Epílogo: Como estar certo

Epílogo

 

Como estar certo

 

ENTRE O SEGUNDO e o terceiro anos de faculdade, tive um emprego de verão numa pesquisa em saúde pública. O pesquisador – em um minuto ficará claro por que não estou usando seu nome – quis contratar um aluno de graduação em matemática porque desejava saber quantas pessoas teriam tuberculose em 2050. Meu emprego de verão era esse, descobrir o tal número. O pesquisador me entregou uma grande pasta de artigos sobre tuberculose: quanto a doença era transmissível em variadas circunstâncias, o curso típico da infecção e a duração do período de contágio máximo, curvas de sobrevivência e taxas de remissão depois da medicação, tudo dividido por idade, raça, sexo e ocorrência de HIV. Era uma pasta enorme. Papéis aos montes. Pus mãos à obra, fazendo o que estudantes de matemática fazem: um modelo de predomínio da tuberculose usando dados que o pesquisador me dera para avaliar como os índices de infecção em diferentes grupos de população iriam se modificar e interagir com o decorrer do tempo, década a década, até 2050, ano em que terminava a simulação.

O que aprendi foi o seguinte: eu não tinha a menor ideia de quantas pessoas teriam tuberculose em 2050. Cada um dos estudos empíricos tinha embutida alguma incerteza; ora achava-se que a taxa de contágio era de 20%, mas talvez fosse 13%, ou 25%, embora houvesse bastante certeza de que não era de 60% nem de 0%. Cada uma dessas pequenas incertezas locais infiltrava-se na simulação, e as incertezas em relação a diferentes parâmetros do modelo retroalimentavam-se mutuamente; em 2050, o ruído havia engolido todo o sinal. Eu podia fazer a simulação para dar qualquer coisa. Talvez nem houvesse algo como tuberculose em 2050, ou talvez a maior parte da população mundial estivesse infectada. Eu não tinha nenhum princípio de escolha.

Não era isso que o pesquisador queria ouvir. Não era para isso que ele me pagava. Ele me remunerava para produzir um número, e com paciência repetia a solicitação. Eu sei que há incerteza, dizia ele, é assim que funciona a pesquisa médica, entendo isso, basta você me dar o seu melhor palpite. Não importava que eu protestasse dizendo que qualquer palpite seria pior que palpite nenhum. Ele insistia. Era meu patrão, e eu acabei cedendo. Não tenho dúvida de que depois disso ele contou a muita gente que haveria X milhões de pessoas com tuberculose em 2050. E aposto que, se alguém perguntasse como sabia disso, ele diria que contratou um cara que fizera o cálculo para ele.

 

O crítico que conta

 

Essa história pode dar a impressão de que estou recomendando um jeito covarde de não estar errado, isto é, jamais dizer nada, responder a toda pergunta difícil com um dar de ombros e uma resposta dúbia: Bom, decerto pode ser assim, mas, por outro lado, veja bem, também pode ser assado.

Gente assim, que usa de subterfúgios para fugir das perguntas, ou não diz nada, ou diz que pode ser de um jeito ou de outro, não faz nada acontecer. Quando alguém quer denunciar esse tipo de gente, costuma citar Theodore Roosevelt e seu discurso “Cidadania em uma República”, proferido em Paris, em 1910, depois de terminado seu mandato presidencial:

 

Não é o crítico que conta. Não é o homem que aponta como o homem forte tropeça ou onde o realizador de ações poderia

tê-las feito melhor. O crédito pertence ao homem que está realmente na arena, cuja face está desfigurada por poeira, suor e

sangue; que luta corajosamente; que erra, que deixa de alcançar por pouco, uma vez e outra mais, porque não há esforço

sem erro ou imperfeição, mas que de fato se empenha em realizar seus feitos; que conhece grandes entusiasmos, grandes

devoções; que se desgasta numa causa digna; que, na melhor das hipóteses, no final conhece o triunfo de uma grande

conquista, e que, na pior das hipóteses, se falhar, pelo menos falhará com grande ousadia, de modo que seu lugar jamais seria

junto com as almas frias e tímidas que não conhecem a vitória nem a derrota.

 

Essa é a parte que as pessoas sempre citam, mas o discurso todo é muitíssimo interessante, mais longo e substancial que qualquer declaração que um presidente dos Estados Unidos atual pudesse fazer. Até você pode encontrar temas que debatemos em algum outro ponto do livro, como quando Roosevelt toca na decrescente utilidade do dinheiro – “A verdade é que, depois de ter conseguido certa medida de sucesso ou recompensa material tangível, a questão de ter mais torna-se cada vez menos importante em comparação com as outras coisas que podem ser feitas na vida” – e na falácia do “Menos como a Suécia” – se uma coisa é boa, mais dessa coisa deve ser ainda melhor, e vice-versa:

 

É tão tolo recusar qualquer progresso porque as pessoas que o exigem desejam em algum ponto chegar a extremos absurdos

quanto seria chegar a esses extremos absurdos simplesmente porque algumas das medidas advogadas pelos extremistas

seriam sensatas.

 

Contudo, o tema principal, ao qual Roosevelt retorna ao longo de todo o discurso, é que a sobrevivência da civilização depende do triunfo do arrojado, do realista e do viril contra o

brando, o intelectual e o infértil.a Ele falava na Sorbonne, o templo da Academia francesa, o mesmo lugar em que David Hilbert apresentara sua lista de 23 problemas apenas dez anos antes. Uma estátua de Blaise Pascal o observava da galeria. Hilbert havia instado os matemáticos na sua plateia e dava mergulhos cada vez mais profundos de abstração para longe da intuição geométrica e do mundo físico. A meta de Roosevelt era o extremo oposto: em aparência, ele saudava as conquistas dos acadêmicos franceses, mas deixava claro que sua aprendizagem nos livros era de importância apenas secundária na produção da grandeza nacional.

 

Falo em uma grande universidade que representa a fina flor do mais elevado desenvolvimento intelectual; presto todas as

homenagens ao intelecto a ao treinamento especializado e elaborado do intelecto; todavia, sei que terei a aprovação de todos

vós aqui presentes quando acrescentar que o mais importante ainda são os lugares-comuns, as qualidades e virtudes do dia a

dia.

 

No entanto, quando Roosevelt diz “O filósofo de gabinete, o indivíduo refinado e culto que da sua biblioteca diz como os homens devem ser governados em condições ideais, não tem utilidade no efetivo trabalho de governo”, ele pensava em Condorcet, que passava seu tempo na biblioteca fazendo exatamente isso, e que contribuiu mais para o Estado francês que a maioria dos homens práticos do seu tempo. E quando Roosevelt rosnava para as almas frias e tímidas que ficam nas margens, em segundo plano, atrás dos guerreiros, volto a Abraham

Wald, que, pelo que sei, passou a vida toda sem erguer uma arma com ódio,1 e mesmo assim desempenhou importante papel no esforço de guerra americano, precisamente por aconselhar os realizadores de ações como realizá-las melhor. Ele não era desfigurado pela poeira, nem pelo suor, nem pelo sangue, mas estava certo. Era um crítico que contava.

 

Pois isso é ação

 

Contra Roosevelt, eu vou de John Ashbery, cujo poema “Soonest mended”2 é a maior síntese que conheço de como incerteza e revelação podem se misturar sem se dissolver na mente humana. O poema é um retrato mais complexo e acurado da empreitada da vida que o homem embrutecido de Roosevelt, ferido e alquebrado, mas sem jamais duvidar de seu rumo. A visão tragicômica que Ashbery tem da cidadania poderia ser uma resposta à “Cidadania em uma República” de Roosevelt:

 

Está vendo, ambos estávamos certos, embora nada

Tenha de algum modo chegado a nada; os avatares

Da nossa conformidade com regras e viver

Em torno de casa fizeram de nós… bem, num sentido, “bons cidadãos”,

Escovando os dentes e tudo o mais, aprendendo a aceitar

A caridade dos momentos árduos à medida que são distribuídos,

Pois isso é ação, essa falta de certeza, esse descuidado

Preparar, semeando os grãos retorcidos nos sulcos,

Aprontando-se para esquecer e sempre retornando

Ao atracadouro da partida, naquele dia, há tanto tempo.b

 

Pois isso é ação, essa falta de certeza! Esta é uma sentença que repito com frequência para mim mesmo, como um mantra. Theodore Roosevelt decerto teria negado que “não ter certeza” fosse um tipo de ação. Teria dito que era ficar covardemente em cima do muro. Os Housemartins – a maior banda pop marxista a pegar numa guitarra – tomaram o partido de

Roosevelt em sua canção “Sitting on a fence”,3 de 1986, retrato intimidante de um moderado político insosso:

 

Sentado num muro está um homem que balança de eleição em eleição.

Sentado num muro está um homem que vê ambos os lados dos dois lados.

Mas o real problema deste homem

É dizer que não pode quando pode.c

 

Mas Roosevelt e os Housemartins estão errados, e Ashbery está certo. Para ele, não ter certeza é o movimento de uma pessoa forte, e não de um fraco; em outra parte do poema diz-se

que é “uma espécie de ficar sobre o muro/ Erguido no plano de um ideal estético”.d

E a matemática é parte disso. As pessoas em geral pensam na matemática como o reino da certeza e da verdade absoluta. De certo modo elas têm razão. Nós transitamos por fatos necessários: 2 + 3 = 5, e coisas do tipo.

Mas a matemática também é um meio pelo qual podemos raciocinar sobre o incerto, domando-o, quando não o domesticando totalmente. Tem sido assim desde o tempo de Pascal, que começou ajudando jogadores a entender os caprichos da sorte e acabou calculando as

chances de aposta na mais cósmica incerteza de todas:e A matemática nos dá um meio de, por princípio, não termos certeza, não simplesmente erguendo os braços e dizendo “hã”, mas fazendo uma firme declaração: “Não tenho certeza; é por isso e isso que eu não tenho certeza; e é mais ou menos este o tanto de que eu não tenho certeza.” Ou ainda mais: “Não tenho certeza, e você também não deveria ter.”

 

Um homem que balança de eleição em eleição

 

Na nossa era, o paladino da incerteza por princípio é Nate Silver, “jogador de pôquer on-line que virou papa das estatísticas de beisebol, que virou analista político”, cuja coluna no New York Times sobre as eleições presidenciais de 2012 chamou mais a atenção do público para os métodos da teoria da probabilidade do que eles jamais haviam merecido. Penso em Silver

como uma espécie de Kurt Cobain da probabilidade.4 Ambos eram dedicados a práticas culturais que antes se confinavam a um quadro pequeno e autorreferente de verdadeiros crédulos (para Silver, predição quantitativa de esportes e política; para Cobain, punk rock). E ambos provaram que, se você abrir sua prática ao público, com um estilo acessível, mas sem comprometer a fonte do material, é possível torná-la maciçamente popular.

O que tornava Silver tão bom? Em grande parte, ele estava disposto a falar sobre incerteza, disposto a tratar a incerteza não como sinal de fraqueza, e sim como uma coisa real no mundo, algo que pode ser estudado com rigor científico e empregado com proveito. Se estamos em setembro de 2012 e você perguntar a um bando de entendidos em política “Quem será eleito presidente em novembro?”, um montão deles vai dizer “Obama”, e um bando um pouco menor dirá “Romney”. A questão é que essas pessoas estão erradas, porque a resposta certa é o tipo de resposta que Silver, quase sozinho na mídia de ampla audiência, estava disposto a dar: “Qualquer um dos dois pode ganhar, porém Obama tem uma probabilidade substancialmente maior.”

Tipos políticos tradicionais saudaram essa resposta com o mesmo desrespeito que nutri pelo meu patrão da pesquisa sobre tuberculose. Eles queriam uma resposta. Não entendiam que Silver estava lhes dando uma.

Josh Jordan, da National Review, escreveu: “Em 30 de setembro, às vésperas dos debates, Silver deu a Obama 85% de chance e predisse uma contagem no colégio eleitoral de 320 a 218. Hoje as margens ficaram mais estreitas – mas Silver ainda dá uma vantagem de 288 a 250, o que levou muita gente a se perguntar se ele observou o mesmo movimento na direção de

Romney nas últimas três semanas que os demais.”5

Se Silver tinha observado o movimento em direção a Romney? Claro que sim. No fim de setembro ele dava a Romney uma chance de vitória de 15%, e em 22 de outubro deu 33% – mais que o dobro. Mas Jordan não notou que Silver havia observado, porque este último ainda estimava – corretamente – que Obama tinha mais chance de vencer que Romney. Para repórteres políticos como Jordan, isso significava que a resposta não tinha mudado.

Ou peguemos Dylan Byers em Politico:

 

Se por acaso Mitt Romney ganhasse em 6 de novembro, fica difícil ver como as pessoas podem continuar a ter fé nas

predições de alguém que nunca deu a esse candidato chance maior que 41% de ganhar (lá atrás, em 2 de junho) e – a uma

semana da eleição – lhe dá uma chance em quatro, mesmo que as pesquisas o coloquem praticamente ombro a ombro com

o adversário. … Com toda a confiança que Silver põe em suas predições, ele muitas vezes dá a impressão de ser muito

vago.6

 

Se você dá alguma importância à matemática, esse tipo de coisa faz a gente ter vontade de tirar a calça pela cabeça. A atitude de Silver não tem nada de vaga, é simples honestidade. Quando a previsão do tempo diz que há 40% de chance de chover, e chove, você perde a fé na meteorologia? Não, você reconhece que o clima é inerentemente incerto, e que uma previsão

taxativa sobre se vai chover amanhã ou não em geral é a coisa errada a se fazer.f

Óbvio que no fim Obama acabou vencendo, e com uma margem confortável, deixando os críticos de Silver com cara de bobo.

A ironia é que, se os críticos quisessem pegar Silver numa predição enganada, eles perderam uma grande chance. Podiam ter lhe perguntado: “Em quantos estados você vai errar?” Pelo que eu saiba, nunca alguém fez essa pergunta a Silver, mas é fácil imaginar como ele teria respondido. Em 26 de outubro, Silver estimou que Obama tinha 69% de chance de vencer em New Hampshire. Se você o obrigasse a predizer, naquela mesma hora e lugar, ele teria dito Obama. Então seria possível dizer que ele estimava que sua chance de estar errado em New Hampshire era de 0,31. Lembre-se, o valor esperado não é o valor que você espera, mas um meio-termo probabilístico entre resultados possíveis – e nesse caso ele daria zero resposta errada sobre New Hampshire (um resultado com probabilidade de 0,69) ou uma resposta errada (um resultado com probabilidade de 0,31), o que nos dá um valor esperado de:

 

(0,69) × 0 + (0,31) × 1 = 0,31

 

pelo método que estabelecemos no Capítulo 11.

Silver tinha mais certeza em relação à Carolina do Norte, dando a Obama apenas 19% de chance de ganhar. Mas isso ainda significa que ele estimava uma probabilidade de 19% de que seu palpite em Romney pudesse estar errado, ou seja, dava a si mesmo outros 0,19 de resposta errada esperada. Eis uma lista dos estados que em 26 de outubro Silver considerava

potencialmente competitivos:7

 

Estado Probabilidade de vitória Obama Re spostas e rradas e spe radas Oregon 99% 0,01 Novo México 97% 0,03 Minnesota 97% 0,03 Michigan 98% 0,02 Pensilvânia 94% 0,06 Wisconsin 86% 0,14 Nevada 78% 0,22 Ohio 75% 0,25 New Hampshire 69% 0,31 Iowa 68% 0,32 Colorado 57% 0,43 Virgínia 54% 0,46 Flórida 35% 0,35 Carolina do Norte 19% 0,19 Missouri 2% 0,02

Arizona 3% 0,03 Montana 2% 0,02

 

Como o valor esperado é aditivo, o melhor palpite de Silver quanto ao número de estados competitivos onde ele havia errado é simplesmente a soma das contribuições de cada um desses estados, que perfaz 2,83. Em outras palavras, ele teria dito, se alguém lhe perguntasse: “Em média tenho a probabilidade de ter errado em três estados.”

 

Na verdade ele acertou nos cinquenta.g

 

MESMO O GURU POLÍTICO mais experiente pode ter dificuldade em desferir um ataque a Silver por ter sido mais acurado do que disse que seria. A elucubração que isso incita na mente é sadia, vá atrás dela! Quando você raciocina corretamente, como Silver fez, descobre que ele sempre pensa que está certo, mas não acha que está sempre certo. Nas palavras do filósofo W.O.V. Quine:

 

Acreditar numa coisa é acreditar que ela é verdadeira; portanto, uma pessoa razoável acredita que cada uma de suas

crenças seja verdadeira; contudo, a experiência lhe ensinou a esperar que algumas de suas crenças, ele não sabe quais,

acabarão por se revelar falsas. Em suma, uma pessoa razoável acredita que cada uma de suas crenças é verdadeira e que

algumas são falsas.8

 

Formalmente, isso é muito semelhante à aparente contradição na opinião do público americano que deslindamos no Capítulo 17. O povo americano acha que cada programa de governo merece continuar a receber verbas, mas isso não significa que julguem que todos os programas do governo mereçam continuar a receber verbas.

Silver contornou essas convenções esclerosadas de reportagem política contando ao público uma história mais real. Em vez de dizer quem iria ganhar, ou quem tinha o momentum, informou quais as chances que ele achava corretas. Em vez de dizer quantos votos eleitorais Obama receberia, apresentou uma distribuição de probabilidade: digamos, Obama tinha 67%

de chances9 de obter os 270 votos eleitorais de que necessitava para a reeleição, 44% de chances de quebrar a barreira dos trezentos votos, 21% de chances de obter 330, e assim por diante. Silver estava sendo incerto, rigorosamente incerto, publicamente, e o público aceitou. Eu não teria julgado possível.

Isso é ação, essa falta de certeza!

 

Contra a precisão

 

Uma crítica de Silver pela qual tenho um pouco de simpatia é que é enganoso fazer afirmações do tipo “Hoje Obama tem 73,1% de chances de vencer”. O decimal sugere uma precisão de medida que provavelmente não existe. Ninguém pode dizer que aconteceu alguma coisa significativa se o modelo hoje dá 73,1% e amanhã 73,0%. Essa é uma crítica da apresentação de Silver, e não seu programa de fato, mas ela tinha muito peso entre os comentaristas políticos, que sentiam que os leitores estavam sendo forçados a aceitar aquilo porque parecia um número com precisão impressionante.

Não existe essa coisa de precisão demais. Os modelos que usamos para realizar testes padronizados poderiam dar resultados de provas escolares com várias casas decimais. Bastaria permitir o cálculo, mas não devemos fazê-lo – os alunos já são suficientemente ansiosos com os resultados do jeito que são, sem ter de se preocupar se o colega está à sua frente por um centésimo.

O fetiche da precisão perfeita afeta as eleições, não só no candente período de resultados de pesquisas, mas também depois que a eleição já ocorreu. A eleição de 2000 na Flórida, como você lembra, baseou-se numa diferença de poucas centenas de votos entre George W. Bush e Al Gore, um centésimo de ponto percentual do total de votos. Era de importância fundamental, pela nossa lei e nossos costumes, determinar qual dos dois candidatos podia reivindicar algumas centenas de votos a mais nas urnas. Mas, do ponto de vista da ideia de quem os moradores da Flórida queriam para presidente, isso é absurdo. A imprecisão causada por urnas invalidadas, perdidas e mal contadas é muito maior que a minúscula disparidade na contagem final. Não sabemos quem teve mais votos na Flórida. A diferença entre juízes e matemáticos é que os juízes precisam achar um jeito de fingir que sabemos, enquanto os matemáticos estão livres para dizer a verdade.

O jornalista Charles Seife incluiu em seu livro Os números (não) mentem uma crônica engraçada e levemente deprimente sobre uma disputa também apertada entre o democrata Al Franken e o republicano Norm Coleman para representar Minnesota no Senado americano. Seria ótimo dizer que Franken assumiu o mandato porque um frio procedimento analítico mostrou que exatamente 312 eleitores a mais no estado queriam vê-lo ocupando a cadeira. Na realidade, porém, esse número reflete o resultado de uma extensa contenda legal sobre questões como se uma cédula para Franken com um rabisco sobre o “Povo-Lagarto” devia ou não ser anulada. Quando se chega a esse grau de minúcia na discussão, a questão de quem “realmente” obteve mais votos deixa até de fazer sentido. O sinal perde-se no ruído.

Eu tendo a me alinhar com Seife, argumentando que eleições tão apertadas deveriam ser

decididas no cara ou coroa.h Alguns resistirão veementemente à ideia de escolher nossos líderes pelo acaso. Mas essa é de fato a maior vantagem de cara ou coroa! Eleições apertadas já são determinadas pelo acaso. Mau tempo numa cidade grande, uma urna eletrônica com defeito numa cidadezinha distante, uma cédula de votação mal bolada, fazendo com que os judeus idosos votem em Pat Buchanan – qualquer um desses eventos ao acaso pode fazer diferença quando o eleitorado fica encalhado em 50-50. A escolha por cara ou coroa impede-nos de fingir que as pessoas optaram pelo candidato vencedor numa eleição muito apertada.

Às vezes as pessoas falam e dizem: “Sei lá eu.”10

Você poderia pensar que eu realmente me ligo em casas decimais. Afinal, o gêmeo siamês do estereótipo de que matemáticos sempre têm certeza é o estereótipo de que somos sempre precisos, determinados a computar tudo com a maior quantidade possível de casas decimais. Não é assim. Nós queremos computar tudo com a máxima quantidade de casas decimais necessárias. Há um rapaz na China chamado Lu Chao que aprendeu e recitou 67.890 dígitos para pi. Esse é um feito impressionante da memória. Mas é interessante? Não, porque os dígitos de pi não são interessantes. Até onde sabemos, servem tanto quanto números aleatórios. O próprio pi é interessante, com certeza. Mas pi não são dígitos, ele é meramente especificado por seus dígitos, da mesma maneira que a Torre Eiffel é especificada pela longitude e latitude de 48,8586°N e 2,2942°L. Você pode adicionar a esses números quantas casas decimais quiser, e eles continuarão sem lhe dizer o que faz da Torre Eiffel a Torre Eiffel.

A precisão não é feita só de dígitos. Benjamin Franklin tem um comentário arguto sobre um membro do seu grupo na Filadélfia, Thomas Godfrey:

 

Ele sabia de pouca coisa fora do seu jeito de ser, e não era uma companhia agradável; pois, como a maioria dos grandes

matemáticos que conheci, ele esperava precisão universal em tudo que se dizia, e vivia sempre negando ou detalhando

trivialidades, para constante confusão de qualquer conversa.11

 

Isso dói porque é apenas parcialmente injusto. Os matemáticos podem ser uns chatos quando se trata de amenidades lógicas. Somos daquele tipo de pessoa que acha que é engraçado quando perguntam “Você quer sopa ou salada com isso?” responder “Sim”.

 

Isso não computa

 

Com tudo isso, nem os matemáticos, exceto quando querem se exibir, tentam bancar seres apenas lógicos. Isso pode ser perigoso! Por exemplo, se você é um pensador puramente dedutivo e acredita em dois fatos contraditórios, então você é obrigado a acreditar que toda afirmação é falsa. Veja só como funciona. Suponha que eu acredite simultaneamente que Paris é a capital da França e que não é. Isso parece não ter nada a ver com os Portland Trail Blazers terem sido campeões da NBA em 1982. Mas agora preste atenção no truque. Será que acontece de Paris ser a capital da França e os Trail Blazers terem ganhado o campeonato da NBA? Não, não acontece, porque eu sei que Paris não é a capital da França.

Se não é verdade que Paris é a capital da França e os Trail Blazers foram campeões, ou Paris não é a capital da França ou os Trail Blazers não foram campeões da NBA. Mas eu sei que Paris é a capital da França, o que exclui a primeira possibilidade. Então os Trail Blazers não ganharam o campeonato da NBA em 1982.

Não é difícil verificar que um argumento exatamente do mesmo tipo, mas de cabeça para baixo, prova que toda afirmação também é verdadeira.

Isso soa esquisito, mas uma dedução lógica é irrefutável. Solte uma mínima contradição em algum lugar de um sistema formal, e a coisa toda vai para o brejo. Filósofos de inclinação matemática chamam essa fragilidade da lógica formal de ex falso quodlibet, ou, entre amigos, “o princípio da explosão”. (Lembra-se do que eu disse sobre quanto o pessoal da matemática gosta de terminologia ligada à violência?)

Ex falso quodlibet é como o capitão James T. Kirk costumava desativar inteligências artificiais de caráter ditatorial – alimente-as com um paradoxo, e seus módulos de raciocínio

entram em pane e param.12 Elas simplesmente comentam antes de a luzinha de power se apagar: “Isso não computa.” Bertrand Russell fez com a teoria dos conjuntos de Gottlob Frege o que Kirk fazia com robôs insolentes. Seu único e sorrateiro paradoxo botou todo o prédio abaixo.

Mas o truque de Kirk não funciona com seres humanos. Nós não raciocinamos dessa maneira, nem aqueles entre nós que têm a matemática como meio de vida. Nós somos tolerantes com a contradição – até certo ponto. Como disse F. Scott Fitzgerald: “O teste de uma inteligência de primeira classe é a habilidade de sustentar na mente duas ideias opostas

ao mesmo tempo e ainda manter a capacidade de funcionar.”13

Os matemáticos usam essa habilidade como ferramenta básica de pensamento. Ela é essencial para a reductio ad absurdum, que exige que você tenha em mente uma proposição que julga falsa e raciocine como se a julgasse verdadeira: eu suponho que a raiz quadrada de 2 seja um número racional, mesmo que esteja tentando provar que não é… Este é um sonhar lúcido de um tipo muito sistemático. Podemos fazê-lo sem provocar curto-circuito em nós mesmos.

Na verdade, esse é um conselho popular (eu sei porque ouvi do meu orientador de doutorado, e presumo que ele tenha ouvido do seu orientador etc.): quando você estiver trabalhando duro num teorema, deve tentar prová-lo de dia e refutá-lo de noite. (A frequência

precisa dessa alternância não é crucial; diz-se que o hábito do topólogo R.H. Bing14 era dividir cada mês; durante duas semanas ele tentava provar a conjectura de Poincaré e nas

outras duas tentava encontrar um contraexemplo.i)

Por que trabalhar com propósitos tão entrecruzados? Há dois bons motivos. O primeiro é que você poderia, afinal, estar errado; o enunciado que você julga verdadeiro na realidade é falso, e todo seu esforço para prová-lo está condenado à inutilidade. Refutá-lo de noite é um tipo de garantia contra desperdício tão gigantesco.

Mas há um motivo mais profundo. Se alguma coisa é verdadeira e você tenta refutá-la, você fracassará. Nós somos treinados a pensar no fracasso como algo ruim, mas não é tão ruim assim. Você pode aprender com o fracasso. Você tenta refutar a afirmação de um jeito e dá de cara com uma parede. Tenta de outro jeito e bate noutra parede. Toda vez você tenta, e a cada noite fracassa, a cada noite há uma nova parede, e, se tiver sorte, essas paredes começam a se juntar numa estrutura, e essa estrutura é a estrutura da prova do teorema. Pois se você realmente entende o que o impede de refutar o teorema, provavelmente entenderá, de uma maneira que antes lhe era inacessível, por que o teorema é verdadeiro.

Foi isso que aconteceu com Bolyai, que desprezou o conselho bem-intencionado do pai e tentou, como tantos antes dele, provar que o postulado das paralelas era consequência dos outros axiomas de Euclides. Como todos os outros, ele fracassou. Mas, ao contrário dos demais, foi capaz de entender o formato do seu fracasso. O que bloqueava todas as suas tentativas de provar que não havia geometria sem o postulado das paralelas era justamente a existência dessa geometria! A cada tentativa fracassada ele aprendia mais sobre as características daquela coisa que ele não imaginava existir, vindo a conhecê-la mais intimamente, até o momento em que percebeu que ela estava realmente lá.

Provar de dia e refutar de noite não é só para a matemática. Eu considero um bom hábito fazer pressão sobre nossas crenças sociais, políticas, científicas e filosóficas. Acredite naquilo que você acredita de dia, mas à noite argumente contra as proposições que lhe são mais caras. Não trapaceie! Na maior medida possível, você deve pensar como se acreditasse no que não acredita. E se não conseguir se convencer a abandonar suas crenças, saberá bem mais sobre por que você acredita no que acredita. Você chegou um pouquinho mais perto de uma prova.

Aliás, esse salutar exercício mental não é absolutamente aquilo de que F. Scott Fitzgerald estava falando. Seu aval para manter crenças contraditórias vem de “The crack-up”, coletânea de ensaios, de 1936, sobre seu próprio estado de irreparável desolação. As ideias opostas que ele tinha na cabeça ali são “o senso de futilidade do esforço e o senso da necessidade de lutar”. Samuel Beckett disse isso depois, de forma mais sucinta: “Eu não posso continuar, eu

vou continuar.”15 A caracterização de Fitzgerald de uma “inteligência de primeira classe” pretende negar essa designação à sua própria inteligência. Da maneira como a encarava, a pressão da contradição fizera com que ele efetivamente cessasse de existir, como a teoria dos conjuntos de Frege ou um computador estragado por um paradoxo de Kirk. (Os Housemartins, em alguma outra parte de “Sitting on a fence”, mais ou menos resumem “The crack-up”:

“Menti a mim mesmo desde o começo/ e acabei de descobrir que estou desmoronando.”j) Desumanizado e desfeito pela dúvida de si mesmo, afogado em livros e introspecção, ele se tornara exatamente o tipo de jovem literato triste que fazia Theodore Roosevelt vomitar.

David Foster Wallace também se interessava pelo paradoxo. Em seu estilo caracteristicamente matemático, ele introduziu uma versão domesticada do paradoxo de Russell no centro de seu primeiro romance, The Broom of the System. Não é exagerado dizer que sua escrita era guiada por sua luta com contradições. Ele era apaixonado pelo técnico e analítico, mas via que os ditos da religião e da autoajuda ofereciam armas melhores contra as drogas, o desespero e o solipsismo que mata. Ele sabia que devia ser função do escritor entrar na cabeça das pessoas, mas seu tema principal era a sina de ficar firmemente encalhado dentro

da própria cabeça. Determinado a registrar e neutralizar16 a influência de suas próprias preocupações e preconceitos, sabia que essa determinação, em si, estava entre essas preocupações e era sujeita a esses preconceitos.

Isso é tema de introdução à filosofia no primeiro ano da faculdade, com toda a certeza, mas, como qualquer estudante de matemática sabe, os velhos problemas que você encontra no primeiro ano estão entre os mais profundos que você vai encontrar. Wallace lutou com os paradoxos da mesma forma que os matemáticos. Você acredita em duas coisas que parecem estar em oposição. Então você se põe a trabalhar – passo a passo, limpando o terreno, separando o que você sabe daquilo em que você acredita, mantendo as hipóteses oponentes lado a lado na sua mente e encarando cada uma sob a luz adversária da outra, até que a verdade, ou o mais perto que você consiga chegar dela, se torne clara.

Quanto a Beckett, ele tinha uma visão mais rica e empática da contradição, tão onipresente em seu trabalho que assume toda cor emocional possível em um ou outro ponto de sua obra. “Eu não posso continuar, eu vou continuar” é desolador; mas Beckett também recorre à prova pitagórica da irracionalidade da raiz quadrada de 2, transformando-a numa piada entre bêbados.

 

– Mas ouse me trair – disse Neary –, e você irá pelo caminho de Hipaso.17

– O acusmático, presumo eu – disse Wylie. – Sua retribuição me escapa da mente.

– Afogado num atoleiro – disse Neary –, por ter divulgado a incomensurabilidade do lado e da diagonal.

– Assim pereçam todos os tagarelas – disse Wylie.

 

Não fica claro quanto de matemática Beckett sabia, porém, em sua peça Worstward Ho, escrita nos seus últimos anos de vida, ele sintetiza melhor o valor do fracasso na criação matemática que qualquer catedrático já fez: “Sempre tentei. Sempre fracassei. Não faz mal. Tentar de novo. Fracassar de novo. Fracassar melhor.”

 

Quando é que eu vou usar isso?

Os matemáticos que encontramos neste livro não são apenas perfurações de certezas injustificadas, não são apenas críticos que contam. Eles descobriram coisas e construíram coisas. Galton revelou a ideia de regressão à média; Condorcet construiu um novo paradigma para a tomada de decisão em questões sociais; Bolyai criou uma geometria inteiramente nova, “um estranho Universo novo”; Shannon e Hamming fizeram uma geometria própria, um espaço onde viviam sinais digitais em vez de círculos e triângulos; Wald colocou a couraça na parte certa do avião.

Todo matemático cria coisas novas, algumas grandes, outras pequenas. Toda escrita matemática é uma escrita criativa. As entidades que podemos criar matematicamente não estão sujeitas a limites físicos, podem ser finitas ou infinitas, podem ser visualizáveis no nosso universo observacional ou não. Isso às vezes leva as pessoas de fora a pensar nos matemáticos como viajantes num reino psicodélico de perigoso fogo mental, enfrentando visões que fariam enlouquecer os seres inferiores, às vezes eles próprios levados à loucura.

Como vimos, não é nada disso. Nós matemáticos não somos malucos, não somos alienígenas e não somos místicos.

Verdade é que a sensação do entendimento matemático – de subitamente saber o que está se passando, com certeza absoluta, tudo, tudo até o fundo – é uma coisa especial, possível de ser obtida em poucos lugares na vida, se é que há algum outro lugar. Você sente que chegou às entranhas do Universo e encostou a mão no fio. É uma coisa difícil de descrever para as pessoas que não tiveram essa experiência.

Nós não estamos livres para dizer tudo que nos passe na cabeça acerca das entidades que criamos. Elas exigem definição; e, uma vez definidas, não são mais psicodélicas do que árvores e peixes. Elas são o que são. Fazer matemática é ser, a um só tempo, tocado pelo fogo e limitado pela razão. Isso não é uma contradição. A lógica forma um estreito canal através do qual a intuição flui com uma força imensamente ampliada.

As lições da matemática são simples e nelas não há números: existe estrutura no mundo. Podemos ter esperança de entender algo desse mundo e não simplesmente ficar embasbacados com o que os nossos sentidos nos apresentam. Nossa intuição fica mais forte com um exoesqueleto formal do que sem ele. A certeza matemática é uma coisa, as delicadas convicções que descobrimos atadas a nós na vida cotidiana são outra, e, na medida do possível, devemos permanecer cientes dessa diferença.

Toda vez que você observa que maior quantidade de uma coisa boa nem sempre é melhor; ou que você se lembra de que coisas improváveis acontecem com frequência, dadas as oportunidades suficientes, e que resiste à sedução do corretor de Baltimore; ou que toma uma decisão baseada não só no futuro mais provável, porém na nuvem de todos os futuros possíveis, com atenção àqueles mais prováveis e àqueles improváveis; ou que você abandona a ideia de que as crenças de grupos devem estar sujeitas às mesmas regras que as crenças de indivíduos; e que, simplesmente, você descobre aquele pontinho cognitivo gostoso onde pode deixar sua intuição correr solta na rede de trilhas que o raciocínio formal prepara para ela; que se escreve uma equação ou desenha um gráfico – você está fazendo matemática, a extensão do senso comum por outros meios. Quando é que você vai usar isso? Você vem usando matemática desde que nasceu e provavelmente nunca vai parar de usar. Use-a bem.

a A opinião de Roosevelt, de que o analítico “aprendizado pelos livros” se opõe à virilidade, é expressa mais diretamente por Shakespeare, que, na cena de abertura de Otelo, faz Iago ridicularizar seu rival Cássio chamando-o de “grande matemático/ … /que nunca pôs em campo um esquadrão,/ Tampouco conhece, mais que uma solteirona,/ a divisão da batalha”. Esse é o ponto da peça em que todo matemático na plateia percebe que Iago é o bandido da história.

b “And you see, both of us were right, though nothing/ Has somehow come to nothing; the avatars/ Of our conforming to the rules and living/ Around the home have made – well, in a sense, ‘good citizens’ of us,/ Brushing the teeth and all that, and learning to accept/ The charity of the hard moments as they are doled out,/ For this is action, this not being sure, this careless/ Preparing, sowing the seeds crooked in the furrow,/ Making ready to forget, and always coming back/ To the mooring of starting out, that day so long ago.” (N.T.)

c “Sitting on a fence is a man who swings from poll to poll/ Sitting on a fence is a man who sees both sides of both sides…/ But the real problem with this man/ Is he says he can’t when he can.” (N.T.)

d “A kind of fence-sitting/ Raised to the level of an esthetic ideal.” (N.T.)

e Ashbery começa a segunda parte, e final, de “Soonest mended” com os versos: “Estes foram então percalços do caminho/ Embora soubéssemos que o caminho era de percalços e nada mais” (“These then were some hazards of the course/ Though we knew the course was hazards and nothing else”). Ashbery, que viveu na França por uma década, decerto se refere à palavra inglesa para percalço, hazard, no sentido seguido de perto pelo eco da palavra em francês hasard, que significa “chance”, condizente com a atmosfera geral do poema, de rigorosa incerteza. Pascal chamava os jogos que debatia com Fermat de jeux de hazard [“jogos de azar”, em português], e a origem inicial era a palavra árabe para “dado”.

f Há outras razões, mais sofisticadas, que podem gerar ceticismo em relação à abordagem de Silver, embora não fossem dominantes em meio ao corpo jornalístico de Washington. Por exemplo, poderíamos seguir a linha de raciocínio de Fisher e dizer que a linguagem da probabilidade é inadequada para eventos de ocorrência única, e que somente se aplica a coisas do tipo cara ou coroa, que podem, em princípio, ser repetidas muitas e muitas vezes.

g Para ser preciso, foi sua previsão final que acertou todos os cinquenta estados. Em 26 de outubro, ele acertou todos, com exceção da Flórida, onde as pesquisas oscilavam, dando Romney aproximadamente empatado nas últimas duas semanas de campanha.

h Claro que, se você quisesse montar o esquema corretamente, deveria modificar o lançamento da moeda para dar uma ligeira vantagem ao candidato que parece estar um pouquinho na frente etc. etc. etc.

i No final ele não teve êxito em nenhuma das duas tarefas. A conjectura de Poincaré acabou comprovada por Grigori Perelman, em 2003.

j “I lied to myself right from the start/ and I just worked out that I’m falling apart.” (N.T.)