Introdução: Quando será que eu vou usar isso?

Introdução

 

Quando será que eu vou usar isso?

 

NESTE EXATO MOMENTO, numa sala de aula em algum lugar do mundo, uma aluna está xingando o professor de matemática. O professor acaba de lhe pedir que passe uma parte substancial de seu fim de semana calculando uma lista de trinta integrais definidas.

Há milhares de coisas que a aluna prefere fazer. Na verdade, dificilmente há alguma coisa que não prefira fazer. E ela sabe disso muito bem, porque passou boa parte do fim de semana anterior calculando uma lista diferente – mas não muito diferente – de trinta integrais definidas. Ela não vê qual o sentido disso, e é o que diz ao professor. Em algum ponto da conversa, a aluna fará ao professor a pergunta que ele mais teme:

“Quando será que eu vou usar isso?”

Agora o professor de matemática provavelmente diz algo do tipo:

“Eu sei que para você parece bobagem, mas, lembre-se, você não sabe que carreira irá escolher. Pode ser que você não veja a relevância agora, mas talvez entre numa área em que seja realmente importante saber como calcular integrais definidas à mão, de forma rápida e correta.”

Poucas vezes essa resposta satisfaz a aluna. Porque é mentira. E o professor e a aluna sabem que é mentira. O número de adultos que algum dia lança mão de uma integral de (1 − 3x + 4x2)−2 dx, da fórmula para o cosseno de 3θ ou da divisão sintética de polinômios pode ser contado em poucos milhares de mãos.

A mentira tampouco é muito satisfatória para o professor. Eu devo saber disso. Nos muitos anos em que ensinei matemática, pedi a algumas centenas de alunos da faculdade que calculassem listas de integrais definidas.

Felizmente existe uma resposta melhor. Ela é mais ou menos assim:

“A matemática não é só uma sequência de cálculos a serem executados por rotina até que sua paciência ou sua energia se esgote – embora possa parecer isso, pelo que lhe ensinaram nos cursos de matemática. Essas integrais são para a matemática a mesma coisa que trabalhar com pesos e fazer ginástica para o futebol. Se você quer jogar futebol – quer dizer, jogar mesmo, em nível de competição –, vai ter de fazer um monte de exercícios chatos, repetitivos e aparentemente sem sentido. Será que os jogadores profissionais algum dia usam esses exercícios? Bom, você nunca vai ver ninguém em campo levantando halteres nem correndo em zigue-zague entre cones de trânsito. Mas vê os jogadores usando a força, a velocidade, a percepção e a flexibilidade que desenvolveram fazendo esses exercícios, semana após semana, de forma tediosa. Praticar esses exercícios é parte de aprender futebol.

“Se você quer jogar futebol para ganhar a vida, ou mesmo participar do time do colégio, vai ter de passar uma porção de fins de semana enfadonhos no campo de treinamento. Não há outro jeito. Mas aqui está a boa notícia. Se os exercícios são demais para você, sempre pode jogar por diversão, com os amigos. Pode apreciar a emoção de passar driblando pelos zagueiros ou marcar um gol de longe, exatamente como um atleta profissional. Você será mais saudável e feliz do que se ficasse em casa assistindo aos profissionais na TV.

“Com a matemática acontece mais ou menos a mesma coisa. Pode ser que você não esteja almejando uma carreira com orientação matemática. Tudo bem – a maioria das pessoas não almeja. Mesmo assim, você ainda pode usar matemática. Provavelmente já está usando, mesmo que não dê a ela esse nome. A matemática está entrelaçada à nossa forma de raciocinar. E deixa você melhor em muita coisa. Saber matemática é como usar um par de óculos de raios X que revelam estruturas ocultas por sob a superfície caótica e bagunçada do mundo. Matemática é a ciência de como não estar errado em relação às coisas. Suas técnicas e hábitos foram moldados ao longo de séculos de trabalho árduo e muita argumentação. Com as ferramentas da matemática à mão, você pode entender o mundo de maneira mais profunda, consistente e significativa. Tudo de que você necessita é um treinador, ou mesmo um livro, que lhe ensine as regras e algumas táticas básicas. Eu serei seu treinador. E vou lhe mostrar como.”

Por razões de tempo, raramente é isso o que eu digo em aula. Mas num livro há lugar para se estender um pouco mais. Espero justificar a alegação que acabei de fazer mostrando a você que os problemas nos quais pensamos todo dia – problemas de política, medicina, comércio, teologia – são enfrentados com a matemática. Compreender isso lhe dá acesso a insights não acessíveis por outros meios.

Mesmo que eu fizesse à minha aluna esse discurso motivacional na íntegra, ela ainda poderia – se for realmente afiada – não se convencer.

“Isso soa muito legal, professor”, ela dirá. “Mas é uma coisa bem abstrata. Você diz que com a matemática à sua disposição pode acertar em coisas que faria errado. Mas que tipo de coisa? Me dê um exemplo concreto.”

A essa altura eu lhe contaria a história de Abraham Wald e os furos de bala que faltam.

 

Abraham Wald e os furos de bala que faltam

 

Essa história, como muitas outras da Segunda Guerra Mundial, começa com os nazistas expulsando um judeu da Europa e termina com os nazistas lamentando esse ato. Abraham Wald

nasceu em 1902,1 na cidade que então se chamava Klausenburg, que na época fazia parte do Império Austro-Húngaro. Quando Wald era adolescente, a Primeira Guerra Mundial estava só nos livros, e sua cidade natal havia se tornado Cluj, na Romênia. Ele era neto de rabino e filho de um padeiro kosher, mas desde sempre o jovem Wald fora um matemático. Seu talento para a matéria logo foi reconhecido, e ele foi admitido para estudar matemática na Universidade de Viena, onde se sentiu atraído por temas abstratos e recônditos até pelos padrões da matemática pura: teoria dos conjuntos e espaços métricos.

Quando Wald completou os estudos, em meados da década de 1930, a Áustria estava mergulhada numa profunda crise econômica, e não havia possibilidade de um estrangeiro ser contratado como professor em Viena. Wald foi salvo por uma oferta de emprego feita por Oskar Morgenstern, que mais tarde emigraria para os Estados Unidos e ajudaria a inventar a teoria dos jogos. Contudo, em 1933, ele era diretor do Instituto Austríaco de Pesquisa Econômica e contratou Wald por um pequeno salário para efetuar tarefas matemáticas estranhas. Isso acabou se revelando um bom passo para Wald: sua experiência em economia lhe valeu uma oferta de bolsa na Comissão Cowles, um instituto de economia então situado em Colorado Springs. Apesar da situação política cada vez pior, Wald relutou em dar um passo que o afastaria da matemática pura para sempre. Mas então os nazistas conquistaram a Áustria, facilitando substancialmente sua decisão. Após apenas alguns meses no Colorado, foi-lhe oferecida uma cadeira de estatística em Columbia; ele fez as malas mais uma vez e mudou-se para Nova York.

E foi lá que lutou sua guerra.

O Grupo de Pesquisa Estatística (SRG, de Statistical Research Group),2 no qual Wald passou grande parte da Segunda Guerra Mundial, era um programa sigiloso que mobilizava o poderio reunido dos estatísticos americanos para o esforço de guerra – algo semelhante ao Projeto Manhattan, exceto que as armas desenvolvidas eram equações, e não explosivos. O SRG era efetivamente em Manhattan, no número 401 da West 118th Street, em Morningside Heights, apenas a uma quadra da Universidade Columbia. O prédio agora abriga apartamentos para o corpo docente da universidade e alguns consultórios médicos, mas em 1943 era o fervilhante e reluzente centro nervoso da matemática de guerra. No Grupo de Matemática Aplicada de Columbia, dezenas de moças debruçadas sobre calculadoras de mesa Marchant calculavam fórmulas para a curva ideal que um caça deveria traçar no ar a fim de manter o avião inimigo sob a mira de sua metralhadora. Em outro aposento, uma equipe de pesquisadores de Princeton desenvolvia protocolos para bombardeios estratégicos. A ala de Columbia para o projeto da bomba atômica ficava na sala ao lado.

Mas o SRG era o mais poderoso e, em última análise, o mais importante de todos esses grupos. A atmosfera combinava a abertura e intensidade intelectual de um departamento acadêmico ao sentido de determinação que vem apenas com os mais altos desafios. “Quando

elaborávamos recomendações”,3 escreveu W. Allen Wallis, o diretor, “muitas vezes aconteciam coisas. Caças entravam em combate com suas metralhadoras carregadas conforme as advertências de Jack Wolfowitz acerca de misturar tipos de munição, e talvez os pilotos voltassem, talvez não. Aviões da Marinha lançavam foguetes cujos propulsores haviam sido aceitos pelos planos de inspeção de amostragem de Abe Girshick, e talvez os foguetes explodissem destruindo nossos próprios aviões e pilotos, ou talvez destruíssem o alvo.”

O talento matemático ali disponível correspondia à gravidade da tarefa. Nas palavras de Wallis, o SRG foi “o mais extraordinário grupo de estatísticos já organizado, levando em

conta tanto a quantidade quanto a qualidade”.4 Frederick Mosteller, que mais tarde fundaria o Departamento de Estatística de Harvard, estava lá. Como também Leonard Jimmie Savage, o pioneiro da teoria da decisão e grande advogado com atuação na área que viria a ser

conhecida por estatística bayesiana.a Norbert Wiener, matemático do Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT, de Massachusetts Institute of Technology) e criador da cibernética, dava uma passada por ali de tempos em tempos. Este era o grupo no qual Milton Friedman, futuro Prêmio Nobel de Economia, muitas vezes se tornava a quarta pessoa mais inteligente na sala.

A pessoa mais inteligente na sala em geral era Abraham Wald. Ele fora professor de Allen Wallis em Columbia e funcionava como uma espécie de eminência matemática do grupo. Ainda qualificado como “estrangeiro inimigo”, tecnicamente não tinha permissão para ver os

relatórios sigilosos que produzia. A piada em torno do SRG5 era de que as secretárias deviam arrancar uma folha de papel de sua mão logo que ele acabasse de escrevê-la. Wald, de certa forma, era um integrante improvável do grupo. Como sempre, inclinava-se para a abstração, para longe das aplicações diretas. Mas sua motivação para usar o talento contra o Eixo era óbvia. E quando era necessário transformar uma ideia vaga em matemática sólida, Wald era a pessoa que se queria ter ao lado.

 

ASSIM, EIS A QUESTÃO.6 Você não quer que seus aviões sejam derrubados pelos caças inimigos, então você os blinda. Mas a blindagem torna o avião mais pesado, e aeronaves mais pesadas são mais difíceis de manobrar e usam mais combustível. Blindar demais os aviões é um problema; blindar os aviões de menos é um problema. Em algum ponto intermediário há uma situação ideal. O motivo de você ter uma equipe de matemáticos enfurnados num aposento na cidade de Nova York é descobrir qual é essa situação ótima.

Os militares foram ao SRG com alguns dados que julgaram úteis. Quando os aviões americanos voltavam de suas missões na Europa, estavam cobertos de furos de balas. Mas os danos não eram distribuídos uniformemente pela aeronave. Havia mais furos na fuselagem, não tantos nos motores.

 

Se ção do avião b Balas por pé quadrado Motor Motor 1,11 Fuselagem 1,73 Sistema de combustível 1,55 Resto do avião 1,8

 

Os oficiais viam aí uma oportunidade de eficiência. Pode-se obter a mesma proteção com menos blindagem se a concentrarmos nos locais mais necessários, onde os aviões são mais atingidos. Contudo, exatamente quanto mais de blindagem caberia a essas partes do avião? Essa era a resposta que foram obter de Wald. Mas não a obtiveram.

A blindagem, disse Wald, não devia ir para onde os furos de bala estão, mas para onde os furos não estão, isto é, nos motores.

A grande sacada de Wald foi simplesmente perguntar: onde estão os furos de bala que faltam? Aqueles que estariam sobre todo o revestimento do motor caso os danos tivessem se distribuído de forma igual pelo avião? Wald estava bastante seguro a esse respeito. Os furos de balas que faltavam estavam nos aviões que faltavam. A razão de os aviões voltarem com menos pontos atingidos no motor era que os atingidos no motor não voltavam. A grande quantidade de aviões que retornava à base com a fuselagem semelhante a um queijo suíço era forte evidência de que os tiros sofridos pela fuselagem podem (e portanto devem) ser tolerados. Se você for à sala de recuperação num hospital, verá muito mais gente com furos de bala nas pernas que no peito. Mas isso não ocorre porque as pessoas não são atingidas no peito, e sim porque as pessoas atingidas no peito não se recuperam.

Eis aqui um velho truque matemático que torna o quadro completamente claro: estabeleça algumas variáveis como zero. Nesse caso, a variável a pinçar é a probabilidade de um avião que leve um tiro no motor conseguir permanecer no ar. Estabelecer essa probabilidade como zero significa que um único tiro no motor sem dúvida derruba o avião. Qual deveria ser a aparência dos dados nesse caso? Você teria aviões com furos de bala ao longo das asas, da fuselagem, do nariz, mas nenhum no motor. O analista militar tem duas opções para explicar isso: ou as balas alemãs atingem qualquer parte do avião, menos o motor, ou o motor é o ponto de vulnerabilidade total. Ambas as situações explicam os dados, mas esta última faz mais sentido. A blindagem vai para onde não estão os furos.

As recomendações de Wald foram rapidamente materializadas, e ainda eram empregadas

pela Marinha e pela Força Aérea na Guerra da Coreia e do Vietnã.7 Não sei dizer exatamente quantos aviões americanos elas salvaram, embora os analistas de dados descendentes do SRG e que hoje são militares devam fazer uma boa ideia a respeito. Uma coisa que o establishment de defesa americano tem tradicionalmente compreendido muito bem é que os países não vencem guerras somente sendo mais corajosos que o outro lado, nem mais livres, nem um pouco preferidos por Deus. Os vencedores em geral são os caras que têm 5% a menos de aviões derrubados, ou que utilizam 5% menos combustível, ou que nutrem sua infantaria 5% a mais com 95% do custo. Esse não é o tipo de coisa que figure nos filmes de guerra, mas que constitui a própria guerra. E há matemática em cada passo do caminho.

 

POR QUE WALD VIU o que os oficiais, que tinham um conhecimento e uma compreensão muito mais vastos dos combates aéreos, não conseguiram ver? Tudo volta para os seus hábitos matemáticos de pensamento. Um matemático sempre pergunta: “Quais são suas premissas? Elas se justificam?” Isso pode ser muito irritante, mas também bem produtivo. Nesse caso, os oficiais tinham uma premissa involuntária, de que os aviões que voltavam eram uma amostra aleatória de todos os aviões. Se isso fosse verdade, você poderia tirar conclusões sobre a distribuição dos furos de bala em todos os aviões examinando a distribuição dos furos apenas nos aviões sobreviventes. Uma vez reconhecendo que a hipótese é esta, basta um instante para perceber que ela está totalmente errada; não há motivo para esperar que os aviões apresentem uma probabilidade igual de sobrevivência, independentemente de onde são atingidos. Num fragmento de jargão matemático ao qual voltaremos no Capítulo 15, a taxa de sobrevivência e a localização dos furos de balas estão correlacionados.

A outra vantagem de Wald era sua tendência para a abstração. Wolfowitz, que estudara com Wald em Columbia, escreveu que os problemas favoritos de seu colega eram “do tipo mais

abstrato possível”,8 e que ele “sempre estava pronto para falar sobre matemática, mas não se interessava pela popularização nem pelas aplicações específicas”.

A personalidade de Wald dificultava que ele focalizasse sua atenção em problemas aplicados, é verdade. A seu ver, os detalhes de aviões e metralhadoras eram puro enchimento – ele mirava direto por entre escoras e pregos que sustentavam a história. Às vezes essa abordagem pode levar você a ignorar características do problema que têm importância. Mas também permite que você veja o esqueleto comum compartilhado por questões que parecem muito diferentes na superfície. Assim você tem uma experiência significativa em áreas nas quais parece não ter vivência alguma.

Para um matemático, a estrutura subjacente ao problema do furo de bala é um fenômeno chamado viés de sobrevivência, que sempre ressurge em todos os tipos de contexto. Uma vez que tenha familiaridade com ele, como Wald, você facilmente o percebe, onde quer que ele se esconda.

É como os fundos mútuos. A avaliação da performance dos fundos mútuos é uma área em que ninguém quer estar errado, nem um pouquinho só. Uma variação de 1% no crescimento anual pode ser a diferença entre um ativo financeiro valioso e aquela roubada. Os fundos na categoria Large Blend da Morningstar, investidos em grandes empresas que representam

aproximadamente o S&P 500,c parecem pertencer ao primeiro tipo. Os fundos nessa classe

cresceram em média 178,4% entre 1995 e 2004, saudáveis 10,8% ao ano.d Parece que você se sairia bem, se tivesse dinheiro, investindo nesses fundos, não?

Bem, não. Um estudo de 2006, feito pela Savant Capital,9 lançou luz um tanto mais fria sobre esses números. Pense outra vez em como a Morningstar gera seus cálculos. Estamos em 2004, você pega todos os fundos classificados como Large Blend e vê quanto cresceram nos últimos dez anos.

Mas falta alguma coisa: os fundos que não estão ali. Fundos mútuos não vivem para sempre. Alguns florescem, outros morrem. Os que morrem, de forma geral, são aqueles que não dão dinheiro. Logo, julgar o desempenho de uma década de fundos mútuos a partir daqueles que ainda existem no fim dos dez anos é como julgar as manobras evasivas dos nossos pilotos contando os furos de bala nos aviões que retornam. O que significaria não encontrar nunca mais de um furo de bala por avião? Não que os nossos pilotos sejam brilhantes em se esquivar do inimigo, mas que os aviões que foram atingidos duas vezes despencaram em chamas.

O estudo da Savant descobriu que, se fosse incluída a performance dos fundos mortos junto com a dos sobreviventes, a taxa de retorno cairia para 134,5%, num valor muito mais normal de 8,9% ao ano. Pesquisa mais recente respaldou essa conclusão. Um estudo abrangente

realizado em 2011 e publicado na Review of Finance,10 cobrindo quase 5 mil fundos, descobriu que a taxa de retorno excedente dos 2.641 sobreviventes é cerca de 20% mais alta que a mesma cifra recalculada de modo a incluir os fundos que não deram certo. O tamanho do efeito de sobrevivência pode ter surpreendido os investidores, mas provavelmente não surpreenderia Abraham Wald.

 

Matemática é a extensão do senso comum por outros meios

 

A essa altura minha interlocutora adolescente vai me interromper e perguntar, muito razoavelmente: “Onde está a matemática?” Wald era matemático, é verdade, e não se pode negar que sua solução para o problema dos furos de bala foi engenhosa. Mas o que há de matemático nela? Não havia nenhuma identidade trigonométrica a ser observada, nem integral, nem inequação, nenhuma fórmula.

Em primeiro lugar, Wald usou fórmulas, sim. Eu contei a história sem elas porque isso é apenas a introdução. Quando se escreve um livro explicando a reprodução humana para pré-adolescentes, a introdução é interrompida imediatamente antes da coisa realmente hidráulica de como os bebês entram na barriga da mamãe. Em vez disso, você começa com algo como: “Tudo na natureza muda; as árvores perdem as folhas no inverno só para florir de novo na primavera; a humilde lagarta entra na sua crisálida e emerge como magnífica borboleta. Você também é parte da natureza, e…”

É nessa parte do livro que estamos agora.

Mas aqui somos todos adultos. Desligando momentaneamente a abordagem suave, eis uma

página de amostra do aspecto real do relatório de Wald:11 limite inferior para os Q poderia ser obtido. A premissa aqui i

é que o decréscimo de q para q está entre limites definidos. i i+1 Portanto, tanto o limite superior quanto o inferior para Qi podem ser obtidos.

 

Assumimos que:

 

onde λ < λ < 1 é tal que a expressão 1 2

 

seja satisfeita.

 

A solução exata é tediosa, mas aproximações aos limites

superior e inferior para Q para i < n podem ser obtidas pelo i

procedimento a seguir. O conjunto de dados hipotéticos usado é

 

a = 0,780 a = 0,010 0 3

a = 0,070 a = 0,005 1 4

a = 0,040 a = 0,005 2 5

λ = 0,80 λ = 0,90 1 2

 

A condição A é satisfeita, pois, por substituição

 

que é menos que

 

1 − a = 0,22 . o

 

LIMITE INFERIOR DE Qi

 

O primeiro passo é resolver a equação 66. Isso envolve a solução das quatro equações seguintes para raízes positivas

g , g , g , g . 0 1 2 3

 

Espero que não tenha sido chocante demais.

Ainda assim, a ideia real por trás do insight de Wald não requer nada desse formalismo. Nós já a explicamos sem usar notação matemática de nenhum tipo. Então a pergunta da minha aluna continua a valer: “O que faz essa matemática? Ela não é só senso comum?”

Sim. Matemática é senso comum. Em algum nível básico, isso é claro. Como se pode explicar a alguém por que somar sete coisas com cinco coisas dá o mesmo resultado que somar cinco coisas com sete? Não se pode. O fato está embutido na nossa forma de pensar acerca de juntar coisas. Os matemáticos gostam de dar nomes aos fenômenos que o nosso senso comum descreve. Em vez de dizer “Esta coisa somada com aquela coisa é a mesma coisa que aquela coisa somada com esta coisa”, nós falamos: “A adição é comutativa.” Ou, como gostamos de símbolos, escrevemos:

 

Para qualquer escolha de a e b, a + b = b + a.

 

Apesar da fórmula de aspecto oficial, estamos falando de um fato compreendido instintivamente por qualquer criança.

Multiplicação é um caso ligeiramente diferente. A fórmula parece bem similar:

 

Para qualquer escolha de a e b, a × b = b × a.

 

A mente, diante dessa afirmação, não diz “Está na cara” com a mesma rapidez que no caso da adição. É “senso comum” que dois conjuntos de seis coisas correspondam à mesma quantidade que seis conjuntos de duas?

Talvez não. Mas pode se tornar senso comum. Eis minha mais antiga memória de matemática. Estou deitado no chão da casa dos meus pais, a bochecha pressionada contra o tapete felpudo, olhando para o aparelho estéreo. Provavelmente estou escutando o lado B do Álbum azul dos Beatles. Devo ter uns seis anos. Foi na década de 1970, e o aparelho estéreo deve estar embutido num painel de madeira compensada, com um arranjo retangular de furos para entrada de ar num dos lados. Oito furos na horizontal, seis na vertical. Então, estou ali deitado, olhando os furos. As seis fileiras de furos. As oito colunas de furos. Fazendo meu olhar entrar e sair de foco, eu conseguia fazer minha mente oscilar entre ver as fileiras e ver as colunas. Seis fileiras com oito furos cada. Oito colunas com seis furos cada.

E aí eu saquei. Oito grupos de seis eram a mesma coisa que seis grupos de oito. Não porque fosse uma regra que me tivessem dito, mas porque não podia ser de outro jeito. O número de furos no painel era o número de furos no painel, não importava a maneira como eram contados.

Temos uma tendência de ensinar matemática como uma longa lista de regras. Você as aprende numa ordem e deve obedecê-las, caso contrário tira nota baixa. Isso não é matemática. Matemática é o estudo de coisas que aparecem de certo modo porque não poderiam ser de modo diferente.

Agora, sejamos justos. Nem tudo na matemática pode ser perfeitamente transparente para a nossa intuição como a adição e a multiplicação. Você não pode fazer cálculo integral e diferencial por senso comum. Mas ainda assim o cálculo derivou do nosso senso comum – Newton pegou nossa intuição física sobre objetos que se movem em linha reta, formalizou-a e aí construiu sobre essa estrutura formal uma descrição matemática universal do movimento. Uma vez tendo a teoria de Newton à mão, você pode aplicá-la a problemas que fariam sua cabeça girar se não tivesse equações para ajudá-lo. Da mesma maneira, temos sistemas mentais embutidos para avaliar a probabilidade de um resultado incerto. Mas esses sistemas são bastante fracos e pouco confiáveis, especialmente quando se trata de eventos de extrema raridade. É aí que respaldamos nossa intuição com alguns teoremas e técnicas robustos e adequados, e fazemos deles uma teoria matemática da probabilidade.

A linguagem especializada na qual os matemáticos conversam entre si é uma ferramenta magnífica para transmitir ideias complexas de forma ágil e precisa. Mas sua estranheza pode criar entre os não matemáticos a impressão de uma esfera de pensamento totalmente alheia ao raciocínio habitual. Isso está absolutamente errado.

A matemática é como uma prótese alimentada por energia atômica que você prende ao seu senso comum, multiplicando vastamente seu alcance e sua potência. Apesar do poder da matemática, e apesar de sua notação e abstração às vezes proibitivas, o efetivo trabalho mental envolvido é pouco diferente da maneira como pensamos sobre problemas mais pé no chão. Eu acho útil ter em mente uma imagem do Homem de Ferro abrindo um buraco a socos através de uma parede de tijolos. De um lado, a efetiva força que quebra a parede não é fornecida pelos músculos de Tony Stark, mas por uma série de servomecanismos finamente sincronizados e alimentados por um compacto gerador de partículas beta. De outro lado, do ponto de vista de Tony Stark, o que ele está fazendo é socar uma parede, exatamente como faria sem a armadura. Só que muito, muito mais forte.

Parafraseando Clausewitz, a matemática é a extensão do senso comum por outros meios.

Sem a estrutura rigorosa que a matemática provê, o senso comum pode levar você a se perder. Foi isso que aconteceu com os oficiais que queriam blindar as partes dos aviões já suficientemente fortes. Mas a matemática formal sem senso comum – sem a constante inter-relação de raciocínio abstrato e nossa intuição sobre quantidade, tempo, espaço, movimento, comportamento e incerteza – seria apenas um exercício estéril de contabilidade e obediência a regras. Em outras palavras, a matemática seria realmente o que a impertinente aluna de cálculo acha.

Aí está o verdadeiro perigo. John von Neumann, no ensaio de 1947 chamado “The Mathematician”, advertiu:

 

À medida que uma disciplina matemática viaja para longe de sua fonte empírica, ou ainda mais, se é uma segunda ou

terceira geração inspirada apenas indiretamente por ideias vindas da “realidade”, ela é assediada por graves perigos. Torna-

se cada vez mais uma pura estetização, cada vez mais simplesmente l’art pour l’art. Isso não é necessariamente ruim, se o

campo está cercado de temas correlatos, que ainda têm conexões empíricas mais próximas, ou se a disciplina está sob a

influência de homens com um gosto excepcionalmente bem desenvolvido. Mas existe um grave perigo de que esse assunto

se desenvolva segundo a linha de menor resistência, de que a corrente, longe de sua fonte, se separe numa grande variedade

de ramos insignificantes, e que a disciplina se torne uma massa desorganizada de detalhes e complexidades. Em outras

palavras, a uma distância grande de sua fonte empírica, ou após muita endogamia abstrata, a disciplina matemática corre o

risco de degeneração.e

 

Qual o tipo de matemática deste livro?

 

Se seu conhecimento de matemática vem inteiramente da escola, contaram-lhe uma história muito limitada e, sob alguns aspectos importantes, falsa. A matemática escolar é largamente composta por uma sequência de fatos e regras, fatos que são certos, regras que vêm de uma autoridade mais alta e não podem ser questionadas. Ela trata questões matemáticas como assunto completamente encerrado.

A matemática não está encerrada. Mesmo com referência a objetos básicos de estudo, como números e figuras geométricas, nossa ignorância é muito maior que nosso conhecimento. E as coisas que sabemos só foram alcançadas após maciço esforço, disputa e confusão. Todo esse suor e tumulto é cuidadosamente excluído do seu livro-texto.

Há fatos e fatos, claro. Nunca houve muita controvérsia sobre 1 + 2 = 3. A questão de se e como podemos realmente provar que 1 + 2 = 3, que oscila desconfortavelmente entre a matemática e a filosofia, é outra história – vamos voltar a isso no fim do livro. Mas que o cálculo está correto, isso é pura verdade. A confusão está em outra parte. Diversas vezes vamos chegar muito perto dela.

Fatos matemáticos podem ser simples ou complicados, superficiais ou profundos. Isso divide o universo matemático em quatro quadrantes:

Fatos aritméticos básicos, como 1 + 2 = 3, são simples e superficiais. O mesmo ocorre com identidades básicas como sen(2x) = 2 senx cosx ou a fórmula quadrática: podem ser ligeiramente mais difíceis de convencer você que 1 + 2 = 3, mas no final não têm muito mais carga conceitual.

Passando para o quadrante complicado/superficial, você tem o problema de multiplicar números de dez dígitos, ou o cálculo de uma intrincada integral definida, ou, dados alguns anos no curso de graduação, o traço de Frobenius em forma modular de condutor 2377. É concebível que por algum motivo você precise saber a resposta desse problema, e é inegável que seria algo entre irritante e impossível resolvê-lo à mão; ou, como é o caso da forma modular, pode ser necessária alguma instrução séria até para entender o que se pede. Mas saber essas respostas na realidade não enriquece seu conhecimento a respeito do mundo.

O quadrante complicado/profundo é onde matemáticos profissionais como eu gostam de passar a maior parte do tempo. É onde vivem teoremas e conjecturas célebres: a hipótese de

Riemann, o último teorema de Fermat,f a conjectura de Poincaré, P⁄NP, o teorema de Gödel. Cada um desses teoremas envolveu ideias de profundo significado, importância fundamental,

beleza estonteante e tecnicidade brutal, e cada um deles é protagonista de alguns livros.12

Mas não deste livro aqui, que vai se ater ao quadrante superior esquerdo: simples e profundo. As ideias matemáticas que queremos abordar são aquelas que podem ser enfrentadas de forma direta e proveitosa, quer seu treinamento de matemática pare em pré-álgebra, quer vá muito além disso. E não são meros “fatos”, como uma simples afirmação aritmética – são princípios, cujas aplicações se estendem para além das coisas em que você está acostumado a pensar como matemática. São ferramentas práticas no cinto de utilidades. Usadas da forma adequada, ajudarão você a não estar errado.

A matemática pura pode ser uma espécie de convento, um lugar tranquilo, a salvo das influências perniciosas da bagunça e da inconsistência do mundo. Eu cresci dentro dessas paredes. Outros garotos fãs de matemática que conheci ficavam tentados por aplicações na física, na genômica ou na arte negra da administração dos fundos de pensão, mas eu não queria

essas vivências agitadas.g Como aluno de pós-graduação, dediquei-me à teoria dos números, que Gauss chamou de “a rainha da matemática”, o mais puro dos temas, o jardim central do convento, onde contemplamos as mesmas questões sobre números e equações que preocupavam os gregos e que mal se tornaram menos incômodos nos 25 séculos que se passaram desde então.

De início trabalhei com teoria dos números com sabor clássico, provando fatos acerca de somas de quartas potências de números inteiros que poderia, se pressionado, explicar para a minha família no Dia de Ação de Graças, mesmo que não conseguisse justificar como provei o que provara. Mas não demorou muito para eu ser seduzido por campos ainda mais abstratos, investigando problemas em que era impossível mencionar os atores básicos – “representações de Galois residualmente modulares”, “cohomologia de esquemas de módulos”, “sistemas dinâmicos em espaços homogêneos”, coisas desse tipo – fora do arquipélago dos anfiteatros de seminários e salas de professores que se estendem de Oxford a Princeton, de Kyoto a Paris e a Madison, Wisconsin, onde sou professor agora. Quando digo que essa matéria é empolgante, significativa e linda, e que nunca vou me cansar de pensar nela, é bom você acreditar em mim, porque se faz necessária uma longa formação apenas para alcançar o ponto em que os objetos de estudo entram no seu campo de visão.

Mas aconteceu uma coisa engraçada. Quanto mais abstrata e distante da experiência viva foi ficando minha pesquisa, mais comecei a notar quanto a matemática estava presente no mundo fora das minhas quatro paredes. Não as representações de Galois nem a co-homologia, mas ideias que eram mais simples, mais antigas e igualmente profundas – o quadrante noroeste do quadro conceitual. Comecei a escrever artigos para revistas e jornais sobre como o mundo era visto pelas lentes matemáticas e descobri, para minha surpresa, que até gente que dizia detestar matemática estava disposta a lê-los. Era uma espécie de ensino de matemática, mas muito diferente do que fazemos em sala de aula.

O que esse ensino tem em comum com a sala de aula é que o leitor é solicitado a fazer algum trabalho. Voltando a Von Neumann, em “The Mathematician”:

 

É mais difícil compreender o mecanismo de um avião e as teorias das forças que o erguem e propulsionam que

simplesmente voar, ser erguido no ar e transportado por ele – ou até mesmo dirigi-lo. É excepcional que se possa adquirir

essa compreensão de um processo sem antes ter profunda familiaridade sobre como dirigi-lo e usá-lo, sem antes tê-lo

assimilado de forma instintiva e empírica.

 

Em outras palavras, é bastante difícil compreender matemática sem fazer um pouco de matemática. Não há uma estrada régia para a geometria, como disse Euclides a Ptolomeu; ou talvez, dependendo da fonte, como Menecmo disse a Alexandre Magno. (Vamos encarar o fato, velhas máximas atribuídas a cientistas antigos provavelmente são inventadas, mas nem por isso são menos instrutivas.)

Este não será o tipo de livro em que faço gestos vagos e grandiosos para grandes monumentos da matemática, instruindo você sobre a forma apropriada de admirá-los a grande distância. Estamos aqui para sujar um pouquinho as mãos. Vamos fazer alguns cálculos. Haverá algumas fórmulas e equações, quando eu sentir necessidade delas para explicar alguma coisa. Não se exigirá nenhuma matemática formal além da aritmética, embora se vá explicar um bocado da matemática que está muito além da aritmética. Desenharei alguns gráficos e diagramas grosseiros. Vamos encontrar alguns tópicos da matemática escolar fora de seu hábitat usual. Veremos como as funções trigonométricas descrevem quanto duas variáveis estão relacionadas entre si, o que o cálculo tem a dizer sobre a relação entre fenômenos lineares e não lineares e como a fórmula quadrática serve de modelo cognitivo para a pesquisa científica.

E também vamos deparar com parte da matemática em geral empurrada para o período da faculdade, como a crise na teoria dos conjuntos, que aqui aparece como uma espécie de metáfora para a jurisprudência da Suprema Corte e a arbitragem em jogos de beisebol; desenvolvimentos recentes na teoria analítica dos números, que demonstram a inter-relação entre estrutura e aleatoriedade; e teoria da informação e projetos combinatórios, que ajudam a explicar como um grupo de estudantes de graduação do MIT ganhou milhões de dólares compreendendo as entranhas da Loteria Estadual de Massachusetts.

Haverá ocasionalmente fofocas sobre matemáticos famosos e certa quantidade de especulação filosófica. Haverá até uma ou duas provas. Mas nada de dever de casa nem testes de avaliação.

 

a Savage era quase totalmente cego, capaz de ver apenas pelo canto de um dos olhos, e em certa época passou seis meses vivendo apenas de pemmican (mistura concentrada de proteína e gordura de alto valor nutritivo) para comprovar um assunto acerca da exploração do Ártico. Achei que valia a pena mencionar isso.

b Um pé corresponde mais ou menos a 30,50cm. (N.T.)

c O S&P 500 é um índice financeiro que, grosso modo, representa as quinhentas ações mais importantes no mercado. (N.T.)

d Para ser justo, o próprio índice S&P 500 teve resultado ainda melhor, crescendo 212,5% no mesmo período.

e A visão de Von Neumann sobre a natureza da matemática é sólida, mas é justo sentir um pouco de náusea a respeito de sua caracterização da matemática executada com fins puramente estéticos como “degenerada”. Von Neumann escreve apenas dez anos depois da exposição de entartene Kunst (“arte degenerada”) na Berlim de Hitler, cujo tema era que l’art pour l’art era o tipo de coisa de que judeus e comunistas gostavam, e destinava-se a erodir a saudável arte “realista” requerida por um vigoroso Estado teutônico. Sob tais circunstâncias, é possível sentir-se um pouco defensivo em relação à matemática que não serve a nenhum propósito aparente. Um autor com compromisso político diferente do meu apontaria, a essa altura, o enérgico trabalho de Von Neumann no desenvolvimento e execução de armas nucleares.

f Que, entre os profissionais, agora é chamado de teorema de Wiles, pois Andrew Wiles o provou (com assistência crítica de Richard Taylor) e Fermat, não. Mas é provável que o nome tradicional jamais seja trocado

g Para ser sincero, quando eu estava na casa dos vinte anos, passei parte da minha vida pensando que talvez quisesse ser um “sério romancista”. Cheguei mesmo a terminar um “sério romance literário”, chamado The Grasshopper King, que foi publicado. No entanto, durante o processo, descobri que cada dia que eu dedicava a escrever um “sério romance literário” correspondia a meio dia me lastimando, com desejo de estar resolvendo problemas matemáticos.