Le Problème de L'espace, de L'éther et du Champ dans la Physique

D'autre part, il me paraît certain que nous devons, dans un modèle théorique, abandonner l'idée d'une localisation complète des molécules. Il me semble que c'est là ce qui demeure du résultat de la relation d'indétermination de Heisenberg. On peut fort bien concevoir un théorique atomique au sens propre (et non pas d'après une simple interprétation), sans localisation des molécules dans un modèle mathématique. Par exemple, pour être d'accord avec le caractère atomique de l'électricité, il suffit que les équations du champ conduisent à la conséquence suivante : une portion d'espace (à trois dimensions), à la limite de laquelle la densité électrique disparaît partout, contient toujours une charge totale électrique de valeur entière. Dans une théorie du continuum, le caractère atomique des expressions d'intégrales pourrait, par conséquent, s'exprimer d'une manière satisfaisante sans localisation des formations constituant la structure atomique.

Ce n'est que si l'on avait réussi à établir une pareille représentation de la structure atomique que je considérerais comme résolu le problème des quanta.

LE PROBLÈME DE L'ESPACE, DE L'ÉTHER ET DU CHAMP

DANS LA PHYSIQUE

Mein Weltbild, Amsterdam: Querido Verlag, 1934.

Le raisonnement scientifique est le perfectionnement de la pensée pré-scientifique. Comme, dans cette dernière, l'idée d'espace joue déjà un rôle fondamental, nous devons commencer par étudier cette idée telle qu'elle était avant la science. Il y a deux manières de considérer les idées : elles sont, l'une et l'autre, indispensables pour comprendre. La première est la méthode analytique logique ; elle répond à la question : comment les idées et les jugements dépendent-ils les uns des autres ? En y répondant, nous nous trouvons sur un terrain relativement sûr ; c'est la sécurité qui nous inspire tant de respect pour la mathématique. Mais cette sécurité s'achète au prix d'un contenu sans fond. Les concepts n'obtiennent un fond intérieur que s'ils sont liés si indirectement que ce soit, avec les expériences des sens. Mais cette liaison ne peut se découvrir par aucune recherche logique, elle peut seulement être l'objet d'un acte vital ; et cependant c'est précisément cette union qui détermine la valeur de connaissance des systèmes de concepts.

Prenons un exemple : supposons qu'un archéologue d'une civilisation future trouve un manuel de géométrie d'Euclide sans figures. Il démêlera bien comment, dans les théorèmes sont utilisés les mots de point, droite, plan ; il se rendra compte aussi de la manière dont ces théorèmes se déduisent les uns des autres et pourra même établir de nouveaux théorèmes selon les règles connues. Mais la formation des théorèmes restera pour lui un vain jeu de mots, tant qu'il ne " pourra pas se figurer quelque chose " sous les mots point, droite, plan, etc. C'est seulement quand il le pourra, que la géométrie contiendra pour lui un fond propre. Il en sera de même avec la mécanique analytique et en général avec les présentations des sciences logico-déductives.

Qu'entend-on par " pouvoir se figurer quelque chose " sous les mots de point, droite, intersections, etc. ? Cela signifie que l'on se représente le contenu d'expériences susceptibles d'être vécues auquel correspondent ces mots. Ce problème en dehors de la logique constitue le problème de l'existence réelle, que l'archéologue ne pourra résoudre que par l'intuition, en classant et examinant ses expériences pour voir s'il peut y découvrir quelque chose qui corresponde à ces mots primitifs de la théorie et aux axiomes pour lesquels ils ont été établis. Ce n'est que dans ce sens que l'on peut rationnellement poser la question de l'existence d'une chose représentée abstraitement.

Avec les concepts préscientifiques de notre pensée, nous nous trouvons, à l'égard de la question de la réalité, à peu près dans la même situation que l'archéologue. Nous avons pour ainsi dire oublié quels sont les traits du monde de l'expérience qui nous ont conduit à la formation de ces idées et nous éprouvons de grandes difficultés à nous représenter le monde des perceptions vitales sans lunettes de l'interprétation abstraite dont nous avons la vieille habitude. Il y a, en outre, la difficulté que notre langue doit se servir de mots qui sont indissolublement liés avec ces idées primitives. Tels sont les obstacles qui nous barrent la route quand nous voulons exposer la réalité de l'idée pré-scientifique d'espace.

Avant de nous attaquer au problème de l'espace, faisons tout d'abord une déclaration sur les idées en général : les idées se rapportent aux expériences des sens, mais elles ne peuvent jamais en découler logiquement. Pour cette raison, je n'ai jamais pu saisir la question de l'a priori au sens de Kant. Dans les questions de réalité, il ne peut jamais s'agir que d'une chose, c'est de rechercher les caractères du complexe des expériences des sens auxquelles se rapportent les idées.

En ce qui concerne l'idée d'espace, celle de l'objet corporel paraît devoir la précéder. On a souvent exposé la constitution des complexes et des impressions des sens qui peut avoir donné naissance à cette idée. La correspondance de certaines impressions du toucher et de la vue, la possibilité de suite continue dans le temps et de répétition des sensations (toucher, vision) au moment où l'on veut, constituent certaines de ces caractéristiques. Si l'on est arrivé, à l'aide d'expériences aussi nettes, à l'idée de l'objet corporel (laquelle idée ne suppose nullement la relation de l'espace et du temps), la nécessité de créer par la pensée des relations réciproques entre des objets corporels de cette nature doit obligatoirement donner naissance aux idées qui correspondent à leurs relations d'espace. Deux corps peuvent se toucher ou être séparés : dans ce dernier cas, on peut, sans les modifier en rien, placer entre eux un troisième corps ; dans le premier cas, c'est impossible. Ces relations d'espace sont manifestement réelles, au même titre que les corps eux-mêmes. Si deux corps sont équivalents pour combler un intervalle de ce genre, ils sont également équivalents pour remplir un autre intervalle. L'intervalle est donc indépendant du choix spécial du corps destiné à le combler ; et ceci s'applique d'une manière générale aux relations d'espace. Il est évident que cette indépendance, qui est une condition préalable de l'utilité de la formation d'idées purement géométriques, n'est pas une nécessité a priori . Il me semble que c'est surtout cette idée de l'intervalle, détachée du choix spécial du corps destiné à le remplir, qui est le point de départ de l'idée d'espace.

D'après ces brèves remarques, le développement de l'idée d'espace, considéré au point de vue de l'expérience des sens, paraît pouvoir se représenter par le schéma suivant : objet corporel - relations de position des objets corporels - intervalle - espace. Dans cette manière de considérer les choses, l'espace apparaît comme quelque chose de réel au même titre que les objets corporels.

Il est clair que dans le monde des idées en dehors de la science, l'idée d'espace a bien existé comme concept d'une chose réelle ; mais la mathématique d'Euclide ne connaissait pas cette idée comme telle, elle se tirait d'affaire en se servant exclusivement des idées d'objet, des relations entre les objets, exclusivement comme auxiliaires. Le point, le plan, la droite, la distance sont des objets corporels idéalisés. Toutes les relations de position sont ramenées à des relations de contact (intersections de droites, de plans, positions de points sur des droites, etc). Dans ce concept, l'espace en tant que continuum n'apparaît pas. C'est Descartes qui le premier a introduit ce concept en décrivant le point-espace au moyen de ses coordonnées ; c'est seulement ici que nous voyons apparaître les formes géométriques, pour ainsi dire comme portions de l'espace infini, conçu comme continuum à trois dimensions.

La grande supériorité de la théorie cartésienne de l'espace ne réside pas seulement dans le fait d'avoir mis l'analyse au service de la géométrie. A mon avis, le point capital est le suivant : la géométrie des Grecs donne la préférence à certaines formes (droite, plan) ; d'autres, par exemple, l'ellipse, ne lui sont accessibles que parce qu'elle les construit ou les définit à l'aide de formes comme le point, la droite et le plan. Dans la doctrine cartésienne, au contraire, toutes les surfaces, par exemple, sont en principe équivalentes, sans que la préférence soit délibérément accordée à la forme linéaire dans l'édifice géométrique.

Dans la mesure où la géométrie est considérée comme la doctrine des lois de la position réciproque des corps pratiquement rigides, cette science doit être regardée comme la branche la plus ancienne de la physique. Elle a pu éclore, comme on l'a déjà fait remarquer, sans l'idée d'espace en tant qu'espace, puisqu'elle a pu se contenter des formes idéales, des corps, point, droite, plan, distance. Par contre, la physique de Newton avait nécessairement besoin de l'espace en tant qu'ensemble dans le sens de Descartes. Car les concepts de point matériel, de distance entre les points matériels (variable avec le temps) ne suffisaient pas à la dynamique. Dans les équations de mouvement de Newton, l'idée d'accélération en particulier joue un rôle fondamental, qui ne peut pas être défini uniquement par les distances entre les points, variables avec le temps. L'accélération de Newton ne peut être conçue ou définie que comme accélération par rapport à l'ensemble spatial. A la réalité géométrique du concept d'espace, vient donc s'ajouter une nouvelle fonction de l'espace, qui détermine l'inertie. Quand Newton a déclaré que l'espace était absolu, il visait selon toute vraisemblance, cette signification réelle de l'espace qui, pour lui, comportait la nécessité d'attribuer à son espace un état de mouvement bien défini qui de toute façon ne paraît pas entièrement déterminé par les phénomènes de la mécanique. D'ailleurs cet espace était conçu comme absolu à un autre point de vue : son effet de détermination de l'inertie était considéré comme indépendant, c'est-à-dire ne subissant aucune influence de circonstances physiques quelconques : il agissait sur les masses, mais inversement rien n'agissait sur lui.

Et, cependant, dans la conscience des physiciens, l'espace, jusqu'à ces derniers temps, restait exclusivement comme un récipient passif de tous les événements, sans y avoir lui-même aucune participation. Il a fallu l'apparition de la théorie ondulatoire de la lumière et de celle du champ électromagnétique de Maxwell et Faraday pour faire prendre aux idées une nouvelle tournure. Il devint alors manifeste qu'il y a, dans l'espace exempt d'objets, des états se propageant par ondulations ainsi que des champs localisés, qui peuvent exercer des actions dynamiques sur les masses électriques ou sur les pôles magnétiques qui s'y trouvent. Mais comme il paraissait aux physiciens du XIXe siècle absolument absurde d'attribuer à l'espace lui-même des fonctions ou des états physiques, ils se sont construit un milieu qui pénétrerait tout l'espace, l'éther, sur le modèle de la matière pondérable et qui serait le support des phénomènes électromagnétiques et par conséquent aussi des phénomènes lumineux. On s'est imaginé tout d'abord les états de ce milieu, qui devaient être les champs électromagnétiques, comme mécaniques, à la manière des déformations élastiques des corps solides. Mais le développement de cette théorie mécanique de l'éther ne se prêta pas entièrement à de bons résultats, en sorte qu'on s'habitua lentement à renoncer à interpréter d'une façon plus précise la nature des champs de l'éther. C'est ainsi que l'éther se transforma en une matière dont la seule fonction consistait à servir de support à des champs électriques qu'on ne pouvait analyser davantage. L'image était par conséquent la suivante : l'éther remplit l'espace et dans l'éther voguent les corpuscules matériels, c'est-à-dire les atomes de la matière pondérable. Car la structure atomique de celle-ci était, au tournant du siècle, déjà devenue un résultat sûrement acquis.

Comme l'action réciproque des corps devait s'effectuer par les champs, il devait y avoir encore aussi dans l'éther un champ de gravitation, mais la loi de ce champ n'avait pris à cette époque aucune forme nette : on ne considérait l'éther que comme le siège de toutes les actions dynamiques se faisant sentir au loin à travers l'espace. A partir du moment où l'on eut reconnu que les masses électriques en mouvement produisaient un champ magnétique, dont l'énergie fournissait un modèle pour l'inertie, l'inertie apparut aussi comme une action du champ localisé dans l'éther.

Mais c'étaient, avant tout, les propriétés mécaniques de l'éther qui comportaient de l'obscurité, et c'est alors que survint la grande découverte de H. A. Lorentz. Tous les phénomènes d'électromagnétisme connus jusqu'alors reposaient sur deux hypothèses : l'éther est rigidement lié à l'espace, c'est-à-dire, somme toute, ne peut pas se mouvoir ; l'électricité est rigidement liée aux particules élémentaires en mouvement. On peut aujourd'hui énoncer comme il suit la découverte de Lorentz : l'espace physique et l'éther ne sont que deux expressions différentes d'une seule et même chose ; les champs sont des états physiques de l'espace. En effet, si l'on n'attribue à l'éther aucun état particulier de mouvement, il ne parait y avoir aucune raison de la faire figurer à côté de l'espace comme une entité de nature spéciale. Mais cette manière de voir était encore loin de la pensée des physiciens : car, après comme avant, ils considéraient l'espace comme quelque chose de rigide, d'homogène, qui n'était susceptible d'aucun changement, d'aucun état. Seul, le génie de Riemann, isolé et incompris, pénétra, vers le milieu du siècle dernier jusqu'à la conception d'une nouvelle idée d'espace ; d'après celle-ci, on déniait à l'espace sa rigidité et on reconnaissait comme possible sa participation aux événements physiques. Cette création de la pensée, due à Riemann, est d'autant plus digne d'admiration qu'elle était antérieure à la théorie du champ électrique de Faraday et Maxwell. Ensuite arriva la théorie de relativité restreinte qui reconnaissait l'équivalence physique de tous les systèmes inertiques, ce qui démontrait, en liaison avec l'électrodynamique ou avec la loi de la propagation de la lumière, l'indissolubilité de l'espace et du temps. Jusque-là, on admettait implicitement que le continuum à quatre dimensions, dans le monde des faits, peut se décomposer d'une manière objective en temps et espace, c'est-à-dire que le " Maintenant ", dans ce monde des faits, comporte une signification absolue. Au moment où la relativité avait reconnu la simultanéité, espace et temps s'étaient fondus en un seul continuum indivisible, de même qu'auparavant les trois dimensions de l'espace s'étaient fondues en un continuum de ce genre. L'espace physique s'est ainsi complété en devenant un espace à quatre dimensions qui comprend aussi la dimension temps. L'espace à quatre dimensions de la théorie de la relativité restreinte est aussi rigide et absolu que l'espace de Newton.

La théorie de la relativité est un superbe exemple du caractère fondamental du développement moderne de la théorie. C'est que les hypothèses de départ deviennent de plus en plus abstraites, de plus en plus distantes des expériences. Mais pour cela on se rapproche davantage du but scientifique par excellence, qui est d'embrasser, par déduction logique, au moyen du minimum d'hypothèses ou d'axiomes, un maximum de contenus d'expérience. De cette manière, la voie de la pensée qui, partant des axiomes, conduit aux contenus d'expérience ou aux conséquences vérifiables, devient de plus en plus longue et subtile. De plus en plus, le théoricien est forcé, dans la recherche des théories, à se laisser conduire par des points de vue formels, purement mathématiques, parce que l'expérience de l'expérimentateur au point de vue physique ne peut pas l'élever jusqu'à ces domaines de la plus haute abstraction. A la place de la méthode plutôt inductive de la science, telle qu'elle correspond à l'état de jeunesse de celle-ci, on voit apparaître la déduction qui tâtonne. Mais un tel édifice théorique doit être extrêmement perfectionné jusque dans les moindres détails, pour pouvoir conduire à des conséquences qui puissent se comparer à l'expérience. Sans aucun doute, ici encore, le fait d'expérience est le guide tout-puissant ; mais son verdict n'est applicable qu'en se basant sur un travail de réflexion puissant et délicat, qui a d'abord établi la liaison difficile entre les axiomes de conséquences vérifiables. Et le théoricien doit exécuter ce travail de géant avec la claire conscience qu'il est peut-être appelé à ne faire que préparer l'arrêt de mort de sa théorie. On ne doit pas blâmer, en le traitant de fantaisiste, le théoricien qui entreprend cette étude ; mais il faut, au contraire, approuver sa fantaisie, car il n'y a point pour lui, somme toute, d'autre chemin pour parvenir au but : ce n'est pas, en tout cas, une fantaisie dénuée de plan, mais une recherche exécutée en vue des possibilités logiquement les plus simples et de leurs conséquences. Cet appel à la bienveillance était nécessaire pour mieux disposer l'auditeur ou le lecteur à suivre avec intérêt l'enchaînement des idées ci-après, c'est-à-dire le cours des idées qui a conduit de la théorie de la relativité restreinte à la théorie de la relativité généralisée et de là au dernier échelon de cette théorie, la théorie du champ unitaire. Dans cette exposition, il m'est absolument impossible d'éviter complètement l'usage des symboles mathématiques.

Commençons par la relativité restreinte. Celle-ci encore est basée directement sur une loi empirique, celle de la constance de la vitesse de la lumière. Soit P un point dans le vide, P' un point dont la distance à P , ds , est infiniment petite. Admettons qu'une émission lumineuse parte de P au temps et arrive à P' au temps t + dt . On a alors :

ds 2=c 2 dt 2.

Soient dx 1, dx 2, dx 3 les projections orthogonales de ds ; si l'on introduit la coordonnée imaginaire de temps : Ô-1 ct = x 4 , la loi ci-dessus de la constance de la propagation de la lumière prend la forme :

ds 2 = dx 1 2 + dx 2 2+ dx 3 2 + dx 4 2 = 0

Comme cette formule exprime un comportement réel, on doit attribuer à ds une signification réelle, même dans le cas où les points voisins du continuum à quatre dimensions sont choisis de telle manière que le ds correspondant ne disparaisse pas. Ceci s'exprime à peu près de la façon suivante : l'espace à quatre dimensions (avec la coordonnée imaginaire de temps) de la théorie de relativité restreinte possède une métrique euclidienne.

Voici comment il s'explique que cette métrique soit euclidienne. Introduire une telle métrique dans un continuum à trois dimensions revient tout à fait à poser les axiomes de la géométrie d'Euclide. En ce cas l'équation de la définition de la métrique n'est pas autre chose que le théorème de Pythagore appliqué aux différentielles des coordonnées.

Dans la théorie de la relativité restreinte, il est permis de faire subir aux coordonnées (au moyen d'une transformation) des modifications d'une nature telle que la valeur ds 2 (invariant fondamental) s'exprime aussi, dans les nouvelles différentielles de coordonnées, par la somme des carrés : ces transformations s'appellent transformations de Lorentz.

La méthode heuristique employée par la théorie de la relativité restreinte est caractérisée par la proposition suivante : pour exprimer des lois naturelles, on ne doit admettre que des équations dont la forme ne varie pas quand on modifie les coordonnées au moyen d'une transformation de Lorentz. (Covariance des équations par rapport aux transformations de Lorentz).

C'est grâce à cette méthode que l'on a connu la liaison inévitable de l'impulsion et de l'énergie, des intensités de champ magnétiques et électriques, des forces électrostatiques et électrodynamiques, de la masse inerte et de l'énergie : de ce fait, le nombre des notions indépendantes et des équations fondamentales de la physique s'est trouvé diminué.

Cette méthode a dépassé ses propres limites : est-il vrai que les équations exprimant les lois naturelles ne soient covariantes que par rapport aux transformations de Lorentz et non pas vis-à-vis d'autres transformations ? Or, ainsi posée, la question n'a à proprement parler aucun sens, car tout système d'équations peut s'exprimer avec les coordonnées générales. Il faut la poser ainsi : les lois naturelles sont-elles ainsi faites que le choix de coordonnées particulières quelconques ne leur fait pas subir de simplification essentielle ?

Soit dit seulement en passant, notre axiome, basé sur l'expérience, de l'identité des masses inertes et pesantes, facilite la réponse affirmative à cette question. Si l'on élève au rang de principe l'équivalence d'aptitude de tous les systèmes de coordonnées à permettre de formuler les lois de la nature, on arrive à la théorie de la relativité généralisée, à la condition de maintenir le principe de la constance de la vitesse de la lumière ou l'hypothèse de la signification objective de la métrique euclidienne, du moins pour des portions infiniment petites de l'espace à quatre dimensions.

Cela veut dire que, pour des portions finies de l'espace, on suppose l'existence (au sens physique du terme) d'une métrique générale de Riemann à la formule ds 2=â g mn dx m dx n mn dans laquelle la sommation porte sur toutes les combinaisons d'indices de 1,1 à 4,4

Par un seul point, d'ailleurs tout à fait essentiel, la structure d'un espace de ce genre diffère de l'espace euclidien : les coefficients g mn sont provisoirement des fonctions quelconques des coordonnées x 1 ~x 4 et la structure de l'espace n'est réellement déterminée que lorsque ces fonctions g mn sont effectivement connues. On peut dire encore : en elle-même la structure d'un tel espace est complètement indéterminée, elle ne devient déterminée que lorsqu'on indique les trois auxquelles satisfait le champ métrique des g mn. C'est ainsi que, par des raisons d'ordre physique, se maintint la conviction que le champ métrique fût en même temps le champ de gravitation.

Comme le champ de gravitation est déterminé par la configuration de masses et varie avec celle-ci, la structure géométrique de cet espace dépend aussi de facteurs tenant à la physique. D'après cette théorie, l'espace n'est plus absolu (exactement comme Riemann l'avait pressenti), mais sa structure dépend d'influences physiques. La géométrie (physique) n'est plus une science isolée, refermée sur elle-même, comme la géométrie d'Euclide.

Le problème de la gravitation a été ainsi réduit à un problème mathématique : il faut chercher les équations de condition les plus simples qui soient covariantes à l'égard de transformations quelconques de coordonnées. C'est un problème bien délimité, qui du moins peut se résoudre.

Je ne dirai rien ici de la vérification de cette théorie par l'expérience, mais je veux montrer tout de suite pourquoi la théorie n'a pas pu se déclarer définitivement satisfaite du résultat. Sans doute la gravitation a été ramenée à la structure de l'espace ; mais, en dehors du champ de gravitation, il y a encore le champ électromagnétique ; il a fallu tout d'abord introduire ce dernier dans la théorie comme une formation indépendante de la gravitation. Dans l'équation de condition pour le champ, on a dû introduire les termes supplémentaires qui correspondent à l'existence du champ électromagnétique. Mais l'esprit théoricien ne saurait supposer l'idée qu'il y ait deux structures de l'espace indépendantes l'une de l'autre, l'une de gravitation métrique, l'autre électromagnétique. La conviction s'impose que ces deux sortes de champ doivent correspondre à une structure unitaire de l'espace.

Or la " théorie du champ unitaire " qui se présente comme une extension, mathématiquement indépendante, de la théorie de la relativité généralisée, cherche à répondre à ce dernier postulat. Formellement, le problème doit se poser ainsi : existe-t-il une théorie de continuum dans laquelle, à côté de la métrique, intervient un nouvel élément de structure qui forme un tout unique avec la métrique ? S'il en est ainsi, quelles sont les lois du champ les plus simples auxquelles un continuum de cette nature peut être soumis ? Et, finalement, ces lois du champ peuvent-elles convenir pour représenter les propriétés du champ de gravitation et du champ électromagnétique ? A cela vient encore s'ajouter la question de savoir si l'on peut concevoir les corpuscules (électrons et protons) comme des emplacements de champs particulièrement denses, dont les mouvements sont déterminés par les équations du champ. En attendant, il n'y a qu'une réponse aux trois premières questions : la structure d'espace fondamentale se décrit comme il suit et s'applique à un espace d'un nombre de dimension quelconque.

L'espace a une métrique de Riemann : ceci signifie que dans l'entourage infinitésimal de chaque point P , la géométrie euclidienne est applicable. Il existe par conséquent pour l'entourage de chaque point P un système local cartésien de coordonnées par rapport auquel se calcule la métrique conformément au théorème de Pythagore. Si nous supposons que nous portons la longueur sur les axes positifs de ce système local, nous avons le " n-èdre local " orthogonal et il y a aussi un n-èdre local en chaque autre point P' de l'espace. Si, partant des points P ou P' , on trace un élément de ligne (PG ou P'G' ), on peut, au moyen du n-èdre local correspondant, partant de ses coordonnées locales, calculer, par le théorème de Pythagore, la valeur de chacun de ces éléments de lignes. Par conséquent, parler de l'égalité numérique des éléments de lignes PG et P'G' a un sens bien déterminé.

Or il est essentiel d'observer que les n-èdres orthogonaux locaux ne sont pas complètement déterminés par la métrique, car on peut choisir encore tout à fait librement l'orientation des n-èdres locaux individuels sans que cela modifie le résultat de calcul des valeurs des éléments de lignes d'après le théorème de Pythagore. Il découle de là que, dans un espace dont la structure existe exclusivement dans une métrique de Riemann, deux éléments de lignes PG et P'G' peuvent bien se comparer entre eux quant à leur grandeur, mais non pas quant à leur direction : en particulier, déclarer que les deux éléments sont parallèles entre eux n'a aucun sens. A ce point de vue, l'espace métrique pur (de Riemann) est plus pauvre en structure que celui d'Euclide.

Comme nous sommes à la recherche d'un espace plus riche en structure que celui de Riemann, il est aisé d'enrichir ce dernier de la structure de la relation de direction, ou du parallélisme. A chaque direction passant par P , faisons par conséquent correspondre une direction déterminée passant par P' , avec une relation réciproque univoque. Ces deux directions rapportées l'une à l'autre, nous les appelons parallèles. A ce rapport de parallélisme faisons en outre remplir la condition de conservation des angles : soient PG et PR deux directions passant par P, P'G' et P'R' les directions parallèles correspondantes passant par P' ; alors les angles RPG et R'P'G' (mesurables dans le système local selon la théorie euclidienne) sont égaux entre eux.

De cette manière, la structure d'espace prise pour base est complètement définie. Sa description mathématique la plus simple se fait comme il suit :