Notes sur L'origine de la Théorie de la Relativité Généralisée

nous faisons passer par le point donné P un n-èdre local orthogonal d'orientation déterminée choisie à notre gré. En tout autre point P' de l'espace, nous orientons le n-èdre local, de telle manière que ses axes soient parallèles aux axes correspondants au point P . De cette manière, avec la structure d'espace donnée et l'orientation librement choisie du n-èdre passant par un seul point P , tous les n-èdres sont complètement déterminés. Imaginons maintenant dans l'espace P un système de coordonnées de Gauss quelconque et sur ce système, en chaque point, projetons l'axe du n-èdre en question. L'ensemble de ces n 2 composants décrit complètement la structure d'espace.

Cette structure d'espace se trouve, pour ainsi, comprise entre la structure de Riemann et celle d'Euclide. Contrairement à ce qui se passe avec la première, on y trouve la ligne droite, c'est-à-dire une ligne dont tous les éléments sont parallèles l'un à l'autre deux à deux. La théorie que nous venons de définir se distingue de la géométrie euclidienne par la non-existence du parallélogramme. Si par les extrémités P et G d'une droite PG , on fait passer deux droites égales et parallèles PP' et GG' , P'G' n'est, en général, ni égal ni parallèle à PG .

Le problème mathématique déjà résolu jusqu'à présent est maintenant celui-ci : quelles sont les conditions les plus simples auxquelles on peut soumettre une structure d'espace de la nature décrite ? La question principale à étudier est encore celle-ci : dans quelle mesure les champs et les formes élémentaires physiques peuvent-ils se représenter par des solutions exemptes de toute singularité des équations répondant à cette question ?

NOTES SUR L'ORIGINE DE LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ

GÉNÉRALISÉE

Mein Weltbild, Amsterdam: Querido Verlag, 1934.

Je réponds bien volontiers à la demande qui m'a été faite de donner quelques renseignements historiques sur mon propre travail scientifique. Ce n'est pas que je surestime indûment l'importance de mon effort : mais écrire l'histoire du travail des autres suppose que l'on fouille dans la pensée d'autrui, ce qui est plutôt le fait de personnalités exercées aux travaux historiques tandis que donner des explications sur ses propres pensées antérieures paraît incomparablement plus aisé ; on se trouve ici dans une situation infiniment plus favorable et on ne doit pas, par modestie, laisser échapper cette occasion.

Quand, avec la théorie de la relativité restreinte, l'équivalence de tous les systèmes dits systèmes d'inertie pour formuler les lois de la nature a été obtenue (1905), la question s'est posée presque spontanément de savoir s'il n'y avait pas une équivalence plus étendue des systèmes de coordonnées. Autrement dit, si l'on ne peut attribuer à l'idée de vitesse qu'un sens relatif, doit-on néanmoins s'obstiner à considérer l'accélération comme un concept absolu ?

En partant du point de vue purement cinématique, on ne pouvait certes pas douter de la relativité de mouvements quelconques, mais physiquement, une importance spéciale paraissait devoir être attribuée au système d'inertie et cette signification privilégiée faisait paraître artificielle l'utilisation des systèmes de coordonnées se mouvant autrement.

Sans doute j'avais connaissance de la conception de Mach d'après laquelle il paraissait raisonnable de supposer que la résistance d'inertie ne s'opposât pas à une accélération en soi mais à une accélération à l'égard des masses des autres corps présents dans le monde. Cette idée exerçait sur mon esprit une sorte de fascination, mais ne m'offrait pas de principe utilisable pour une théorie nouvelle.

Je fis pour la première fois un pas en avant vers la solution du problème quand j'essayai de traiter la loi de gravitation dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte. Comme la plupart des auteurs de cette époque, j'essayai d'établir une loi du champ pour la gravitation, car l'introduction d'une action immédiate à distance n'était plus possible, en raison de la suppression de l'idée de simultanéité absolue, ou du moins ne l'était plus d'une manière naturelle quelconque. Bien entendu le plus simple était de maintenir le potentiel scalaire de gravitation de Laplace, et de compléter l'équation de Poisson, de la manière facile à concevoir, par un terme différencié par rapport au temps, de telle sorte que satisfaction fût donnée à la loi de relativité restreinte. Il fallait aussi adapter à cette théorie la loi de mouvement du point matériel dans le champ de gravitation : pour cela, la voie à suivre était moins nettement indiquée parce que la masse inerte d'un corps pouvait dépendre du potentiel de gravitation ; il fallait même s'y attendre, en raison du théorème de l'inertie de l'énergie.

Mais de telles recherches me conduisirent à un résultat qui me rendit méfiant au plus haut point. D'après la mécanique classique, l'accélération verticale d'un corps dans le champ de pesanteur vertical est indépendante de la composante horizontale de la vitesse. En liaison avec cela, l'accélération verticale d'un système mécanique, ou de son centre de gravité, dans ce champ de pesanteur, se produit indépendamment de son énergie cinétique interne. Mais, d'après la théorie à l'étude, il n'était pas question de l'indépendance de l'accélération de chute par rapport à la vitesse horizontale ou à l'énergie interne d'un système.

Ceci ne cadrait pas avec l'ancienne expérience, à savoir que les corps dans un champ de gravitation subissent tous la même accélération. Cet axiome, qui peut se formuler aussi comme celui de l'égalité des masses inertes et des masses pesantes, m'apparut alors dans sa signification profonde. Je fus extrêmement surpris de son existence et je me doutai qu'il devait renfermer la clef permettant de comprendre plus à fond l'inertie et la gravitation. Bien qu'ignorant le résultat des belles expériences d'Eôtvôs (que, si je me souviens bien, je n'ai connu que plus tard) je ne doutai pas sérieusement de la forte validité de cet axiome.

C'est alors que je rejetai comme inadéquate la tentative, dont j'ai parlé plus haut, de traiter le problème de la gravitation dans le cadre de la relativité restreinte. Ce cadre ne s'accordait manifestement pas avec la propriété la plus fondamentale de gravitation. L'axiome de l'égalité des masses inertes et pesantes pouvait maintenant se formuler d'une manière très expressive comme ceci : dans un champ de gravitation homogène tous les mouvements se produisent, comme en l'absence d'un champ de gravitation, par rapport à un système de coordonnées animé d'une accélération uniforme. Si ce principe était valable pour n'importe quel phénomène (principe d'équivalence), c'était une preuve que le principe de relativité devait s'étendre à des systèmes de coordonnées en mouvement relatif non uniforme, si l'on voulait aboutir à une théorie de gravitation sans contrainte gênante. Ces réflexions m'occupèrent de 1908 à 1911 et j'essayai d'en tirer certaines conséquences spéciales dont je ne parlerai pas ici. La seule chose importante tout d'abord, c'était d'avoir reconnu que l'on ne pouvait parvenir à une théorie rationnelle de la gravitation qu'en étendant le principe de relativité.

Il convenait par conséquent d'établir une théorie dont les équations conserveraient leur forme, même avec des transformations non linéaires de coordonnées. Or je ne savais pas à ce moment-là si cela devait s'appliquer à des transformations absolument quelconques (continues), ou bien seulement à certaines.

Je vis bientôt qu'avec l'admission, exigée par le principe d'équivalence, des transformations linéaires, l'interprétation simplement physique des coordonnées devait disparaître, c'est-à-dire qu'on ne pouvait plus exiger que les différences de coordonnées représentent les résultats immédiats de mesures exécutées au moyen de mètres ou d'horloges idéals. Cette constatation m'importuna fort, car je ne pouvais plus comprendre ce qu'alors les coordonnées devaient, somme toute, signifier dans la physique. Je ne parvins à résoudre ce dilemme que vers 1912, et cela d'après les considérations suivantes : Il fallait bien cependant trouver une nouvelle manière de formuler la loi d'inertie qui, au cas où manquerait " un champ de gravitation effectif dans l'emploi d'un système d'inertie ", se transformait comme système de coordonnées dans la définition galiléenne du principe de l'inertie. Cette dernière dit : un point matériel, sur lequel n'agit aucune force, est représenté dans le système à quatre dimensions par une ligne droite, c'est-à-dire par conséquent par la ligne la plus courte ou, plus justement, par une ligne extrémale. Ce concept suppose l'idée de longueur d'un élément de ligne, c'est-à-dire une métrique. Dans la théorie de la relativité restreinte, cette métrique était, comme Minkowski l'avait montré, une métrique quasi euclidienne, en ce sens que le carré de la " longueur " ds de l'élément de ligne était une fonction quadratique déterminée des différentielles des coordonnées.

Or si l'on introduit, par une transformation non linéaire, d'autres coordonnées, ds 2 reste une fonction homogène des différentielles de coordonnées (g mn) ne sont plus constants ; ce sont des fonctions des coordonnées. En langage mathématique on dira : l'espace physique (à quatre dimensions) possède une métrique de Riemann. Les lignes extrémales, de cette métrique, qui ont une affinité avec le temps, donnent la loi de mouvement d'un point matériel qui ne subit, en dehors des forces de gravitation, l'action d'aucune force.

Les coefficients g mn de cette métrique décrivaient, en même temps, par rapport au système de coordonnées choisi, le champ de gravitation. On avait ainsi trouvé une énonciation naturelle du principe d'équivalence, dont l'extension à des champs de gravitation quelconques constituait une hypothèse absolument naturelle.

Voici donc quelle était la solution du dilemme ci-dessus : ce ne sont pas les différentielles des coordonnées, c'est seulement la métrique de Riemann, qui leur est rapportée, à qui est attachée une signification physique. On possédait ainsi un principe utilisable pour la théorie de relativité généralisée. Mais il restait encore deux problèmes à résoudre :

I. Lorsque une loi du champ est exprimée selon la théorie de relativité restreinte, comment doit-on la transférer au cas d'une métrique de Riemann ?

II. Comment, énoncer les lois différentielles qui déterminent la métrique même (c'est-à-dire les g mn de Riemann ?

J'ai travaillé à ces questions de 1912 à 1914 avec mon ami Grossmann. Nous avons trouvé que les procédés mathématiques pour résoudre le problème I se trouvaient tout prêts dans le calcul différentiel infinitésimal de Ricci et Levi-Civita.

Quant au problème II, on avait manifestement besoin pour le résoudre, des formes différentielles invariantes de second ordre des g mn. Nous nous aperçûmes bientôt que celles-ci se trouvaient déjà établies (tenseur de courbure) par Riemann. Deux ans avant la publication de la théorie de relativité générale nous avions déjà pris en considération les équations correctes de la gravitation, mais nous ne pouvions pas envisager leur utilisation au point de vue de la physique. Je croyais savoir, au contraire, qu'elles ne pouvaient être d'accord avec l'expérience. A ce sujet, je croyais encore pouvoir montrer, en me basant sur des considérations générales, qu'une loi de gravitation invariante relative aux transformations de coordonnées choisies à volonté, ne saurait s'unir au principe de causalité. Telles étaient les erreurs de mon esprit qui me coûtèrent deux années de travail très dur jusqu'à ce qu'enfin, vers la fin de 1915, je m'aperçus de ces erreurs et que je découvris le rattachement aux faits de l'expérience astronomique, après que, tout penaud, je fus revenu à la courbure de Riemann.

Éclairé par les connaissances déjà amassées, le but heureusement atteint apparaît presque comme évident et tout étudiant intelligent le saisit sans peine. Mais ces recherches, pleines de pressentiments, poursuivies dans l'ombre, durant des années, accompagnées d'un ardent désir de toucher le but avec leurs alternatives de confiance et de lassitude, se terminant finalement par la brusque apparition de la clarté, tout cela ne peut être vraiment connu que par celui-là même qui l'a éprouvé.

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