11. O que esperar quando você espera ganhar na loteria

 

V OCÊ DEVE JOGAR na loteria?

Em geral, é prudente dizer não. O velho ditado nos diz que loterias são “um imposto sobre a estupidez”, proporcionando receita ao governo à custa de pessoas mal-orientadas o bastante para comprar os bilhetes. Se você vê a loteria como um imposto, é isso mesmo, porque as loterias são tão populares quanto os tesouros estatais. Para quantos outros impostos as pessoas fazem fila nas lotéricas, a fim de pagar?

A atração das loterias não é novidade. A prática data da Gênova do século XVII,1 onde parece ter evoluído por acaso, a partir do sistema eleitoral. A cada seis meses, dois dos governatori da cidade eram escolhidos entre os membros do Pequeno Conselho. Em vez de realizar uma eleição, Gênova fazia um sorteio, tirando dois gravetos de uma pilha contendo os nomes dos 120 conselheiros. Não demorou muito para os jogadores da cidade passarem a fazer extravagantes apostas paralelas sobre o resultado da eleição. As apostas tornaram-se tão populares que os jogadores começaram a se irritar por ter de esperar até o dia da eleição para seu prazeroso jogo de azar, e logo perceberam que, se quisessem apostar em pedacinhos de papel tirados de uma pilha, não haveria necessidade de eleição. Números substituíram os nomes dos políticos e, por volta de 1700, Gênova fazia correr uma loteria que pareceria muito familiar aos modernos apostadores. Eles apostavam em cinco números tirados ao acaso, com melhor retorno para a maior quantidade de números acertados.

As loterias se espalharam rapidamente pela Europa e dali para os Estados Unidos. Durante a Guerra da Independência, tanto o Congresso Continental quanto os governos estaduais estabeleceram loterias para financiar a luta contra os britânicos. Harvard, antes de desfrutar uma dotação de nove dígitos, fez correr loterias em 1794 e 1810 para financiar dois novos

prédios de faculdades.2 (Eles ainda são usados como alojamentos para alunos do 1º ano.)

Nem todo mundo aplaudiu a forma como isso se desenvolveu. Os moralistas achavam, e não estavam errados, que loterias equivaliam a jogatina. Adam Smith também era crítico da loteria. Em A riqueza das nações, escreveu:

 

Que a chance de ganho é naturalmente supervalorizada, podemos aprender com o sucesso universal das loterias. O mundo

nunca viu e nunca verá uma loteria perfeitamente justa, ou na qual todo o ganho compense toda a perda, porque o

organizador nada ganharia com isso. … Numa loteria em que nenhum prêmio excedesse as £ 20, embora, sob outros

aspectos, chegasse muito mais perto de algo mais perfeitamente justo que as loterias estatais comuns, não haveria a mesma

demanda de bilhetes. Para ter uma chance melhor de alguns dos prêmios mais altos, algumas pessoas adquirem vários

bilhetes; e outras, pequenas participações em número ainda maior. Não há, porém, uma proposição mais correta na

matemática que aquela que diz que, em quanto mais bilhetes você se aventurar, mais probabilidade tem de perder. Aventure-

se em todos os bilhetes da loteria, e decerto perderá; quanto maior seu número de bilhetes, mais você se aproxima dessa

certeza.3

 

O vigor do texto de Smith e sua admirável insistência em considerações quantitativas não devem cegá-lo para o fato de que a conclusão não está, estritamente falando, correta. A maioria dos que jogam na loteria diria que comprar dois bilhetes em vez de um não aumenta sua probabilidade de ser perdedor, mas dobra a probabilidade de ganhar. E está certo! Numa loteria com uma estrutura de prêmio simples, é fácil verificar isso sozinho. Suponha que a loteria tenha 10 milhões de combinações de números e apenas um ganhador. Os bilhetes custam US$ 1 e o prêmio é de US$ 6 milhões.

A pessoa que compra todos os bilhetes gasta US$ 10 milhões e ganha US$ 6 milhões de prêmio. Em outras palavras, como diz Smith, essa estratégia é perda na certa, algo na casa dos US$ 4 milhões. O pé de chinelo que compra um bilhete só se dá melhor – pelo menos tem uma chance em 10 milhões de ganhar a bolada!

E se você compra dois bilhetes? Então sua chance de perder encolhe, embora seja só de 9.999.999 em 10 milhões para 9.999.998 em 10 milhões. Continue comprando bilhetes, e a sua chance de perder continua baixando, até o ponto de comprar 6 milhões de bilhetes. Nesse caso, sua chance de ganhar a bolada e, portanto, de ficar em casa, são sólidos 60%, e há apenas 40% de chance de sair perdedor. Contrariamente à alegação de Smith, você tornou-se menos propenso a perder dinheiro comprando mais bilhetes.

Adquira mais um bilhete, porém, e você seguramente perderá dinheiro (se US$ 1 ou US$ 4.000.001, isso depende de estar ou não com o bilhete vencedor.)

É difícil reconstituir aqui o raciocínio de Smith, mas ele pode ter sido vítima da falácia de “todas as curvas são retas”, raciocinando que, se comprar todos os bilhetes faz você perder dinheiro, então comprar mais bilhetes deve aumentar sua probabilidade de perder dinheiro.

Comprar 6 milhões de bilhetes minimiza a chance de perder dinheiro, mas isso não significa que seja a jogada certa, depende de quanto dinheiro você perde. O jogador do bilhete único sofre da quase certeza de perder dinheiro, mas sabe que não vai perder muito. O comprador de 6 milhões de bilhetes, apesar da chance menor de perder, está em posição muito mais perigosa. Provavelmente você ainda sente que nenhuma das opções parece muito sábia. Como ressalta Smith, se a loteria é uma proposição ganhadora para o Estado, parece que deve ser má ideia para quem quer que assuma o outro lado da aposta.

O que o argumento de Smith contra loterias não percebe é a noção de valor esperado, o formalismo matemático que captura a intuição que Smith está tentando expressar. A coisa funciona assim. Suponha que você possua um item cujo valor monetário é incerto – digamos, como um bilhete de loteria:

 

Apesar da nossa incerteza, ainda poderíamos desejar atribuir ao bilhete um valor definido. Por quê? Bem, e se aparece um sujeito oferecendo-se para pagar US$ 1,20 pelo bilhete das pessoas? É sensato fazer o negócio e embolsar US$ 0,20 de lucro, ou devo me apegar ao meu bilhete? Isso depende de eu ter atribuído ao bilhete um valor maior ou menor que US$ 1,20.

Eis como você calcula o valor esperado de um bilhete de loteria. Para cada resultado possível, você multiplica a chance desse resultado pelo valor do bilhete, dado esse resultado. Nesse caso simplificado, há somente dois resultados: você perde ou você ganha. Então obtém

 

Aí você deve somar:

 

US$ 0 + US$ 0,60 = US$ 0,60.

 

Então, o valor esperado do seu bilhete é de US$ 0,60. Se um lotófilo bate na sua porta e oferece US$ 1,20 pelo seu bilhete, o valor esperado diz que você deve fazer o negócio. Na verdade, o valor esperado diz que, em primeiro lugar, você não devia ter dado nada pelo bilhete!

 

O valor esperado não é o valor que você espera

 

Valor esperado, como significância, é outra daquelas noções matemáticas marcada por um nome que não capta exatamente seu sentido. Com certeza não “esperamos” que o bilhete de loteria valha US$ 0,60. Ao contrário, ele vale US$ 10 milhões ou US$ 0, sem nada no meio.

De maneira semelhante, suponha que eu faça uma aposta de US$ 10 num cachorro que eu acho ter 10% de chance de ganhar uma corrida. Se o cachorro ganha, recebo US$ 100; se o cachorro perde, não recebo nada. O valor esperado da aposta então é

 

(10% × US$ 100) + (90% × US$ 0) = US$ 10.

 

Mas não é isso, obviamente, que eu espero que aconteça. Ganhar US$ 10, na verdade, não é um resultado possível para minha aposta, muito menos o resultado esperado. Um nome melhor poderia ser “valor médio” – pois o que o valor esperado da aposta realmente mede é o que eu esperaria acontecer se fizesse muitas dessas apostas em muitos desses cachorros. Digamos que eu tenha feito mil apostas de US$ 10 como essa. Provavelmente eu teria ganhado cerca de cem delas (mais uma vez a lei dos grandes números!) e recebido US$ 100 a cada vez, totalizando US$ 10 mil. Assim, minhas mil apostas estão dando de retorno, em média, US$ 10 por aposta. A longo prazo, a probabilidade é você sair empatado.

O valor esperado é uma ótima maneira de descobrir o preço correto de um objeto, como a aposta num cachorro, de cujo valor não se tem certeza. Se eu dou US$ 12 em troca de cada um desses bilhetes, provavelmente acabarei perdendo dinheiro a longo prazo; por outro lado, se

consigo obtê-los por US$ 8, provavelmente deveria comprar o máximo possível.a Dificilmente hoje alguém ainda aposta em cachorros, mas o mecanismo do valor esperado é o mesmo se você estiver determinando o preço de pules de corridas, opções no mercado de ações, bilhetes de loteria ou seguro de vida.

O decreto do milhão4

 

A noção de valor esperado começou a entrar no foco matemático em meados dos anos 1600, e no final desse século a ideia já era suficientemente bem compreendida para ser usada por

cientistas práticos como Edmond Halley, o Astrônomo Real Britânico.b É isso aí, o cara do cometa! Mas ele foi também um dos primeiros cientistas a estudar o cálculo correto de preços de seguros, o que, no reinado de Guilherme III, era uma questão de máxima importância militar. A Inglaterra havia se lançado entusiasticamente numa guerra no continente, e a guerra exigia capital. O Parlamento se propôs a levantar os fundos necessários via “decreto do milhão”, de 1692, que visava a arrecadar £ 1 milhão vendendo anuidades vitalícias para a população. Assinar uma anuidade significava pagar à Coroa uma polpuda soma, em troca da garantia de receber um pagamento anual vitalício. Esse é um tipo de seguro de vida ao contrário. Os compradores essencialmente apostam que não vão morrer em futuro breve. Como medida do estado rudimentar da ciência atuarial na época, o custo da anuidade era

fixado sem referência à idade do beneficiário! c A anuidade vitalícia do avô, com probabilidade de exigir recursos no máximo por uma década, era a mesma coisa do neto.

Halley era cientista o bastante para compreender o absurdo do esquema de preços independente da idade. Determinou-se a elaborar uma contabilidade mais racional do valor da anuidade vitalícia. A dificuldade é que as pessoas não chegam e vão embora num horário rígido, como os cometas. No entanto, usando estatísticas de nascimentos e mortes, Halley conseguiu estimar a probabilidade de vários intervalos de vida para cada beneficiário, e desse modo computar o valor esperado da anuidade: “É ponto pacífico que o comprador deve pagar apenas pela parte do valor da anuidade correspondente às suas chances de estar vivo; isso deve ser computado anualmente, e a soma de todos esses valores anuais equivalerá ao valor da anuidade para a vida da pessoa proposta.”

Em outras palavras: o vovô, com sua expectativa de vida mais reduzida, paga menos pela anuidade que o netinho.

 

“Isso é óoobvio”

 

Digressão: quando conto às pessoas a história de Edmond Halley e o preço das anuidades, frequentemente sou interrompido: “Mas é óoobvio que você deve cobrar mais daqueles que são mais jovens!”

Não é óbvio. Aliás, é óbvio se você já sabe, como nós, agora. Mas o fato de as pessoas que administravam as anuidades terem falhado em fazer tais observações, vezes e vezes repetidas, é prova de que não era realmente óbvio. A matemática está cheia de ideias que agora parecem óbvias – quantidades negativas podem ser somadas e subtraídas, pode-se representar vantajosamente pontos num plano por pares de números, probabilidades de certos eventos podem ser matematicamente descritas e manipuladas –, porém, na realidade, não são absolutamente óbvias. Se fossem, não teriam chegado tão longe na história do pensamento humano.

Isso lembra uma velha história do Departamento de Matemática de Harvard, envolvendo um dos grandes velhos professores russos, que chamaremos aqui de O. O professor O está no meio de uma intrincada derivação algébrica quando um aluno no fundo da sala levanta a mão.

“Professor O, não acompanhei o último passo. Por que essas duas operações comutam?”

O professor ergue as sobrancelhas e diz: “Isso é óoobvio.”

Mas o aluno persiste: “Desculpe, professor, realmente não consigo ver.”

Então o professor O volta ao quadro e acrescenta algumas linhas explicativas. “O que devemos fazer? Bem, os dois operadores são ambos diagonalizados por… Bem, não exatamente diagonalizados, mas… só um momento…” O professor O faz uma pequena pausa, espiando o que está no quadro, e coça o queixo. Então se retira para sua sala. Cerca de dez minutos se passam. Os alunos estão prestes a ir embora quando o professor O volta e reassume seu lugar diante do quadro-negro.

“Sim”, ele diz, satisfeito. “Isso é óoobvio.”

 

Não jogue na loteria

 

A loteria nacional Powerballd é atualmente jogada em 42 estados americanos, no distrito de Columbia e nas Ilhas Virgens. É extremamente popular, às vezes vendendo até 100 milhões de

bilhetes num único sorteio.5 Gente pobre joga Powerball e gente que já é rica joga Powerball. Meu pai, ex-presidente da Associação Americana de Estatística, joga Powerball, e como ele geralmente paga um bilhete para mim, acho que também já joguei.

Isso é sensato?

Em 6 de dezembro de 2013, enquanto escrevo isto, o grande prêmio está na casa de convidativos US$ 100 milhões. E o grande prêmio não é o único modo de vencer. Como muitas loterias, a Powerball apresenta vários níveis de prêmios. Os prêmios menores, mais frequentes, ajudam a manter as pessoas com a sensação de que vale a pena jogar.

Com o valor esperado, podemos checar esses sentimentos com alguns fatos matemáticos. Eis como se calcula o valor esperado para um bilhete de US$ 2. Quando você compra o bilhete, está comprando:

 

milhões de chance de um grande prêmio de US$ 100 milhões

milhões de chance de um prêmio de US$ 1 milhão

mil de chance de um prêmio de US$ 10.000

mil de chance de um prêmio de US$ 100

mil de chance de um prêmio diferente de US$ 100

de chance de um prêmio de US$ 7

de chance de um prêmio diferente de US$ 7

de chance de um prêmio de US$ 4

de chance de um prêmio diferente de US$ 4

 

(Você pode obter todos esses detalhes no website da Powerball, que também oferece uma página surpreendentemente corajosa de “Perguntas mais frequentes” cheia de material do tipo: “P. Os bilhetes da Powerball expiram? R. Sim. O Universo está decaindo e nada dura para sempre.”)

Assim, a quantia esperada para você é:

 

O que vem dar um pouquinho menos que US$ 0,94. Em outras palavras: segundo o valor esperado, o bilhete não vale seus US$ 2.

E esse não é o fim da história, porque nem todos os bilhetes de loteria são iguais. Quando a bolada é de US$ 100 milhões, como hoje, o valor esperado de um bilhete é escandalosamente baixo. Mas toda vez que o grande prêmio não sai para ninguém, mais dinheiro entra na composição do prêmio. Quanto maior o prêmio, mais gente compra bilhetes, e quanto mais as pessoas compram bilhetes, mais provável é que um desses bilhetes irá tornar alguém multimilionário. Em agosto de 2012, Donald Lawson, trabalhador ferroviário do Michigan, levou para casa um prêmio de US$ 337 milhões.

Quando a bolada é desse tamanho, o valor esperado de um bilhete também aumenta. O cálculo é o mesmo que o anterior, só que substituindo os US$ 337 milhões no grande prêmio:

 

que é US$ 2,29. De repente, jogar na loteria não parece uma aposta tão ruim. Qual deve ser o tamanho da bolada para que o valor esperado de um bilhete exceda os US$ 2 que custa? Agora você pode finalmente voltar para a sua professora de matemática da 8ª série e dizer a ela que descobriu para que serve a álgebra. Se chamarmos o valor do grande prêmio de G, o valor esperado de um bilhete é

 

ou, simplificando um pouco,

 

Agora vem a álgebra. Para que o valor esperado seja maior que os US$ 2 que você gastou, é preciso que milhões seja maior que US$ 1,63 (2,00 − 0,37), ou algo por aí.

Multiplicando ambos os lados por 175 milhões, você descobre que o valor do limiar do prêmio é pouco mais de US$ 285 milhões. Isso não é algo que ocorra só uma vez na vida. O

prêmio chegou a isso três vezes em 2012.6 Então, parece que, no fim das contas, a loteria pode ser uma boa ideia, se você tiver o cuidado de jogar só quando o prêmio for alto o suficiente.

Mas tampouco esse é o fim da história. Você não é a única pessoa que sabe álgebra. Mesmo gente que não sabe álgebra instintivamente compreende que um bilhete de loteria é mais atraente quando a bolada é de US$ 300 milhões do que quando é de US$ 80 milhões – como sempre, a abordagem matemática é uma versão formalizada das nossas estimativas mentais naturais, uma extensão do senso comum por outros meios. Um sorteio típico de US$ 80 milhões pode vender cerca de 13 milhões de bilhetes. Mas quando Donald Lawson ganhou

US$ 337 milhões, ele estava mais ou menos contra 75 milhões de outros apostadores.e

Quanto mais gente joga, mais pessoas ganham prêmios. Mas há somente um grande prêmio. Se duas pessoas acertam os seis números, elas precisam dividir a dinheirama.

Qual a probabilidade de você ganhar a bolada e não precisar dividi-la? Duas coisas precisam acontecer. Primeiro, você precisa acertar todos os seus números. Você tem uma chance de acertar em 175 milhões. Mas isso não basta para vencer. Todos os outros jogadores devem perder.

A chance de qualquer jogador específico perder o grande prêmio é bem grande, simplesmente algo como 174.999.999 em 175 milhões. Mas quando 75 milhões de outros apostadores estão no jogo, começa a haver uma chance substancial de que um desses caras acerte a bolada.

Quanto é esse “substancial”? Usamos um fato que já encontramos diversas vezes. Se queremos saber a probabilidade de que aquela coisa Nº 1 aconteça, e sabemos que aquela coisa Nº 2 acontece, e se as duas coisas são independentes – a ocorrência de uma não tem efeito sobre a probabilidade da outra –, então a probabilidade de acontecerem a coisa Nº 1 e a coisa Nº 2 é o produto das duas probabilidades.

Abstrato demais? Vamos fazer com a loteria.

Há uma chance de 174.999.999⁄ de eu perder, e uma chance de 174.999.999⁄ que o 175.000.000 175.000.000 meu pai perca. Então a probabilidade de nós dois perdermos é

 

ou 99,9999994%. Em outras palavras, como digo a meu pai toda vez, é melhor a gente não largar nossos empregos.

Mas qual a chance de que todos os 75 milhões dos seus competidores percam? Tudo que

tenho a fazer é multiplicar 174.999.999⁄ por si mesmo 75 milhões de vezes. Essa parece 175.000.000

uma tarefa impeditiva, incrivelmente brutal. Mas você pode simplificar muito o problema apresentando-o como exponencial, o que seu computador pode calcular instantaneamente para você:

 

Então há uma chance de 65% de que nenhum dos seus colegas apostadores ganhe, o que significa que há uma chance de 35% de que pelo menos um ganhe. Se isso acontecer, sua parte no prêmio de US$ 337 milhões cai para meros US$ 168 milhões. Isso corta o valor esperado do grande prêmio para

 

65% × 337 milhões + 35% × 168 milhões = US$ 278 milhões,

 

um pouquinho abaixo do valor limiar de US$ 285 milhões que faz o grande prêmio valer a pena. E isso não leva em conta a possibilidade de que mais de duas pessoas ganhem o grande prêmio, dividindo ainda mais o dinheiro. A possibilidade de divisão do grande prêmio significa que o bilhete de loteria tem um valor esperado menor do que lhe custou, mesmo quando o grande prêmio chega a US$ 300 milhões. Se o prêmio fosse ainda maior, o valor esperado poderia encostar na zona que “vale a pena” – ou não, se atraísse um nível ainda mais

alto de vendas de bilhetes.f O maior prêmio da Powerball até hoje, US$ 588 milhões, foi ganho por dois apostadores, e o maior prêmio de loteria na história dos Estados Unidos, US$ 688 milhões da Mega Millions Prize, foi dividido em três.

E nem sequer consideramos os impostos que você paga sobre seus ganhos, ou o fato de o prêmio ser distribuído para você em parcelas anuais – se quiser todo o dinheiro de cara, o pagamento é substancialmente menor. E lembre-se, a loteria é uma criação do Estado, e o Estado sabe muita coisa a seu respeito. Em muitos países, impostos na fonte e outras obrigações financeiras excepcionais são pagos pelos ganhos de loteria antes que você veja um centavo. Uma conhecida minha que trabalha numa loteria estadual me contou a história de um homem que foi até o escritório com a namorada para embolsar seu prêmio de US$ 10 mil e passar um fim de semana de farra na cidade. Quando apresentou seu bilhete, o funcionário encarregado disse ao casal que quase todo o prêmio, exceto algumas centenas de dólares, já estava comprometido com o sustento do filho delinquente, que o homem devia à ex-namorada.

Era a primeira vez que a namorada atual do sujeito ouvia falar do filho dele. O fim de semana não correu de acordo com o planejado.

 

ENTÃO, qual a melhor estratégia para ganhar dinheiro jogando na loteria? Eis o plano de três pontos certificado matematicamente.

 

1. Não jogue na loteria.

2. Se você jogar na loteria, não jogue a não ser que o grande prêmio seja realmente

grande.

3. Se você comprar bilhetes para um prêmio maciço, tente reduzir as chances de dividir

seu ganho; escolha números que outros jogadores não escolheriam.7 Não escolha o seu aniversário. Não escolha números que ganharam num sorteio anterior. Não escolha números que formem um padrão bonito no bilhete. E, pelo amor de Deus, não escolha números que você encontra no biscoitinho da sorte. (Você sabe que eles não põem números diferentes em todo embrulho, não sabe?)

 

A Powerball não é a única loteria, mas todas elas têm uma coisa em comum: são péssimas apostas. Uma loteria, como observou Adam Smith, destina-se a produzir o retorno de certa proporção das vendas de bilhetes para o Estado. Para que isso funcione, o Estado tem de ganhar mais dinheiro em bilhetes que dar em prêmios. Tendo isso em mente, os apostadores das loterias em média gastam mais dinheiro do que ganham. Então, o valor esperado de um bilhete de loteria deve ser negativo.

 

Exceto quando não é.

 

O cambalacho da loteria que não aconteceu Em 12 de julho de 2005, a Unidade Corregedora da Loteria Estadual de Massachusetts recebeu um telefonema incomum de um empregado do Star Market, em Cambridge, subúrbio do norte de Boston que abriga tanto a Universidade Harvard quanto o MIT. Um estudante da faculdade fora ao supermercado para comprar bilhetes de um novo jogo da loteria do estado, o Cash WinFall. Até aí, nada de estranho. O inusitado foi o tamanho da compra. O aluno entregou 14 mil volantes, cada um preenchido a mão, num total de US$ 28 mil em bilhetes de loteria.

Sem problema, a loteria disse à loja. Se os volantes estão preenchidos corretamente, cada um pode jogar quanto quiser. Pedia-se às lojas que obtivessem autorização do escritório central da loteria se quisessem vender mais de US$ 5 mil em bilhetes por dia, mas a autorização era facilmente concedida.

Isso era uma coisa boa, porque o Star não era o único agente de loteria na área de Boston a fazer negócios vigorosos naquela semana. Mais doze lojas contataram a loteria antes do sorteio de 14 de julho para pedir autorizações. Três delas concentravam-se num bairro de população pesadamente asiático-americana, em Quincy, ao sul de Boston, às margens da baía. Dezenas de milhares de bilhetes do Cash WinFall estavam sendo vendidos a pequenos grupos de compradores num punhado de lojas.

O que acontecia? A resposta não era segredo, estava bem à vista, ali nas regras do Cash WinFall. O novo jogo, lançado no outono de 2004, vinha substituir o Mass Millions, que fora abolido depois de passar um ano inteiro sem pagar o grande prêmio. Os jogadores estavam ficando desanimados, e as vendas, em baixa. Massachusetts precisava dar uma sacudida na sua loteria, e os funcionários estaduais tiveram a ideia de adaptar WinFall, um jogo de Michigan. No Cash WinFall, a bolada não se acumulava a cada semana que não houvesse ganhador. Em vez disso, toda vez que a soma ultrapassasse US$ 2 milhões, o dinheiro “rolava para baixo”, aumentando os prêmios menores, menos difíceis de ganhar. E a bolada voltava para seu mínimo de US$ 500 mil no sorteio seguinte. A comissão de loterias esperava que o novo jogo, que possibilitava ganhar boas quantias sem acertar o grande prêmio, fosse um bom negócio.

Fizeram um trabalho muito bem-feito. No Cash WinFall, o estado de Massachusetts inadvertidamente concebera um jogo que na realidade era um bom negócio. No verão de 2005, alguns jogadores empreendedores já tinham descoberto isso.

Num dia normal, eis como era a distribuição de prêmios do Cash WinFall:

 

acertar todos os seis números 1 em 9,3 milhões grande prêmio variável acertar cinco em seis 1 em 39 mil US$ 4 mil acertar quatro em seis 1 em 800 US$ 150 acertar três em seis 1 em 47 US$ 5 acertar dois em seis 1 em 6,8 um bilhete de loteria grátis

 

Se a bolada é de US$ 1 milhão, o valor esperado de um bilhete de US$ 2 é bastante fraco:

 

Essa é uma taxa de retorno tão patética que faz os apostadores da Powerball parecerem investidores astutos. (E nós avaliamos um bilhete grátis generosamente nos US$ 2 que custaria em vez do valor esperado, substancialmente menor, que ele traz.)

No entanto, num dia em que o dinheiro “rola para baixo”, as coisas parecem diferentes. Em 7 de fevereiro de 2005, a bolada estava perto de US$ 3 milhões. Ninguém ganhou, o que não foi surpresa, considerando que apenas cerca de 470 mil pessoas jogaram Cash WinFall naquele dia, e acertar todos os seis números era uma chance em 10 milhões.

Então todo o dinheiro rolou para baixo. A fórmula oficial rolava US$ 600 mil para os prêmios de cinco e três acertos, US$ 1,4 milhão para os prêmios de quatro acertos. A probabilidade de acertar quatro números em seis no WinFall é de mais ou menos uma em oitocentas, assim, deve ter havido cerca de seiscentos acertadores de quatro números naquele dia, de um total de 470 mil. Isso é um monte de ganhadores, mas US$ 1,4 milhão é um monte de dinheiro. Dividindo em seiscentas partes, restam mais de US$ 2 mil para cada ganhador. Na verdade, esperava-se que o prêmio para quem acertasse quatro números em seis naquele dia fosse em torno de US$ 2.385. A proposta é muito mais atraente que os magros US$ 150 ganhos num dia normal. Uma chance em oitocentas para um retorno de US$ 2.385 tem um valor esperado de

 

Em outras palavras, o prêmio para quatro números certos, sozinho, faz o bilhete valer seu preço de US$ 2. Inclua os outros prêmios, e a história fica ainda melhor.

 

Assim, seria de esperar que o bilhete médio trouxesse ganhos em dinheiro de

 

Um investimento em que você faz três paus e meio de lucro numa aplicação de US$ 2 não é

algo a se desprezar.g

Claro que, se um sortudo acerta o grande prêmio, o jogo fica atraente para o resto das pessoas. Mas o Cash WinFall nunca foi popular o bastante para tornar provável esses resultado. Em 45 dias de dinheiro “rolado” durante o tempo de vida do jogo, apenas uma vez

um apostador acertou os seis números e impediu o “rolamento para baixo”.h

Sejamos claros – esse cálculo não significa que uma aposta de US$ 2 seguramente lhe fará ganhar dinheiro. Ao contrário, quando você compra um bilhete do Cash Winfall num dia de “rolagem”, seu bilhete tem mais probabilidade de sair perdedor, da mesma forma que em qualquer outro dia. O valor esperado não é o valor que você espera! No entanto, num dia de “rolagem”, os prêmios, no improvável evento de você ganhar, são maiores – bem maiores. A mágica do valor esperado é que o pagamento médio de cem, mil ou 10 mil bilhetes provavelmente é muito próximo de US$ 5,53. Qualquer bilhete considerado provavelmente não tem valor, mas se você possui mil deles, é certo que vai recuperar seu dinheiro e até ganhar um pouco mais.

Quem compra mil bilhetes de loteria de uma só vez?

Garotos do MIT, eis quem compra.

A razão de eu contar os prêmios do WinFall de 7 de fevereiro de 2005 até o último dólar é que esse número está registrado no exaustivo e, francamente, meio emocionante relato do caso

WinFall8 submetido à avaliação do estado em julho de 2012 por Gregory W. Sullivan, inspetor-geral da Fazenda de Massachusetts. Acho que posso dizer com segurança que este é o único documento de supervisão fiscal do estado que inspira o leitor a se perguntar: alguém tem os direitos disso para o cinema?

A razão é que neste dia específico para o qual os dados estão registrados é que: 7 de fevereiro foi o primeiro dia de “rolagem” depois que James Harvey, estudante do último ano do MIT, que trabalhava num projeto de estudo independente, comparando os méritos dos vários jogos lotéricos estaduais, percebeu que Massachusetts havia criado acidentalmente um veículo de investimento bestialmente lucrativo para qualquer um que conhecesse um pouco de cálculo o bastante para perceber isso. Harvey juntou um grupo de amigos (no MIT, não é difícil arranjar um grupo de amigos que saibam todos calcular um valor esperado) e comprou mil bilhetes. Como seria de esperar, um desses chutes em 800 acabou saindo, e o grupo de Harvey levou para casa um daqueles prêmios de US$ 2 mil. Eles também ganharam um punhado de acertos de três números. Ao todo, mais ou menos triplicaram o investimento inicial.

Você não ficará surpreso de saber que Harvey e seus coinvestidores não pararam de jogar Cash WinFall. Ou que ele nunca chegou perto de concluir o estudo independente – pelo menos não para os créditos do curso. Na verdade, seu projeto de pesquisa logo evoluiu para um próspero negócio. No verão, os confederados de Harvey estavam comprando dezenas de milhares de bilhetes de cada vez – foi um membro do seu grupo que fez a mastodôntica

compra no Star Market de Cambridge. Eles chamavam sua equipe de Random Strategies,9 embora sua abordagem fosse qualquer coisa, menos aleatória. O nome referia-se a Random Hall, o alojamento do MIT onde Harvey tinha bolado seu plano para ganhar dinheiro em WinFall.

Os estudantes do MIT não estavam sozinhos. Pelo menos duas outras agremiações de

apostas se formaram para tirar vantagem da herança inesperada do WinFall.i Ying Zhang, médico pesquisador em Boston, com doutorado na Northeastern University, formou o Doctor Zhang Lottery Club (DZLC). Foi o DZLC que contribuiu para o pico de vendas em Quincy. Não demorou muito e o grupo estava comprando US$ 300 mil em bilhetes para cada “rolagem”. Em 2006, o doutor Zhang de verdade abandonou a medicina para dedicar-se em tempo integral a jogar Cash WinFall.

Ainda outro grupo de apostas era liderado por Gerald Selbee, aposentado na casa dos setenta anos com bacharelado em matemática. Selbee morava em Michigan, lar original do WinFall. Seu grupo de 32 apostadores, composto sobretudo por parentes seus, jogou WinFall por cerca de dois anos até que o jogo fechou, em 2005. Quando Selbee descobriu que o trem da alegria estava de volta aos trilhos mais a leste, sua rota foi clara. Em agosto de 2005, ele e a esposa, Marjorie, foram de carro até Deerfield, na parte ocidental de Massachusetts, e fizeram a primeira aposta – 60 mil bilhetes. Levaram para casa pouco mais de US$ 50 mil de puro lucro.

Com a vantagem de sua experiência de jogo em Michigan, Selbee adicionou a seus ganhos

com os bilhetes uma empreitada de lucro extra.10 As lotéricas em Massachusetts recebiam uma comissão de 5% nas vendas de bilhetes. Selbee fez acordos diretamente com uma loja, oferecendo centenas de milhares de dólares em negócios de uma vez só em troca de dividir meio a meio a comissão de 5%. Só essa jogada gerava milhares de dólares em lucros adicionais para a equipe de Selbee a cada dia de “rolagem”.

Você não precisa de um diploma do MIT para ver como o influxo de jogadores de alto volume afetava o jogo. Lembre-se: a razão para os pagamentos “rolados” serem tão inflados era que muito dinheiro era dividido entre alguns poucos ganhadores. Em 2007, 1 milhão ou mais de bilhetes eram vendidos a cada sorteio “rolado”, a maioria para as três associações de alto volume. Os dias de prêmio de US$ 2.300 para acertar quatro de seis números há muito haviam acabado. Se 1 milhão e meio de pessoas compra bilhetes, e uma pessoa em oitocentas acerta quatro números, então é típico haver quase 2 mil ganhadores de quatro números. De modo que cada parcela de US$ 1,4 milhão agora estava mais perto de US$ 800.

É bastante fácil descobrir quanto um grande jogador podia ganhar no Cash WinFall – o artifício é olhar do ponto de vista da própria loteria. Se é dia de “rolagem”, o estado tem (pelo menos!) US$ 2 milhões acumulados do dinheiro do grande prêmio do qual precisa se livrar. Digamos que 1 milhão e meio de pessoas compra bilhetes para a “rolagem”. São US$ 3 milhões de receita, dos quais 40%, ou US$ 1,2 milhão, vão para os cofres do estado de Massachusetts e outro US$ 1,8 milhão é lançado no fundo do grande prêmio, sendo que tudo deve ser desembolsado para os apostadores antes do fim do dia. Aí o estado pega US$ 3

milhões nesse dia e entrega US$ 3,8 milhões:j US$ 2 milhões do dinheiro da verba do grande prêmio e US$ 1,8 milhão das receitas de bilhetes do dia. Em qualquer dia, o que quer que o estado ganhe, os jogadores, em média, perdem, e vice-versa. Então esse é um bom dia para jogar. Compradores de bilhetes condominiados levaram US$ 800 mil do estado.

Se os apostadores compram 3,5 milhões de bilhetes, a história é outra. Agora a loteria leva US$ 2,8 milhões como sua parte e paga os US$ 4,2 milhões restantes. Juntando com os US$ 2 milhões já em caixa, isso perfaz US$ 6,2 milhões, menos que os US$ 7 milhões de receita que o estado pegou. Em outras palavras, apesar da generosidade da “rolagem”, a loteria ficou tão popular que o estado ainda acaba ganhando dinheiro à custa dos jogadores.

Isso deixa o estado muito, muito feliz.

O ponto de equilíbrio vem quando a fatia de 40% da receita do dia da “rolagem” se iguala exatamente aos US$ 2 milhões já em caixa (isto é, o dinheiro com que contribuíram os apostadores não sofisticados ou muito amantes do risco para jogar WinFall sem a “rolagem”). Isso equivale a US$ 5 milhões, ou 2,5 milhões de bilhetes. Mais vendas que isso, e WinFall é uma aposta ruim. Menos que isso – no tempo de vida do WinFall, sempre foi menos –, e o WinFall oferece aos apostadores um meio de ganhar dinheiro.

O que estamos realmente usando aqui é um fato maravilhoso, e ao mesmo tempo parte do senso comum, chamado aditividade do valor esperado. Suponha que eu tenha uma franquia do McDonald’s e um café, e o McDonald’s tenha um lucro anual esperado de US$ 100 mil, enquanto o lucro líquido esperado do café é de US$ 50 mil. O dinheiro pode subir e descer de ano a ano, claro; o valor esperado significa que, a longo prazo, a quantia média de dinheiro que o McDonald’s rende será em torno de US$ 100 mil por ano e a quantia média do café, US$ 50 mil.

A aditividade diz que, em média, minha retirada total de Big Macs e mochaccinos acabará por se assentar na média de US$ 150 mil, soma dos lucros esperados de cada um dos meus dois negócios.

Em outras palavras:

 

ADITIVIDADE. O valor esperado da soma de duas coisas é a soma do valor esperado da primeira coisa com o valor esperado da segunda coisa.

 

Os matemáticos gostam de sintetizar esse raciocínio numa fórmula, exatamente como sintetizamos a comutatividade da adição (“estas x fileiras de y furos é a mesma coisa que y colunas de x furos”) pela fórmula a × b = b × a. Nesse caso, se X e Y são dois números sobre cujos valores não estamos certos, e E(X) é a abreviação para “o valor esperado de X”, então a aditividade simplesmente diz

 

E(X + Y) = E(X) + E(Y).

 

Eis o que isso tem a ver com a loteria. O valor de todos os bilhetes num dado sorteio é a

quantia fornecida pelo estado. O valor não está sujeito a nenhuma incerteza,k é simplesmente o dinheiro rolado, US$ 3,8 milhões, no primeiro exemplo dado. O valor esperado de US$ 3,8 milhões é, bem, exatamente o que se espera, US$ 3,8 milhões.

Nesse exemplo, havia 1 milhão de jogadores num dia de rolagem. A aditividade nos diz que a soma dos valores esperados de todo o 1,5 milhão de bilhetes de loteria é o valor esperado do valor total de todos os bilhetes, ou seja, US$ 3,8 milhões. Mas cada bilhete (pelo menos antes de você saber quais são os números ganhadores) vale a mesma coisa. Então, você está somando 1,5 milhão de cópias do mesmo valor para obter US$ 3,8 milhões. Esse número deve ser US$ 2,53. O lucro esperado para seu bilhete de US$ 2 é de US$ 0,53, mais que 25% acima de sua aposta, um lucro convidativo sobre o que era para ser uma droga de aposta.

O princípio da aditividade é tão atraente do ponto de vista intuitivo que fica fácil pensar que ele é óbvio. Mas, assim como o preço das anuidades de seguros de vida, ela não é óbvia! Para ver isso, vamos substituir o valor esperado por outras noções e ver como tudo vai para o espaço. Considere:

O valor mais provável da soma de um punhado de coisas é a soma dos valores mais prováveis de cada uma dessas coisas.

Isso está totalmente errado. Suponha que eu escolha ao acaso para qual dos meus três filhos vou legar a fortuna da família. O valor mais provável da parte de cada um é zero, porque há duas chances em três que eu os deserde. Mas o valor mais provável da soma dessas três cotas – na verdade, seu único valor possível – é o valor de todo o meu patrimônio.

Agulha de Buffon, macarrão de Buffon, círculo de Buffon

 

Precisamos interromper por um minuto a história dos nerds da faculdade versus a loteria, porque, já que estamos falando de aditividade do valor esperado, não posso deixar de lhes contar uma das mais belas provas que conheço nas quais essa mesma ideia se baseia.

Ela começa com o jogo de franc-carreau, que, como a loteria genovesa, nos lembra que as pessoas, muito antigamente, eram capazes de apostar em qualquer coisa. Tudo que se precisa para o franc-carreau é uma moeda e um piso de azulejos quadrados. Joga-se uma moeda no chão e faz-se uma aposta: ela vai cair totalmente dentro do azulejo ou vai acabar tocando alguma das bordas? (Franc-carreau pode ser traduzido, aproximadamente, como “quadrado

dentro do quadrado”;11 a moeda usada para o jogo não era o franco, que não estava em circulação na época, e sim o écu.)

Georges-Louis LeClerc, conde de Buffon, era um aristocrata da província de Burgundy 12 que desde cedo desenvolveu ambições acadêmicas. Cursou a escola de direito, talvez com o objetivo de seguir os passos do pai na magistratura, mas logo que obteve o diploma atirou para o alto os assuntos jurídicos em favor da ciência. Em 1733, aos 27 anos, estava pronto para se candidatar à Real Academia de Ciências em Paris.

Buffon mais tarde ganharia fama como naturalista, escrevendo uma maciça História natural em 24 volumes, apresentando sua proposta para uma teoria explicativa da origem da vida tão universal e sintética quanto a teoria de Newton em relação ao movimento e à força. Mas, quando jovem, influenciado por um breve encontro e uma longa troca de cartas com o

matemático suíço Gabriel Cramer,l os interesses de Buffon se voltavam para a matemática pura, e foi como matemático que ele se candidatou à Real Academia.

O artigo acadêmico que Buffon apresentou era uma engenhosa justaposição de dois campos matemáticos sempre tidos como separados: geometria e probabilidade. O tema não era uma grande questão sobre a mecânica dos planetas em suas órbitas nem a economia das grandes

nações, mas um humilde jogo de franc-carreau. Qual era a probabilidade, Buffonm indagava, de que a moeda caísse inteiramente dentro de um único azulejo? Qual devia ser o tamanho dos azulejos do piso para que o jogo fosse justo para ambos os jogadores?

Aqui está o que Buffon fez. Se a moeda tem raio r e o azulejo quadrado tem lado de comprimento L, então a moeda toca uma borda do quadrado maior exatamente quando seu centro pousa em cima da borda de um quadrado menor, cujo lado mede L − 2r:

O quadrado menor tem área (L − 2r)2, enquanto o quadrado maior tem área L2; logo, se você está apostando que a moeda caia “francamente dentro do quadrado”, sua chance de ganhar é a fração . Para que o jogo seja justo, essa chance precisa ser ½, o que significa

que

 

Buffon resolveu essa equação (e você também pode resolver, se estiver a fim) e descobriu que o franc-carreau era um jogo justo quando o lado do carreau era 4 + 2 vezes o raio da

moeda, uma razão um pouquinho abaixo de sete. Isso era algo conceitualmente interessante, considerando que a combinação de raciocínio probabilístico com figuras geométricas era novidade. Mas não era muito difícil, e Buffon sabia que não era suficiente para propiciar sua entrada na Academia. Então, foi adiante: “Mas se, em vez de jogar no ar uma peça redonda, como um écu, alguém jogasse uma peça de outro formato, como uma pistole espanhola, quadrada, ou uma agulha, uma vareta etc., o problema passaria a exigir um pouco mais de

geometria.”13

Essa era uma afirmação subestimada. O problema da agulha é aquele pelo qual o nome de Buffon é lembrado nos círculos matemáticos até hoje. Deixe-me explicar o que Buffon fez.

O problema da agulha de Buffon. Suponha que você tenha um piso de madeira feito de ripas longas e finas, e que por acaso tenha na mão uma agulha cujo comprimento seja exatamente da largura das ripas. Jogue a agulha no chão. Qual a chance de que a agulha cruze uma das frestas que separam as ripas?

Eis por que o problema é tão delicado. Quando você joga um écu no chão, não importa em que direção cai a cara de Luís XV. Um círculo é o mesmo, de qualquer ângulo – a chance de cruzar uma fresta não depende da orientação da moeda.

Mas a agulha de Buffon é outra história. Uma agulha orientada quase paralelamente às ripas tem pouca probabilidade de cruzar uma fresta:

 

Mas se a agulha cai atravessada, é quase certo que ela cruze:

O franc-carreau é altamente simétrico – em termos técnicos, dizemos que é invariante à rotação. No problema da agulha, a simetria foi quebrada. Isso torna o problema muito mais difícil: precisamos ficar de olho não só onde cai o centro da agulha, mas também na direção em que ela aponta.

Nos dois casos extremos, a chance de a agulha cruzar uma fresta é zero (se a agulha está paralela à fresta) ou um (se a agulha e a fresta forem perpendiculares). Então você poderia dividir a diferença e chutar que a agulha cruza a fresta exatamente na metade das vezes.

Mas isso está errado. Na verdade, a agulha cruza uma fresta substancialmente mais vezes do que cai totalmente no interior de uma ripa só. O problema da agulha de Buffon tem uma resposta lindamente inesperada: a probabilidade é , ou cerca de 64%. Por que π, se não há círculo à vista? Buffon achou a resposta usando um argumento um tanto intrincado envolvendo a área sob a curva chamada cicloide. Determinar essa área requer um pouquinho de cálculo integral, nada que um aluno de 3º ano de matemática não possa fazer, mas não exatamente esclarecedor.

Mas há outra solução, descoberta por Joseph-Émile Barbier mais de um século depois da entrada de Buffon para a Real Academia. Não é necessário nenhum cálculo formal; na verdade, você não precisa fazer qualquer tipo de conta. O argumento, ainda que um pouco rebuscado, usa nada mais que aritmética e intuição geométrica básica. O ponto crucial é, entre todas as coisas, a aditividade do valor esperado!

O primeiro passo é reformular o problema de Buffon em termos de valor esperado. Podemos perguntar: qual o número esperado de frestas que a agulha cruza? O número que Buffon almejava calcular era a probabilidade p de que a agulha lançada cruzasse uma fresta. Logo, há uma probabilidade 1 − p de que a agulha não cruze nenhuma fresta. Mas se a agulha

cruza uma fresta, ela cruza exatamente uma.n Então, o número esperado de cruzamentos é obtido da mesma maneira que sempre calculamos o valor esperado: somando cada número possível de cruzamentos, multiplicado pela probabilidade de observar esse número. Nesse caso as únicas possibilidades são zero (observada com probabilidade 1 − p) e um (observada com probabilidade p), logo, se somarmos

 

(1 − p) × 0 = 0

 

e

p × 1 = p

 

obtemos p. Logo, o número esperado de cruzamentos é simplesmente p, o mesmo número computado por Buffon. Parece que não fizemos nenhum progresso. Como podemos descobrir o misterioso número?

Quando você se defronta com um problema matemático e não sabe o que fazer, existem duas opções básicas: tornar o problema mais fácil ou mais difícil.

Torná-lo mais fácil soa melhor – você substitui o problema por outro mais simples, resolve este e aí espera que a compreensão adquirida ao resolver o problema mais fácil lhe dê alguma percepção sobre o problema real. Isso é o que os matemáticos fazem toda vez que modelam um sistema complexo do mundo real com um mecanismo matemático fácil e cristalino. Às vezes essa abordagem dá muito certo; se você está traçando a trajetória de um projétil pesado, pode se sair muito bem ignorando a resistência do ar e pensando no objeto em movimento como sujeito apenas à força constante da gravidade. Outras vezes, a simplificação é tão simples que elimina as características de interesse do problema, como na velha piada sobre o físico encarregado de otimizar a produção de leite: ele começa com grande confiança: “Consideremos uma vaca esférica…”

Nesse espírito, pode-se tentar obter algumas ideias sobre a agulha de Buffon via solução do problema mais fácil do franc-carreau: “Considere uma agulha circular…” Mas não fica claro que informação útil pode se obter de uma moeda, cuja simetria rotacional rouba a própria característica que torna o problema da agulha interessante.

Em vez disso, voltamo-nos para a outra estratégia, aquela que Barbier usou: tornar o problema mais difícil. Isso não soa promissor. Mas, quando dá certo, funciona como um feitiço.

Vamos começar no pequeno. E se perguntarmos, mais genericamente, sobre o número esperado de cruzamentos de frestas por uma agulha com comprimento equivalente a duas larguras de ripas? Essa parece uma questão mais complicada, porque agora há três resultados possíveis em vez de dois. A agulha pode cair inteiramente dentro de uma ripa, pode cruzar uma fresta ou pode cruzar duas. Então, para calcular o número esperado de cruzamentos, parece que teríamos de computar as probabilidades de três eventos separados, e não de apenas dois.

Graças à aditividade, contudo, o problema mais difícil é mais fácil que você pensa. Desenhe um ponto no centro de uma agulha comprida e rotule as duas metades de “1” e “2”, assim:

 

Agora, o número de cruzamentos esperados da agulha comprida é exatamente a soma do número esperado de cruzamentos da meia agulha 1 com o número esperado de cruzamentos da meia agulha 2. Em termos algébricos, se X é o número de frestas atravessadas pela meia agulha 1 e Y é o número de frestas atravessadas pela meia agulha 2, então o número total de frestas da agulha comprida é X + Y. Mas cada uma dessas duas partes é uma agulha do comprimento original considerado por Buffon, então, cada uma dessas agulhas, em média, cruza as frestas p vezes, isto é, E(X) e E(Y) são ambos iguais a p. Logo, o número esperado de cruzamentos da agulha toda, E (X + Y), é simplesmente E(X) + E(Y), que é p + p, que é 2p.

O mesmo raciocínio se aplica a uma agulha com comprimento três, quatro ou cem vezes a largura da ripa. Se uma agulha tem comprimento N (onde agora tomamos a largura da ripa como nossa unidade de medida), seu número esperado de cruzamentos é Np.

Isso funciona tanto para agulhas curtas quanto para compridas. Suponha que eu jogue uma agulha cujo comprimento é ½ – ou seja, metade da largura da ripa. Como a agulha de comprimento um de Buffon pode ser dividida em duas agulhas de comprimento ½, seu valor esperado p deve ser o dobro do número esperado de cruzamentos da agulha de comprimento ½. Então, a agulha de comprimento ½ tem (½)p de cruzamentos esperados. Na verdade, a fórmula

 

Número esperado de cruzamentos de uma agulha de comprimento N = Np

 

vale para qualquer número real positivo N, grande ou pequeno.

(A essa altura, deixamos para trás a prova rigorosa – é necessário algum argumento técnico para justificar por que a afirmação acima está em ordem quando N é alguma hedionda quantidade irracional, como raiz quadrada de 2. Mas juro que as ideias essenciais da prova de Barbier são aquelas que estou descrevendo.)

Agora vem um ângulo novo, por assim dizer, dobrar a agulha:

 

Essa agulha é a mais comprida até agora, com comprimento total de cinco. Mas está dobrada em dois lugares, e eu juntei as pontas, de modo a formar um triângulo. Os segmentos retos têm comprimentos um, dois e dois, então, o número esperado de cruzamentos de cada segmento é respectivamente p, 2p, 2p. O número de cruzamentos de toda a agulha é a soma do número de cruzamentos de todos os segmentos. Então, a aditividade nos diz que o número esperado da agulha toda é

 

p + 2p + 2p = 5p.

 

Em outras palavras, a fórmula

 

Número esperado de cruzamentos de uma agulha de comprimento N = Np vale também para agulhas dobradas.

Eis uma agulha dessas:

 

E outra:

 

E mais outra:

 

Nós vimos essas figuras antes. São as mesmas que Arquimedes e Eudoxo usaram dois milênios atrás, quando estavam desenvolvendo o método da exaustão. A última figura parece um círculo de diâmetro um, mas na verdade é um polígono composto de 65.536 minúsculas agulhas. Seu olho não consegue sacar a diferença, e o chão também não, o que significa que o número esperado de cruzamentos de um círculo de diâmetro um é exatamente o mesmo que o número esperado de cruzamentos do 65.536-ágono. Pela nossa regra da agulha dobrada, isso é Np, onde N é o perímetro do polígono. E qual é o perímetro? Deve ser quase exatamente o do círculo. O círculo tem raio ½, então sua circunferência é π. Assim, o número esperado de vezes que o círculo cruza uma fresta é πp.

Como está funcionando para você tornar o problema mais difícil? Não parece que estamos deixando o problema cada vez mais abstrato, cada vez mais genérico, sem sequer abordar seu tema fundamental: qual o valor de p?

Bem, adivinhe só, acabamos de calculá-lo.

Quantos cruzamentos tem o círculo? De repente, um problema que parecia difícil fica fácil. A simetria que perdemos quando passamos da moeda para a agulha foi agora restaurada, dobrando-se a agulha na forma de um círculo. Isso simplifica tremendamente o assunto. Não importa onde caia o círculo, ele cruza as linhas do piso exatamente duas vezes.

 

Então, o número esperado de cruzamentos é dois, e também é πp. Assim, descobrimos que p = , exatamente como disse Buffon. Na verdade, esse argumento aplica-se a qualquer agulha, por mais poligonal e curva que possa ser. O número esperado de cruzamentos é Lp, onde L é o comprimento da agulha em unidades da largura da ripa. Jogue uma massa de espaguete no piso azulejado, e eu posso lhe dizer exatamente quantas vezes esperar que um fio de macarrão cruze uma linha. Essa versão generalizada do problema é chamada, pelos gaiatos

da matemática, de problema do macarrão de Buffon.o

 

O mar e a pedra

 

A prova de Barbier me lembra o que o geômetra e também algebrista Pierre Deligne escreveu a seu professor, Alexander Grothendieck: “Nada parece acontecer, e todavia, no fim, ali está

um teorema altamente não trivial.”14

Pessoas de fora muitas vezes têm a impressão de que a matemática consiste em aplicar ferramentas cada vez mais possantes para escavar cada vez mais fundo o desconhecido, como explosões abrindo túneis entre as rochas com explosivos mais e mais potentes. Esse é um jeito de fazer as coisas. Mas Grothendieck, que refez muito da matemática pura à sua própria imagem, nos anos 1960 e 1970, tinha uma visão diferente: “A coisa desconhecida a ser conhecida me aparecia como uma faixa de terra ou solo duro, resistindo à penetração; … o mar avança insensivelmente em silêncio, nada parecia acontecer, nada se mexia, a água estava

tão longe que você mal a ouvia, … até afinal ela cercar a substância resistente.”15

O desconhecido é uma pedra no mar, que obstrui nosso progresso. Podemos tentar introduzir dinamite nas frestas da rocha e detoná-la, e repetir a operação até que as rochas se quebrem, como Buffon fez com suas complicadas computações de cálculo. Ou você pode assumir uma abordagem mais contemplativa, permitindo que sua compreensão suba gradual e delicadamente de nível até que, após algum tempo, o que parecia um obstáculo seja coberto pela água calma e suma.

A matemática tal como praticada hoje é uma delicada interação entre contemplação monástica e a explosão com dinamite.

 

Um aparte sobre matemática e insanidade

 

Barbier publicou sua prova do teorema de Buffon em 1860, quando tinha apenas 21 anos e era promissor estudante na École Normale Supérieure, em Paris. Em 1865, perturbado por uma condição nervosa, deixou a cidade sem endereço de referência. Nenhum matemático jamais o viu de novo até que um velho professor seu, Joseph Bertrand, o localizou num asilo para doentes mentais, em 1880. Quanto a Grothendieck, ele também abandonou a matemática acadêmica na década de 1980 e agora vive em reclusão, no estilo Salinger, em algum lugar nos Pireneus. Ninguém sabe realmente em que matemática ele está trabalhando, se é que está. Alguns dizem que pastoreia ovelhas.

Essas histórias soam como um mito popular sobre a matemática: ou ela lhe deixa louco, ou é ela própria uma espécie de loucura. David Foster Wallace, o mais matemático dos romancistas modernos (certa vez ele fez uma pausa na ficção para escrever todo um livro sobre a teoria dos conjuntos transfinitos!) qualificou o mito de o “melodrama da matemática”, e descreveu seu protagonista como “uma espécie de figura do tipo Prometeu-Ícaro, cuja genialidade de elevada altitude é também hybris e uma falha fatal”. Filmes como Uma mente brilhante, A prova e π usam a matemática como expressão taquigráfica para obsessão e fuga da realidade. Um mistério policial que se tornou best-seller, Acima de qualquer suspeita, de Scott Turow, lançou mão da mesma ideia, fazendo da própria esposa do herói uma matemática que era na verdade a assassina louca. (Nesse caso, o mito vem acompanhado de um conteúdo de política sexual, indicando fortemente que a dificuldade de forçar um cérebro feminino a se ajustar ao arcabouço matemático fez a assassina romper os limites da sanidade.) Pode-se encontrar uma versão mais recente do mito em O estranho caso do cachorro morto, no qual a habilidade matemática se apresenta apenas como outra cor no espectro do autismo.

Wallace rejeita esse quadro melodramático da vida mental dos matemáticos, e eu também. Na vida real, os matemáticos são um bando bastante comum, não mais louco que a média. Na realidade, não é muito comum escapulirmos para o isolamento a fim de travar batalhas solitárias em implacáveis campos abstratos. A matemática tende a fortalecer o raciocínio, em vez de forçá-lo até o ponto de ruptura. Se é que existe algum motivo para o mito, descobri que, em momentos de extrema tensão emocional, não há nada como um problema de matemática para acalmar as queixas que estão mobilizando o resto da psique. A matemática, como a meditação, põe você em contato direto com o Universo, que é maior que você, que estava aqui antes de você e que aqui estará depois de você. Eu ficaria louco se não fizesse matemática.

 

“Tentar fazer rolar”

Nesse meio-tempo, em Massachusetts…

Quanto mais gente jogava Cash WinFall, menos lucrativo o jogo ficava. Cada grande apostador que entrava no jogo dividia os prêmios em novos pedaços. A certa altura, como

Gerald Selbee me contou,16 Yuran Lu, da Random Strategies, sugeriu que eles e o grupo de Selbee entrassem num acordo para se revezar jogando as rolagens e garantir a cada grupo uma margem de lucro maior. Selbee parafraseou a proposta de Yuran como: “Você é um jogador grande, eu sou um jogador grande, não podemos controlar os outros jogadores, que são moscas na nossa sopa.” Cooperando, Selbee e Lu poderiam ao menos controlar-se mutuamente. O plano fazia sentido, mas Selbee não mordeu a isca. Ele se sentia à vontade explorando um furo do jogo, uma vez que as regras eram públicas, acessíveis a qualquer outro jogador como eram para ele. No entanto, entrar em conluio com outros apostadores – embora não estivesse claro que isso violaria qualquer regra da loteria – dava uma grande sensação de estar trapaceando. Então, os cartéis estabeleceram um equilíbrio, todos três despejando dinheiro em cada sorteio rolado. Com os apostadores de alto volume comprando de 1,2 a 1,4 milhão de bilhetes por sorteio, Selbee estimava que os bilhetes de loteria em dias de rolagem tinham um valor esperado de apenas 15% a mais que o custo.

Ainda é um lucro muito bom. Mas Harvey e seus confederados não estavam satisfeitos. A vida de um ganhador de loteria profissional não é a charge engraçadinha que às vezes se imagina. Para Harvey, dirigir a Random Strategies era serviço em tempo integral, e não particularmente gratificante. Antes do dia da rolagem, dezenas de milhares de volantes de loteria precisavam ser comprados e preenchidos à mão. No próprio dia do sorteio, Harvey precisa administrar a logística dos múltiplos membros da equipe percorrendo todos aqueles guichês das lojas de conveniência que topavam aceitar as mega-apostas do grupo. E, depois de anunciados os números vencedores, ainda havia a longa estafa de separar os bilhetes vencedores dos perdedores. Não que se pudesse jogar os bilhetes perdedores no lixo. Harvey os guardava em caixas de armazenagem, porque, quando se ganha muito na loteria, a Secretaria de Fazenda faz muita auditoria, e Harvey precisaria documentar suas atividades de jogo. (Gerald Selbee ainda tem uns vinte e tantos recipientes de plástico cheios de bilhetes de loteria perdedores, no valor de cerca de US$ 18 milhões, ocupando os fundos de um celeiro de sua propriedade.) Os bilhetes vencedores também exigiam algum esforço. Cada membro do grupo tinha de preencher um formulário de imposto individual para cada sorteio, não importando o tamanho do prêmio. Ainda parece divertido?

O inspetor-geral estima que a Random Strategies ganhou US$ 3,5 milhões, com impostos incluídos, durante os sete anos de vida do Cash WinFall. Não sabemos quanto desse dinheiro foi para James Harvey, mas sabemos que ele comprou um carro.

Era um Nissan Altima 1999 usado.

Os bons tempos, os primeiros dias do Cash WinFall, quando se podia dobrar o dinheiro com facilidade, não estavam tão distantes no passado. Decerto Harvey e seu time queriam voltar a eles. Mas como, se a família Selbee e o Doctor Zhang Lottery Club compravam centenas de milhares de bilhetes em cada sorteio com rolagem?

A única hora em que os outros apostadores de alto volume davam um tempo era quando a bolada não era grande o bastante para deflagrar uma rolagem para baixo. Mas Harvey também excluía esses sorteios, e por um bom motivo: sem o dinheiro da rolagem, a loteria era uma péssima aposta.

Na sexta-feira, 13 de agosto de 2010, a loteria projetava uma bolada para o sorteio da segunda-feira seguinte de US$ 1,675 milhão, bem abaixo do limiar de rolagem. Os cartéis de Zhang e Selbee estavam quietos, esperando a bolada aumentar acima do limiar de rolagem. Mas a Random Strategies fez um jogo diferente. Nos meses anteriores, eles haviam preparado sigilosamente centenas de milhares de bilhetes extras, esperando pelo dia em que a bolada projetada estivesse perto de US$ 2 milhões, mas sem chegar lá. O dia era esse. Durante o fim de semana, seus membros esvoaçaram pela Grande Boston comprando mais bilhetes do que alguém jamais comprara antes, cerca de 700 mil ao todo. Com a infusão inesperada de dinheiro da Random Strategies, a bolada na segunda-feira, 16 de agosto, estava em US$ 2,1 milhões. Era uma rolagem para baixo, dia de pagamento para os jogadores da loteria, e ninguém, exceto os estudantes do MIT, sabia o que estava por chegar. Quase 90% dos bilhetes do sorteio estavam nas mãos do time de Harvey. Eles estavam parados diante da torneira de dinheiro, totalmente sozinhos. Quando o sorteio terminou, a Random Strategies tinha ganhado US$ 700 mil acima do investimento de US$ 1,4 milhão, um belo lucro de 50%.

O truque não funcionaria duas vezes. Quando a loteria percebeu o que havia acontecido, montou-se um sistema de alerta imediato para notificar a alta administração se uma das equipes tentava forçar unilateralmente o grande prêmio acima da linha de rolagem. Quando a Random Strategies tentou outra vez, no fim de dezembro, a loteria estava pronta. Na manhã de 24 de dezembro, três dias antes do sorteio, o chefe administrativo da loteria recebeu um e-mail de sua equipe dizendo: “Os caras do Cash WinFall estão tentando fazer rolar de novo.” Se Harvey apostou que os funcionários da loteria estariam de folga no feriado, a aposta foi errada. De manhã cedo, no dia de Natal, a loteria atualizou seu grande prêmio estimado para anunciar ao mundo que estava chegando uma rolagem. Os outros cartéis, ainda ressentidos com o golpe de agosto, cancelaram suas férias de Natal e compraram centenas de milhares de bilhetes, trazendo os lucros de volta aos níveis normais.

Em todo caso, o jogo estava quase no fim. Pouco tempo depois, um amigo da repórter

Andrea Estes, do Boston Globe,17 notou algo engraçado na “lista 20-20” de ganhadores que a loteria torna pública: havia um monte de gente de Michigan ganhando prêmios, e todos ganhavam num jogo em particular, o Cash WinFall. Será que Estes pensou que havia algo de esquisito naquilo? Quando o Globe começou a fazer perguntas, o quadro todo ficou claro. Em

31 de julho de 2011, o Globe saiu com uma matéria de primeira página18 da autoria de Estes e Scott Allen explicando como três clubes de apostas haviam monopolizado os prêmios do Cash WinFall. Em agosto, a loteria mudou as regras do WinFall, impondo um teto de US$ 5 mil para a venda total e bilhetes que qualquer lotérica individual podia desembolsar num dia, impedindo os cartéis de fazer suas compras de grande volume. Mas o mal já estava feito. Se o objetivo do Cash WinFall era parecer um negócio melhor para os jogadores comuns, o jogo agora não tinha mais sentido. O último sorteio do Cash WinFall – justamente uma rolagem – ocorreu em 23 de janeiro de 2012.

 

Se jogar é empolgante, você está fazendo errado

 

James Harvey não foi a primeira pessoa a tirar vantagem de uma loteria estadual malconcebida. O grupo de Gerald Selbee fez milhões no WinFall original de Michigan antes de a administração ficar esperta e fechar o jogo, em 2005. A prática recua muito mais no

tempo. No começo do século XVIII,19 a França financiava os gastos do governo vendendo bônus, mas a taxa de juros oferecida não era atraente o bastante para gerar vendas. A fim de dar um tempero à coisa, o governo vinculou uma loteria à venda de bônus. Cada bônus dava ao proprietário o direito de comprar um bilhete de loteria com prêmio de £ 500 mil, dinheiro suficiente para viver com conforto durante décadas. Mas Michel Le Peletier des Forts, o vice-ministro das finanças que concebeu o plano da loteria, havia feito emendas nos cálculos; os prêmios a serem desembolsados excediam substancialmente o dinheiro a ser ganho com a receita dos bilhetes. Em outras palavras, a loteria, como o Cash WinFall nos dias de rolagem, tinha um valor esperado positivo para os jogadores, e quem comprasse bilhetes suficientes estava destinado a ter grande resultado.

Uma pessoa que descobriu isso foi o matemático e explorador Charles-Marie de La Condamine. Como Harvey faria quase três séculos depois, ele reuniu os amigos num cartel de compra de bilhetes. Um deles era o jovem escritor François-Marie Arouet, mais conhecido como Voltaire. Ainda que não tenha contribuído para a matemática do esquema, Voltaire deixou nele sua marca. Os jogadores da loteria deviam escrever em seu bilhete um lema, a ser lido em voz alta quando se ganhasse a bolada. Voltaire, de modo bem característico, viu nisso a oportunidade perfeita para fazer epigramas, escrevendo slogans atrevidos como “Todos os homens são iguais!” e “Vida longa a M. Peletier des Forts!” em seus bilhetes para consumo público quando o cartel ganhou o prêmio.

Finalmente, a administração pública percebeu e cancelou o programa, mas não antes que La Condamine e Voltaire tivessem tirado do governo dinheiro suficiente para se tornarem homens ricos para o resto da vida. O quê, você achava que Voltaire ganhava a vida escrevendo ensaios e epigramas perfeitos? Naquela época, como agora, esse não era o jeito de ficar rico.

A França do século XVIII não tinha computador, telefone, nem meios rápidos de coordenar informações sobre quem estava comprando bilhetes de loteria e onde. Você pode ver por que o governo levou alguns meses para pegar o esquema de Voltaire e La Condamine. Mas qual era a desculpa de Massachusetts? A história do Globe saiu seis anos depois que a loteria começou a observar estudantes de faculdade fazendo grandes compras em supermercados perto do MIT. Como podiam ignorar o que estava se passando?

É simples, eles não sabiam o que estava se passando. E nem sequer tinham de investigar, porque James Harvey viera ao escritório da loteria em Braintree em janeiro de 2005, antes que seu cartel fizesse a primeira aposta, antes até de o cartel ter um nome. Seu plano parecia bom demais para ser verdade, uma coisa tão segura que devia haver alguma barreira regulatória para realizá-la. Ele foi à loteria para ver se seu esquema de grande volume de apostas estava dentro das regras. Não sabemos exatamente o que foi conversado, mas tudo parece ter redundado em “Claro, garoto, vá nessa”. Harvey e companhia fizeram sua primeira grande aposta algumas semanas depois.

Gerald Selbee chegou não muito depois. Ele me contou que teve um encontro com os advogados da loteria em Braintree, em agosto de 2005, para informá-los de que sua corporação de Michigan iria comprar bilhetes de loteria em Massachusetts. A existência de apostas de grande volume não era segredo para o estado.

Mas por que Massachusetts haveria de permitir que Harvey, doutor Zhang e a família Selbee embolsassem quantias públicas na casa dos milhões? Que tipo de cassino deixa os jogadores baterem a casa, semana após semana, sem tomar nenhuma atitude?

Desvendar isso exige que se pense um pouco mais meticulosamente sobre como a loteria funciona. De cada US$ 2 de bilhete vendido, o estado de Massachusetts ficava com US$ 0,80. Parte desse dinheiro era usada para pagar comissões a lotéricas e operar a própria loteria. O resto era mandado para os governos municipais por todo o estado, eram quase US$ 900 milhões em 2011, para pagar a policiais, financiar programas escolares e, de forma geral, tapar os buracos nos orçamentos municipais.

O US$ 1,20 era injetado de volta no prêmio a ser distribuído entre os jogadores. Mas você se lembra do cálculo que fizemos bem lá no começo? O valor esperado de um bilhete, num dia normal, é de apenas US$ 0,80, o que significa que o estado está devolvendo, em média, US$ 0,80 por bilhete vendido. Mas o que acontece com os US$ 0,40 restantes? É aí que entra a rolagem. Dar US$ 0,80 por bilhete não é o bastante para esgotar o fundo do prêmio, então a bolada cresce toda semana, até atingir US$ 2 milhões e rolar para baixo. E é então que a loteria muda de natureza, as comportas são abertas e o dinheiro acumulado jorra para as mãos de quem é suficientemente esperto para ficar esperando.

Poderia parecer que, nesse dia, o estado de Massachusetts está perdendo dinheiro, mas isso é assumir uma visão limitada. Esses milhões nunca pertenceram a Massachusetts, desde o começo haviam sido marcados como dinheiro de prêmio. O estado pega seus US$ 0,80 de cada bilhete e devolve o resto. Quanto mais bilhetes forem vendidos, maior é a receita que entra. O estado não se importa com quem ganha, só se importa com quantas pessoas jogam.

Então, quando os cartéis de apostas embolsavam seus gordos lucros nas apostas em dia de rolagem, não estavam tirando dinheiro do estado. Tiravam dos outros jogadores, em especial daqueles que tomavam a decisão errada de jogar na loteria em dias sem rolagem. Os cartéis não estavam batendo a casa. Eles eram a casa.

Como os operadores de um cassino em Las Vegas, os apostadores de grande volume não eram totalmente imunes ao azar. Qualquer jogador de roleta pode ter uma sequência vencedora e tirar um monte de dinheiro do cassino. A mesma coisa poderia ter acontecido aos cartéis se um apostador comum tivesse acertado os seis números, desviando todo o dinheiro da rolagem para sua própria bolada. Mas Harvey e os outros haviam feito os cálculos com cuidado suficiente para tornar esse resultado raro o bastante para ser tolerado. Uma única vez em todo o decorrer do Cash WinFall alguém realmente ganhou o grande prêmio num dia de rolagem. Se você faz apostas suficientes com as probabilidades desviadas a seu favor, o simples volume da sua vantagem dilui qualquer azar que você possa ter.

Isso torna jogar na loteria algo menos empolgante, com toda a certeza. Mas, para Harvey e outros apostadores de grandes volumes, a questão não era empolgação. Sua abordagem era governada por uma máxima simples: se jogar é empolgante, você está fazendo errado.

Se os cartéis de apostas eram a casa, então quem era o estado de Massachusetts? O estado era … o estado. Assim como Nevada cobra dos cassinos uma porcentagem de seus lucros, em troca de manter a infraestrutura e a regulamentação que permitem que seus negócios prosperem, Massachusetts recebia sua parte constante do dinheiro que os cartéis injetavam. Quando a Random Strategies comprou 700 mil bilhetes para deflagrar a rolagem, as cidades de Massachusetts receberam seus US$ 0,40 de cada um desses bilhetes, num total de US$ 560 mil. Estados não gostam de jogar, haja boas chances ou não. Estados gostam de coletar impostos. Em essência, era isso que a Loteria Estadual de Massachusetts estava fazendo, aliás, com bastante sucesso. Segundo o relatório do inspetor-geral, a loteria arrecadou US$ 120 milhões de receita no Cash WinFall. Quando você sai com uma bolada de nove dígitos, provavelmente não lhe afanaram grana nenhuma.

Então, de quem afanaram? A resposta óbvia é “dos outros jogadores”. Era o dinheiro deles, afinal, que acabava rolando para os bolsos dos cartéis. Mas o inspetor-geral Sullivan concluiu seu relatório num tom de voz sugestivo de que, no fim das contas, não haviam tirado grana de ninguém:

 

Enquanto a loteria anunciava ao público um iminente grande prêmio de US$ 2 milhões que tinha a probabilidade de deflagrar

uma rolagem, um apostador comum, comprando um único bilhete ou qualquer quantidade de bilhetes, não estava em

desvantagem em relação às apostas de grande volume. Em suma, as chances de qualquer pessoa acertar um bilhete

vencedor não eram afetadas pelas apostas em grande volume. Pequenos apostadores desfrutavam as mesmas chances que

apostadores de grande volume. Quando o grande prêmio chegava ao limiar de rolagem, o Cash WinFall tornava-se uma

aposta boa para todo mundo, não só para os grandes apostadores.20

 

Sullivan está certo quanto ao fato de a presença de Harvey e dos outros cartéis não afetar a chance de algum outro jogador ganhar. Mas ele comete o mesmo erro de Adam Smith – a questão relevante não é simplesmente qual a sua chance de ganhar, mas quanto, em média, você pode esperar ganhar ou perder. As compras dos cartéis, de centenas de milhares de bilhetes, aumentavam substancialmente o número de pedaços em que um prêmio “rolado” seria fatiado, o que tornava cada bilhete ganhador menos valioso. Nesse sentido, os cartéis estavam prejudicando o jogador médio.

Analogia: se aparece pouca gente na rifa da igreja, é bem provável que eu ganhe uma caçarola. Quando aparecem cem pessoas novas e compram bilhetes da rifa, minha chance de ganhar a caçarola cai. Isso pode me deixar infeliz. Mas é injusto? E se eu descobrir que essas cem pessoas estão todas na verdade trabalhando para um mentor que quer, de verdade, ganhar a caçarola e calculou que o custo de uma centena de bilhetes da rifa é 10% menor que o preço da caçarola no varejo? De algum modo, isso é algo antidesportivo, mas não posso realmente dizer que me sinto vítima de trapaça. Claro que uma rifa cheia de gente é melhor que uma rifa vazia, para a igreja ganhar dinheiro, o que, no fim, é o objetivo da empreitada.

Ainda assim, mesmo que os apostadores de grandes volumes não sejam gatunos, há algo de desconcertante na história do Cash WinFall. Em virtude das regras equívocas do jogo, o estado acabou fazendo o equivalente a licenciar James Harvey como proprietário de um cassino virtual, tirando mês após mês dinheiro dos jogadores menos sofisticados. Mas será que isso não significa que as regras eram ruins? Como disse William Galvin, secretário de Estado de Massachusetts, ao Globe: “É uma loteria privada para pessoas habilidosas. A

questão é: por quê?”21

Se você voltar aos números, uma possível resposta se impõe. Lembre-se, o objetivo de mudar para WinFall era aumentar a popularidade da loteria. E eles conseguiram, mas talvez não tão bem como tinham planejado. E se o zum-zum-zum em torno do Cash WinFall tivesse ficado tão intenso que a loteria começasse a vender 3,5 milhões de bilhetes para moradores comuns toda vez que chegasse o dia da rolagem? Lembre-se, quanto mais gente joga, maior é a parte de 40% do estado. Como calculamos antes, se o estado vende 3,5 milhões de bilhetes, ele sai na frente mesmo no dia da rolagem. Em tais circunstâncias, as apostas em grande volume não são mais lucrativas: o ciclo se fecha, os cartéis se dissolvem, e todo mundo, exceto os próprios jogadores de grandes volumes, acaba contente.

Vender tantos bilhetes teria sido uma aposta arriscada, mas os funcionários da loteria em Massachusetts podem ter pensado que se tivessem sorte poderia dar certo. De certa forma, o estado, no fim das contas, gostava de jogar.

 

a Uma análise mais refinada “do preço correto” também levaria em consideração minhas sensações sobre risco. Voltaremos a esse assunto no próximo capítulo.

b Esse posto ainda existe! Mas agora é sobretudo honorário, uma vez que a remuneração anual de £ 100 permaneceu inalterada desde que Carlos II estabeleceu o posto, em 1675.

c Outros Estados, já como a Roma do século III, haviam entendido que o preço apropriado de uma anuidade precisava ser maior quando o comprador era mais jovem (ver Edwin W. Kopf, “The early History of the annuity”, Proceedings of the Casualty Actuarial Society, n.13, 1926, p.225-66.

d Todo o raciocínio feito a seguir pode ser, salvo pequenas diferenças, tranquilamente transposto para a nossa Mega-Sena. (N.T.)

e Ou assim me parece. Não fui capaz de obter estatísticas oficiais para as vendas de bilhetes, mas você pode conseguir estimativas bastante boas pelo número de apostadores que a Powerball libera acerca do número de ganhadores dos prêmios menores.

f Para leitores que queiram aprofundar-se ainda mais nos detalhes teóricos de decisões da loteria, uma ótima fonte é “Finding good bets in the lottery, and why you shouldn’t take them”, de Aaron Abrams e Skip Garibaldi (The American Mathematical Monthly, v.117, n.1, jan 2010, p.3-26). O título do artigo serve como resumo da conclusão dos autores.

g Da forma como ocorreu, apenas sete pessoas acertaram cinco números naquele dia, de modo que cada um desses sortudos recebeu um prêmio de mais de US$ 80 mil. Mas a escassez de ganhadores parece ter sido azar, e não algo que se pudesse antecipar quando se computa o valor esperado de um bilhete.

h Dada a popularidade do Cash WinFall, isso é de fato surpreendente. Havia cerca de 10% de chance por “rolagem” do que alguém viesse a ganhar a bolada, então, deveria ter acontecido quatro ou cinco vezes. Que tenha acontecido apenas uma vez, pelo que eu entendo, foi puro azar, ou, se você preferir, boa sorte para as pessoas que contavam com esses prêmios “rolados”.

i O autor usa aqui um trocadilho de impossível tradução: winFall e windfall. A palavra windfall, traduzida ao pé da letra, significa “derrubado pelo vento”; mas é também usada para referir-se a uma herança inesperada, ou seja, que foi “trazida pelo vento”. (N.T.)

j Contanto que ignoremos o dinheiro de prêmio que não vem da “rolagem”; mas, como vimos, esse dinheiro não representa muito.

k Ainda ignorando o dinheiro que não vem do fundo do grande prêmio.

l Aquele da regra de Cramer, para todos os fãs da álgebra linear presentes na casa.

m Na realidade, não está totalmente claro para mim se ele era de fato “Buffon” na época de sua apresentação para a Academia. Para começar, seu pai, que havia comprado o título de conde de Buffon, administrara tão mal os negócios que precisou vender as propriedades de Buffon, ligadas ao condado, e nesse meio-tempo se casara com uma moça de 22 anos. Georges-Louis processou e aparentemente conseguiu atrair para si a fortuna do tio de sua mãe, que não tinha filhos, o que lhe permitiu comprar de volta tanto as terras quanto o título.

n Você poderia alegar que, já que a agulha tem o comprimento exatamente igual à largura da ripa, é possível que a agulha toque duas frestas. Mas isso requer que a agulha ocupe exatamente a ripa; é possível, mas a probabilidade de que isso aconteça é zero, portanto, podemos seguramente ignorá-la.

o Trocadilho intraduzível do inglês. “Buffon’s needle, Buffon’s noodle” corresponde a “agulha de Buffon, macarrão de Buffon”. (N.T.)