12. Perca mais vezes o avião!

 

GEORGE STIGLER, Prêmio Nobel de Economia de 1982, costumava dizer: “Se você nunca

perde o avião, está passando tempo demais no aeroporto.”1 Esse é um slogan intuitivo, em particular se você perdeu um voo recentemente. Quando estou preso no aeroporto de O’Hare, comendo um fétido sanduíche de galinha por US$ 12, poucas vezes me descubro aplaudindo meu bom senso econômico. No entanto, por mais esquisito que soe o slogan de Stigler, um cálculo de valor esperado mostra que ele está completamente correto – pelo menos para pessoas que voam muito. Para simplificar as coisas, podemos considerar simplesmente três alternativas.

 

Opção 1: chegar duas horas antes do voo, perder o voo 2% das vezes.

Opção 2: chegar 1,5 hora antes do voo, perder o voo 5% das vezes.

Opção 3: chegar uma hora antes do voo, perder o voo 15% das vezes.

 

Quanto custa a você perder um voo depende fortemente do contexto, claro. Uma coisa é perder uma ponte aérea para Washington, DC e pegar o voo seguinte, outra coisa é perder o último voo quando você está tentando chegar a um casamento da família às dez da manhã seguinte. Na loteria, tanto o custo do bilhete quanto o tamanho do prêmio são mencionados em dólares. É muito menos claro pesar o custo do tempo que perderíamos sentados no terminal em relação ao custo de perder o voo. Ambas as coisas são aborrecidas, mas não existe moeda universalmente reconhecida para o aborrecimento.

Pelo menos não existe moeda no papel. Mas as decisões precisam ser tomadas, e os economistas querem nos dizer como tomá-las, então, alguma versão do dólar de aborrecimento precisa ser elaborada. A história econômica padrão é que seres humanos, quando agem racionalmente, tomam decisões que maximizam sua utilidade. Tudo na vida tem utilidade. Coisas boas, como dólares e bolo, têm utilidade positiva, enquanto coisas ruins, como dedão do pé inchado e voos perdidos, têm utilidade negativa. Algumas pessoas gostam de medir

utilidade numa unidade-padrão chamada Util, plural Utis.a Digamos que uma hora do seu tempo em casa valha um Util; então, chegar duas horas antes do voo lhe custa dois Utis, enquanto chegar uma hora antes custa apenas um. Perder o avião é claramente pior que perder uma hora do seu tempo. Se você acha que vale seis horas do seu tempo, pode pensar num voo perdido como algo que custa seis Utis.

Tendo traduzido tudo para Utis, podemos agora comparar os valores esperados das três estratégias.

 

Opção 1 −2 + 2% × (−6) = −2,12 Utis Opção 2 −1,5 + 5% × (−6) = −1,8 Utis Opção 3 −1 + 15% × (−6) = −1,9 Utis

A Opção 2 é a que lhe custa menos utilidade em média, mesmo que venha com uma chance nada trivial de você perder o voo. Sim, ficar encalhado no aeroporto é doloroso e desagradável – mas é tão doloroso e desagradável que vale a pena perder toda vez meia hora a mais no terminal para reduzir a já pequena chance de perder o avião?

Talvez você diga sim. Talvez você deteste perder o voo, e perder um voo lhe custe vinte Utis, não seis. Então o cálculo acima se altera, e a opção conservadora torna-se a escolha preferida, com um valor esperado de

 

−2 + 2% (−20) = −2,4 Utis.

 

Mas isto não quer dizer que Stigler esteja errado; o tradeoff – a compensação relativa – muda para um lugar diferente. Você pode reduzir ainda mais sua chance de perder o avião chegando com três horas de antecedência. Mas fazer isso, mesmo que reduzindo sua chance de perder o avião para zero, viria com um custo garantido de três Utis para o voo, tornando-a uma alternativa pior do que a Opção 1. Se você puser num gráfico o número de horas que fica no aeroporto em relação à utilidade esperada, obtém um quadro mais ou menos assim:

 

É outra vez a curva de Laffer! Aparecer quinze minutos antes de o avião partir vai lhe dar uma probabilidade muito alta de perder o voo, com toda a utilidade negativa que isso implica. De outro lado, chegar com muitas horas de antecedência também lhe custa muitos Utis. O curso de ação ideal fica em algum ponto intermediário. Exatamente onde ele cai, isso depende de como você se sente pessoalmente em relação aos méritos relativos da perda de um voo e a perda de tempo. Mas a estratégia ideal sempre lhe atribui uma utilidade positiva de perder o voo – pode ser pequena, mas não zero. Se você literalmente nunca perde um voo, pode estar deslocado muito para a esquerda da melhor estratégia. Como diz Stigler, você deveria economizar Utis e perder mais vezes o avião.

Claro que esse tipo de cálculo é necessariamente subjetivo. Sua hora extra no aeroporto pode não lhe custar tantos Utis quanto a minha. (Eu realmente detesto aquele sanduíche de galinha do aeroporto.) Então, não se pode pedir à teoria que despeje um tempo ideal para chegar ao aeroporto nem uma quantidade ideal de voos a serem perdidos. A informação é qualitativa, não quantitativa. Não sei qual sua probabilidade ideal de perder um avião, só sei que não é zero.

Um alerta: na prática, uma probabilidade próxima de zero pode ser difícil de distinguir de uma probabilidade que realmente seja zero. Se você é um economista global badalado, aceitar o risco de 1% de perder um voo poderia na realidade significar perder um voo todo ano. Para a maioria das pessoas, risco tão baixo pode muito bem significar passar a vida toda sem perder um voo – então, se 1% é o nível de risco certo para você, sempre pegar o avião não quer dizer que você esteja fazendo algo de errado. Da mesma maneira, ninguém usa o argumento de Stigler para dizer: “Se você nunca teve perda total no carro é porque está guiando devagar demais.” O que Stigler diria é que, se você não tem risco nenhum de perda total no carro, está guiando muito devagar, o que é em geral verdade; o único jeito de nunca ter risco é jamais guiar!

O argumento ao estilo de Stigler é uma ferramenta conveniente para todos os tipos de problema de otimização. Peguemos o desperdício governamental: não se passa um mês sem ler algo sobre algum funcionário estatal que jogou com o sistema para obter uma pensão desproporcional, ou um fornecedor do Departamento de Defesa que se safou com preços absurdamente inflados, ou uma agência municipal que há muito deixou de ter função, mas que continua existindo à custa do público graças à inércia e aos padrinhos poderosos. Típico disso é um artigo do blog do Wall Street Journal’s Washington Wire de 24 de junho de 2013:

 

O inspetor-geral da administração da Previdência Social disse na segunda-feira que a agência pagou, indevidamente, US$ 31

milhões em benefícios para 1.546 americanos que se acredita estarem mortos.

Para piorar potencialmente as coisas para a agência, o inspetor-geral disse que a administração da Previdência Social tem

certidão de óbito de cada pessoa registrada nos arquivos do banco de dados do governo, sugerindo que se deveria saber que

esses americanos tinham morrido e suspender seus pagamentos.2

 

Por que permitimos que esse tipo de coisa persista? A resposta é simples. Eliminar o desperdício tem um custo, assim como chegar cedo ao aeroporto tem um custo. Vigilância e cumprimento da lei são metas dignas, mas eliminar todo o desperdício, assim como eliminar mesmo a mais remota chance de perder o avião, tem um custo que pesa mais que o benefício. Como observou o blogueiro (e ex-participante de competições matemáticas) Nicholas

Beaudrot,3 esses US$ 31 milhões representam 0,004% dos benefícios desembolsados anualmente pela Previdência. Em outras palavras, a agência já é extremamente boa em saber quem está vivo e quem está morto. Melhorar ainda mais essa distinção, buscando eliminar esses poucos últimos erros, pode ser caro. Se vamos contar em Utis, não deveríamos perguntar “Por que estamos desperdiçando o dinheiro dos contribuintes?”, e sim “Qual a quantia exata de dinheiro dos contribuintes estamos desperdiçando?”. Parafraseando Stigler: se o seu governo não desperdiça nada, você está passando tempo demais combatendo o desperdício do governo.

 

Mais uma coisa sobre Deus, depois prometo que acabou

 

Uma das primeiras pessoas a pensar claramente sobre valor esperado foi Blaise Pascal. Intrigado com algumas questões apresentadas a ele pelo jogador Antoine Gombaud (autointitulado Chevalier de Méré), Pascal passou metade do ano de 1654 trocando cartas com Pierre de Fermat, tentando entender quais apostas, repetidas vezes e vezes seguidas, tenderiam a ser lucrativas a longo prazo e quais levariam à ruína. Na terminologia moderna, ele desejava entender quais tipos de aposta tinham valor esperado positivo e quais tipos eram negativos. Em geral, considera-se a correspondência Pascal-Fermat o marco inicial da teoria da probabilidade.

Na noite de 23 de novembro de 1654, Pascal, já um homem religioso, vivenciou uma intensa experiência mística que documentou em palavras da melhor forma que pôde:

 

O Mémorial, cópia em pergaminho.

Foto: © Bibliothèque Nationale de France, Paris.

 

FOGO.

Deus de Abraão, Deus de Isaac, Deus de Jacó

E não dos filósofos e dos sábios. …

Eu me afastei Dele, afastei-O, reneguei-O, crucifiquei-O.

Que eu jamais Dele me afaste!

Não se conserve senão pelos caminhos emanados do Evangelho.

Renúncia total e doce.

Submissão completa a Jesus Cristo e ao meu diretor.

Júbilo eterno por um dia de provação na terra.

 

Pascal coseu essa página de anotações no forro de seu casaco e a manteve ali pelo resto da vida. Após sua “noite de fogo”, Pascal se retirou da matemática, dedicando todo seu empenho a temas religiosos. Em 1660, quando seu velho amigo Fermat escreveu para propor um encontro, respondeu:

 

Pois conversar francamente com você sobre geometria para mim é o melhor de todos os exercícios intelectuais, mas ao

mesmo tempo reconheço que é tão inútil eu poder achar pouca diferença entre um homem que nada mais é que um

geômetra e um hábil artesão. … meus estudos me levaram para tão longe dessa forma de pensar que eu mal consigo me

lembrar de que existe algo como a geometria.4

 

Pascal morreu dois anos depois, aos 39 anos, deixando atrás de si uma coleção de anotações e breves ensaios destinados a reunir num livro de defesa do cristianismo. Eles foram posteriormente reunidos como Pensées, que surgiram oito anos após sua morte. É uma obra notável, aforística, incessantemente sujeita a citações, sob muitos aspectos desesperadora, sob muitos aspectos inescrutável. Grande parte do livro aparece em breves erupções numeradas:

 

199. Imaginemos um número de homens acorrentados, todos condenados à morte, em que alguns são mortos cada dia à vista

dos outros, e aqueles que restam veem seu próprio destino no dos seus companheiros, e esperam sua vez, olhando-se uns

aos outros com tristeza e sem esperança. Essa é uma imagem da condição dos homens. …

209. És tu menos escravo por seres amado e favorecido pelo senhor? Tu estás de fato bem de vida, escravo. Teu senhor

te favorece; em breve ele te castigará.

 

Mas os Pensées são realmente famosos pelo pensamento 233, que Pascal intitulou “Infinite-rien”, mas que é universalmente conhecido como “A aposta de Pascal”.

Como mencionamos, Pascal considerava a questão da existência de Deus um tema que a lógica não pode tocar: “‘Deus é, ou Ele não é.’ Mas para que lado havemos de nos inclinar? Aqui, a razão nada pode decidir.” Mas Pascal não para por aí. O que é a questão da crença, pergunta ele, se não um tipo de jogo, um jogo com as mais altas apostas, um jogo que você não tem escolha a não ser jogar? A análise das apostas, a distinção entre o jogo inteligente e o jogo tolo, era um assunto que Pascal entendia melhor que quase todo mundo. Afinal, ele não havia deixado totalmente para trás o seu trabalho matemático.

Como Pascal computa o valor esperado do jogo da fé? A chave já está presente em sua revelação mística:

 

Júbilo eterno por um dia de provação na terra.

 

O que é isso além de uma avaliação dos custos e benefícios de adotar a fé? Mesmo em meio à comunhão extática com seu salvador, Pascal ainda fazia matemática! Adoro isso nele.

Para calcular o valor esperado de Pascal, ainda precisamos da probabilidade de que Deus exista. Vamos dizer por um momento que sejamos céticos fervorosos e atribuir a essa hipótese a probabilidade de apenas 5%. Se acreditamos em Deus, e se estivermos certos, então nossa

recompensa é “júbilo eterno”, ou, em termos dos economistas, infinitos Utis.b Se acreditamos em Deus e estivermos errados – um resultado acerca do qual estamos 95% seguros –, então pagamos um preço, talvez mais do que o “um dia de provação” que Pascal sugere, já que temos de contar não só o tempo gasto no culto a Deus, mas o custo de oportunidade de todos os prazeres libertinos de que abdicamos na nossa busca de salvação. Ainda assim, é uma certa soma fixa, digamos cem Utis.

Então, o valor esperado da crença é

(5%) × infinito + 95% (−100)

 

Agora, 5% é um número pequeno. Mas júbilo infinito é muito júbilo; 5% disso ainda é infinito. Então, ele supera de longe qualquer custo finito nos imposto por adotar a religião.

Já debatemos os riscos de tentar atribuir uma probabilidade numérica a uma proposição como “Deus existe”. Não está claro que tal atribuição faça sentido. Mas Pascal não faz nenhuma jogada numérica tão esperta. E não precisa fazer. Porque não importa se esse número é 5% ou outra coisa. Um por cento de infinita bem-aventurança ainda é bem-aventurança infinita, e supera qualquer custo finito que esteja ligado a uma vida pia. O mesmo vale para 0,1% ou 0,000001%. Tudo que importa é que a probabilidade de que Deus exista é diferente de zero. Você não está disposto a conceder esse ponto? De que a existência da divindade pelo menos é possível? Se sim, então, o cálculo do valor esperado parece inequívoca: vale a pena acreditar. O valor esperado dessa escolha não só é positivo, como é infinitamente positivo.

O argumento de Pascal tem sérias falhas. A mais grave é que sofre do problema do Gato de Cartola que vimos no Capítulo 10, deixando de considerar todas as hipóteses possíveis. No esquema de Pascal, há somente duas opções: que o Deus da cristandade é real e recompensará esse setor particular dos fiéis, ou que esse Deus não existe. Mas e se existir um Deus que condene os cristãos por toda a eternidade? Esse Deus também é possível, e essa possibilidade já é suficiente para matar o argumento. Agora, adotando o cristianismo, estamos apostando numa chance de júbilo infinito, mas também assumindo o risco de tormento infinito, sem nenhum meio determinado por princípios para pesar as possibilidades relativas das duas opções. Voltamos ao ponto de partida, no qual a razão nada pode decidir.

Voltaire formulou uma objeção diferente. Seria de esperar que ele fosse simpático à aposta de Pascal – como já vimos, Voltaire não fazia objeção à jogatina e admirava a matemática. Sua atitude em relação a Newton aproximava-se da adoração (uma vez Voltaire chamou-o “o deus a quem me sacrifico”), e durante muitos anos ele teve um envolvimento romântico com a matemática Émilie du Châtelet. Mas Pascal não era bem o tipo de pensador igual a Voltaire. Os dois se contrapunham por sobre um abismo temperamental e filosófico. A visão em geral mais arejada de Voltaire não tinha lugar para as opiniões sombrias, introspectivas e místicas

de Pascal. Voltaire chamava Pascal de “sublime misantropo”, e dedicou um longo ensaio5 a derrubar, tijolo por tijolo, o soturno Pensées. Sua atitude em relação a Pascal é a de um garoto esperto e popular em relação a um cê-dê-efe amargo e inconformado.

Quanto à aposta, Voltaire disse que era “um pouco indecente e pueril: a ideia de um jogo, e de perda e ganho, não beneficia em nada a gravidade do tema”. De forma mais substantiva: “O interesse que tenho em acreditar numa coisa não é prova de que tal coisa exista.” O próprio Voltaire, tipicamente solar, inclina-se para um argumento informal por um projeto: olhe o mundo, veja como é impressionante, Deus é real, CQD!”

Voltaire perdeu o ponto. A aposta de Pascal é curiosamente moderna, tanto que Voltaire não conseguiu acompanhá-la. Voltaire está certo numa coisa: ao contrário de Witztum e dos interpretadores de códigos da Bíblia, ou de Arbuthnot, ou dos advogados contemporâneos do projeto inteligente, Pascal não está oferecendo nenhuma evidência da existência de Deus. Ele na verdade está propondo uma razão para acreditar, mas a razão tem a ver com a utilidade de acreditar, não com a justificativa de acreditar. De certa forma, ele antecipa a austera postura de Neyman e Pearson que vimos no Capítulo 9. Assim como eles, Pascal era cético em relação à possibilidade de que a evidência que encontramos forneça um meio confiável de determinar o que é verdade. Não obstante, não temos outra escolha além de decidir o que fazer. Pascal não está tentando convencer você de que Deus existe, ele tenta convencer você de que seria proveitoso acreditar nisso, e que o melhor curso é se apegar ao cristianismo e obedecer às regras da piedade, até que, pela simples força da afinidade, você comece a acreditar verdadeiramente. Posso reformular o argumento de Pascal em termos modernos melhor que David Foster Wallace fez em Graça infinita? Não, não posso.

 

Os desesperados, recém-sóbrios Abstêmios, são sempre encorajados a invocar e divulgar slogans que eles ainda não

entendem e em que nem acreditam – por exemplo, “Vá com calma!” e “Deixe quieto!” e “Um dia de cada vez!”. Isso se

chama “Vai levando até dar certo”, que por si só é um slogan invocado com frequência. Todo mundo num Compromisso que

se levanta publicamente para falar começa dizendo que é alcoólatra, e diz isso acreditando ou não; aí todo mundo presente

diz como está Grato por estar sóbrio e como é bacana ser Ativo e participar de um Compromisso com esse Grupo, mesmo

que não esteja grato nem contente com nada. Você é encorajado a continuar dizendo coisas desse tipo até que começa a

acreditar nelas, assim como se você perguntar a alguém que já está sóbrio há um bom tempo quanto tempo vai ter de ficar

arrastando todas essas malditas reuniões, e ele vai dar aquele sorriso irritante e lhe dizer que até você começar a querer ir a

todas essas malditas reuniões.

 

S. Petersburgo e Ellsberg

 

Os Utis são úteis quando é preciso tomar decisões em relação a itens que não tenham um valor em dólares bem definido, como tempo perdido ou lanches desagradáveis. Mas é possível que você necessite falar de utilidade ao lidar com itens que tenham um valor bem definido em dólares – como dólares.

Essa percepção logo chegou no desenvolvimento da teoria da probabilidade. Como muitas ideias importantes, ela entrou na conversa na forma de um quebra-cabeça. Daniel Bernoulli tem fama de haver descrito o enigma em seu artigo “Exposição sobre uma nova teoria da medida de risco”, de 1738.

 

Peter lança uma moeda e continua a lançar até que dê “cara” quando ela cair no chão. Ele concorda em dar a Paul um

ducado se tirar “cara” logo no primeiro lançamento, dois ducados se tirar no segundo, quatro no terceiro, oito no quarto, e

assim por diante, de modo que a cada lançamento adicional a quantia de ducados a ser paga é duplicada.

 

Esse é um cenário bem atraente para Paul, um jogo cujo cacife de entrada ele deve estar disposto a pagar. Mas quanto? A resposta natural, depois da nossa experiência com as loterias, é computar o valor esperado da quantia que Paul recebe de Peter. Há uma chance de 50/50 de que o primeiro lançamento da moeda dê cara, e nesse caso Paul recebe apenas um ducado. Se o primeiro lançamento der coroa e o segundo cara, evento que ocorre ¼ das vezes, Paul ganha dois ducados. Para ganhar quatro, os primeiros três lançamentos precisam ser coroa, coroa, cara, o que acontece com probabilidade de . Seguindo adiante e fazendo a soma, o lucro esperado de Paul é

 

ou

Essa soma não é um número. Ela é divergente. Quanto mais termos você adicionar, maior

fica a soma, crescendo ilimitadamente e atravessando qualquer fronteira finita.c Isso parece sugerir que Paul deveria estar disposto a gastar qualquer quantia de ducados pelo direito de participar do jogo.

Isso parece muito doido! E é! Contudo, quando a matemática nos diz que alguma coisa parece muito doida, os matemáticos não se contentam em dar de ombros e ir embora. Saímos à caça da esquisitice seguindo o rastro à procura do lugar onde a matemática ou a nossa intuição saiu dos trilhos. O enigma, conhecido como paradoxo de S. Petersburgo, foi concebido por Nicolas Bernoulli, primo de Daniel, uns trinta anos antes. Muitos dos probabilistas da época tinham quebrado a cabeça pensando nele sem chegar a nenhuma conclusão satisfatória. A bela resolução do paradoxo do Bernoulli mais jovem é um resultado que se tornou marco de referência, e desde então constituiu o alicerce do pensamento econômico sobre valores incertos.

O erro, disse Bernoulli, é dizer que um ducado é um ducado é um ducado. Um ducado na mão de um homem rico não vale a mesma coisa que um ducado na mão de um camponês, como se observa facilmente pelos diferentes níveis de cuidado com que eles tratam o dinheiro. Em particular, ter 2 mil ducados não é duas vezes tão bom quanto ter mil ducados; é menos que o dobro de bom, porque mil ducados valem menos na mão de uma pessoa que já tem mil ducados que para uma pessoa que não tem nada. O dobro de ducados não se traduz no dobro de Utis; nem todas as curvas são retas, e a relação entre dinheiro e utilidade é governada por uma daquelas curvas não lineares.

 

Bernoulli achava que a utilidade crescia como o logaritmo, de modo que o prêmio de ordem k de 2k ducados valia apenas k Utis. Lembre-se, podemos pensar no logaritmo como mais ou menos o número de dígitos: então, em termos de dólar, a teoria de Bernoulli está dizendo que gente rica mede o valor da sua pilha de dinheiro pelo número de dígitos depois do cifrão – um bilionário é tão mais rico que um centomilionário quanto um centomilionário é mais rico que um decamilionário.

Na formulação de Bernoulli, a utilidade esperada do jogo de S. Petersburgo é a soma

Isso doma o paradoxo. Essa soma, como se descobre, não é mais infinita, nem mesmo muito grande. Na verdade, há um lindo truque que nos permite calculá-la com exatidão:

 

A soma da primeira linha, (½) + (¼) + ( ) + …, é 1; é a própria série infinita que Zeno encontrou no Capítulo 2. A segunda linha é igual à primeira, mas com cada parcela dividida por 2; então sua soma deve ser metade da soma da primeira linha, ou ½. Pelo mesmo raciocínio, a terceira linha, que é igual à segunda com cada termo dividido pela metade, deve ser a metade da soma da segunda linha; logo, ¼. Agora, a soma de todos os números resultantes é 1 + ½ + ¼ + + …; um a mais que a soma de Zeno, ou que vale dizer 2.

E se somarmos primeiro as colunas em vez das linhas? Como aconteceu com os furos no equipamento estéreo dos meus pais, não pode fazer diferença se começamos a contar vertical

ou horizontalmente. A soma é o que é.d Na primeira coluna há somente um ½; na segunda, há duas cópias de ¼, perfazendo (¼) × 2; na terceira, três cópias de , perfazendo ( ) × 3; e assim por diante. A série formada pela soma das colunas nada mais é que o esquema da soma de Bernoulli para o estudo do problema de S. Petersburgo. Sua soma é a soma de todos os números do triângulo infinito, o que vale dizer 2. Então, a quantia que Paul deve pagar é a

quantidade de ducados que sua curva de utilidade pessoal lhe disser que valem 2 Utis.e

A forma da curva de utilidade, além do simples fato de tender a curvar-se para baixo à

medida que o dinheiro aumenta, é impossível de determinar precisamente,f embora economistas e psicólogos contemporâneos estejam constantemente divisando experimentos cada vez mais intrincados para refinar nossa compreensão das suas propriedades. (“Agora, se não se importa, acomode confortavelmente sua cabeça no centro do equipamento de ressonância magnética, e eu vou lhe pedir que ordene as seguintes seis estratégias de pôquer, da mais atraente para a menos atraente, e, depois disso, se você não se importar de permanecer quieto enquanto meu assistente pós-doutorando pincela uma amostra da sua bochecha…”)

Sabemos pelo menos que não existe curva universal. Pessoas diferentes em contextos diferentes atribuem utilidades diferentes ao dinheiro. Esse fato é importante. Ele nos proporciona uma pausa, ou deveria proporcionar, quando começamos a fazer generalizações sobre comportamento econômico. Greg Mankiw, o economista de Harvard que vimos pela última vez no Capítulo 1 elogiando debilmente a economia do governo Reagan, escreveu um

post num blog de ampla circulação,6 em 2008, explicando que o aumento de imposto de renda proposto pela equipe do candidato presidencial Barack Obama o levaria a relaxar no trabalho. Afinal, Mankiw já estava num equilíbrio em que a utilidade dos dólares que receberia por mais uma hora de trabalho seria cancelada exatamente pela utilidade negativa imposta pela perda de uma hora com seus filhos. Diminua o número de dólares que Mankiw ganha por hora, e o ofício deixa de valer a pena; ele reduz o tempo de trabalho até cair de volta no nível em que uma hora com os filhos vale a mesma coisa para ele que uma hora trabalhando para obter seu pagamento reduzido por Obama. Ele concorda com o ponto de vista de Reagan sobre a economia da forma que é vista por um astro de cinema, quando a alíquota de imposto sobre você produz menos filmes de caubói.

Mas nem todo mundo é Greg Mankiw. Em particular, nem todo mundo tem a mesma curva de utilidade que ele. A humorista Fran Lebowitz conta uma história sobre sua juventude em

Manhattan dirigindo um táxi.7 Ela começava a guiar no começo do mês e dirigia todo dia até ganhar dinheiro suficiente para pagar o aluguel e a comida. Aí parava de dirigir e passava o resto do mês escrevendo. Para Fran Lebowitz, todo dinheiro acima de certo limiar contribui essencialmente com zero utilidade adicional. Ela tem uma curva de aspecto diferente da de Mankiw. A dela fica horizontal depois que o aluguel é pago. O que acontece se o imposto de renda de Fran Lebowitz aumentar? Ela vai trabalhar mais, e não menos, para levar a si mesma

de volta ao limiar.g

 

Bernoulli não foi o único matemático a chegar à ideia de utilidade e sua relação não linear com o dinheiro. Ele foi precedido pelo menos por dois outros pesquisadores. Um foi Gabriel Cramer, de Genebra; o outro foi um jovem correspondente de Cramer, ninguém menos que o lançador de agulhas Georges-Louis LeClerc, conde de Buffon. O interesse de Buffon em probabilidade não se restringia a jogos de salão. Mais tarde, ele se recordava de seu encontro com o vexatório paradoxo de S. Petersburgo:

 

Sonhei com esse problema algum tempo sem desatar o nó. Não conseguia ver que era possível fazer os cálculos

matemáticos concordarem com o senso comum sem introduzir algumas considerações morais. E, tendo expressado minhas

ideias ao sr. Cramer, ele me disse que eu estava certo, e que ele também resolvera a questão com abordagem similar.8

 

A conclusão de Buffon espelhava a de Bernoulli, e ele percebeu a não linearidade com especial clareza:

 

O dinheiro não deve ser estimado pela sua quantidade numérica: se o metal, que é meramente um sinal de riqueza, fosse a

riqueza em si, ou seja, se a felicidade ou os benefícios que resultam da riqueza fossem proporcionais à quantidade de

dinheiro, os homens teriam razão de calculá-la numericamente pela sua quantidade, porém, não chega a ser necessário que

os benefícios que derivam do dinheiro estejam em proporção exata com sua quantidade. Um homem rico, com renda de 100

mil écus não é dez vezes mais feliz que o homem que tem apenas 10 mil écus. Há mais que isso naquilo que o dinheiro é, e,

logo que se ultrapassam certos limites, ele quase não tem valor real, e não pode aumentar o bem-estar de seu possuidor. Um

homem que descobrisse uma montanha de ouro não seria mais rico que aquele que descobrisse apenas uma braça cúbica.h

 

A doutrina da utilidade esperada é atraente, porque simples e direta. Se lhe apresentam um conjunto de alternativas, escolha aquela com a maior utilidade esperada. Talvez seja a coisa mais próxima que temos de uma teoria matemática simples da tomada individual de decisão. Ela capta muitas características do modo como os seres humanos fazem escolhas, e é por isso que se mantém como parte do kit de ferramentas quantitativas do cientista social. Pierre-Simon Laplace, na última página de seu tratado Ensaio filosófico sobre as probabilidades, de 1814, escreve: “Vemos, neste ensaio, que a teoria das probabilidades é, afinal, apenas o senso comum reduzido a ‘cálculo’; ela aponta de forma precisa o que as mentes racionais entendem por meio de uma espécie de instinto, sem necessariamente estar cônscias dela. E não deixa margem para dúvida, na escolha de opiniões e decisões; pelo seu uso, pode-se sempre determinar a escolha mais vantajosa.”

Mais uma vez, estamos vendo, a matemática é a extensão do senso comum por outros meios.

Mas a utilidade esperada não atinge tudo. Novamente, as complicações mais difíceis entram na forma de um quebra-cabeça. Dessa vez, o responsável pela charada foi Daniel Ellsberg, que mais tarde ficou famoso como o denunciante que vazou os documentos do Pentágono para a imprensa civil. (Em círculos matemáticos, que às vezes podem ser provincianos, não era incomum ouvir dizerem de Ellsberg: “Sabe, antes de se envolver em política, ele fez alguns trabalhos realmente importantes.”)

Em 1961, uma década antes de sua exposição ao público, Ellsberg era um jovem e brilhante analista na Corporação Rand, consultora do governo americano em questões estratégicas envolvendo guerra nuclear – como ela poderia ser evitada, ou, sendo isso impossível, conduzida com eficácia. Ao mesmo tempo, ele trabalhava para obter doutorado em economia em Harvard. Em ambos os caminhos, Ellsberg pensava profundamente sobre os processos pelos quais os seres humanos tomam decisões diante do desconhecido. Na época, a teoria da utilidade esperada tinha a posição suprema na análise matemática de decisões. Von

Neumann e Morgenstern,i em seu livro fundamental The Theory of Games and Economic Behavior, haviam provado que todas as pessoas que obedeciam a certo conjunto de regras ou axiomas comportamentais tinham de agir como se suas escolhas fossem governadas pelo impulso de maximizar alguma função de utilidade. Esses axiomas – posteriormente refinados por Leonard Jimmie Savage, membro do Grupo de Pesquisa Estatística do tempo da guerra com Abraham Wald – eram o modelo-padrão de comportamento sob incerteza da época.

A teoria dos jogos e a teoria da utilidade esperada ainda desempenham grande papel no estudo de negociações entre povos e Estados, mas não tanto quanto na Rand, no auge da Guerra Fria, quando os escritos de Von Neumann e Morgenstern estavam sujeitos a níveis bíblicos de reverência e análise. Os pesquisadores da Rand estudavam algo fundamental para a vida humana: o processo de escolha e competição. Os jogos estudados, como a aposta de Pascal, eram jogados com níveis de apostas muito elevados.

Ellsberg, o jovem superstar, tinha um gosto para frustrar expectativas estabelecidas. Depois

de se graduar em terceiro lugar em sua turma de Harvard,9 havia surpreendido seus camaradas intelectuais alistando-se no Corpo de Fuzileiros Navais, onde serviu por três anos na infantaria. Em 1959, como bolsista em Harvard, deu uma famosa palestra sobre estratégia em política exterior na Biblioteca Pública de Boston, na qual abordava a eficácia de Adolf Hitler como tático em geopolítica: “Há o artista a ser estudado, para se aprender o que se pode

esperar, o que pode ser feito com a ameaça da violência.”10 (Ellsberg sempre insistiu que não recomendara que os Estados Unidos adotassem estratégias ao estilo de Hitler, só queria fazer um estudo desapaixonado de sua eficácia. Talvez isso seja verdade, mas é difícil duvidar que ele não estivesse tentando amolar seu público.)

Assim, talvez não seja surpresa que Ellsberg não estivesse contente em aceitar os pontos de vista predominantes. Na verdade, ele vinha cutucando as fundações da teoria dos jogos desde o trabalho final de graduação. Na Rand, concebeu um famoso experimento, agora conhecido

como paradoxo de Ellsberg.11

Suponha que haja uma urnaj com noventa bolas dentro. Você sabe que trinta delas são vermelhas; com referência às outras sessenta, sabe apenas que algumas são pretas e algumas são amarelas. O experimentador descreve para você as seguintes quatro apostas:

 

Vermelha. Você ganha US$ 100 se a próxima bola a ser tirada da urna for vermelha; se não

for, não ganha nada.

Preta. Você ganha US$ 100 se a próxima bola for preta; se não for, não ganha nada.

Não vermelha. Você ganha US$ 100 se a próxima bola for preta ou amarela; se não for, não

ganha nada.

Não preta: Você ganha US$ 100 se a próxima bola for vermelha ou amarela; se não for, não

ganha nada.

 

Que aposta você prefere, vermelha ou preta? E o que acha de não vermelha versus não preta?

Ellsberg apresentava o problema aos participantes para ver qual dessas apostas eles preferiam, dada a escolha. O que descobriu foi que as pessoas pesquisadas tendiam a preferir vermelha à preta. Com vermelha, você sabe onde está: tem uma chance em três de ganhar o dinheiro. Com preta, você não tem ideia de que chances esperar. Quanto a não vermelha e não preta, a situação é exatamente a mesma: os sujeitos da pesquisa de Ellsberg gostavam mais de não vermelha, preferindo saber que sua chance de ganhar era exatamente .

Agora suponha que você tenha uma escolha mais complicada. Você deve escolher duas das apostas, e não duas quaisquer: precisa escolher “vermelha e não vermelha” ou “preta e não preta”. Se você prefere vermelha a preta e não vermelha a não preta, parece razoável que prefira “vermelha e não vermelha” a “preta e não preta”.

Mas agora há um problema. Escolher vermelha e não vermelha é a mesma coisa que dar a si mesmo US$ 100. Mas a mesma coisa acontece com preta e não preta! Como pode uma delas ser preferível à outra se as duas são a mesma coisa?

Para um proponente da teoria da utilidade esperada, os resultados de Ellsberg pareciam muito estranhos. Cada aposta deve valer certo número de Utis, e se vermelha tem mais utilidade que preta, e não vermelha mais utilidade que não preta, deve igualmente ocorrer que vermelha + não vermelha valha mais Utis que preta + não preta; mas as duas são iguais. Se você quer acreditar em Utis, tem de acreditar que os participantes do estudo de Ellsberg estão redondamente enganados em suas preferências; eles são ruins de cálculo, ou não estão prestando atenção cuidadosa na questão ou estão simplesmente loucos. Como as pessoas a quem Ellsberg fez a pergunta eram de fato renomados economistas e teóricos de decisões, esta conclusão apresenta seus próprios problemas para o statu quo.

Para Ellsberg, a resposta do paradoxo é, simplesmente, que a teoria da utilidade esperada é incorreta. Como Donald Rumsfeld diria depois, há desconhecidos conhecidos e há desconhecidos desconhecidos, e ambos devem ser processados de forma diferente. Os “desconhecidos conhecidos” são como vermelha – não sabemos que bola vamos tirar, mas podemos quantificar a probabilidade de que a bola seja da cor que queremos. Preta, por outro lado, sujeita o jogador a um “desconhecido desconhecido” – não só não temos certeza de que a bola será preta, como não temos o menor conhecimento da probabilidade de que ela seja preta. Na literatura sobre tomadas de decisão, o primeiro tipo de desconhecido é chamado risco, o último, incerteza. Estratégias arriscadas podem ser analisadas numericamente. Estratégias incertas, sugeriu Ellsberg, estavam além dos limites da análise matemática formal, ou pelo menos além dos limites do sabor da análise adorada na Rand.

Nada disso é para negar a incrível utilidade da teoria da utilidade. Há muitas situações – e a loteria é uma delas – em que o mistério ao qual estamos sujeitos é todo ele risco, governado por probabilidades bem-definidas; e há muito mais circunstâncias em que “desconhecidos desconhecidos” estão presentes, mas desempenham apenas um pequeno papel. Vemos aqui o puxa e empurra característico da abordagem matemática da ciência. Matemáticos como Bernoulli e Von Neumann constroem formalismos que lançam uma penetrante luz sobre a esfera de inquirição antes compreendida apenas de maneira tênue. Cientistas matematicamente fluentes como Ellsberg trabalham para entender os limites desses formalismos, para aprimorá-los e melhorá-los onde for possível e colocar avisos de alerta incisivamente redigidos onde não for.

O artigo de Ellsberg é escrito num estilo literário vívido, pouco característico da economia técnica. No parágrafo de conclusão, ele escreve, a respeito dos sujeitos do seu experimento, que “a abordagem bayesiana ou de Savage fornece predições erradas, e, à luz delas, um mau conselho. Elas agem deliberadamente em conflito com os axiomas, sem dar satisfações, porque lhes parece a maneira sensata de se comportar. Estarão elas claramente enganadas?”.

No mundo de Washington e da Rand na época da Guerra Fria, a teoria das decisões e a teoria dos jogos eram tidas na mais alta estima intelectual, vistas como as ferramentas científicas que poderiam vencer a próxima guerra mundial, como a bomba atômica ganhara a anterior. O fato de que essas ferramentas pudessem ser limitadas em sua aplicação, especialmente em contextos para os quais não havia precedentes, e, portanto, nenhum meio de estimar probabilidades – como, digamos, a redução instantânea da raça humana à poeira radiativa –, deve te sido ao menos um pouquinho problemático para Ellsberg. Teria sido aqui, numa discordância sobre matemática, que realmente começaram as dúvidas dele em relação ao establishment militar?

a Essa unidade não é um consenso universal. No Brasil, há o Índice de Utilidade Pública, o Util. (N.T.)

b Embora eu tenha ouvido pelo menos um economista argumentar que uma certa quantidade de felicidade futura vale menos que a mesma quantidade de felicidade agora, o valor do júbilo eterno no colo de Abraão é na verdade finito.

c No entanto, lembre-se de que, como vimos no Capítulo 2, séries divergentes não são simplesmente aquelas que rumam para o infinito. Elas também incluem aquelas que se recusam a se estabilizar de outras maneiras, como a série de Grandi 1 − 1 + 1 – 1 + …

d Alerta: há grandes perigos à espera quando se usa esse tipo de argumento intuitivo com somas infinitas. Ele dá certo no presente caso, mas barbaramente errado para somas infinitas mais enroladas, em especial com termos positivos e negativos.

e Embora, conforme mostrou Karl Menger – orientador de Abraham Wald no doutorado – em 1934, haja variantes do jogo de S. Petersburgo tão generosas que até os jogadores logarítmicos de Bernoulli estariam propensos a pagar uma quantia arbitrária de ducados para jogar. E se o prêmio de ordem 2^k k for 2 ducados?

f De fato, a maioria das pessoas diria que a curva de utilidade nem sequer existe literalmente como tal – ela deve ser pensada como uma diretriz relaxada, e não como uma coisa real, de formato preciso, que nós não medimos com exatidão.

g Lebowitz escreveu em seu livro Social Studies: “Fique firme na sua recusa de permanecer consciente durante a álgebra. Eu lhe asseguro que não existe essa coisa, a álgebra.” Eu afirmo que esse exemplo mostra que há matemática na vida de Lebowitz, quer se refira a ela, quer não!

h Uma braça corresponde, mais ou menos, a 1,8 metro. (N.T.)

i O mesmo Oskar Morgenstern que tirou Abraham Wald da matemática pura e finalmente da Áustria ocupada.

j Eu nunca vi uma urna dessas, mas é uma espécie de lei férrea da teoria da probabilidade que, se for necessário se tirar bolas coloridas, é uma urna que deve contê-las.