Exercícios Resolvidos

1.1 O salário médio mensal pago aos funcionários da Empresa Alhos &

Bugalhos Ltda. foi de $ 199 no primeiro semestre de 2008. Sabendo-

se que no início de agosto a média havia subido para $ 217, pede-se

calcular:

a. o volume total gasto com o pagamento dos funcionários no mês

de julho;

b. a média mensal de gastos com pessoal que a empresa deverá ter

entre agosto e dezembro para que a média mensal do ano de 2008 atinja $ 180.

Solução:

a. Considere S a soma dos gastos de janeiro a junho (período de

seis meses) e α o volume de pagamento em julho. Temos então:

∴ S = 1194

Portanto, ∴ α = $ 325 ✓

b. Seja k a média entre agosto e dezembro, isto é,

em que s* representa o volume gasto com pessoal nos meses de agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro.

 

Assim, a média mensal para o ano de 2008 será:

 

Daí, k = $ 128,20 ✓

1.2 Um produto é vendido em três supermercados por $ 130/kg, $ 132/kg

e $ 150/kg. Determine, em média, quantos gramas do produto são

comprados com $ 1,00.

Solução:

Sejam q1, q2 e q3 as quantidades procuradas na compra dos

produtos que custam $ 130/kg, $ 132/kg e $ 150/kg, respectivamente, empregando a quantia de $ 1,00.

Aplicando regra de três simples, encontramos as quantidades

procuradas q , q e q : 1 2 3

 

Portanto:

 

1.3 Com importâncias iguais foram compradas quantidades diferentes de

certa mercadoria cujos preços unitários estão expressos na tabela a

seguir. Pede-se calcular o preço médio unitário de custo.

Tipo de mercadoria Valor (em $)

1 25,00

2 20,40

3 30,50

4 60,00

Solução:

Designemos por K as importâncias iguais gastas com cada

mercadoria e Q i(i = 1, 2, 3, 4) as quantidades diferentes relativas aos preços unitários P , conforme mostra a tabela precedente. i

Ora, o custo total da mercadoria de ordem i é igual a:

K = Pi Qi

 

Também sabemos que o preço médio unitário de custo é dado

por:

 

Substituindo (I) em (II), encontramos:

Aplicando os preços unitários da tabela em (III), obtemos o

preço médio unitário de custo procurado:

 

Nota: Em (III) encontramos uma média harmônica simples.

1.4 Em março de 2012, os vendedores da Empresa Equilibrada Ltda.

tiveram um aumento de 44 % sobre os respectivos salários mensais.

Em dezembro, tendo em vista o considerável aumento das vendas da

empresa no período julho/dezembro, foi concedido a cada vendedor

um aumento de $ 200. Sabendo-se que, a partir de dezembro de 1999,

o salário médio dos vendedores da empresa passou a ser de $ 1100,

pede-se calcular o salário médio mensal dos vendedores da empresa

em fevereiro de 2012.

Solução:

Seja Si (i = 1, 2, 3, ..., n) o salário do i-ésimo vendedor em

fevereiro de 1999.

Ora, em março de 2012, os salários de cada vendedor sofreram

um aumento de 44 %, ou seja:

Si + 0,44 Si

Já em dezembro de 2012, os salários foram acrescidos em $ 200,

ficando, portanto, iguais a:

1,44 Si + 200

Como o salário médio calculado, no mesmo exercício fiscal, foi

igual a $ 1100, concluímos que:

 

Desenvolvendo o somatório em (I), obtemos:

 

1,44 + 200 = 1100 ∴ 1,44 + 200 = 900 ✓

Assim, = $ 625, que corresponde ao valor do salário médio em

fevereiro de 2012.

1.5 Seja a sequência aritmética (x1, x2, x3, …, xn) de razão r cujo primeiro

termo é a e o último é b. Mostre que a média aritmética dos n

primeiros termos dessa progressão vale .

Solução:

Como a série em destaque é uma progressão aritmética de razão

r, a soma S dos n primeiros termos é dada pela fórmula que se n

segue:

 

Então, calculando a média para esses valores, obtemos:

pois é dado que x1 = a e xn = b.

1.6 Um caminhão cujo peso vazio é de 3200 kg será carregado com 470

caixas de 11 kg cada, 360 caixas de 9 kg cada, 500 caixas de 4 kg

cada e 750 caixas de 6 kg cada. O motorista do caminhão pesa 75 kg

e a lona de cobertura da carga pesa 48 kg.

a. Sabendo-se que esse caminhão tem que passar por uma balança

que só permite passagens a veículos com peso máximo de 16 toneladas, pergunta-se: ele passará pela balança?

b. Qual o peso médio das caixas carregadas no caminhão?

Solução:

Defina:

T = peso total do caminhão carregado;

P t = peso total das caixas;

n = número total de caixas;

em que:

T = 3200 + 14.910 + 75 + 48 = 18.233 kg = 18,233 t;

P t = (470 × 11) + (360 × 9) + (500 × 4) + (750 × 6) = 14.910 kg;

n = 470 + 360 + 500 + 750 = 2080 caixas.

Dessa forma:

a. Como T = 18,233 t > 16 t, conclui-se que o caminhão não

passará na balança. ✓

b. Seja o peso médio das caixas carregadas no caminhão:

 

1.7 A produção diária de parafusos da Indústria Asterix Ltda. é de 20

lotes, contendo cada um 100.000 unidades. Ao escolher uma amostra

de oito lotes, o controle de qualidade verificou o número seguinte de

parafusos com defeitos em cada lote:

 

Amostra 01 02 03 04 05 06 07 08

Defeito 300 550 480 980 1050 350 450 870

Pede-se projetar o número de parafusos com defeito em um dia

de trabalho.

Solução:

O valor médio de parafusos defeituosos por lote é dado por:

 

isto é, 0,62875 % de cada lote de 100.000 parafusos. Como durante o

dia serão produzidos um total de 20 × 100.000 = 2.000.000 parafusos,

a projeção diária do número de parafusos com defeitos será igual a:

0,62875 % de 2.000.000 = 12.575 parafusos defeituosos/dia. ✓

1.8 O capital da Empresa Maguary Ltda. é formado pelo aporte dos

acionistas, por financiamentos de longo prazo e pela emissão de

debêntures. Cada tipo de capital possui um custo anual diferente dado

por uma taxa de juros anual, conforme o quadro:

Fonte de capital Participação em $ Taxa de juros

Acionistas 2400 12 %

Financiamento de longo 1200 8 % prazo

Debêntures 400 14 %

Calcular a taxa média do capital da empresa.

Solução:

Destaque as variáveis Ti = taxa de juros anual e Ci = capital

empregado, para i = 1, 2, 3.

Aplicando a definição de média ponderada obtemos:

 

1.9 Uma prova consta de três questões com pesos (P i) iguais a 1, 2, 3

para as notas (X ) da 1a, 2a e 3a questões, respectivamente (i = 1, 2, 3). i

Considerando o valor máximo de cada questão igual a 10 e que um

aluno obteve nota 8 na prova, que nota ele conseguiu na 1a questão,

sabendo-se que na 2a questão obteve nota 6 e na terceira nota 9?

Solução:

Seja λ a nota relativa à primeira questão. Utilizando o conceito

de média ponderada (vide exercício anterior) temos:

λ + 39 = 48 ∴ λ = 9 ✓

 

1.10 Com base nas informações sobre a ocupação dos hotéis A e B,

durante o mês de junho de 1999, identificar qual dos dois apresentou

maior grau de ocupação.

 

Hotel Leitos Pessoas

A 50 80

B 60 75

Solução:

Sejam 1 e 2, respectivamente, a média de leitos-dia/pessoa dos

hotéis A e B, no mês de junho (trinta dias).

leitos-dia/pessoa.

leitos-dia/pessoa.

Conclusão: O hotel B apresentou maior grau de ocupação durante o

mês de junho, pois apresentou 1 > 2. ✓

1.11 Suponha que várias crianças estavam brincando e que a brincadeira

consistia no lançamento de bola ao cesto para cada uma das crianças.

Sabendo-se que:

• cada criança lançou a bola uma única vez; • cada acerto valeu 1 ponto; • a média de acertos dos meninos foi de 30 pontos; • a média de acertos das meninas foi de 45 pontos; • a média de acertos em conjunto foi de 40 pontos.

Pede-se a porcentagem de meninos e meninas que estavam

jogando.

Solução:

Defina:

– 1 e 2, respectivamente, a média dos pontos de meninos e

meninas que estavam jogando;

– n e n , respectivamente, o número de meninos e meninas que 1 2

estavam jogando.

Recorde que a média global é dada por:

 

30 n + 45 n = 40 n + 40 n 1 2 12

10 n1 = 5 n2 ∴ n2 = 2 n1

Calculando então as porcentagens de meninos e meninas,

teremos:

% Meninas = 100,00 − 33,33 % = 66,67 % ✓

1.12 Em uma chapa são produzidos furos retangulares, cujo comprimento

unitário vale, em média, 400 mm. Cada furo deve ser fechado por

quatro pinos retangulares iguais e por um calço em cada lado.

Pretende-se que a folga total no comprimento (diferença entre o

comprimento do furo e a soma dos comprimentos dos pinos e dos

calços) valha em média 4 mm. Sabendo-se que cada calço tem um

comprimento constante de 10 mm, calcular o comprimento médio

unitário dos pinos colocados.

Solução:

Considere Fi (i = 1, 2, 3, …, n) o i-ésimo furo retangular da

chapa, conforme mostra a figura:

 

K Pi Pi Pi Pi Si K

Ci

em que:

Ci ⇒ comprimento dos furos;

P ⇒ comprimento dos pinos; i

Si ⇒ comprimento das folgas;

K ⇒ comprimento dos calços.

Notemos que:

C = 4 P + S + 2 K i i i

Portanto, somando todos os comprimentos dos furos retangulares

de ordem i, obteremos:

Dividindo o resultado em (I) por n furos encontraremos:

 

Substituindo = 400 mm, = 4 mm e K = 10 mm em (II),

teremos:

400 = 4 + 4 + 20

4 = 376 ∴ = 94 mm ✓

1.13 Dois professores, A e B, aplicaram uma mesma prova em duas

turmas distintas. O Professor A explica que o pior aluno é o que

obtém nota 10 e o melhor é o que obtém nota 90. Já o Professor B diz

que o pior é o que obtém nota 20 e o melhor é o que obtém nota 100.

Se um aluno do Professor A obtém nota 50 na prova, determine então

a nota correspondente com o Professor B, supondo que exista relação

linear entre as notas dos dois professores.

Solução:

Considere a figura seguinte, em que L representa a nota

correspondente ao Professor B.

Prof. A 10 50 90

Prof. B 20 L 100

Utilizando o método de interpolação linear, obtemos:

 

L − 20 = 40 ∴ L = 60 ✓

1.14 O quadro relativo às vendas de determinado bem fabricado pela

Empresa Asterix no período que vai de 1998 a 1999 é o que se segue.

 

Ano Quantidade Preço em $

1988 8521 5,70

1999 9325 6,50

Com base nessas informações, determine:

a. a taxa de variação aritmética das quantidades ΔQ % no período

1998/1999;

b. a taxa de variação aritmética dos preços ΔP % no período

1998/1999;

c. divida ΔQ % por ΔP % e interprete o resultado;

d. verifique que o resultado do item anterior pode ser obtido pela

fórmula de recorrência que se segue:

em que Pi, Qi (i = 98, 99) representam os preços e as quantidades do espaço de tempo de ordem i.

Solução:

a. Variação aritmética das quantidades:

 

b. Variação aritmética dos preços:

 

c. Seja ε o quociente entre ΔQ % e ΔP %:

 

Interpretação: embora os preços e as quantidades tenham crescido no período 1998/1999, conclui-se que as quantidades variaram com menor intensidade que os preços, porquanto ε < 1. Por exemplo, se os preços crescerem em 1 %, espera-se que as quantidades sofram um incremento de 0,01 × 0,6722 ≅ 0,6722 %.

d. Substituindo os valores da tabela na fórmula de recorrência,

obtemos:

1.15 A Indústria Zepelim S.A., fabricante de esferas metálicas, aumentou

o volume de sua produção em 44 % no período que se estende de t0 a

t2, sendo que o aumento relativo que vai de t0 a t1 (t0 < t1 < t2) foi igual

ao aumento relativo de t1 a t2. Sabendo-se que a produção inicial em t0

era de 90.000 esferas, pede-se calcular o volume de esferas

produzidas em t . 1

Solução:

Sejam q0, q1 e q2 os volumes de esferas produzidas nos períodos

t0, t1 e t2, respectivamente, conforme mostra a figura:

 

q q q 0 12

 

t t t 0 12

Sabemos que a variação do volume de esferas no período t 2 sobre

t foi da ordem de 44 %: 0

 

Entretanto, também sabemos que a variação de t 1 sobre t0 foi

igual à variação de t2 sobre t1:

Substituindo (I) em (II), obtemos:

 

Como q = 90.000 esferas, encontramos: 0

 

1.16 Se as vendas (quantidade) da Empresa Maraponga Ltda. sofrerem

uma queda de 20 % em relação ao desempenho atual, qual

incremento de preços permitirá manter sua receita inalterada?

Solução:

Sejam, respectivamente, Pi, Qi os preços e as quantidades dos

produtos no período atual; R , R as receitas dos períodos atual e 0 f final, nessa ordem. Podemos então escrever:

 

Se os produtos sofrerem uma queda de vendas (quantidade) de

20 %, as novas quantidades deverão ser iguais a 0,8Q e os novos i preços deverão ser reajustados em α para que se mantenha o mesmo nível de receita inicial. Assim, a nova receita Rf deverá ser igual a:

 

Porém, R0 e Rf devem ser iguais:

1.17 Considere uma amostra constituída de 10 itens do estoque da

 

Empresa Equilibrada S.A. com suas respectivas demandas anuais (D)

e custos unitários (P).

 

Especi cação E1 E2 E3 E4 E5

Demanda anual 9000 4500 900 14.000 50.000

Custo unitário em $ 10,00 4,00 90,00 1,00 5,00

 

Especi cação E6 E7 E8 E9 E10

Demanda anual 16.000 10.000 4200 1300 1000

Custo unitário em $ 5,00 2,00 50,00 1,00 17,00

Pede-se elaborar um quadro demonstrativo para esses dados,

empregando os seguintes procedimentos:

1. calcular a demanda valorizada para cada item, multiplicando o

valor da demanda pelo custo unitário do item;

2. colocar os itens em ordem decrescente segundo o valor da

demanda valorizada de cada item;

3. calcular a demanda valorizada total dos itens;

4. calcular as percentagens da demanda valorizada de cada item em

relação à demanda valorizada total, bem como suas percentagens acumuladas.

Com base no quadro elaborado, dividir o estoque em três classes

A, B e C, estabelecendo seus limites em função do critério de decisão seguinte:

• 20 % dos itens pertencem à classe A; • 30 % dos itens seguintes pertencem à classe B; • 50 % dos itens restantes pertencem à classe C.

Pede-se também construir um gráfico apropriado para

representar esses dados e fazer um breve comentário sobre a divisão efetuada.

Solução:

O resultado para a demanda valorizada de cada item, obtido pela

multiplicação do valor da demanda anual pelo custo unitário respectivo, é o que se segue:

 

Especi cação E1 E2 E3 E4 E5

Demanda anual (D) 9000 4500 900 14.000 50.000

Custo unitário em $ (P) 10,00 4,00 90,00 1,00 5,00

Demanda valorizada 90.000 18.000 81.000 14.000 250.000 (D × P)

Especi cação E6 E7 E8 E9 E10

Demanda anual 16.000 10.000 4200 1300 1000

Custo unitário em $ (P) 5,00 2,00 50,00 1,00 17,00

Demanda valorizada 80.000 20.000 210.000 1300 17.000 (D × P)

Colocando em ordem decrescente a demanda valorizada (D × P),

obtemos a sequência: E5, E8, E1, E3, E6, E7, E2, E10, E4, E9.

Levando em consideração a sequência ordenada obtida e o

critério de decisão proposto para a divisão dos itens em classes, pode-se montar o quadro demonstrativo desejado, conforme mostrado a seguir.

Total de itens do estoque: 10.

Número de itens da classe A: 20 % de 10 = 2.

Número de itens da classe B: 30 % de 10 = 3.

Número de itens da classe C: 50 % de 10 = 5.

 

Demanda valorizada

em $ em (%)

Item Classe

Do item Acumulada Do item Acumulada

E5 250.000 250.000 32,0 32,0 A

E8 210.000 460.000 26,9 58,9 A

E1 90.000 550.000 11,5 70,4 B

E3 81.000 631.000 10,4 80,8 B

E6 80.000 711.000 10,2 91,0 B

E7 20.000 731.000 2,6 93,6 C

E2 18.000 749.000 2,3 95,9 C

E10 17.000 766.000 2,2 98,0 C

E4 14.000 780.000 1,8 99,8 C

E9 1300 781.300 0,2 100,0 C

 

Comentário: conforme podemos constatar no quadro anterior, os dois

primeiros itens E5 e E8 representam 58,9 % do volume financeiro

movimentado pelos itens, sendo que individualmente movimentam

acima de 25 %. Já os itens E1, E3 e E6 representam 32,1 % de todo o

volume financeiro movimentado e individualmente estão em uma

faixa que vai de 10,2 % a 11,5 %. Os itens restantes, que

correspondem a 50 %, são responsáveis apenas por 9,0 % do volume

financeiro total e, individualmente, encontram-se em uma faixa

abaixo de 2,6 %, inclusive.

Resumindo: conforme a ilustração anterior, uma pequena quantidade

de itens, chamada de Classe A, representa uma grande parcela dos

recursos investidos, enquanto a grande maioria dos itens, chamada de

Classe C, tem pouca representatividade nesses recursos. Entre as

classes A e C situam-se itens com importâncias e quantidades médias,

chamadas de Classe B. ✓

1.18 Qual deve ser a taxa mensal de inflação para que os preços

dupliquem em quatro anos?

Solução:

Sabemos que os preços inflacionados crescem em progressão

geométrica, ou seja:

S = P(1 + θ)n

em que S representa o preço inflacionado; P o preço no ano base; θ a

taxa mensal de inflação e n o espaço de tempo considerado.

Portanto:

 

Aplicando n = 4 anos = 48 meses e S = 2P em (I) obtemos:

 

1.19 Considere a relação S = P(1 + θ)n em que S representa o preço

inflacionado; P o preço no ano base; θ a taxa mensal de inflação e n o

espaço de tempo considerado (vide exercício anterior).

Mostre que:

 

Solução:

S = P(1 + θ)n pode ser escrita como:

 

Aplicando logaritmos decimais em ambos os membros em (I),

temos:

 

Contudo, pelas propriedades dos logaritmos, temos que o

logaritmo de um quociente entre dois números é igual à diferença dos logaritmos desses números e que o logaritmo de uma potência

de um número é igual à potência multiplicada pelo logaritmo desse número.

Portanto, em (II) podemos obter:

log S − log P − n × log(1 + θ)

∴ n × log(1 + θ) = log S − log P

 

1.20 O Supermercado Vende Tudo anuncia uma liquidação em que o preço

de determinado bem de consumo diminuiu em 400 %. Pede-se

comentar esse anúncio, indicando se o mesmo está certo ou errado.

Solução:

Evidentemente, o anúncio está errado, porquanto nada pode ser

diminuído em mais de 100 %. Observe que, se o preço for reduzido em 100 %, nada mais resta a ser diminuído! ✓

1.21 Na residência do Capitão Rapadura, no dia 14/03/2009, foram

consumidos 300 litros de água e no dia 17/03/2009, 600 litros de

água. Durante esse espaço de tempo, qual foi a taxa média de

variação do consumo de água ao dia?

Solução:

Seja C = consumo de água e D = número de dias. Lembrando que a variação de uma grandeza é dada pela

diferença entre seu valor final e inicial, podemos então calcular a taxa média de variação para o consumo de água:

1.22 A amplitude de um conjunto de valores é 100. Se a distribuição de

frequências apresenta 10 classes, qual será o ponto médio da quarta

classe se o limite inferior da primeira classe é igual a 4?

Solução:

Sabemos que:

Amplitude total At = 100;

Número de classes k = 10;

Limite inferior da 1a classe L = 4. 1

Assim, a amplitude de classe h será:

 

Portanto, a primeira classe é 4 ⊢ 14 e a quarta 34 ⊢ 44.

Consequentemente, o ponto médio x4 valerá:

 

1.23 Vinte alunos foram submetidos a um teste de aproveitamento cujos

resultados formam os que se seguem:

26 28 24 13 18

18 25 18 25 24

20 21 15 28 17

27 22 13 19 28

Pede-se agrupar tais resultados em uma distribuição de

frequências segundo os conceitos: Excelente, Muito bom, Bom, Regular, Sofrível e Insuficiente.

Solução:

Inicialmente, deveremos encontrar a amplitude total da

distribuição, ou seja, a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da distribuição. No caso em destaque, teremos:

A t = 28 − 13 = 15

Ora, já sabemos que o número de classes k, determinado pelo

número de conceitos, será igual a 6. Portanto, o intervalo de classes será o resultado da divisão da amplitude total pelo número de classes:

 

Como a divisão da amplitude pelo número de classes gerou um

número fracionário, o intervalo passa a ser o número mais próximo. Nesse caso, optamos por h = 3. Assim, pois, os valores serão agrupados em intervalos de amplitude igual a 3, como demonstra o quadro seguinte:

 

Frequências

Classes Contagem

Simples Acumulada Relativa

13 ⊢ 16 /// 3 3 0,15

16 ⊢ //// 4 7 0,20 19

19 ⊢ 22 /// 3 10 0,15

22 0,15 ⊢ /// 3 13 25

25 ⊢ 28 //// 4 17 0,20

28 ⊢ 31 /// 3 20 0,15

Total 20 – 1,00

1.24 Na Empresa Mercury Ltda. foi observada a distribuição de

funcionários do setor de serviços gerais com relação ao salário

semanal, conforme mostra a distribuição de frequências:

 

Salário semanal (em $) Número de funcionários

25 ⊣ 30 10

30 ⊣ 35 20

35 ⊣ 30 40

40 ⊣ 45 15

45 ⊣ 50 40

50 ⊣ 55 35

Total 150

Pede-se:

a. o salário médio semanal dos funcionários;

b. o desvio padrão, o coeficiente de variação e a assimetria dos

salários semanais dos funcionários;

c. se o empresário divide os funcionários em três categorias, com

relação ao salário, de sorte que:

• os 25 % menos produtivos sejam da categoria A; • os 25 % seguintes sejam da categoria B; • os 25 % seguintes, isto é, os mais produtivos, sejam da

categoria C;

pede-se determinar os limites dos salários das categorias A, B e C.

Solução:

Considere o quadro auxiliar, em que X i representa o ponto médio

da i-ésima classe e f , F , as frequências absolutas, simples e i i acumuladas, respectivamente:

 

Classes Xi fi Fi Xifi

25 ⊣ 30 27,5 10 10 275,00 7562,50

30 ⊣ 35 32,5 20 30 650,00 21.125,00

35 ⊣ 37,5 30 60 1125,00 42.187,50 40

40 ⊣ 45 42,5 15 75 637,50 27.093,75

45 ⊣ 50 47,5 40 115 1900,00 90.250,00

50 ⊣ 55 52,5 35 150 1837,50 96.468,75

Total – 150 – 6425,00 284.687,50

a. Salário médio semanal:

 

Desvio padrão:

 

Salário modal semanal:

 

em que:

L 0: limite inferior da classe modal;

Δ : diferença entre a frequência absoluta simples da classe modal e a 1

imediatamente anterior;

Δ2: diferença entre a frequência absoluta simples da classe modal e a

imediatamente posterior;

h: amplitude da classe modal.

Então:

L 0 = 45

Δ = 40 − 15 = 25 1

Δ2 = 40 − 35 = 5

h = 50 − 45 =5

 

∴ M ≅ $ 49,16 ✓ 0

Coeficiente de variação:

 

Coeficiente de assimetria:

 

b. Para estabelecer os limites de salário entre as categorias A, B e

C, necessário se faz que calculemos os percentis de ordem 25, 50 e 75, respectivamente. A fórmula genérica para o seu cálculo é dada por:

 

em que:

r: ordem percentil;

Lr: limite inferior da classe percentil de ordem r; I r: posição do percentil de ordem r dado por:

Far: frequência absoluta acumulada imediatamente anterior à classe percentil de ordem r; f : frequência simples da classe percentil de ordem r; r

 

hr: amplitude da classe percentil de ordem r.

Logo,

Limite da classe A:

r = 25

 

L 25 = 35

 

∴ P 25 ≅ $ 36,25 ✓

F = 30 a 25

f25 = 30

h25 = 40 − 35 = 5

Limite da classe B:

r = 50

 

L 50 = 40

F a50 = 60

f50 = 15

h = 45 − 40 = 5 50

∴ P 50 ≅ $ 45 ✓

Limite da classe C:

r = 75

 

L = 45 75

F a75 = 75

f = 40 75

h75 = 50 − 45 = 5

 

∴ P ≅ $ 49,68 ✓ 75

1.25 Uma pesquisa sobre a renda anual familiar realizada com uma

amostra de 1000 pessoas na cidade de Tangará resultou na seguinte

distribuição de frequências:

 

Salário anual (em $ 1000) Número de funcionários

0,00 ⊣ 10,00 250

10,00 ⊣ 20,00 300

20,00 ⊣ 200 30,00

30,00 ⊣ 40,00 120

40,00 ⊣ 50,00 60

50,00 ⊣ 60,00 40

60,00 ⊣ 20 70,00

70,00 ⊣ 80,00 10

Total 1000

Pede-se determinar a média, a moda, os quartis e o coeficiente de

variação dos salários.

Solução:

Considere o quadro auxiliar:

 

Classes Xi fi Fi Xifi

0,00 ⊣ 5 250 250 1250 6250 10,00

10,00 ⊣ 15 300 550 4500 67.500

20,00

20,00 ⊣ 25 200 750 5000 125.000

30,00

30,00 ⊣ 35 120 870 4200 147.000

40,00

40,00 ⊣ 45 60 930 2700 121.500

50,00

50,00 ⊣ 55 40 970 2200 121.000

60,00

60,00 65 20 990 1300 ⊣ 84.500

70,00

70,00 ⊣ 75 10 1000 750 56.250

80,00

Total – 1000 – 21.900 729.000

Salário médio anual:

 

Salário modal anual:

 

em que:

L 0: limite inferior da classe modal;

Δ1: diferença entre a frequência absoluta simples da classe modal e a

imediatamente anterior;

Δ2: diferença entre a frequência absoluta simples da classe modal e a

imediatamente posterior;

h: amplitude da classe modal.

Então:

L 0 = 10

Δ = 300 − 250 = 50 ∴ 1

Δ2 = 300 − 200 = 100

h = 20 − 10 = 10

 

M ≅ $ 13,33 (× 1000) ✓ 0

Divisão dos salários por quartis:

 

em que:

r: ordem percentil;

L : limite inferior da classe percentil de ordem r; r

Ir: posição do percentil de ordem r dado por:

 

F : frequência absoluta acumulada imediatamente anterior à classe ar

percentil de ordem r;

fr: frequência simples da classe percentil de ordem r;

h : amplitude da classe percentil de ordem r. r

Logo,

1o Quartil:

r = 25

 

L 25 = 0

F a25 = 0

f25 = 250

h = 10 − 0 = 10 25

 

∴ P 25 = $ 10 (× 1000) ✓

2o Quartil:

r = 50

 

L = 10 50

F a50 = 250

f = 300 50

h50 = 20 − 10 = 10

 

∴ P 50 = $ 18,33 (× 1000) ✓

3o Quartil:

r = 75

 

L 75 = 20

F = 750 a 75

f75 = 200

h75 = 30 – 20 = 10

 

∴ P = $ 30 (× 1000) ✓ 75

Coeficiente de variação:

 

σ2 ≅ 249,39 ∴ σ ≅ $ 15,79 (× 1000)

 

1.26 Considere a distribuição de frequências:

 

Classes Frequências

02 3 ⊢ 04

04 ⊢ 06 k

06 ⊢ 08 1001

08 ⊢ 3 – 12 10 k

10 ⊢ 12 3

Determine o valor de k de sorte que a média, a moda e a mediana

possuam valores iguais.

Solução:

Como a média, a moda e a mediana são iguais, podemos afirmar

que a distribuição em destaque é simétrica.

Portanto, 3 k − 12 = k

2 k = 12 ∴ k = 6 ✓

Convém lembrar que para se calcular os valores da média, da

moda e da mediana em uma distribuição simétrica de frequências, basta calcular o ponto médio da classe de maior frequência.

 

1.27 Uma distribuição de frequências simétrica unimodal apresentou os

seguintes resultados:

Moda de Czuber 18 Amplitude de classe 4

Pede-se determinar o limite inferior da classe modal.

Solução:

Sabemos que a moda de Czuber é dada por:

 

em que:

L : limite inferior da classe modal; 0

Δ1: diferença entre a frequência absoluta simples da classe modal e a

imediatamente anterior;

Δ2: diferença entre a frequência absoluta simples da classe modal e a

imediatamente posterior;

h: amplitude da classe modal.

Como a distribuição é simétrica unimodal, temos Δ = Δ . Assim, 1 2

em (I), obtemos:

 

Portanto, substituindo os valores em (II) temos:

 

Nota: Em uma distribuição de frequências unimodal, a moda de

Czuber coincide com o ponto médio da classe de maior frequência

(moda bruta).

1.28 Em um grupo de 600 hóspedes do Hotel Mary Posa & Cia. Ltda.,

tem-se os seguintes valores com relação ao tempo de permanência no

hotel:

Média 9 dias; 1o Quartil 5 dias; 3o Quartil 15 dias; Coeficiente de variação 20 %.

Pede-se:

a. quantos hóspedes permanecem mais de 15 dias;

b. quantos hóspedes permanecem entre 5 e 15 dias;

c. o desvio padrão para o tempo de permanência;

d. supondo que todos os hóspedes permanecessem mais dois dias,

calcular a nova média, o desvio padrão e o coeficiente de variação.

Solução:

Cumpre lembrar que os quartis dividem uma série ordenada em

quatro partes de igual frequência, conforme mostra a figura:

 

Q1 Q2 Q3

 

25 % 50 % 75 %

em que Qi (i = 1, 2, 3) representa o quartil de ordem i.

Então:

a. mais de 15 dias: 25 % de 600 = 150 hóspedes; ✓

b. entre 5 e 15 dias: 50 % de 600 = 300 hóspedes; ✓

c. o coeficiente de variação CV é dado por:

CV = , com = 9 dias e CV = 0,2

Logo, σ = × CV = 9 × 0,2 = 1,8 dia ✓

d. Quando somamos uma constante qualquer a todos os valores de

uma série, a média fica acrescida dessa constante e o desvio padrão permanece inalterado.

Consequentemente:

Nova média 9 + 2 = 11

dias ✓

Novo desvio padrão 1,8 dia ✓ Novo coeficiente de variação

1.29 Considere a distribuição a seguir relativa a notas de dois alunos de

informática durante determinado semestre:

Aluno A 9,5 9,0 2,0 6,0 6,5 3,0 7,0 2,0

Aluno B 5,0 5,5 4,5 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0

a. Calcule as notas médias de cada aluno.

b. Qual aluno apresentou resultado mais homogêneo? Justifique.

Solução:

Represente por X as notas obtidas pelo Aluno A e por Y as do i i

Aluno B (i =1, 2, ..., 8).

Considere o quadro auxiliar:

 

Xi Yi

9,50 90,25 5,00 25,00

9,00 81,00 5,50 30,25

2,00 4,00 4,50 20,25

6,00 36,00 6,00 36,00

6,50 42,25 5,50 30,25

3,00 9,00 5,00 25,00

7,00 49,00 4,50 20,25

2,00 4,00 4,00 16,00

45,00 315,50 40,00 203,00

a. Cálculo das notas médias:

 

b. Cálculo dos coeficientes de variação:

 

Como n < 30, devemos utilizar a correção de Bessel para

obtermos o desvio padrão amostral:

Portanto:

 

O Aluno B apresentou resultado mais homogêneo, pois

apresentou menor dispersão relativa. ✓

1.30 Calcule o 60o percentil da sequência X: 1, 8, 7, 5, 6, 10, 12, 1, 9 e

interprete-o.

Solução:

Ordenando a sequência, obtemos o rol:

X: 1, 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12.

Calculando 60 % de 9, que é o número de elementos da série,

obtemos:

 

Esse valor não inteiro indica que o P60 é um valor situado entre o

5o e o 6o elemento da sequência.

Observando diretamente no rol os elementos que ocupam a 5a e a

6a posição, encontramos 7 e 8, respectivamente. Portanto:

Interpretação: 60 % dos valores da sequência são menores ou iguais

a 7,5 e 40 % dos valores da sequência são maiores ou iguais a 7,5.

1.31 Calcular a mediana da série estatística:

 

Xi fi

0 3

1 5

2 8

3 10

5 6

Total 32

Solução:

O número de elementos da série é 32 (par). Logo, admite dois

termos centrais que ocupam as posições: (32/2)o = 16o e (32/2 +1)o = 17o. Para localizar esses elementos, é necessário construirmos a frequência acumulada da série:

Xi fi Fi

0 3 3

1 5 8

2 8 16

3 10 26

5 6 32

Total 32 –

As três primeiras posições da série são ocupadas por elementos

iguais a 0.

Da 4a à 8a posição os elementos são iguais a 1. Da 9a à 16a

posição os elementos são iguais a 2. Da 17a à 26a posição os elementos valem 3.

Portanto, o elemento que ocupa a 16a posição é 2 e o elemento

que ocupa a 17a posição é 3 e, consequentemente, a mediana é:

 

Interpretação: 50 % dos valores da série são menores ou iguais a 2,5

e 50 % dos valores da série são maiores ou iguais a 2,5.

1.32 Considere a distribuição de frequências relativa aos salários

quinzenais da Empresa Yasmin Ltda.:

 

Salário quinzenal (em $) Número de funcionários

185 ⊣ 195 10

195 ⊣ 205 15

205 ⊣ 12 215

215 ⊣ 225 19

225 ⊣ 21 235

235 ⊣ 245 35

Total 112

Pede-se:

a. o salário médio, mediano e modal dos funcionários;

b. o coeficiente de variação e assimetria dos salários quinzenais dos

funcionários;

c. suponha que o presidente da empresa tenha dado um reajuste de

15 % aos funcionários. Qual o novo salário médio e o novo coeficiente de variação?

Solução:

Destaque o quadro auxiliar, em que X representa o ponto médio i

da i-ésima classe e f i, Fi, as frequências absolutas, simples e acumuladas, respectivamente:

 

Classes Xi fi Fi Xifi

185 ⊣ 190 10 10 1900 361.000 195

195 ⊣ 205 200 15 25 3000 600.000

205 ⊣ 215 210 12 37 2520 529.200

215 ⊣ 225 220 19 56 4180 919.600

225 ⊣ 235 230 21 77 4830 1.110.900

235 ⊣ 245 240 35 112 8400 2.016.000

Total – 112 – 24.830 5.536.700

a. Salário médio quinzenal:

 

Salário mediano quinzenal:

 

r: ordem percentil;

L : limite inferior da classe percentil de ordem r; r

Ir: posição do percentil de ordem r dado por:

 

F : frequência absoluta acumulada imediatamente anterior à classe ar

percentil de ordem r;

fr: frequência simples da classe percentil de ordem r;

h : amplitude da classe percentil de ordem r. r

Portanto:

r = 50

L 50 = 215

F = 37 a 50

f50 = 19

h = 195 − 185 = 10 50

 

∴ P 50 = $ 225 ✓

Salário modal quinzenal:

 

em que:

L 0: limite inferior da classe modal;

Δ : diferença entre a frequência absoluta simples da classe modal e a 1

imediatamente anterior;

Δ2: diferença entre a frequência absoluta simples da classe modal e a

imediatamente posterior;

h: amplitude da classe modal.

Então:

L = 235 0

Δ1 = 35 − 21 = 14

Δ = 35 − 0 = 35 2

h = 245 − 235 = 10

 

∴ M 0 ≅ $ 237,8 ✓

b. Desvio padrão:

 

σ2 ≅ 328,26 ∴ σ ≅ $ 18,11 ✓

Coeficiente de variação:

 

Coeficiente de assimetria:

 

c. Quando multiplicamos uma constante qualquer a todos os

valores de uma série, a média fica multiplicada por essa constante e a variância pelo quadrado dessa constante.

Portanto, dar um reajuste de 15 % significa multiplicar todos os

salários por 1,15. Desse modo:

Nova média 221,6 × 1,15 = $ 254,84 ✓ Novo desvio padrão 18,11 × 1,15 = $ 20,82 ✓ Novo coeficiente de

variação

1.33 Considere a distribuição de frequências:

 

Classes fi

03 ⊢ 06 2

06 ⊢ 09 5

09 ⊢ 8 12

12 ⊢ 15 3

15 ⊢ 18 2

Total 20

Pede-se determinar a mediana e o percentil de ordem 80o.

Solução:

Cálculo da mediana

Sabemos que a mediana separa o número de elementos da série

ordenada em dois grupos de igual frequência.

Portanto, a posição da mediana da série em destaque é (20/2)o =

10o.

O valor 10 indica que a mediana é um elemento situado entre o

7o e o 15o elemento da série.

Consideremos a frequência acumulada F i para identificar em

qual classe está situado o 10o elemento da série.

 

Classes fi Fi

03 ⊢ 06 2 2

06 5 7 ⊢ 09

09 ⊢ 12 8 15

12 ⊢ 15 3 18

15 ⊢ 2 20 18

Total 20 –

Verifica-se facilmente (vide quadro anterior) que o 10o elemento

está posicionado na terceira classe, indicando, assim, que a mediana é um valor compreendido entre 9 e 12: essa classe será identificada como classe mediana.

Observemos que esse intervalo de três unidades contém oito

elementos. Portanto, poderemos dividir tal intervalo de modo proporcional à mediana da série, supondo que eles estejam uniformemente distribuídos.

Considere o quadro abaixo, no qual t representa a mediana

procurada:

 

7a 10a 15a

 

9 t 12

 

Portanto, t = 10,125 ✓

Cálculo do percentil de ordem 80o

Sabemos que os percentis são definidos como cada um dos 99 valores

que dividem uma distribuição de frequências em 100 intervalos

iguais.

Calculando a posição do percentil de ordem 80o da série em tela,

temos:

80 % de 20 = 0,8 × 20 = 16o

Observando a coluna de frequências acumuladas da tabela,

verificamos que o percentil de ordem 80o é um elemento posicionado entre o 15o e o 18o elemento da série. Portanto, o percentil procurado p encontra-se na quarta classe da distribuição, conforme diagrama que se segue:

 

15a 16a 18a

 

12 p 15

 

Portanto, p = 13 ✓

1.34 Uma distribuição simétrica unimodal apresenta mediana igual a 36

dm e coeficiente de variação em torno de 20 %. Determine a

variância dessa distribuição.

Solução:

Em uma distribuição simétrica unimodal, a média, a moda e a

mediana possuem valores iguais, ou seja:

= M0 = Q2 = 36

Sabemos que o coeficiente de variação é dado por:

 

Assim:

 

σ = 7,2 ∴ σ2 = 51,84 dm2 ✓

1.35 O raio médio de um grande número de esferas é 10 cm, com desvio

padrão de 3 cm. Calcule a média das superfícies externas das esferas.

Solução:

Se r e S (i = 1, 2, 3, …, n) representam, respectivamente, o raio i i

e a superfície da i-ésima esfera, então:

 

Somando todas as superfícies externas das esferas, teremos:

 

Dividido por n esferas, obtemos:

 

Contudo também sabemos que a variância é dada por:

Finalmente, substituindo (II) em (I), encontraremos a média das

 

superfícies externas das esferas.

= 436 π cm ✓

1.36 Considere as séries estatísticas:

X: X1, X2, X3, …, Xn com média μx ≠ 0 e desvio padrão σx; Y: Y 1, Y2, Y3, …,Yn com média μY e desvio padrão σy.

Portanto:

 

Mostre que o desvio padrão do conjunto Y é igual ao coeficiente

de variação do conjunto X, ou seja:

 

Solução:

Observemos que a média do conjunto Y é dada por:

Temos então:

 

1.37 O gerente de produção da Indústria Tangará Ltda. desejava

estabelecer um critério objetivo para medir o grau de produtividade

dos setores que administra. Para tanto, passou a utilizar o método que

consiste em dividir a produção Q i de cada setor, em determinado

espaço de tempo, por sua respectiva produção média multiplicada

por 100, estabelecendo assim, o índice de produtividade do setor P i.

Matematicamente:

 

Fundamentado no método utilizado por esse gerente de

produção, pede-se determinar os índices de produtividade, a média e o desvio padrão para esses índices, indicando quais os setores que apresentaram deficiência, tomando por base as quantidades de peças produzidas durante determinado espaço de tempo (ver quadro seguinte).

Produção de peças por setor

A B C D

3500 3000 4000 5500

Média: 4000 Desvio padrão: 1080,12

Solução:

Dividindo a produção de cada setor pela produção média de 4000

peças e multiplicando o resultado obtido por 100, encontramos os índices de produtividade P . Por exemplo, para o setor B, temos: i

 

Resumindo,

 

Índice de produtividade por setor

A B C D

87,5 75,0 100,0 137,5

Média: 100,0 Desvio padrão: 27 %

Para o cálculo da média e o desvio padrão amostral desses

índices lançou-se mão dos resultados do exercício precedente: a

média de é sempre igual à unidade e seu desvio padrão amostral

igual ao coeficiente de variação dos valores das quantidades

produzidas Q i, ou seja, Como todos os

valores de foram multiplicados por 100, sua média e o seu desvio

padrão amostral ficaram multiplicados também por essa constante.

Conclusão: no que diz respeito aos setores que apresentaram

deficiência, constata-se que A e B operaram abaixo da média com

taxas de 12,5 % e 25,0 %, respectivamente. ✓

1.38 Considere as seguintes informações:

 

Estatística

Característica Média Desvio padrão

Salário em $ 500 50

Anos de trabalho 100 20

Pergunta-se: qual das duas características variou mais?

Solução:

O principiante tende a responder: o salário, pois teve um desvio

padrão maior. De fato, temos 50 > 20, mas é inválida a comparação, visto que não podemos comparar grandezas de dimensões (ou unidades) heterogêneas. Para contornar essa situação, o desvio padrão foi substituído pela medida adimensional coeficiente de variação.

No caso em estudo, temos:

 

Logo, a variável Anos de trabalho variou mais, pois apresentou

um maior coeficiente de variação. ✓

1.39 A Empresa Metálica S.A. está testando a resistência de dois tipos de

molas a serem utilizadas em seu processo de fabricação. O primeiro

tipo foi testado 1700 vezes, em média, com sucesso, apresentando um

desvio padrão de 150. Já o segundo tipo de mola apresentou uma

média de teste com sucesso de 1000 vezes e desvio padrão de 149.

Indicar qual tipo de mola apresentou maior capacidade média de

resistência nos testes efetuados.

Solução:

Apesar das duas situações apresentarem dispersões absolutas

próximas (desvios padrão quase iguais), percebe-se que o primeiro tipo de mola, com 700 testes positivos a mais, obteve nível de sucesso bem superior, pois, em termos de coeficiente de variação, apresentou menor variação relativa, indicando maior capacidade média de resistência dos testes efetuados, conforme demonstrado a seguir.

 

1.40 A tabela abaixo demonstra os dados anuais de vendas (em $) das

regiões A, B, C e D por vendedores.

 

Região Vendas médias Desvio padrão

A 10.000 2400

B 13.000 3000

C 18.000 4000

D 20.000 7000

Destacar qual a região que apresentou equipe de vendas de

desempenho mais homogêneo.

Solução:

Observe que os desvios padrão das vendas não podem ser

comparados. É necessário, portanto, que calculemos os coeficientes de variação para as vendas de cada região, ou seja, o quociente entre o desvio padrão por sua respectiva média:

 

que permitirão ao gerente decidir em qual região as vendas se

apresentam de forma mais homogênea.

Os resultados são os apresentados na tabela a seguir:

 

Região Vendas médias Desvio padrão CV em (%)

A 10.000 2400 24,00

B 13.000 3000 23,08

C 18.000 4000 22,22

D 20.000 7000 35,00

Assim, de acordo com os coeficientes de variação calculados na

tabela anterior, a equipe de vendas de desempenho mais homogêneo

se encontra na Região C, pois apresentou menor dispersão em torno da média. ✓

1.41 Dois operários, Don e Doca, trabalham em duas fábricas X e Y,

respectivamente. Considere as informações seguintes sobre os

salários medidos em $.

 

Estatísticas Fábrica X Fábrica Y

Média 500 600

Desvio padrão 50 100

Salário de Don: 600 Salário de Doca: 700

Naturalmente, em termos absolutos, Don ganha menos que Doca

(vide exercício anterior). Em termos relativos, ou seja, considerando cada operário no contexto salarial de sua fábrica, qual dos dois está mais bem situado?

Solução:

Somos tentados a responder que, em termos absolutos, ambos

estão igualmente situados, porquanto 600 − 500 = 700 − 600, ou seja, a diferença entre os salários de cada operário para a média é a mesma. Entretanto é preciso lembrar que uma mesma diferença se destaca mais em um grupo homogêneo (de menor desvio padrão) do que em um grupo heterogêneo (de maior desvio padrão). Assim, para situações como essa, em que se deve realçar o valor particular de uma variável no contexto da distribuição a que pertence, lança-se mão da variável reduzida Z:

Como vemos, ela mede os desvios em relação à media em

unidades de desvio padrão. Em nosso caso, temos:

 

Portanto, Don, em termos relativos, ganha melhor que Doca! ✓

1.42 Sejam as séries estatísticas:

X: X1, X2, X3, …, Xn com média e desvio padrão σx;

Y: Y , Y , Y , …,Y com média e desvio padrão σ . 1 2 3 m y

Mostre que a variância das duas séries reunidas é dada por:

 

em que a média conjunta é definida por:

 

Solução:

A variância em torno da média conjunta é dada por:

 

Façamos então os cálculos a seguir:

1o Passo: Série X

 

Lembremos, porém, que:

 

pois a soma dos desvios em torno da média vale zero.

Assim,

 

Ou ainda,

 

2o Passo: Série Y

Da mesma forma escrita para a série X, podemos escrever para a série

Y:

Finalmente, substituindo os resultados (II) e (III) em (I)

obteremos o resultado procurado:

 

1.43 A estatura média de um grupo de 30 rapazes é de 170 cm com

variância de 26 cm2, e a de um grupo de 20 moças é de 160 cm com

variância de 18 cm2. Qual é a média e a variância das estaturas dos

dois grupos reunidos?

Solução:

Consideremos:

m = 30, o número de rapazes;

= 26 cm2, a variância parcial do grupo masculino;

m = 170 cm, a média das estaturas do grupo masculino;

n = 20, o número de moças;

= 18 cm2, a variância parcial do grupo feminino;

n = 160 cm, a média das estaturas do grupo feminino.

Sabemos que a média geral é dada por:

 

A variância combinada (vide exercício precedente) é

fornecida por:

Assim,

 

1.44 Destaque as séries estatísticas:

X: X1, X2, X3, …, Xn com média e desvio padrão σx;

Y: Y , Y , Y , …,Y com média e desvio padrão σ . 1 2 3 n y

Mostre que a variância de Z = X + Y é dada por:

 

Solução:

Utilizando a definição de variância, podemos escrever:

 

em que Z i = Xi + Yi e = + .

Dessa forma, temos:

Entretanto, a covariância de X e Y pode ser escrita como:

 

Substituindo o resultado (II) em (I) obtemos:

 

1.45 Considere o quadro a seguir:

X Y XY Z = X + Y

3 6 18 9

2 8 16 10

5 2 10 7

6 3 18 9

4 1 4 5

Pede-se determinar a variância das variáveis X, Y e Z e verificar

o resultado demonstrado no exercício precedente para a variância de uma soma.

Solução:

Da tabela anterior obtemos:

 

Utilizando o resultado obtido no exercício anterior, temos:

1.46 Se em uma distribuição de frequências temos sempre a mediana igual

 

à média aritmética entre o 1o e o 3o quartil, o que podemos dizer

quanto à sua forma?

Solução:

Um dos coeficientes de assimetria, proposto por Bowley,1 é

definido por:

 

em que Qi (i = 1, 2, 3) representa o quartil de ordem i.

 

Substituindo o resultado (I) na fórmula de Bowley, obtemos:

 

Conclui-se então que a distribuição é simétrica.

1.47 Tanto a média como o desvio padrão, em algumas situações, podem

não ser medidas adequadas para representar um conjunto de valores

pelos motivos que se seguem:

• são afetados por valores extremos; • não fornecem uma ideia da assimetria da distribuição.

Para contornar esses fatos, é sugerida a análise conjunta de cinco

medidas: a mediana, os quartis Q 1 e Q3 (também chamados de juntas J e J ), o valor mínimo e o valor máximo do conjunto de valores 1 3

que se quer analisar (vide quadro).

 

Descrição Valores

Mediana Q2

Juntas Q1 Q3

Extremos Xmín Xmáx

Esse conjunto de valores é chamado de esquema dos cinco

números e são medidas resistentes porque são pouco afetadas por mudanças em pequena parcela dos dados. A comparação entre as distâncias dessas medidas fornece informações importantes sobre o tipo de distribuição. Para uma distribuição simétrica (vide figura seguinte) é de se esperar que:

 

• Q − X ≅ Q − X ; 1 mín 3 máx • Q2 − Q1 ≅ Q3 − Q2;

as distâncias entre a mediana e as juntas sejam menores que

• extremos e juntas, ou seja:

(Q2 − Q1 ≅ Q3 − Q2) < (Q1 − Xmín ≅ Q3 − Xmáx)

Com base no que foi descrito, questionar a forma da distribuição

do conjunto de valores que apresentou os seguintes resultados:

 

Descrição Valores

Mediana 12

Juntas 8 13

Extremos 5 24

Solução:

Calculemos as distâncias:

Q1 − Xmín = 8 − 5 = 3;

X máx − Q3 = 24 − 13 = 11;

Q2 − Q1 = 12 − 8 = 4;

Q − Q = 13 − 12 = 1. 3 2

Portanto, as distâncias calculadas revelam de forma clara a não

normalidade dos dados. ✓

1.48 Considere o conjunto de notas referentes aos alunos da disciplina

Estatística II.

6,0 5,0 4,0 7,0

8,0 10,0 3,0 8,0

5,0 4,0 9,0 7,0

Determine:

a. A média e o desvio padrão das notas.

b. Encontre a nota padronizada de cada aluno utilizando a variável

reduzida Z:

 

c. Se alguma das notas brutas dos alunos for inferior a − 2σ ou

superior a + 2σ, ela será considerada atípica. Existe algum aluno nessa situação?

d. Se um aluno obtém nota padronizada 0,5, qual sua nota bruta

correspondente?

e. Qual a porcentagem de alunos com nota abaixo da média?

Solução:

a.

 

b. A nota padronizada de cada aluno será obtida substituindo a nota

bruta X na variável Z descrita a seguir:

 

Os resultados estão dispostos na tabela seguinte:

 

−0,14 −0,62 −1,10 0,33

0,81 1,76 −1,57 0,81

−0,62 −1,10 1,29 0,33 ✓

c. Pode-se observar que todos os alunos possuem notas no intervalo

± 2σ, ou seja, todas as notas encontram-se no intervalo 6,3 ±

4,2. ✓

d.

e. Alunos com nota abaixo de 6,3 são em número de seis. Portanto,

seis em relação ao total de alunos corresponde a 50 %. ✓

1.49 Considere as séries estatísticas:

X: X , X , X , …, X , com média aritmética e geométrica 1 2 3 n

 

∀ X i > 0.

Y: log X1, log X2, log X 2 3 , …, log X n , com média e variância σ.

Mostre que:

a. a média aritmética pode ser calculada por:

= log G

b. a variância σ2 pode ser escrita como:

 

Solução:

a.

b.

 

1.50 Considere a tabela a seguir demonstrando a receita, o custo e o lucro

(expressos em $) para a produção de determinado bem de consumo.

 

Produção Receita Custo variável Custo total Lucro

1 2,00

2 3,50

3 4,50

4 5,75

5 7,25

6 9,25

7 12,50

8 17,50

a. Sabendo-se que o preço de mercado é da ordem de $ 5,00 e o

custo fixo $ 15,00, pede-se calcular os valores da receita, custo total e o lucro para os diferentes níveis de produção.

b. Encontrar o nível de produção que maximiza o lucro.

c. Determinar os valores médios para receita, custo e lucro para as

unidades produzidas.

Solução:

a. Cálculo da receita:

Sabemos que a receita R é igual ao produto do preço de mercado P

pelo respectivo nível de produção Q, ou seja:

R = P × Q = 5 × Q

pois os preços de mercados são iguais a $ 5,00 para os diversos níveis

de produção.

Assim, para o nível de produção Q = 1 teremos uma receita igual

a 5 × 1 = $ 5; para Q = 2 teremos 5 × 2 = $ 10, e assim, sucessivamente.

Cálculo do Custo Total:

O custo total CT é definido como a soma dos custos fixos CF e custos

variáveis CV, que, em termos matemáticos, exprime-se por:

CT = CF + CV

No caso específico:

CT = 15 + CV

visto que os custos fixos são iguais a $ 15.

Portanto, para o nível de produção Q = 1 obtemos um custo total

igual a 15 + 2 = $ 17; para Q = 2 obtemos 15 + 3,5 = $ 18,50, e assim por diante.

Cálculo do Lucro:

Para se calcular o lucro L obtido para os diversos níveis de produção

basta subtrair da receita R seu respectivo custo total CT:

L = R − CT

Agindo dessa forma, podemos chegar aos resultados constantes

na tabela seguinte:

 

Produção Receita Custo variável Custo total Lucro

1 5,00 2,00 17,00 –12,00

2 10,00 3,50 18,50 –8,50

3 15,00 4,50 19,50 –4,50

4 20,00 5,75 20,75 –0,75

5 25,00 7,25 22,25 2,75

6 30,00 9,25 24,25 5,75

7 35,00 12,50 27,50 7,50

8 40,00 17,50 32,50 7,50

36 180,00 62,25 182,25 –2,25

b. Observando a coluna demonstrativa do lucro na tabela anterior,

fica claro que o lucro é máximo quando se produz sete ou oito unidades (lucro de $ 7,50). É conveniente ressalvar que a

aparente indeterminação do nível do produto que maximiza o lucro é devido aos dados discretos utilizados no problema! ✓

c. Cálculo dos valores nédios

Receita média:

 

Custo médio:

 

Lucro médio:

 

1.51 No período orçamentário de 20XX, a Empresa Savanah S.A.

mantinha a estrutura média de custo abaixo:

 

Custos fixos previstos $ 6.376.350,00 Preço unitário de venda $ 15,00 Custo unitário variável $ 10,00

Pede-se calcular o ponto de equilíbrio de venda:

a. medido em unidades do produto;

b. medido em $.

Solução:

O ponto de equilíbrio é definido como aquele em que as curvas

da receita e do custo total se interceptam. Tal ponto pode ser

expresso tanto em unidades do produto como em unidades monetárias, como veremos a seguir:

a. chamando de q o número de unidades produzidas, temos:

 

Receita total 15q Custos fixos previstos 6.376.350 Total de custos variáveis 10q

Pelo que ficou exposto, concluímos que:

15q = 6.376.350 + 10q

15q − 10q = 6.376.350

5q = 6.376.350

q = 1.275.250 unidades ✓

b. para encontrar o ponto de equilíbrio, medido em $, faz-se

necessário apenas multiplicar a quantidade q, calculada no item anterior, pelo preço unitário de venda:

1.275.270 × 15 = $ 19.129.050,00 ✓

1.52 A Cia. Equilibrada Ltda. fabrica somente dois produtos: A e B. Os

custos indiretos de fabricação em um determinado mês, distribuídos

por departamentos de produção D 1, D2 e D3, foram os seguintes:

Valor por departamento – em $ 1,00

Custos indiretos

D 1 D2 D3

Mão de obra indireta 50 30 60

Energia elétrica 20 5 35

Manutenção 5 20 15

Outros 15 5 35

Total 90 60 145

A empresa deseja ratear esses custos indiretos de fabricação

entre os produtos fabricados de acordo com o número de horas trabalhadas nesse mês, conforme mostra o quadro a seguir:

 

Número de horas trabalhadas

Produto fabricado

D D D 1 23

A 30 10 –

B 15 5 40

Total 45 15 40

Você, como consultor dessa empresa, como poderia determinar

esses valores?

Solução:

Inicialmente, deve-se calcular o custo médio indireto de

fabricação para cada departamento:

Portanto, tomando o número de horas trabalhadas por produto e

respectivo departamento, obteremos os custos indiretos rateados CA e C : B

CA = (30h × $ 2/h) + (10h × $ 4/h) = $ 100 ✓ C = (15h × $ 2/h) + (5h × $ 4/h) + (40h × $ 3,625/h) = $ 195 ✓ B

1.53 Para fabricar determinada máquina são necessárias cinco fases de

operações especializadas, com as respectivas durações:

Número

Fase

Operários Dias

A 6 3

B 5 2

C 9 1

D 4 5

E 2 4

Pergunta-se: em que unidade se deve exprimir a fabricação?

Solução:

Observe-se que exprimir a fabricação em operários não satisfaz,

porquanto fica dependendo do número de dias e vice-versa. Pode-se adotar, então, uma unidade alternativa, que será operários-dia:

(6 × 3) + (5 × 2) + (9 × 1) + (4 × 5) + (2× 4) = 65 operários-dia.

Significa dizer que 65 operários fabricam uma máquina por dia,

ou que um operário gasta 65 dias para fabricar uma máquina.

1.54 Alexandra afirma que o volume de cheques devolvidos no comércio

diminuiu, porque, em 2008, atingia 8 % do total das vendas efetuadas

com cheques e, em 2009, apenas chegou a 3 %. A conclusão está

correta? Justifique.

Solução:

A afirmação é incorreta porque não se pode comparar 8 % de um

total com 3 % de outro total diferente. É perfeitamente possível que os 3 % de vendas em 2008, fazendo parte de um total de vendas muito grande, sejam maiores que os 8 % de vendas efetuadas em 2009.