. Mas nem sempre é esse o caso quando se trata de lei criminal, em que a diferença se apresenta de modo cru, na forma de réus que cometeram o crime, mas não podem ser condenados (digamos, porque a evidência foi obtida de modo inadequado), ou que são inocentes, porém, de toda forma, acabam condenados. O que é justiça? Punir os culpados e libertar os inocentes, ou seguir os procedimentos criminais aonde quer que eles nos levem? Em ciência experimental, já vimos a disputa entre R.A. Fisher, de um lado, e Jerzy Neyman e Egon Pearson, de outro. Será que tentamos, como pensava Fisher, descobrir quais hipóteses devemos considerar verdadeiras? Ou devemos seguir a filosofia de Neyman-Pearson, na qual resistimos a pensar sobre a verdade das hipóteses e simplesmente indagamos: que hipóteses devemos autenticar como corretas, sejam elas verdadeiras ou não, segundo as regras de inferência escolhidas?

Mesmo em matemática, em teoria, a terra da certeza, deparamos com esses problemas, e não em algum misterioso reduto da pesquisa contemporânea, mas na velha e simples geometria clássica. A matéria fundamenta-se nos axiomas de Euclides que indicamos no capítulo anterior. O quinto axioma,

 

“Se P é um ponto e R uma reta não passando por P, existe exatamente uma reta passando por P e paralela a R”,

é um pouco engraçado, não? Por algum motivo, ele é um pouco mais complicado, um pouco menos óbvio, que os demais. De qualquer maneira, foi assim que os geômetras o encararam

 

durante séculos.a Acredita-se que o próprio Euclides não gostava muito do quinto axioma, provando as 28 primeiras proposições nos Elementos apenas com os quatro primeiros.

Um axioma deselegante é como uma mancha no canto do piso; em si, ela não atrapalha o caminho, mas é de deixar louco, e pode-se passar uma quantidade absurda de tempo esfregando, polindo, tentando deixar a superfície limpa e bonita. No contexto matemático, isso redundou em tentativas de mostrar que o quinto axioma, o chamado postulado das paralelas, era consequência dos outros. Se assim fosse, o axioma poderia ser retirado da lista de Euclides, deixando-a impecável e reluzente.

No entanto, depois de 2 mil anos sendo esfregada, a mancha continuava lá.

Em 1820, o nobre húngaro Farkas Bolyai, que em vão dedicara anos da sua vida ao problema, alertou seu filho János para não seguir o mesmo caminho:

 

Você não deve tentar essa abordagem das paralelas. Conheço o caminho até o fim. Atravessei essa noite insondável, que

extinguiu toda a luz e alegria da minha vida. Eu lhe suplico, deixe as paralelas em paz. … Eu estava pronto a me tornar o

mártir que removeria essa falha da geometria, devolvendo-a purificada à humanidade. Realizei tarefas enormes, gigantescas;

minhas criações são muito melhores que as de outros, todavia não obtive sucesso completo. … Dei meia-volta quando vi que

nenhum homem pode alcançar as profundezas da noite. Dei meia-volta inconsolável, com pena de mim mesmo e de toda a

humanidade. Aprenda com o meu exemplo.1

 

Filhos nem sempre ouvem o conselho dos pais, e matemáticos nem sempre desistem com facilidade. O jovem Bolyai continuou trabalhando nas paralelas, e em 1823 havia delineado uma solução para o antigo problema. Escreveu de volta ao pai, dizendo:

 

Descobri coisas tão maravilhosas que fiquei perplexo, e seria uma imensa má sorte se elas se perdessem. Quando você, meu

querido pai, as vir, compreenderá. No presente momento, nada posso dizer exceto isso: que a partir do nada criei um

estranho Universo novo.

 

O insight de János Bolyai foi atacar o problema de trás para a frente. Em vez de tentar provar o postulado das paralelas a partir dos outros axiomas, permitiu à sua mente a liberdade de indagar: e se o axioma das paralelas fosse falso? A consequência seria uma contradição? Ele descobriu que a resposta para essa pergunta era “Não” – havia outra geometria, não a de Euclides, mas alguma outra coisa, na qual os primeiros quatro axiomas estavam corretos, mas o postulado das paralelas, não. Logo, não pode haver prova do postulado das paralelas a partir dos outros axiomas. Essa prova excluiria a possibilidade da geometria de Bolyai. Mas aí estava ela, essa nova geometria.

Às vezes um desenvolvimento matemático “está no ar” – por razões ainda malcompreendidas, a comunidade está pronta para certos progressos que estão por vir, e estes aparecem de diversas fontes ao mesmo tempo. Exatamente enquanto Bolyai construía sua

geometria não euclidiana na Áustria-Hungria, Nikolai Lobachevskiib fazia o mesmo na Rússia. E o grande Carl Friedrich Gauss, velho amigo de Bolyai pai, havia formulado muitas das mesmas ideias num trabalho que ainda não fora impresso. (Ao ser informado do artigo de Bolyai, Gauss respondeu, de forma um tanto descortês: “Elogiá-lo equivaleria a elogiar a mim

mesmo.”2)

Descrever a chamada geometria hiperbólica de Bolyai, Lobachevskii e Gauss exigiria um pouco mais de espaço do que aquele de que dispomos. No entanto, como observou Bernhard Riemann algumas décadas depois, existe uma geometria não euclidiana mais simples, que não é absolutamente um novo Universo maluco: a geometria da esfera.

Revisitemos nossos quatro primeiros axiomas:

 

• Dois Pontos distintos determinam uma única Reta.

• Qualquer segmento de Reta pode ser estendido para um segmento de Reta de qualquer

comprimento desejado.

• Para todo segmento de Reta R há um Círculo que tem R como raio.

• Todos os Ângulos Retos são congruentes entre si.

 

Você pode notar que fiz uma pequena modificação tipográfica, deixando em maiúsculas as iniciais dos termos geométricos ponto, reta, círculo e ângulo reto. Não fiz isso para dar aos axiomas uma aparência de estilo antigo na página, mas para enfatizar que, a partir de um ponto de vista estritamente lógico, não importa como se chamam “pontos” e “retas” – poderiam se chamar “sapos” e “tangerinas” –, a estrutura da dedução lógica a partir do axioma seria exatamente a mesma. É exatamente como o plano de sete pontos de Gino Fano, em que as “retas” não têm a aparência das retas que aprendemos na escola, mas não faz mal, o importante é que elas agem como retas no que concerne às regras da geometria. Seria melhor, de certo modo, chamar pontos de sapos e retas de tangerinas, porque o objetivo é nos libertarmos dos preconceitos em relação ao significado real das palavras Ponto e Reta.

 

Eis o que eles significam na geometria esférica de Riemann. Um Ponto é um par de pontos na esfera que são antípodas, ou diametralmente opostos, um do outro. Uma Reta é um “círculo máximo” – ou seja, um círculo sobre a superfície da esfera, e um segmento de Reta é um segmento desse círculo. Um Círculo é um círculo, agora autorizado a ter qualquer tamanho.

Com essas definições, os quatro primeiros teoremas de Euclides são verdadeiros! Dados dois pontos quaisquer – isto é, dois pares quaisquer de pontos antípodas sobre a esfera –,

existe uma Reta – isto é, um círculo máximo – que os une.c E mais (embora não seja um dos axiomas): quaisquer duas retas se intersectam em um único Ponto.

Você poderia reclamar do segundo axioma. Como podemos dizer que um segmento de Reta pode ser estendido para qualquer comprimento, se ele nunca pode ser mais comprido que a Reta em si, que é a circunferência da esfera? Essa é uma objeção razoável, mas se reduz a uma questão de interpretação. Riemann interpretou o axioma entendendo que retas eram ilimitadas, e não que tinham extensão infinita. Essas duas noções são sutilmente distintas. As Retas de Riemann, que são círculos, têm comprimento finito, mas são ilimitadas; é possível percorrê-las para sempre, sem parar.

Mas o quinto axioma é outra história. Suponha que tenhamos um ponto P e uma Reta R não contendo P. Há exatamente uma Reta passando por P que seja paralela a R? Não, por uma razão muito simples: em geometria esférica, não há essas coisas chamadas retas paralelas! Quaisquer dois grandes círculos numa esfera precisam estar em interseção.

 

Prova de um só parágrafo: qualquer círculo máximo C corta a superfície da esfera em duas partes iguais, tendo ambas a mesma área. Chamemos essa área de A. Agora suponha outro círculo máximo, C’, que seja paralelo a C. Como ele não intersecta com C, deve estar totalmente encerrado em um dos lados de C, numa dessas duas semiesferas de área A. Mas isso significa que a área englobada por C’ é menor que A, o que é impossível, pois todo círculo máximo engloba exatamente A.

Isso derruba o postulado das paralelas de forma espetacular. (Na geometria de Bolyai, a situação é exatamente a oposta: há retas paralelas demais, não de menos; na realidade, há infinitas retas passando por P que são paralelas a R. Como você pode imaginar, essa geometria é um pouco mais difícil de visualizar.)

Se essa estranha condição, em que duas retas nunca são paralelas, soa familiar é porque já estivemos aqui. Esse é exatamente o mesmo fenômeno que vimos no plano projetivo, que

Brunelleschi e seus colegas pintores usaram para desenvolver a teoria da perspectiva.d Aí, também, todo par de retas se encontra. E isso não é coincidência – pode-se provar que a geometria de Riemann de Pontos e Retas sobre a esfera é a mesma que a do plano projetivo.

Quando interpretados como enunciados acerca de Pontos e Retas sobre a esfera, os primeiros quatro axiomas são verdadeiros, mas o quinto, não. Se o quinto axioma fosse uma consequência lógica dos quatro primeiros, então a existência da esfera apresentaria uma contradição – o quinto axioma seria ao mesmo tempo verdadeiro (em virtude da verdade dos primeiros quatro) e falso (em virtude daquilo que sabemos sobre esferas). Pela boa e velha reductio ad absurdum, isso significa que esferas não existem. Mas esferas existem. Então, o quinto axioma não pode ser provado a partir dos quatro primeiros, CQD.

Isso parece muito trabalho só para tirar uma mancha do piso. Mas a motivação para provar enunciados desse tipo não é apenas atribuir atenção obsessiva à estética (embora eu não possa negar que esses sentimentos desempenhem algum papel). Aí está: uma vez que você entende que os quatro primeiros axiomas se aplicam a muitas geometrias diferentes, então, qualquer teorema de Euclides comprovado usando-se apenas esses quatro axiomas deve ser verdadeiro, e não só na geometria de Euclides, mas em todas as geometrias em que os axiomas valem. Essa é uma espécie de multiplicador de forças matemático: a partir de uma prova, você obtém muitos teoremas.

Esses teoremas não tratam apenas de geometrias abstratas inventadas para provar uma ideia. Depois de Einstein, nós compreendemos que a geometria não euclidiana não é só um jogo – goste-se dela ou não, este é o aspecto real do espaço-tempo.

Essa história está presente repetidas vezes em matemática: nós desenvolvemos um método que funciona para um problema. Se o método é bom, se ele realmente contém uma ideia nova, é típico descobrirmos que a mesma prova funciona em muitos contextos distintos, que podem ser diferentes do original como uma esfera é diferente de um plano, ou ainda mais. Nesse momento, a jovem matemática italiana Olivia Caramello está fazendo um alvoroço ao afirmar que teorias que governam muitos campos diferentes da matemática estão intimamente relacionadas sob a superfície – se você gosta de termos técnicos, são “classificadas pelos mesmos topos de Grothendieck”; e que, como resultado, teoremas provados em um campo da matemática podem ser transportados livremente para teoremas em outra área, que em aparência seria totalmente diversa. É cedo demais para dizer se Caramello realmente “criou um estranho Universo novo”, como fez Bolyai, mas o trabalho dela está bem de acordo com a longa tradição da matemática da qual Bolyai fez parte.

Essa tradição é chamada “formalismo”. Era a ela que G.H. Hardy se referia ao comentar, de forma admirável, que os matemáticos do século XIX afinal haviam começado a se perguntar como coisas do tipo

 

1 − 1 + 1 − 1 + …

 

deveriam ser definidas, em vez de indagar o que eram. Desse modo, eles evitavam as “perplexidades desnecessárias” que haviam perseguido os matemáticos de épocas anteriores. Na versão mais pura dessa visão, a matemática torna-se uma espécie de jogo travado com símbolos e palavras. Um enunciado é um teorema precisamente se for consequência de axiomas mediante passos lógicos. Mas aquilo a que axiomas e teoremas se referem, o que significam, está à mão de qualquer um. O que é um Ponto, uma Reta, um sapo ou uma tangerina? Pode ser qualquer coisa que se comporte da maneira que os axiomas exigem, e o significado que devemos escolher é aquele que seja adequado às nossas atuais necessidades. Uma geometria puramente formal é uma geometria que, em princípio, pode ser feita sem jamais se ter visto ou imaginado um ponto ou uma reta; é uma geometria na qual é irrelevante o aspecto que pontos e retas, entendidos da maneira usual, realmente têm.

Hardy decerto teria reconhecido a angústia de Condorcet como perplexidade do tipo mais desnecessário. Teria aconselhado Condorcet a não perguntar quem era realmente o melhor candidato, ou nem mesmo quem o público queria pôr no cargo, e sim que candidato nós deveríamos definir como a escolha do público. Essa abordagem formalista da democracia é mais ou menos geral no mundo livre de hoje. Na disputada eleição presidencial de 2000 na Flórida, milhares de eleitores do condado de Palm Beach que acreditavam estar votando em Al Gore na verdade registraram seus votos para o candidato paleoconservador do Partido Reformista, Pat Buchanan, graças à confusamente designada “urna borboleta”. Se Gore tivesse recebido esses votos, ele venceria no estado e chegaria à Presidência.

Mas Gore não recebeu esses votos e nunca batalhou seriamente por eles. Nosso sistema eleitoral é formalista. O que conta é a marca feita na urna, não a característica, na mente do eleitor, que devemos presumir que essa marca indique. Condorcet teria se importado com a intenção do eleitor; nós, pelo menos oficialmente, não nos importamos. Condorcet teria se importado também com os moradores da Flórida que votaram em Ralph Nader. Presumindo, como parece seguro presumir, que a maioria deles preferia Gore a Bush, vemos que Gore é o candidato que o axioma de Condorcet declara vitorioso: a maioria preferia ele a Bush, e uma maioria ainda maior preferia ele a Nader. Mas essas preferências não são relevantes para o sistema que temos. Nós definimos a vontade pública como a marca que aparece com mais frequência em pedacinhos de papel coletados na urna de votação.

Mesmo esse número, claro, está aberto a discussão. Como contamos urnas perfuradas ou danificadas? O que fazer com votos despachados das bases militares de além-mar, a respeito dos quais não se sabia com certeza se haviam sido enviados antes ou no dia da eleição? E em que medida os condados da Flórida deveriam recontar as urnas na tentativa de obter a posição mais precisa possível dos votos reais?

Foi essa última pergunta que foi parar na Suprema Corte, onde o assunto afinal foi decidido. A equipe de Gore havia pedido uma recontagem em condados selecionados, e a

Suprema Corte da Flórida concordara. Mas a Suprema Corte dos Estados Unidos disse não,3 fixando o total que dava a Bush uma vantagem de 537 votos e garantindo-lhe a eleição. Novas contagens provavelmente teriam resultados numa determinação numérica mais acurada dos votos, mas esta, disse a corte, não era a meta primordial de uma eleição. Recontar alguns condados, e não outros, seria injusto com os eleitores cujas urnas não fossem revistas, disse a corte. Não cabe ao estado contar os votos o mais acuradamente possível – saber o que efetivamente aconteceu –, mas obedecer ao protocolo formal que nos diz, nos termos de Hardy, quem deve ser definido como vencedor.

De modo mais genérico, o formalismo da lei manifesta-se como adesão ao procedimento e às palavras dos estatutos, mesmo quando – ou especialmente quando – se voltam contra o que prescreve o senso comum. O juiz Antonin Scalia, o mais feroz defensor do formalismo legal, não tem meias palavras: “Vida longa ao formalismo. É isso que torna o governo um governo

de leis, e não de homens.”4

Na visão de Scalia, quando os juízes tentam compreender o que a lei pretende – seu espírito –, eles são inevitavelmente iludidos pelos seus próprios desejos e preconceitos. É melhor se ater às palavras da Constituição e aos estatutos, tratando-os como axiomas a partir dos quais podem derivar julgamentos mediante algo como a dedução lógica.

Em questões de justiça criminal, Scalia é igualmente devoto do formalismo: a verdade, por definição, é qualquer coisa que seja determinada por um julgamento conduzido da maneira adequada. Scalia deixa sua postura surpreendentemente clara na opinião dissidente que formulou no caso de 2009, In Re Troy Anthony Davis, em que argumentava que um assassino condenado não deveria ter direito a uma nova audiência para análise de evidências, apesar do fato de sete das nove testemunhas contra ele terem negado o testemunho anterior: “Esta corte nunca sustentou que a Constituição proíbe a execução de um réu condenado que teve direito a um julgamento pleno e justo, mas é posteriormente capaz de convencer uma corte habeas de que é ‘realmente’ inocente.” (O grifo em “nunca” e as aspas em “realmente” são de Scalia.)

No que concerne à corte, diz Scalia, o que importa é o veredito ao qual o júri chegou. Davis era assassino, tivesse ou não matado alguém.

O presidente da Suprema Corte, John Roberts, não é, como Scalia, um defensor fervoroso do formalismo, mas tem ampla simpatia pela filosofia de Scalia. Na audiência de confirmação, em 2005, descreveu sua tarefa comparando-a ao beisebol:

 

Juízes de todas as instâncias são servos da lei, e não o contrário. Juízes são como árbitros de beisebol. Os árbitros não fazem

as regras, eles as aplicam. O papel de um árbitro e de um juiz é crítico. Eles asseguram que todo mundo jogue conforme as

regras. Mas é um papel limitado. Ninguém jamais foi a um jogo para ver o árbitro.

 

Roberts, conscientemente ou não, ecoava o que falara Bill Klem, o “Velho Árbitro”, um juiz da liga nacional de beisebol durante quase quarenta anos: “O jogo com a melhor atuação

de um árbitro é aquele em que os torcedores não conseguem se lembrar de quem apitou.”5

Mas o papel do árbitro não é tão limitado quanto Roberts e Klem querem fazer crer, porque o beisebol é um esporte formalista. Para ver isso, basta olhar o jogo 1 do Campeonato da Liga Americana de 1996, no qual o Baltimore Orioles enfrentou o New York Yankees no Bronx. O Baltimore liderava no oitavo inning, quando o shortstop dos Yankees, Derek Jeter, lançou uma bola longa para o reliever do Baltimore, Armando Benitez, bem rebatida, porém viável para o center fielder Tony Tarasco, que se colocou sob a bola preparando-se para agarrá-la. Foi então que o torcedor dos Yankees Jeffrey Maier, de doze anos, sentado na primeira fila, debruçou-se sobre a cerca e puxou a bola para as arquibancadas.

Jeter sabia que aquilo não era um home run.e6 Tarasco e Benitez sabiam que não era um home run. Cinquenta e seis mil torcedores dos Yankees sabiam que não era um home run. A única pessoa no Yankee Stadium que não viu Maier debruçar-se sobre a cerca era a única que importava, o árbitro Rich Garcia. Ele determinou que a bola era um home run. Jeter não tentou corrigir a chamada do árbitro, nem mesmo se recusou a correr em volta das bases e executar sua corrida de empate. Ninguém teria esperado isso dele, porque o beisebol é um esporte formalista. Uma coisa é aquilo que o árbitro diz que ela é, e ponto final. Ou, nas palavras de Klem, naquela que deve ser a assertiva mais direta acerca de uma postura ontológica já feita por um profissional do esporte: “Não é nada até eu fazer a chamada.”

Isso está mudando – só um pouquinho. Desde 2008, os árbitros têm permissão para consultar o vídeo quando não estão seguros do que ocorreu no campo. Assim, aumenta-se o grau de precisão das chamadas, porém, muitos fãs de longa data do beisebol sentem que, de algum modo, isso é algo estranho ao espírito do esporte. Eu sou um deles. Aposto que John Roberts também é.

Nem todo mundo compartilha a opinião de Scalia sobre a lei (note que a opinião dele no caso Davis foi minoria). Como vimos, em Atkins vs. Virginia, as palavras da Constituição, como “cruel e inusitado”, deixam uma quantidade significativa de espaço para interpretação. Se até mesmo o grande Euclides deixou alguma ambiguidade em seus axiomas, como podemos esperar algo diferente dos insurretos? Os realistas em relação à lei, como Richard Posner, juiz e professor da Universidade de Chicago, argumentam que a jurisprudência da Suprema Corte nunca é o exercício da legislação formal que Scalia diz ser:

 

A maioria dos casos que a Suprema Corte concorda em decidir é como cara ou coroa, no sentido de que não podem ser

decididos pelo raciocínio legal convencional, com sua pesada dependência da linguagem constitucional e estatutária e das

decisões anteriores. Se pudessem ser decididos por aqueles métodos essencialmente semânticos, seriam resolvidos sem

controvérsias, na Suprema Corte do estado ou na Corte Federal de Apelações, e jamais seriam revistos pela Suprema

Corte.7

 

Segundo essa visão, as questões difíceis da lei, aquelas que percorrem todo o caminho até chegar à Suprema Corte, ficam indeterminadas nos axiomas. Os juízes supremos estão, portanto, na mesma posição que Pascal quando descobriu que não podia chegar por raciocínio a nenhuma conclusão sobre a existência de Deus. Contudo, como escreveu Pascal, não temos escolha a não ser jogar o jogo. A corte precisa decidir por meio de raciocínio legal, convencional ou não. Às vezes ela toma o caminho de Pascal: se a razão não determina o julgamento, faça o julgamento que parece ter as melhores consequências. Seguindo Posner, esse é o caminho que os juízes afinal adotaram em Bush vs. Gore, com Scalia a bordo. A decisão a que chegaram, diz Posner, não era efetivamente respaldada pela Constituição ou por um precedente judicial. Foi uma decisão tomada de modo pragmático, com o objetivo de eliminar a possibilidade de muitos outros meses de caos eleitoral.

 

O fantasma da contradição

 

O formalismo tem uma elegância austera. Ele é atraente para pessoas como G.H. Hardy, Antonin Scalia e eu, que saboreiam essa sensação de uma bela teoria rígida, fortemente vedada a contradições. Mas não é fácil ater-se, de modo consistente, a princípios como este; tampouco é claro se eles chegam a ser sensatos. Mesmo o juiz Scalia tem reconhecido, vez por outra, que quando as palavras literais da lei parecem indicar um julgamento absurdo, as palavras literais devem ser abandonadas em favor de um palpite razoável acerca do que o

Congresso pretendia.8 Da mesma forma, nenhum cientista realmente quer estar preso a regras de significância, não importa quais princípios alegue ter. Quando você realiza dois experimentos, um deles testando um tratamento clínico que em tese parece promissor, outro testando se o salmão morto responde emocionalmente a fotos românticas, e ambos os experimentos dão certo com valores-p de 0,03, você não quer tratar as duas hipóteses do mesmo modo. Você quer abordar as conclusões absurdas com uma dose extra de ceticismo, e as regras que se danem.

O maior defensor do formalismo na matemática foi David Hilbert, o matemático alemão cuja lista de 23 problemas, apresentada em Paris, no Congresso Internacional de Matemática de 1900, determinou o curso de grande parte da matemática no século XX. Hilbert é tão reverenciado que qualquer trabalho que apenas tangencie um de seus problemas adquire um brilho ligeiramente adicional, mesmo cem anos depois. Certa vez conheci um historiador da cultura germânica em Columbus, Ohio, que me disse que a predileção de Hilbert por calçar sandálias com meias é o motivo de esta moda ainda ser francamente popular entre os matemáticos hoje. Não pude encontrar evidência de que isso seja verdade, mas me convém acreditar, e isso dá uma impressão correta do tamanho da sombra de Hilbert.

Muitos dos problemas de Hilbert caíram depressa. Outros, como o de número 18, referente ao empacotamento mais denso possível de esferas, só foram resolvidos recentemente, como vimos no Capítulo 12. Alguns ainda estão em aberto e são fervorosamente estudados. A resolução do problema número 8, a hipótese de Riemann, vai receber o prêmio de US$ 1 milhão, da Fundação Clay.

Pelo menos uma vez o grande Hilbert se enganou: no problema 10, ele pedia um algoritmo que pegasse qualquer questão e dissesse se ela tinha uma solução na qual todas as variáveis assumissem valores inteiros. Numa série de artigos nas décadas de 1960 e 1970, Martin Davis, Yuri Matijasevic, Hilary Putnam e Julia Robinson mostraram que esse algoritmo não existia. (Teóricos dos números, por toda parte, deram um suspiro de alívio – seria um tanto desanimador se houvesse transpirado que um algoritmo formal poderia resolver os problemas sobre os quais passamos anos debruçados.)

O problema 2 de Hilbert era diferente dos outros, porque não se tratava tanto de uma questão matemática, mas da matemática em si. Ele começava com um altissonante endosso da abordagem formalista da matemática.

 

Quando estamos envolvidos na investigação dos alicerces de uma ciência, precisamos estabelecer um sistema de axiomas

que contenha uma descrição exata e completa das relações subsistentes entre as ideias elementares dessa ciência. Os

axiomas assim estabelecidos são ao mesmo tempo as definições dessas ideias elementares; e nenhuma afirmação, no interior

do domínio da ciência cujos alicerces estamos testando, é considerada correta, a menos que possa ser derivada desses

axiomas por meio de um número finito de passos lógicos.9

 

Na época da conferência em Paris, Hilbert já havia revisitado os axiomas de Euclides e os reescrevera para remover qualquer vestígio de ambiguidade. Ao mesmo tempo, excluíra rigorosamente qualquer apelo à intuição geométrica. Sua versão dos axiomas continua a fazer sentido se substituirmos “ponto” e “reta” por “sapo” e “tangerina”. O próprio Hilbert fez um comentário famoso: “É preciso que se possa dizer, a qualquer momento, em vez de pontos,

retas e planos, mesas, cadeiras e canecas de cerveja.”10 Um dos primeiros fãs da nova geometria de Hilbert foi o jovem Abraham Wald, que, ainda estudante, em Viena, demonstrara como alguns dos axiomas de Hilbert podiam ser derivados de outros, e portanto eram

dispensáveis.f

Hilbert não se contentou em parar na geometria. Seu sonho era criar uma matemática puramente formal, na qual dizer que um enunciado era verdadeiro equivalia precisamente a dizer que ele obedecia às regras estabelecidas no início do jogo, nem mais, nem menos. Era uma matemática da qual Antonin Scalia teria gostado. Os axiomas que Hilbert tinha em mente para a aritmética, formulados pela primeira vez pelo matemático italiano Giuseppe Peano, dificilmente parecem o tipo de coisa sobre a qual possa haver qualquer questão ou controvérsia interessante. Eles dizem coisas do tipo “Zero é um número”, “Se x é igual a y e y é igual a z, então x é igual a z” e “Se o número imediatamente seguinte a x é o mesmo que o número imediatamente seguinte a y, então x e y são o mesmo número.” Essas são verdades que consideramos óbvias.

O que é notável nesses axiomas de Peano é que, a partir desse começo absolutamente simples, é possível gerar muita matemática. Os axiomas em si parecem referir-se apenas a números inteiros, mas o próprio Peano mostrou que, partindo dos seus axiomas e prosseguindo puramente por definição e dedução lógica, podem-se definir os números racionais e provar

suas propriedades básicas.g A matemática do século XIX havia sido assolada por confusão e crises quando se descobriu que definições amplamente aceitas em análise e geometria eram falhas do ponto de vista lógico. Hilbert via o formalismo como um meio de começar de novo a partir do zero, construído sobre uma fundação tão básica a ponto de ser totalmente incontroversa.

Mas havia um espectro assombrando o programa de Hilbert: o espectro da contradição. Eis o cenário do pesadelo. A comunidade matemática, trabalhando conjuntamente e em uníssono, reconstrói todo o aparato da teoria dos números, da geometria e do cálculo, começando a partir dos axiomas que constituem o leito rochoso e erguendo novos teoremas, tijolo por tijolo, cada camada cimentada à anterior pelas regras da dedução. E aí, um belo dia, um matemático de Amsterdam prova que certa afirmação matemática é verdadeira, enquanto outro matemático em Kyoto prova que ela não é.

E agora? Começando por afirmativas sobre as quais não há possibilidade de dúvida, chegou-se a uma contradição. Reductio ad absurdum. Você conclui que os axiomas estavam errados? Ou que há algo de errado com a estrutura da dedução lógica em si? E o que você faz

com as décadas de trabalho baseadas nesses axiomas?h

Daí o segundo problema entre os apresentados por Hilbert aos matemáticos reunidos em Paris:

 

Mas acima de tudo desejo designar a seguinte como a mais importante entre as questões que podem ser formuladas com

respeito aos axiomas: provar que eles não são contraditórios, isto é, que um número definido de passos lógicos baseados

neles jamais pode levar a resultados contraditórios.

 

É tentador afirmar simplesmente que esse resultado terrível não pode acontecer. Como poderia? Os axiomas são obviamente verdadeiros. Mas não era menos óbvio para os gregos antigos que uma grandeza geométrica deve ser uma razão entre dois números inteiros. Era assim que funcionava sua ideia de medição, até que todo o arcabouço ficou abalado pelo teorema de Pitágoras e a teimosamente irracional raiz quadrada de 2. A matemática tem o péssimo hábito de mostrar que, às vezes, aquilo que é uma verdade óbvia está absolutamente errado.

Considere o caso de Gottlob Frege, o lógico alemão que, como Hilbert, empenhava-se em firmar as estacas lógicas subterrâneas da matemática. O foco de Frege não era a teoria dos números, mas a teoria dos conjuntos. Também ele começou com uma sequência de axiomas que pareciam tão óbvios que mal precisavam ser enunciados. Na teoria dos conjuntos de Frege, um conjunto nada mais era que uma coleção de objetos, chamados elementos. Geralmente usamos chaves { } para representar os conjuntos cujos elementos estão nelas inseridos; então, {1,2,porco} é o conjunto cujos elementos são o número 1, o número 2 e um porco.

Quando alguns desses elementos desfrutam certa propriedade, e outros não, há um conjunto que é a coleção de todos os elementos que desfrutam essa propriedade específica. Para deixar as coisas um pouco mais claras: há um conjunto de porcos, e, entre eles, os amarelos formam um conjunto, o conjunto de porcos amarelos. Difícil achar aqui alguma coisa que possa criar dificuldade. Mas essas definições são realmente genéricas. Um conjunto pode ser uma coleção de porcos, ou de números reais, ou de ideias, ou de universos possíveis, ou de outros conjuntos. E é este último que causa todos os problemas. Será que existe um conjunto de todos os conjuntos? Claro que sim. Um conjunto de todos os conjuntos infinitos? Por que não? Na verdade, ambos esses conjuntos têm uma propriedade curiosa: eles são elementos de si mesmos. O conjunto de conjuntos infinitos, por exemplo, decerto é ele mesmo um conjunto infinito. Seus elementos incluem conjuntos como

{os inteiros}

{os inteiros e também um porco}

{os inteiros e também a Torre Eiffel}

 

e assim por diante. Claro que isso não tem fim.

Poderíamos chamar esse conjunto de ourobórico, em referência à cobra mítica tão faminta que devora a própria cauda e consome a si mesma. Então, o conjunto de conjuntos infinitos é ourobórico, mas {1,2,porco} não é, porque nenhum de seus elementos é o próprio conjunto {1,2,porco}; todos os seus elementos são números ou animais de fazenda, mas não conjuntos.

Agora vem a pegadinha. Seja não o conjunto de todos os conjuntos não ourobóricos. Não parece uma coisa esquisita para se pensar, mas se a definição de Frege permite isso no mundo dos conjuntos, então nós também temos de permitir.

Mas e aí? Não é ourobórico ou não? Quer dizer, não é um elemento de não? Por definição, se não é ourobórico, então não pode estar em não, que consiste apenas em conjuntos não ourobóricos. Mas dizer que não não é um elemento de não é precisamente dizer que não é não ourobórico; ele não contém a si mesmo.

Espere aí, se não é não ourobórico, então ele é um elemento de não, que é o conjunto de todos os conjuntos não ourobóricos. Agora, no fim das contas, não é um elemento de não, o que vale dizer que não é ourobórico.

Se não é ourobórico, então ele não é; e se não é, é.

Esse foi, mais ou menos, o conteúdo de uma carta que o jovem Bertrand Russell escreveu a Frege em junho de 1902. Russell havia conhecido Peano em Paris, no Congresso Internacional de Matemática – não se sabe se ele assistiu à conferência de Hilbert, mas com certeza estava a par do programa de reduzir toda a matemática a uma sequência cristalina de deduções a partir

de axiomas básicos.i A carta de Russell começava como a missiva de um admirador para um lógico mais velho:

 

Vejo-me em total acordo com o senhor em todos os pontos principais, especialmente na sua rejeição a qualquer elemento

psicológico em lógica e no valor que o senhor atribui a uma notação conceitual para as fundações da matemática e da lógica

formal, que, incidentalmente, dificilmente podem ser distinguidas.

 

Mas então ele diz: “Encontrei uma dificuldade em um único ponto.” E Russell explica o dilema do não, agora conhecido como paradoxo de Russell.

Russell encerrava a carta expressando pesar por Frege não ter publicado ainda o segundo volume de Fundamentos. Na verdade, o livro estava pronto e já no prelo quando Frege recebeu a carta de Russell. Apesar do tom respeitoso (“Encontrei uma dificuldade”, e não “Oi, acabei de ferrar com o trabalho da sua vida”), Frege entendeu imediatamente o que o paradoxo de Russell significava para sua versão da teoria dos conjuntos. Era tarde demais para mudar o livro, mas ele logo redigiu um pós-escrito registrando o devastador lampejo de Russell. A explicação de Frege talvez seja a sentença mais triste já escrita num livro técnico de matemática: “Um cientista dificilmente pode experimentar algo mais indesejável do que,

tão logo tenha se completado seu trabalho, ver suas fundações cederem.”j

Hilbert e os outros formalistas não queriam deixar aberta a possibilidade de uma contradição embutida como uma bomba-relógio nos axiomas. Ele queria um arcabouço matemático no qual a consistência estivesse garantida. Não que Hilbert realmente pensasse ser provável haver uma contradição oculta na aritmética. Como a maioria dos matemáticos, e até como a maioria das pessoas normais, ele acreditava que as regras-padrão da aritmética eram afirmações verdadeiras sobre os números inteiros, de modo que não podiam de fato se contradizer. Mas isso não era satisfatório, baseava-se na pressuposição de que o conjunto dos números inteiros realmente existia.

Esse era um ponto embaraçoso para muitos. Georg Cantor, algumas décadas antes, pela primeira vez colocara a noção de infinito sobre um tipo de alicerce matemático firme. Mas seu trabalho não fora digerido com facilidade nem fora universalmente aceito, e havia um grupo substancial de matemáticos que sentia que qualquer prova que se baseasse na existência de conjuntos infinitos deveria ser considerada suspeita. Que houvesse algo como o número 7, isso todos estavam dispostos a aceitar. Que houvesse algo como o conjunto de todos os números, esse era um assunto a ser debatido.

Hilbert sabia muito bem o que Russell fizera com Frege e estava cônscio dos perigos apresentados por um raciocínio displicente sobre conjuntos infinitos. “Um leitor cuidadoso”, escreveu ele em 1926, “descobrirá que a bibliografia da matemática é farta em inanidades e

absurdos que tiveram origem no infinito.”11 (O tom não estaria aqui deslocado em uma das mais suaves discordâncias em relação a Antonin Scalia.) Hilbert buscava uma prova finitária de consistência, uma prova que não fizesse referência a nenhum conjunto infinito, na qual uma mente racional não pudesse deixar de acreditar.

Mas Hilbert acabaria se decepcionando. Em 1931, Kurt Gödel provou, em seu famoso segundo teorema da incompletude, que não podia haver prova finitária da consistência da aritmética. Ele matara o programa de Hilbert de um só golpe.

Será que você deveria se preocupar com a possibilidade de todo o edifício matemático desabar amanhã à tarde? Em relação ao vale a pena, eu não estou preocupado. Eu acredito, sim, em conjuntos infinitos e considero as provas de consistência que usam conjuntos infinitos convincentes o bastante para me deixar dormir à noite.

A maioria dos matemáticos é como eu, mas há alguns dissidentes. Em 2011, Edward Nelson, lógico que leciona em Princeton, fez circular uma prova da inconsistência da aritmética. (Felizmente para nós, Terry Tao encontrou em poucos dias um erro no argumento de

Nelson.12) Vladimir Voevodsky, ganhador da Medalha Fields e agora no Institute of Advanced Study, em Princeton, fez em 2010 uma algazarra ao dizer que ele também não via motivo para se sentir seguro sobre a consistência da aritmética. Ele e um grande grupo internacional de colaboradores têm sua própria proposta para as novas fundações da matemática. Hilbert começara pela geometria, mas logo passara a ver a consistência da aritmética como o problema mais fundamental. O grupo de Voevodsky, em contraste, argumenta que a geometria é, afinal, a coisa fundamental – e não qualquer geometria familiar a Euclides, mas uma geometria de tipo mais moderno, chamada teoria da homotipia. Estarão essas fundações imunes ao ceticismo e às contradições? Perguntem-me daqui a vinte anos. Essas coisas levam tempo.

O estilo de matemática de Hilbert sobreviveu à morte de seu programa formalista. Mesmo antes do trabalho de Gödel, Hilbert já deixara claro que não pretendia que a matemática fosse criada de maneira fundamentalmente formalista. Isso seria difícil demais! Mesmo que a geometria possa ser remodelada como um exercício de manipular cordões de símbolos sem significado, nenhum ser humano pode gerar ideias geométricas sem desenhar figuras, sem imaginar figuras, sem pensar nos objetos da geometria como coisas reais. Meu amigo filósofo geralmente acha esse ponto de vista, chamado platonismo, bastante vergonhoso. Como pode um hipercubo pentadecadimensional ser algo real? Só posso responder que para mim parece tão real quanto, digamos, as montanhas. Afinal, eu posso definir um hipercubo pentadecadimensional. Você pode fazer o mesmo com uma montanha?

Mas nós somos filhos de Hilbert. Quando tomamos cerveja com os filósofos, no fim de

semana, e eles ficam nos cutucando em relação ao status dos objetos que estudamos,k nós nos recolhemos ao nosso reduto formalista, protestando: claro, usamos nossa intuição geométrica para descobrir o que se passa, mas o modo como afinal sabemos que o que dizemos é verdade é a existência de uma prova formal por trás da figura. Na famosa formulação de Philip Davis e Reuben Hersh: “O matemático típico é platônico ao trabalhar, durante a semana, mas é

formalista aos domingos.”13

Hilbert não queria destruir o platonismo. Queria tornar o mundo seguro para o platonismo, colocando temas como a geometria sobre uma fundação formal tão inabalável que pudéssemos nos sentir tão moralmente robustos durante a semana quanto no domingo.

 

Genialidade é uma coisa que acontece

 

Eu dei muita importância ao papel de Hilbert, e com justiça, mas há um risco de que, prestando atenção exagerada aos nomes acima citados, eu acabe passando a impressão errada de que a matemática é um empreendimento no qual alguns gênios solitários, com uma marca de nascença, iluminam o caminho para o resto da humanidade percorrer. É fácil contar a história dessa maneira. Em alguns casos, como o de Srinivasa Ramanujan, a coisa não fica tão distante

disso. Ramanujan era um prodígio do sul da Índia.14 Desde a infância produziu ideias matemáticas superoriginais, que ele descrevia como revelações divinas da deusa Namagiri. Ele trabalhou durante anos em completo isolamento do corpo principal da matemática, com acesso somente a alguns poucos livros para familiarizar-se com o estado contemporâneo da matéria. Em 1913, quando finalmente fez contato com o mundo maior da teoria dos números, havia preenchido uma série de cadernos com algo perto de 4 mil teoremas, muitos dos quais ainda sujeitos a investigação ativa. (A deusa forneceu a Ramanujan enunciados de teoremas, mas não as provas; estas são tarefa nossa, dos sucessores de Ramanujan.)

Mas Ramanujan é um caso fora de série, cuja história é repetida por ser tão pouco característica. Hilbert começou como um aluno muito bom, mas não excepcional, de maneira

nenhuma o jovem matemático mais brilhante de Königsberg – este era Hermann Minkowski,15 dois anos mais novo. Minkowski seguiu uma destacada carreira matemática, mas não foi nenhum Hilbert.

Uma das partes mais dolorosas de lecionar matemática é ver os alunos prejudicados pelo culto da genialidade. Esse culto diz aos estudantes que não vale a pena fazer matemática a não ser que você seja o melhor na matéria, porque esses poucos especiais são os únicos cujas contribuições importam. Ninguém trata nenhuma outra disciplina dessa maneira! Nunca ouvi nenhum aluno dizer: “Gosto de Hamlet, mas realmente não vale a pena fazer literatura inglesa… Aquele garoto ali na frente conhece todas as peças e começou a ler Shakespeare quando tinha nove anos!” Atletas não abandonam seu esporte só porque um dos seus colegas de equipe brilha mais que ele. No entanto, vejo jovens matemáticos promissores largarem a disciplina todo ano, mesmo que adorem matemática, porque alguém em seu campo de visão está “à sua frente”.

Nós perdemos um monte de estudantes de matemática por causa disso. E perdemos um monte de futuros matemáticos. Mas este não é todo o problema. Acho que precisamos de mais estudantes de matemática que não se tornem matemáticos. Mais estudantes de matemática que acabem virando médicos, ou professores do ensino médio, ou presidentes de empresas, ou senadores. Mas não chegaremos lá enquanto não jogarmos fora o estereótipo de que a matemática só vale a pena para os pequenos gênios.

O culto da genialidade também tende a subvalorizar o trabalho árduo. Quando eu estava no começo da carreira, pensava em “trabalho árduo” como uma espécie de insulto velado – algo a se dizer sobre um aluno quando não se pode falar honestamente que ele é inteligente. Mas a capacidade de trabalhar com afinco – de manter a atenção e a energia focalizadas no problema, de revirá-lo sistematicamente e forçar qualquer coisa que possa parecer uma rachadura em sua couraça, apesar da ausência de sinais externos de progresso – não é para

todo mundo. Os psicólogos agora a chamam de “determinação”,16 e é impossível fazer matemática sem ela. É fácil perder de vista a importância do trabalho, porque a inspiração matemática, quando afinal chega, pode parecer imediata e sem esforço.

Lembro-me do primeiro teorema que provei. Eu estava na faculdade, fazendo meu trabalho de fim de curso, completamente emperrado. Certa noite, numa reunião da equipe editorial da revista literária do campus, eu tomava vinho tinto e participava dispersivamente da discussão sobre um conto meio chato, quando de repente algo se remexeu na minha cabeça e compreendi ultrapassar o bloqueio. Nada de detalhes, mas isso não tinha importância. Na minha cabeça, não havia dúvida de que a coisa estava feita.

É dessa forma que a criação matemática muitas vezes se apresenta. Eis o famoso relato do matemático francês Henri Poincaré sobre uma descoberta matemática que ele fez em 1881:

 

Tendo chegado a Coutances, entramos num ônibus para ir a algum lugar. No momento em que pisei o primeiro degrau, a

ideia me veio, e nada em meus pensamentos anteriores parecia ter aberto caminho para ela: as transformações que eu tinha

usado para definir as funções fuchsianas eram idênticas às de geometria não euclidiana. Não verifiquei a ideia,

possivelmente não tive tempo, pois, ao tomar meu assento no ônibus, continuei uma conversa já iniciada. Contudo, tive uma

perfeita certeza. Ao voltar para Caen, só para ficar em paz com a consciência, verifiquei o resultado numa hora de folga.l

 

Mas na realidade a coisa não aconteceu no intervalo de um passo, explica Poincaré. Esse momento de inspiração é produto de semanas de trabalho, tanto consciente quanto inconsciente, que de algum modo preparam a cabeça para fazer a necessária conexão de ideias. Ficar sentado à espera de inspiração leva ao fracasso, não interessa se você é um menino-prodígio.

Para mim, pode ser difícil argumentar a favor disso, porque eu mesmo fui um desses meninos-prodígios. Já aos seis anos eu sabia que ia ser matemático. Frequentei cursos bem acima do meu nível escolar e ganhei um monte de medalhas em competições de matemática. Estava bem seguro, quando fui para a faculdade, que os competidores que eu conhecia da Olimpíada de Matemática eram os grandes matemáticos da minha geração. Mas acabou que não fui exatamente um deles. Aquele grupo de jovens astros produziu muitos matemáticos excelentes, como Terry Tao, medalhista Fields – campeão em análise harmônica. Mas a maioria dos matemáticos com quem trabalho agora não eram matematletas de primeiro time aos treze anos – eles desenvolveram suas habilidades e talentos numa escala de tempo diferente. Será que deveriam ter desistido no ensino médio?

O que se aprende depois de um longo tempo na matemática – e acho que essa lição se aplica de forma muito mais ampla – é que há sempre alguém à sua frente, esteja ele bem ali na sua turma ou não. Os que estão começando olham para aqueles com bons teoremas; aqueles que têm bons teoremas olham para os que têm montes de bons teoremas; pessoas com montes de bons teoremas olham para os ganhadores da Medalha Fields; os ganhadores de Medalhas Fields olham para os medalhistas Fields do “círculo interno”, e estes sempre podem olhar para aqueles que já estão mortos. Ninguém nunca olha no espelho e diz: “Vamos encarar. Eu sou mais inteligente que Gauss.” Mesmo assim, nos últimos cem anos, o esforço conjunto de todos esses “bobões comparados com Gauss” produziu o maior vigor do conhecimento matemático que o mundo já viu.

A matemática, em sua maior parte, é uma empreitada comunal. Cada progresso é o resultado de uma imensa rede de cabeças trabalhando com um propósito comum, mesmo que concedamos honras especiais à pessoa que coloca a última pedra no arco. Mark Twain é bom nisso: “São necessários mil homens para inventar o telégrafo, a máquina a vapor, o fonógrafo, o telefone ou qualquer outra coisa importante. O último ganha o crédito e nós esquecemos os

outros.”17

É mais ou menos como no futebol americano. Há momentos, claro, em que um jogador assume totalmente o controle do jogo, e esses são momentos que lembramos, celebramos e relatamos por muito tempo. Mas eles não são o padrão normal do futebol americano, e não é assim que se ganha a maioria dos jogos. Quando um quarterback completa um magnífico passe para um touchdown lançando um wide receiver na corrida, você está assistindo ao trabalho em conjunto de muita gente: não só do quarterback e do receiver, mas de toda a linha ofensiva que impediu a defesa do outro time de avançar, a fim de que o seu quarterback se firme e faça o lançamento; a finta de bloqueio do running back que fingiu agarrar a bola e sair correndo com o objetivo de enganar a defesa num momento crítico; e aí, também, o coordenador do ataque, que bolou a jogada, e seus numerosos assistentes; e a equipe de condicionamento físico, que mantêm os jogadores em forma para correr e lançar… Ninguém chama todos eles de gênios. Mas são eles que criam as condições nas quais a genialidade pode acontecer.

Terry Tao escreve:

 

A imagem popular do gênio solitário (e possivelmente meio maluco) – que ignora a bibliografia e a sabedoria convencional, e

consegue alguma inspiração inexplicável (realçada, talvez, por um generoso traço de sofrimento) para aparecer com alguma

empolgante solução de um problema que confundia todos os especialistas – é charmosa e romântica, mas também

barbaramente inexata, pelo menos no mundo da matemática moderna. Nós temos resultados e insights espetaculares,

profundos e extraordinários nessa matéria, claro, mas são conquistas trabalhosas e cumulativas de anos, décadas e até

séculos de trabalho e progresso constantes de muitos bons e grandes matemáticos; o progresso de um estágio de

compreensão para o seguinte pode ser altamente não trivial, e às vezes bastante inesperado, mas ainda assim se constrói

sobre as fundações do trabalho anterior, e não de um novo início a partir do nada. … Na verdade, considero a realidade da

pesquisa matemática hoje – na qual o progresso é obtido natural e cumulativamente como consequência de trabalho árduo,

dirigido por intuição, leitura e um pouquinho de sorte – muito mais satisfatório que a imagem romântica que eu tinha quando

estudante, ou seja, a matemática progredindo basicamente por meio das inspirações místicas de uma rara espécie de

“gênios”. 18

Não é errado dizer que Hilbert era um gênio. Mas é mais correto dizer que o que Hilbert conseguiu era genial. A genialidade é uma coisa que acontece, e não uma característica de um tipo de pessoa.

 

Lógica política

 

Lógica política não é um sistema formal no sentido que Hilbert e os lógicos matemáticos davam a ela. Todavia, os matemáticos com visão formalista não poderiam deixar de ser incentivados a isso pelo próprio Hilbert, que, em sua palestra de 1918, “Axiomatic thought”, advogava que outras ciências adotassem a abordagem axiomática, tão bem-sucedida na matemática.

Gödel, por exemplo, cujo teorema excluiu a possibilidade de banir definitivamente a contradição da aritmética, também se preocupava com a Constituição dos Estados Unidos, que estudou ao se preparar para o teste a fim de obter a cidadania americana, em 1948. Em sua opinião, o documento tinha uma contradição que permitia a uma ditadura fascista tomar o poder no país de forma perfeitamente constitucional. Os amigos de Gödel, Albert Einstein e Oskar Morgenstern, imploraram que ele evitasse esse assunto no exame, mas, como se recorda Morgenstern, a conversa acabou mais ou menos assim:

 

EXAM INADOR: Então, sr. Gödel, de onde o senhor vem?

GÖDEL: De onde eu venho? Da Áustria.

EXAM INADOR: Que tipo de governo vocês têm na Áustria?

GÖDEL: Era uma República, mas a Constituição era tal que acabou virando uma ditadura.

EXAM INADOR: Ah! Mas isso é muito ruim. Uma coisa dessas não poderia acontecer neste país.

GÖDEL: Poderia, sim, e eu posso provar.

 

Felizmente, o examinador depressa mudou de assunto, e a cidadania de Gödel foi

devidamente concedida. Quanto à natureza da contradição19 que Gödel achou na Constituição americana, parece ter se perdido na história matemática. Talvez tenha sido melhor!

 

O COMPROMISSO DE HILBERT com o princípio e a dedução lógicos muitas vezes o levou, como Condorcet, a adotar uma concepção surpreendentemente moderna em assuntos não

matemáticos.m Com algum custo político para si mesmo, ele se recusou a assinar, em 1914, a

Declaração para o Mundo Cultural,20 que defendia a guerra do kaiser na Europa com uma longa lista de negativas, cada qual começando com o enunciado “Não é verdade”: “Não é verdade que a Alemanha violou a neutralidade da Bélgica”, e assim por diante. Muitos dos maiores cientistas alemães, como Felix Klein, Wilhelm Roentgen e Max Planck, assinaram a declaração. Hilbert disse, de forma bem simples, que era incapaz de verificar com seus parâmetros de exatidão se as afirmativas em questão de fato não eram verdadeiras.

Um ano depois, quando o corpo docente em Göttingen recusou-se a oferecer uma posição para a grande algebrista Emmy Noether, alegando que não se podia pedir aos estudantes que aprendessem matemática com uma mulher, Hilbert respondeu: “Não vejo como o sexo da candidata seja um argumento contra sua admissão. Nós somos uma universidade, não uma casa de banhos.”

A análise ponderada da política, porém, tem seus limites. Já velho, na década de 1930, Hilbert parecia incapaz de captar o que estava acontecendo com seu país natal quando os nazistas ali consolidaram seu poder. Seu primeiro aluno de doutorado, Otto Blumenthal, visitou Hilbert em Göttingen, em 1938, para comemorar seu 76º aniversário. Blumenthal era cristão, mas vinha de família judia, e por esse motivo foi afastado de seu posto acadêmico em Aachen. (No mesmo ano que Abraham Wald, na Áustria ocupada pela Alemanha. Ele partiu para os Estados Unidos.)

Constance Reid, em sua biografia de Hilbert, relata a conversa21 na festa de aniversário:

– Que matéria você está lecionando este semestre? – Hilbert indagou.

– Eu não leciono mais – Blumenthal lembrou-lhe delicadamente.

– O que você quer dizer com “Não leciono mais”?

– Não tenho mais permissão para lecionar.

– Mas isso é absolutamente impossível! Não pode ser feito. Ninguém tem o direito de demitir um professor, a menos que ele tenha cometido algum crime? Por que você não recorre à justiça?

 

O progresso da mente humana

 

Condorcet também se ateve com firmeza a suas ideias formalistas sobre a política mesmo quando elas não se ajustavam à realidade. A existência dos ciclos de Condorcet significava que qualquer sistema de votação que obedecesse a esse axioma básico, aparentemente indiscutível – quando a maioria prefere A a B, B não será vencedor –, poderia cair presa de autocontradição. Condorcet passou grande parte da sua última década de vida dedicando-se ao problema dos ciclos, desenvolvendo sistemas de votação cada vez mais intrincados, na intenção de fugir do problema da inconsistência coletiva. Ele jamais conseguiu. Em 1785, escreveu, bastante desesperançoso:

 

Geralmente não podemos evitar que nos sejam apresentadas decisões desse tipo, que poderíamos chamar de equivocadas,

exceto exigindo uma grande pluralidade e permitindo que votem apenas em homens muito esclarecidos. … Se não pudermos

achar eleitores que sejam suficientemente esclarecidos, devemos evitar a má escolha aceitando como candidatos apenas

aqueles homens em cuja competência podemos confiar.22

 

Mas o problema não eram os eleitores, era a matemática. Condorcet, agora compreendemos, desde o início estava condenado ao fracasso. Kenneth Arrow, em sua tese de doutorado, em 1951, provou que mesmo um conjunto de axiomas muito mais fraco que o de Condorcet, um conjunto de exigências acerca do qual parece tão difícil de duvidar quanto as

regras de aritmética de Peano, leva a paradoxos.n Este era um trabalho de grande elegância, que ajudou Arrow a conquistar o Prêmio Nobel de Economia em 1972, mas seguramente teria desapontado Condorcet, como o teorema de Gödel desapontou Hilbert.

Ou talvez não – Condorcet era um homem difícil de desapontar. Quando a Revolução ganhou velocidade, seu estilo republicano brando logo foi atropelado pelos jacobinos mais radicais. Primeiro Condorcet foi marginalizado politicamente, depois, foi forçado a esconder-se para evitar a guilhotina. Ainda assim, sua crença na inexorabilidade do progresso guiado pela razão e pela matemática não o abandonou. Isolado numa casa segura em Paris, sabendo que talvez não tivesse muito tempo pela frente, escreveu seu Esquisse d’un tableau historique des progrès de l’esprit humaine, apresentando sua visão do futuro. Este é um documento surpreendentemente otimista, descrevendo o mundo do qual seriam erradicados, pela força da ciência, um a um, os erros do monarquismo, o preconceito sexual, a fome e a velhice. O trecho a seguir é típico:

 

Não seria de esperar que a raça humana seja melhorada por novas descobertas nas ciências e nas artes, e, como

consequência inevitável, nos meios de prosperidade individual e geral? Pelo posterior progresso nos princípios de conduta e

na prática moral? E, por fim, pela real melhora das nossas faculdades morais, intelectuais e físicas, que podem ser resultado

da melhora dos instrumentos que ampliam nosso poder e dirigem o exercício dessas faculdades, ou da melhora da nossa

organização natural em si?

 

Hoje, o Esquisse é mais conhecido indiretamente. O ensaio inspirou Thomas Malthus (que considerava as predições de Condorcet irremediavelmente solares) a escrever seu muito mais famoso e muito mais soturno relato sobre o futuro da humanidade.

Pouco depois de escrever a passagem citada, em março de 1794 (ou, no novo calendário revolucionário, no Germinal do Ano 2), Condorcet foi capturado e preso. Dois dias depois foi encontrado morto – alguns dizem que foi suicídio, outros, que ele foi assassinado.

Assim como o estilo da matemática de Hilbert persistiu a despeito da destruição do seu programa formal por Gödel, a abordagem de Condorcet para a política sobreviveu a seu desaparecimento. Não esperamos mais encontrar sistemas de votação que satisfaçam seu axioma. Mas nós nos comprometemos com a crença mais fundamental de Condorcet, de que uma “matemática social” quantitativa – o que agora chamamos de “ciência social” – deve participar na determinação de uma conduta apropriada de governo. Esses seriam os “instrumentos que aumentam nosso poder e dirigem o exercício das [nossas] faculdades”, a que Condorcet se referiu com tanto vigor em Esquisse.

As ideias de Condorcet estão tão minuciosamente entrelaçadas com o jeito moderno de fazer política que mal podemos vê-la como uma escolha. Mas é uma escolha. E acho que é a escolha certa.

 

a A versão do quinto postulado que escrevi aqui não é o original de Euclides, mas uma versão lógica equivalente, originalmente enunciada por Proclo, no século V EC, e popularizada por John Playfair em 1795. A versão de Euclides é um pouco mais longa.

b O epônimo para a canção “Lobachevsky”, de Tom Lehrer, seguramente o maior número musical cômico de todos os tempos sobre uma publicação matemática.

c Não se espera que isso seja imediatamente óbvio, mas não é difícil convencer-se de que é verdade – recomendo veementemente pegar uma bola de tênis e um pincel hidrográfico e verificar por si mesmo!

d Os pintores não desenvolveram, nem necessitavam desenvolver, uma teoria geométrica formal do plano projetivo, mas compreendiam como ele se traduzia em pinceladas na tela, o que era suficiente para os seus propósitos.

e Inning: dois turnos, ou uma entrada, correspondendo a um tempo em que o time se defende e um tempo em que ele ataca; shortstop: jogador responsável pela defesa da centroesquerda; reliever: arremessador (pitcher) reserva que entra no decorrer do jogo; center field: responsável por defender a posição central do campo; home run: rebatida ideal no beisebol, quando a bola fica inalcançável, permitindo ao rebatedor dar uma volta inteira (home run) e obtendo o máximo de pontos para uma jogada. (N.T.)

f Alguns historiadores afirmam que a atual hipermatematização da economia remonta já a essa época, esclarecendo que o hábito de axiomas passara de Hilbert para a economia por intermédio de Wald e outros jovens matemáticos na Viena de 1930, que combinavam um estilo hilbertiano com fortes interesses aplicados: ver How Economics Became a Mathematical Science, de E. Roy Weintraub, onde esta ideia é plenamente elaborada.

g Provavelmente não é coincidência que Peano tenha sido mais um devoto da linguagem artificial construída sobre princípios racionais. Ele criou sua própria linguagem, latino sine flexione, na qual escreveu alguns dos seus trabalhos matemáticos da fase posterior.

h O conto de Ted Chiang, escrito em 1991, “Divisão por zero”, abarca as consequências psicológicas sofridas por um matemático suficientemente desafortunado para revelar essa inconsistência.

i Se é para sermos precisos, Russell não era formalista, como Hilbert, o qual declarava que os axiomas eram simplesmente cordões de símbolos sem nenhum significado definido. Russell era “logicista”, e sua visão era de que os axiomas de fato eram enunciados verdadeiros sobre fatos lógicos. Ambos os grupos compartilhavam um interesse vigoroso em descobrir que enunciados podiam ser deduzidos dos axiomas. O grau da sua preocupação com essa distinção é uma boa medida do seu possível gosto em cursar uma pós-graduação em filosofia analítica.

j “Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als dass ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird.”

k Eles realmente fazem isso!

l Do ensaio de Poincaré “Criação matemática”, leitura altamente recomendável se você se liga em criatividade matemática ou em qualquer tipo de criatividade.

m Ressalva: Amir Alexander, em Infinitesimal (Nova York, FSG, 2014), argumenta que, no século XVII, a posição pura formalista, representada pela geometria euclidiana clássica, se aliava às hierarquias rígidas e à ortodoxia jesuítica, enquanto mais intuitiva e menos rigorosa a teoria pré-newtoniana dos infinitesimais se ligava a uma ideologia mais progressista e democrática.

n Um sistema de votação ao qual o teorema de Arrow não se aplica é a “votação de aprovação”, na qual não é preciso declarar todas suas preferências. Você simplesmente vota em quantas pessoas quiser, na urna, e o candidato que obtiver o maior número de votos ganha. A maioria dos matemáticos que conheço considera a votação de aprovação ou suas variantes algo superior, tanto em votação plural quanto em votação preferencial. O sistema tem sido usado para eleger papas, secretários-gerais das Nações Unidas e representantes da American Mathematical Society, mas ainda não para representantes no governo.