3. Todo mundo é obeso

 

O COMEDIANTE stand-up Eugene Mirman conta essa piada sobre estatística. Ele diz que gosta de dizer às pessoas: “Eu li que 100% dos americanos eram asiáticos.” “Mas, Eugene”, protesta seu companheiro, confuso, “você não é asiático.” E a tirada, contada com uma segurança magnífica: “Mas eu li que era!”

Pensei na piada de Mirman quando encontrei um artigo na revista Obesity1 cujo título apresentava uma desconcertante pergunta: “Será que todos os americanos vão ficar acima do peso ou se tornar obesos?” Como se não bastasse a pergunta retórica, o artigo fornece a resposta: “Sim, por volta de 2048.”

Em 2048 terei 77 anos e espero não estar acima do peso. Mas eu li que estaria!

O artigo da Obesity teve muita publicidade, como se pode imaginar. A ABC News alertou

para um “apocalipse de obesidade”.2 O Long Beach Press-Telegram saiu com a simples

manchete “Estamos ficando mais gordos”.3 Os resultados do estudo ressoavam como a mais recente manifestação da febril e constante ansiedade com que os americanos sempre contemplaram o estado moral do país. Antes de eu nascer, os rapazes deixavam crescer o cabelo, e, portanto, estávamos sujeitos a ser açoitados pelos comunistas. Quando eu era criança, jogávamos videogame demais, o que nos condenava a perder a competição com os industriosos japoneses. Agora comemos fast-food demais, e todos morreremos fracos e imóveis, cercados de embalagens de papelão vazias, estirados em sofás dos quais há muito perdemos a capacidade de nos levantar. O artigo certificava essa ansiedade como um fato cientificamente comprovado.

Tenho uma boa notícia. Não vamos todos estar acima do peso em 2048.4 Por quê? Porque nem toda curva é uma reta.

Mas toda curva, como acabamos de aprender com Newton, é bem próxima de uma reta. Essa é a ideia que orienta a regressão linear, técnica estatística que está para as ciências sociais como a chave de fenda para os consertos domésticos. É aquela ferramenta que você vai usar quase com certeza, qualquer que seja o serviço. Toda vez que você lê no jornal que pessoas com mais primos são mais felizes, ou que países com mais Burger Kings têm preceitos morais mais amplos, ou que cortar pela metade seu consumo de vitamina B3 duplica seu risco de ter pé de atleta, ou que cada US$ 10 mil a mais de renda tornam você 3% mais

propenso a votar no Partido Republicano,a você está encontrando o resultado de uma regressão linear.

Eis como ela funciona. Você tem duas coisas que quer relacionar – digamos, o custo das anuidades da universidade e a média de resultados dos exames finais do ensino médio dos alunos admitidos. Você poderia pensar que escolas com resultados de exames mais elevados teriam propensão a ser mais caras. No entanto, uma olhada nos dados nos diz que essa não é uma lei universal. A Elon University, nos arredores de Burlington, Carolina do Norte, tem uma pontuação média combinada de matemática e temas dissertativos de 1.217, e cobra uma anuidade de US$ 20.441. O Guilford College, que fica nas proximidades, em Greensboro, é um pouco mais caro, cobrando US$ 23.420, mas a média de ingresso de calouros nos exames de conclusão é de apenas 1.131.

Ainda assim, se você olhar uma lista inteira de escolas – digamos, as 31 universidades privadas que informaram suas anuidades e pontuações para a Rede de Recursos de Carreira

da Carolina do Norte5 em 2007, perceberá uma tendência clara.

 

Pontuação nos exames finais do ensino médio

 

Cada ponto do gráfico representa uma das faculdades. Os dois pontos bem altos no canto superior direito, com escores de exames nas alturas e preços idem? São Wake Forest e Davidson. O ponto solitário perto da base, a única escola privada na lista com anuidade inferior a US$ 10 mil, Cabarrus College of Health Sciences.

A figura mostra claramente que escolas com escores mais elevados têm preços mais altos. Mais quanto mais altos? É aí que a regressão linear entra em cena. Os pontos na figura não estão obviamente numa linha reta. Provavelmente você desenharia uma linha reta a mão livre cortando muito aproximadamente o meio dessa nuvem de pontos. A regressão linear expulsa o

trabalho de adivinhação, achando a reta que mais se aproximab daquela que passa por todos os pontos. Para as faculdades da Carolina do Norte, a figura fica com o seguinte aspecto:

Pontuação nos exames finais do ensino médio

 

A reta na figura tem uma inclinação de cerca de 28. Isso significa: se a anuidade fosse de fato totalmente determinada pela pontuação dos exames finais segundo a reta que desenhei no gráfico, cada ponto extra nos exames corresponderia a US$ 28 adicionais na anuidade. Se você puder aumentar a média nos exames dos seus calouros admitidos em cinquenta pontos, poderá cobrar US$ 1.400 a mais de anuidade. (Ou, do ponto de vista dos pais, uma melhora de cem pontos do filho vai lhes custar US$ 2.800 adicionais por ano. O curso preparatório para os exames saiu mais caro do que se imaginou!)

A regressão linear é uma ferramenta maravilhosa, escalável e tão fácil de executar quanto clicar um botão na sua planilha. Você pode usá-la para conjuntos de dados envolvendo duas variáveis, como o que acabei de desenhar aqui, mas funciona igualmente bem para três variáveis, ou mil. Sempre que você deseja entender que variáveis conduzem a outras variáveis, e em que direção, ela é a primeira coisa à qual você recorre. E funciona absolutamente com qualquer conjunto de dados.

Isso é tanto uma fraqueza quanto uma força. Você pode fazer regressão linear sem pensar se o fenômeno que está modelando é realmente próximo de linear. Mas não deve. Eu disse que a regressão linear é como uma chave de fenda, e isso é verdade; contudo, em outro sentido, parece mais uma serra de bancada. Se você usá-la sem prestar cuidadosa atenção ao que está fazendo, os resultados podem ser horripilantes.

Pegue, por exemplo, o míssil que disparamos no capítulo anterior. Talvez não tenha sido você quem disparou o míssil. Talvez você seja, ao contrário, o alvo pretendido. Como tal, você tem um profundo interesse em analisar a trajetória do míssil o mais exatamente possível.

Talvez você tenha registrado num gráfico a posição vertical do míssil em cinco momentos distintos, obtendo o seguinte:

Agora você faz uma rápida regressão linear e obtém ótimos resultados. Há uma reta que passa quase exatamente pelos pontos que você registrou.

 

(É nesse instante que as suas mãos começam a se arrastar, impensadamente, em direção à afiada lâmina da serra.)

Sua reta fornece um modelo muito preciso para o movimento do míssil: para cada minuto que passa, o míssil aumenta sua altitude num valor fixo, digamos, 400 metros. Após uma hora, ele está 24 quilômetros acima da superfície da Terra. E quando é que ele desce? Não desce nunca! Uma reta inclinada ascendente simplesmente continua a subir. É isso que fazem as retas.

(Sangue, gritos.)

Nem toda curva é uma reta. E a curva do voo de um míssil não é, enfaticamente, uma reta, é uma parábola. Exatamente como o círculo de Arquimedes, ela parece uma reta quando vista de perto, e é por isso que a regressão linear faz um bom serviço dizendo-lhe onde o míssil estará cinco segundos depois que você o rastreou da última vez. Mas e uma hora depois? Esqueça. Seu modelo diz que o míssil está na baixa estratosfera, quando na verdade está chegando perto da sua casa.

A advertência mais vívida que eu conheço contra a extrapolação linear impensada não foi proferida por um estatístico, mas por Mark Twain, Vida no Mississippi:

O Mississippi entre Cairo e Nova Orleans tinha 1.960 quilômetros de comprimento 176 anos atrás. Passou a ter 1.900 após o

corte de 1722. Tinha 1.670 após o corte American Bend. Desde então perdeu 123 quilômetros. Consequentemente, seu

comprimento é de apenas 1.547 quilômetros no presente. … No espaço de 176 anos, o baixo Mississippi encolheu 399

quilômetros. É uma média insignificante de mais de 2 quilômetros por ano. Portanto, qualquer pessoa calma, que não seja

cega ou idiota, pode ver que, no período oolítico siluriano, pouco mais de 1 milhão de anos atrás, em novembro próximo, o

baixo rio Mississippi tinha mais de 2 milhões de quilômetros de comprimento, estendendo-se sobre o golfo do México como

uma vara de pescar. Do mesmo modo, qualquer pessoa pode ver que daqui a 742 anos o baixo Mississippi terá apenas 2

quilômetros de comprimento, e Cairo e Nova Orleans terão juntado suas ruas e estarão labutando confortavelmente juntas

sob um único prefeito e um conselho mútuo de anciãos. Há algo de fascinante na ciência. Obtemos tais retornos de

conjectura por atacado a partir de uma ninharia de investimento de fato.

 

Aparte: como tirar uma nota parcial no meu exame de cálculo

 

Os métodos do cálculo muito se assemelham à regressão linear, são puramente mecânicos, sua calculadora pode executá-los, e é muito perigoso usá-los sem a devida atenção. Num exame de cálculo você poderia ser solicitado a estimar o peso da água restante num jarro depois de fazer um furo nele e deixar um fluxo de água escorrer durante algum tempo, blá-blá-blá. É fácil cometer erros de aritmética quando se resolve um problema desses sob pressão. E às vezes isso faz com que o aluno chegue a um resultado ridículo, como, por exemplo, um jarro de água cujo peso é de –4 gramas.

Se um aluno chega a –4 gramas e escreve, às pressas, com letra desesperada, “Fiz uma besteira em algum lugar, mas não consigo achar meu erro”, eu lhe dou metade da nota.

Se ele simplesmente escreve “–4 gramas” no pé da página e faz um círculo em volta, o aluno leva zero – mesmo que toda a derivação esteja correta, com exceção de um único dígito errado em algum lugar na metade da página.

Trabalhar uma integral ou executar uma regressão linear é algo que o computador pode fazer com bastante eficiência. Compreender se o resultado faz sentido – ou, em primeiro lugar, decidir se é o método correto a se usar – requer a mão humana para guiá-lo. Quando ensinamos matemática, presume-se que estejamos explicando como ser esse guia. Um curso de matemática que fracassa nisso essencialmente treina o aluno para ser uma versão muito lenta e infectada do Microsoft Excel.

Sejamos francos, na verdade, é isso que muitos dos nossos cursos de matemática estão fazendo. Para resumir uma história longa e controvertida (e ainda assim mantendo-a controvertida), o ensino de matemática para crianças já há décadas tem sido arena das chamadas guerras da matemática. De um lado, há os professores que favorecem a ênfase em memorização, fluência, algoritmos tradicionais e respostas exatas; de outro, professores que acreditam que o ensino da matemática deveria tratar de apreensão do significado, desenvolvimento de maneiras de pensar, descoberta guiada e aproximação. Às vezes a primeira abordagem é chamada tradicional, e a segunda, reforma, embora a abordagem da descoberta supostamente não tradicional já esteja por aí há décadas. Saber se “reforma” realmente conta como reforma é o tema em debate. Um debate feroz. Num jantar de matemáticos, é aceitável tratar de temas como política ou religião, mas comece uma discussão sobre pedagogia da matemática, e ela provavelmente acabará com alguém explodindo num acesso de fúria tradicionalista ou reformista.

Eu não me incluo em nenhum dos dois campos. Não consigo aturar os reformistas, que querem jogar fora a memorização da tabuada de multiplicação. Quando se está pensando seriamente em matemática, algumas vezes é necessário multiplicar 6 por 8, e se você tiver de recorrer à sua calculadora toda vez que fizer isso, jamais conseguirá o tipo de fluxo mental que o raciocínio efetivo exige. Você não pode escrever um soneto se tiver de procurar como se escreve cada palavra.

Alguns reformistas vão a ponto de dizer que os algoritmos clássicos (como “some dois números de vários dígitos pondo um em cima do outro, e ‘subindo 1’, quando necessário”) deveriam ser banidos da sala de aula, uma vez que interferem no processo do aluno de

descobrir sozinho as propriedades dos objetos matemáticos.c

Essa me parece uma ideia terrível. Esses algoritmos são ferramentas úteis que as pessoas trabalharam muito para criar, e não há razão para recomeçar tudo do zero.

Por outro lado, há algoritmos que eu julgo poderem ser descartados com segurança no mundo moderno. Não precisamos ensinar aos alunos como extrair raízes quadradas à mão, ou de cabeça (embora esta última habilidade, posso dizer por experiência própria, constitui um belo truque a ser mostrado numa festa em círculos de nerds). Calculadoras também são ferramentas que as pessoas trabalharam arduamente para construir – devemos usá-las, também, quando a situação exigir! Eu pouco me importo se meus alunos sabem dividir 430 por 12 usando a conta de divisão, mas me importo, sim, se o sentido numérico deles é suficientemente desenvolvido para estimar de cabeça que a resposta é um pouco mais de 35.

O perigo de superenfatizar algoritmos e cálculos precisos é que os algoritmos e os cálculos precisos são fáceis de avaliar. Se nos instalarmos numa visão da matemática que consista em “obter a resposta certa” e nada mais, e elaboramos testes para isso, corremos o risco de criar alunos que se saiam muito bem nos testes, mas que não saibam absolutamente nada de matemática. Isso pode ser satisfatório para aqueles cujos incentivos são guiados única e exclusivamente pelos resultados dos testes, mas não é satisfatório para mim.

Claro que não é melhor (na verdade, é substancialmente pior) passar no meio de uma população de alunos que desenvolveu algum tênue sentido de significado matemático, mas não consegue resolver exemplos de forma rápida e correta. Uma das piores coisas que um professor de matemática pode ouvir de um aluno é “Captei o conceito, mas não consegui resolver os problemas”. Embora o aluno não saiba, isso é equivalente a “Não captei o conceito”. As ideias da matemática soam abstratas, mas fazem sentido apenas em referência a cálculos concreto. William Carlos Williams afirma categoricamente: nada de ideias, a não ser nas coisas.

Em nenhum lugar a batalha é definida mais cruamente que na geometria plana. Este é o último reduto do ensino de provas, o alicerce da prática matemática. Ela é considerada uma espécie de último baluarte da “matemática real” por muitos matemáticos profissionais. Mas não está claro em que medida estamos de fato ensinando a beleza, o poder e a surpresa da prova quando ensinamos geometria. É fácil o curso se tornar um exercício de repetição tão árido quanto uma lista de trinta integrais definidas. A situação é tão horripilante que David

Mumford, ganhador da Medalha Fields,d sugeriu que poderíamos dispensar totalmente a geometria plana e substituí-la por um curso inicial de programação. Um programa de computador, afinal, tem muito em comum com uma prova geométrica: ambos exigem que o aluno junte diversos componentes muito simples de uma pequena sacola de opções, um depois do outro, de modo que a sequência como um todo realize alguma tarefa significativa.

Eu não sou tão radical assim. Na verdade, não sou nada radical. Por mais insatisfatório que seja para os adeptos da guerrilha, acho que devemos ensinar uma matemática que valorize respostas precisas, mas também aproximações inteligentes; que exija a habilidade de empregar algoritmos existentes com fluência, mas também o senso instintivo de descobrir sozinho; que misture rigidez e um sentido lúdico. Se não, não estaremos absolutamente ensinando matemática.

Essa é uma condição exigente – contudo, de qualquer maneira, é o que os melhores professores de matemática estão fazendo, enquanto as guerras da matemática são travadas pelos administradores no escalão superior.

 

De volta ao apocalipse da obesidade

 

Então, que porcentagem de americanos estará acima do peso em 2048? A esta altura você já pode adivinhar como Youfa Wang e seus coautores na Obesity geraram sua projeção. O Estudo Nacional de Exame sobre Saúde e Nutrição (Nhanes, de National Health and Nutrition Examination Study) acompanha os dados de saúde de uma grande e representativa amostra de americanos, cobrindo tudo, desde perda de audição até infecções sexualmente transmissíveis. Em particular, fornece dados muito bons para a proporção de americanos que estão acima do peso, o que, para os presentes propósitos, é definido como um índice de massa corporal

(IMC) de 25 ou mais.e Não há dúvida de que o predomínio do sobrepeso aumentou nas últimas décadas. No começo dos anos 1970, pouco menos da metade dos americanos tinham IMC tão alto. No começo dos anos 1990, esse número tinha aumentado para quase 60%, e em 2008 quase ¾ da população dos Estados Unidos estavam acima do peso.

É possível registrar num gráfico a obesidade em relação ao tempo como fizemos com o progresso vertical do míssil.

 

É possível gerar uma regressão linear, que terá mais ou menos o seguinte aspecto:

Em 2048, a reta cruza 100%. E é por isso que Wang escreve que todos os americanos estarão acima do peso em 2048, se a tendência atual continuar.

Mas a tendência atual não vai continuar. Não pode! Se continuasse, em 2060 atordoantes 109% dos americanos estariam acima do peso.

Na realidade, o gráfico de uma proporção crescente se curva perto dos 100% da seguinte maneira:

 

Essa não é uma lei férrea, como a gravidade que curva a trajetória do míssil numa parábola, mas é o mais próximo que se pode obter em medicina. Quanto maior a proporção de gente acima do peso, menos magricelas esqueléticos restam para converter, e mais lentamente a proporção aumenta em direção aos 100%. Na verdade, a curva provavelmente se torna horizontal em algum ponto abaixo de 100%. Sempre haverá magros entre nós! De fato, apenas quatro anos depois, o levantamento do Nhanes mostrou que a escalada do predomínio do

sobrepeso já havia começado a desacelerar.6

Mas o artigo sobre a Obesity oculta o pior crime contra a matemática e o senso comum. A regressão linear é fácil de se fazer – uma vez que se fez uma, as outras são tranquilas. Então Wang e companhia dividiram seus dados segundo grupos étnicos e sexo. Homens negros, por exemplo, tinham menos propensão a estar acima do peso que o americano médio, e, mais importante, sua taxa de sobrepeso crescia apenas com metade da velocidade. Se sobrepusermos a proporção de homens negros acima do peso sobre a proporção global de americanos acima do peso, junto com a regressão linear que Wang e companhia elaboraram, temos uma figura com o seguinte aspecto:

 

Belo trabalho, homens negros! Vocês todos só estarão acima do peso em 2095. Em 2048, só 80% de vocês estarão obesos.

Está vendo o problema? Se todos os americanos supostamente estarão acima do peso em 2048, onde deverão estar aqueles 1 em 5 futuros homens negros sem problema de peso? No exterior?

A contradição básica passa sem ser mencionada no artigo. É o equivalente epidemiológico a dizer que restam –4 gramas de água no balde. Nota zero.

 

a Mais detalhes sobre esses estudos podem ser encontrados na Revista de coisas totalmente inventadas por mim para ilustrar o meu ponto de vista.

b “Mais se aproxima”, nesse contexto, é medido da seguinte maneira: se você substituir a anuidade real em cada escola pela estimativa sugerida pela reta, e então computar a diferença entre a anuidade real e a estimada para cada escola, e aí elevar ao quadrado cada um desses números e somar todos esses quadrados, você obterá uma espécie de medida total de quanto a reta está desviada em relação aos pontos, e você escolhe a reta que torna essa medida a menor possível. Esse negócio de soma de quadrados cheira a Pitágoras, e, de fato, a geometria subjacente à regressão linear nada mais é que o teorema de Pitágoras transposto e alçado a um contexto dimensional muito mais elevado, mas essa história requer mais álgebra do que desejo apresentar aqui. No entanto, veja a discussão de correlação e trigonometria no Capítulo 15 para saber um pouquinho mais nessa área.

c Lembra um pouquinho o conto de Orson Scott Card, “Unaccompanied sonata”, que trata de um prodígio musical cuidadosamente mantido isolado e ignorante de qualquer outra música do mundo para que sua originalidade não seja comprometida. Mas aí um sujeito se infiltra e toca um pouco de Bach para ele, e é claro que a polícia da música fica sabendo do que aconteceu, e o prodígio acaba banido da música. Acho que mais tarde suas mãos são cortadas e ele é cegado, ou algo assim, porque Orson Scott Card tem entranhada em si essa coisa esquisita de punição e mortificação da carne, mas, de todo modo, a questão é: não tente impedir músicos jovens de ouvir Bach, porque Bach é grande.

d A Medalha Fields, junto com o Prêmio Abel, é considerada o prêmio internacional máximo no campo da matemática, uma vez que não existe o Nobel de Matemática. (N.T.)

e Na bibliografia de pesquisa, “acima do peso” significa “IMC de pelo menos 25, porém menos que 30,” e “obeso” significa “IMC de 30 ou mais”; porém, vou me referir a ambos os grupos em conjunto como “acima do peso” para evitar a obrigação de digitar “acima do peso ou obeso” dezenas de vezes.