Exercícios Propostos

5.1 O submarino Malik I dispara cinco torpedos em cadência rápida

contra o navio Pégaso. Cada torpedo tem probabilidade igual a 75 %

de atingir o alvo. Qual a probabilidade de o navio receber pelo menos

um torpedo?

5.2 A probabilidade de recuperação de uma cápsula registradora de

dados, montada em um balão meteorológico, é igual a 90 %.

Lançados sete balões, qual a probabilidade de serem recuperadas

exatamente cinco cápsulas?

5.3 A probabilidade de um sapato apresentar defeito de fabricação é de 2

%. Para um par de sapatos ser rejeitado pelo controle de qualidade

basta que um dos pés, direito ou esquerdo, apresente defeito. Em uma

partida de 10.000 pares, qual o valor esperado e o desvio padrão do

número de pares totalmente defeituosos?

5.4 Certa empresa fabricante de artigos para desenho resolveu inserir em

seus produtos determinados tipos de lápis, cujos grafites são

importados. Esses grafites vêm acondicionados em embalagens

contendo seis unidades cada. Após a primeira remessa recebida,

verificou-se que 3 % deles são recebidos com quebra. Calcular a

probabilidade de:

a. menos da metade dos grafites de certa caixa apresentarem

defeitos;

b. no mínimo três caixas, de um grupo de oito, apresentarem um

grafite quebrado.

5.5 Uma organização de testes deseja avaliar o peso de determinado

produto e verificar se está de acordo com as especificações da

embalagem. Para tal, seleciona, aleatoriamente uma amostra de cinco

embalagens do mesmo produto no estoque e classifica a marca

satisfatória se nenhum dos produtos apresentar diferenças entre peso

versus especificação da embalagem nessa amostra. Sabe-se que,

anteriormente, esse mesmo produto apresentou uma diferença no

peso de 10 % por unidade produzida. Calcular a probabilidade de

que:

a. o peso venha a ser considerado novamente insatisfatório na

amostra;

b. no máximo uma amostra, de um grupo de seis amostras desse

produto, venha a ser considerado satisfatório;

c. apenas duas amostras, do mesmo grupo de seis, tenha no mínimo

dois produtos com pesos diferentes das especificações por amostra.

5.6 Uma pesquisa de opinião pública revelou que 1/4 da população de

determinada cidade assiste regularmente à televisão. Colocando 300

pesquisadores, cada um entrevistando 10 pessoas diariamente, fazer

uma estimativa de quantos desses pesquisadores informarão que até

50 % das pessoas entrevistadas são realmente telespectadoras

habituais.

5.7 Se a probabilidade de ocorrência de uma peça defeituosa é de 20 %,

determinar a média e o desvio padrão da distribuição de peças

defeituosas de um total de 600.

5.8 Determinada empresa tem quatro eventuais compradores de seu

produto que pagam preços em função da qualidade:

• o comprador A paga $ 1300 por peça, se em uma amostra de

cinco peças não encontrar nenhuma defeituosa, e $ 650 pelo restante;

• o comprador B paga $ 900 por peça, desde que encontre no

máximo uma peça defeituosa em cinco peças, pagando pelo restante $ 700;

• o comprador C paga $ 620 por peça, aceitando até três

defeituosas em uma amostra de cinco, e paga pelo restante $ 430;

• o comprador D não exige nenhuma inspeção, mas paga apenas $

540 por peça.

Qual dos compradores não deveria ser escolhido pelo

empresário, se ele sabe que, na produção, 8 % são totalmente defeituosas?

5.9 A Empresa Spelunke S.A. adota o seguinte critério no setor de

controle de qualidade: para cada lote de 90 unidades de seu produto,

testa, por amostragem, apenas oito. O critério de avaliação final é

feito da seguinte maneira: se forem encontradas no máximo duas

peças defeituosas, o lote é aceito normalmente. Do contrário, deve-se

passar por outra inspeção. Admitindo-se a existência de três peças

defeituosas por lote, calcular:

a. a probabilidade de não haver inspeção total em certo lote;

b. a probabilidade de somente dois lotes, de um grupo de cinco

lotes iguais, apresentarem, no máximo, uma peça defeituosa por lote;

c. se o custo operacional para cada lote for de $ 600,00, estimar o

custo médio de inspeção para 60 lotes recebidos.

5.10 Dois terços da população de certo município não assistem

regularmente a programas de televisão. Colocando-se 400

pesquisadores, cada um entrevistando oito pessoas, estimar quantos

desses pesquisadores informarão que até duas pessoas são

telespectadoras habituais.

5.11 O fluxo de carros que passam em determinado pedágio é 1,7 carro

por minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente dois carros

em dois minutos?

5.12 Uma pesquisa científica revelou que para cada mil pessoas

entrevistadas, uma está sujeita a choques traumáticos quando da

aplicação de penicilina. Determine a probabilidade de que, entre três

pessoas entrevistadas ao acaso, uma sofra aquele choque nas mesmas

condições.

5.13 Sabe-se por experiência que 1,5 % das pastilhas de freio fabricadas

por determinada empresa apresentam defeito. O controle de qualidade

da empresa, para tal, escolheu cem peças de pastilhas ao caso.

Determinar a probabilidade de que:

a. no máximo duas sejam defeituosas;

b. pelo menos duas apresentem defeitos.

5.14 Uma editora apresenta a probabilidade de se encontrar uma página

editada com erro igual a 0,8 %. Em um livro de 500 páginas,

determinar a probabilidade de se encontrar, no máximo, quatro

páginas com correção.

5.15 Um distribuidor de gasolina tem capacidade de receber, nas

condições atuais, no máximo três caminhões por dia. Se chegarem

mais de três caminhões, o excesso deve ser enviado a outro

distribuidor, e, nesse caso, há uma perda média de $ 800 por dia em

que não se podem aceitar todos os caminhões. Sabendo-se que o

número de caminhões que chegam diariamente obedece à distribuição

de Poisson de média 2, calcular:

a. a probabilidade de chegarem de três a cinco caminhões no total

de dois dias;

b. a probabilidade de, em certo dia, ser necessário enviar caminhões

para outro distribuidor;

c. a perda média mensal (30 dias) por causa de caminhões que não

puderam ser aceitos.

5.16 Ao decolar de um porta-aviões, determinado avião tem probabilidade

igual a 0,02 % de se perder por queda no mar. Qual a probabilidade

de haver dois ou mais acidentes dessa natureza em 500 decolagens?

5.17 Uma loja vende, em média, 2,5 fogões por dia. Certo dia, ao encerrar

o expediente, verifica-se existirem três fogões em estoque, e sabe-se

que a nova remessa só chegará após dois dias. Qual a probabilidade

de, ao final desses dois dias, a loja não ter deixado de atender, por

falta de estoque, às pessoas que vierem comprar?

5.18 O número de rádios vendidos por dia por uma empresa de

eletrodomésticos possui uma distribuição aproximadamente de

Poisson com média 2. Calcule a probabilidade de a firma vender ao

menos três rádios em um período de dois dias.

5.19 A máquina X produz por dia o dobro de peças que são produzidas

pela máquina Y. Sabe-se também que as peças defeituosas fabricadas

pelas máquinas X e Y são 6 % e 3 %, nessa ordem.

Qual a probabilidade de em um lote de 10 peças extraídas ao

acaso da produção total:

a. haver duas peças defeituosas;

b. haver entre duas e cinco peças defeituosas, inclusive;

c. qual o número esperado de peças defeituosas em um lote de 100?

5.20 Impostos pagos por uma grande amostra de contribuintes distribuem-

se normalmente de tal forma que 30 % são inferiores a $ 1200,00 e 10

% são superiores a $ 3000,00. Pede-se determinar o imposto médio.

5.21 No engarrafamento do refrigerante Ki Kola, a quantidade de líquido

colocada na garrafa é uma variável de média 292 cm cúbicos e desvio

padrão de 1,1 cm3. Garrafas com menos de 290 cm3 são devolvidas

para que o enchimento seja concluído. Calcular a porcentagem de

garrafas devolvidas.

5.22 Uma máquina de empacotar determinado produto oferece variações

de peso que se distribuem com um desvio padrão de 20 g. Em quanto

deve ser regulado o peso médio desses pacotes para que apenas 10 %

deles tenham menos que 500 g?

5.23 Uma peça cromada resiste a um ensaio de corrosão por três dias, em

média, com desvio padrão de cinco horas.

Pede-se calcular:

a. a probabilidade de uma peça resistir menos de 3,5 dias;

b. a probabilidade de uma peça resistir de 60 a 70 horas;

c. sabendo-se que 10 % das peças resistem menos que certo valor,

determiná-lo.

5.24 Em uma distribuição normal, 30 % dos elementos são menores que

45 e 10 % são maiores que 64. Calcular os parâmetros que definem a

distribuição (média e desvio padrão).

5.25 O consumo de gasolina por km rodado, para certo tipo de carro, em

determinadas condições de teste, tem uma distribuição normal média

de 100 ml e desvio padrão de 5 ml. Pede-se calcular a probabilidade

de:

a. um carro gastar de 95 a 110 ml;

b. em um grupo de seis carros, tomados ao acaso, encontrarmos três

carros que gastaram menos de 95 ml;

c. idem, todos terem gasto menos que 110 ml.

5.26 Para uma família de certo status econômico, as despesas alimentação

(A), educação (E), saúde (S) e habitação (H), bem como os desvios

padrões, estão mostrados na tabela a seguir:

Tipo de despesas

Estatísticas Unidade A E S H

Média $ 140 100 50 65

Desvio padrão $ 18 15 12 14

Admitindo normalidade para essas despesas, em uma cidade de

100.000 famílias, das quais 20 % pertencem a esse status, calcular o

número de famílias desse status em que o gasto mensal total com essas despesas:

a. seja maior que $ 420;

b. esteja entre $ 300 e $ 360;

c. sabendo que 5 % das famílias desse status têm gastos acima de

certo valor. Determiná-lo.

5.27 Certo produto tem peso médio de 10 g, com desvio padrão de 0,5 g.

Ele é embalado em caixas de 120 unidades que pesam, em média,

150 g e desvio padrão 8 g. Determine a probabilidade de que uma

caixa cheia pese mais de 1370 g.

5.28 Para n fixado, a variância de uma distribuição binomial B(n,p) é

apenas função de p. Mostre, então, que a variância é máxima para p =

0,50.

5.29 Pequenos defeitos em folhas de compensado ocorrem ao acaso na

média de uma falha por metro quadrado. Determine a probabilidade

de que uma folha de 1,50 m × 2,20 m apresente no máximo duas

falhas.

5.30 A voltagem média de uma bateria é de 15,0 volts, com desvio padrão

de 0,2 volt. Qual a probabilidade de quatro dessas baterias ligadas em

série terem uma voltagem combinada maior que 60,8 volts?

5.31 Uma máquina produz esferas metálicas cujo diâmetro D (medido em

mm) é uma variável aleatória aproximadamente normal de valor

esperado 9 mm e desvio padrão 0,35 mm. Toda esfera produzida é

testada em dois calibres: um de 9,5 mm e o outro de 8,5 mm, sendo

aceita pelo controle de qualidade se passar pelo maior e não passar

pelo menor, do contrário é rejeitada. Escolhidas duas esferas, qual a

probabilidade de pelo menos uma ser rejeitada?

5.32 Se 3 % das canetas de certa marca são defeituosas, determinar a

probabilidade de que em uma amostra de 10 canetas escolhidas ao

acaso dessa mesma marca, tenhamos:

a. nenhuma defeituosa;

b. três defeituosas;

c. pelo menos duas defeituosas;

d. no máximo três defeituosas.

5.33 Determinado atacadista verificou, estatisticamente, que metade de

seus clientes solicita que os pedidos sejam entregues em domicílio e

outra metade vai retirar diretamente seus pedidos no depósito. Para

fazer frente aos crescentes pedidos, o comerciante adquire três

veículos, recebendo em média cinco pedidos de entrega diária. Qual a

probabilidade de o comerciante não poder atender aos pedidos de

entregas domiciliares?

5.34 Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na

universidade se formar é de 9,5 %. Determinar a probabilidade de que

entre seis estudantes escolhidos aleatoriamente:

a. nenhum se forme;

b. pelo menos dois se formem.

5.35 O Supermercado Vende Tudo Ltda. recebe, em média, quatro pedidos

diários de um produto perecível. O preço de custo é de $ 30 por

unidade; o preço de venda é de $ 90 por unidade, e o produto não

vendido no dia é devolvido, conseguindo-se $ 40 por unidade.

Estudar, em termos de lucro médio diário, qual o melhor contrato de

compra pelo qual o supermercado deve optar: quatro ou cinco

unidades por dia?

5.36 Um teste de múltipla escolha consiste em 100 quesitos, cada um deles

com quatro alternativas, das quais apenas uma é correta. Um

estudante é submetido ao teste. Se ele conhece as respostas corretas

de 20 quesitos e, para responder as restantes, apela para a sorte, qual

é a probabilidade de que o aluno acerte entre 45 e 50 quesitos no

total?

5.37 O tempo de vida de transistores produzidos pela Indústria Zeppelin

Ltda. tem distribuição aproximadamente normal, com valor esperado

e desvio padrão igual a 500 horas e 50 horas, respectivamente. Se o

consumidor exige que pelo menos 95 % dos transistores fornecidos

tenham vida superior a 400 horas, pergunta-se se tal especificação é

atendida. Justifique.

5.38 As chegadas de carros a um posto de gasolina para abastecimento

entre as 10h00min e as 16h00min do dia ocorrem de acordo com os

postulados de Poisson. Se no transcurso de tal período apresentam-se

por hora uma média de 30 carros, qual a probabilidade de nenhum se

apresentar em certo intervalo de cinco minutos?

5.39 O Departamento de Atendimento da Empresa Mondubim Ltda. está

dimensionado a poder atender, no período diário normal, até cinco

pedidos de clientes. Se houver mais de cinco pedidos, o pessoal deve

recorrer a horas extras para cumprir o atendimento. Sabendo-se que o

número de pedidos que chegam diariamente são distribuídos segundo

Poisson de média 4,2 pedidos, calcular:

a. a probabilidade de fazer horas extras em certo dia;

b. sendo o custo diário de horas extras de $ 4500, qual será o custo

médio semanal em virtude delas? Considerar semana de seis dias.

5.40 A Companhia de Aviação Libélula Ltda. pode acomodar 300

passageiros em um de seus aviões: 30 na primeira classe e 270 na

classe econômica. Se essa companhia reservar 30 lugares na primeira

classe e 290 na classe econômica, e se a probabilidade de não

comparecimento de quem faz uma reserva for de 10 %, pede-se a

probabilidade de que todos os passageiros que comparecerem sejam

acomodados, se os lugares da primeira classe puderem ser usados

pelos passageiros de turismo.

5.41 Uma distribuição binomial possui média igual a 3 e variância 2.

Calcule P(X ≥ 2).

5.42 Uma amostra de três objetos é escolhida aleatoriamente sem

reposição de uma caixa contendo 12 objetos dos quais três são

defeituosos. Encontre o número esperado de peças defeituosas.

5.43 Considere a distribuição binomial . Demonstre que:

 

5.44 A Empresa Equilibrada Ltda. possui um computador operando em

full-time. O número de defeitos é uma variável aleatória que se supõe

possuir uma distribuição de Poisson, com média igual a 0,02 defeito

por hora. Sabe-se que o computador operou satisfatoriamente entre

18h00min e 20h00min de determinado dia, e findo esse período foi

iniciado o processamento de uma folha de pagamento para o que se

exigiu um tempo de cinco minutos. Qual a probabilidade de o

processamento ter sido concluído no tempo previsto sem interrupção

por defeito de máquina?

5.45 A Companhia de Seguros Vida Mansa possui 10.000 apólices

referentes a acidentes de trabalho. Sabe-se que, por ano, a

probabilidade de determinado indivíduo morrer de acidente de

trabalho é de 0,01 %. Qual a probabilidade de a companhia ter de

pagar por ano a pelo menos quatro de seus segurados?

5.46 A Empresa Equilibrada Ltda. possui duas máquinas de alta tecnologia

trabalhando full-time. Sabe-se que a máquina ① produz o dobro das

peças produzidas pela máquina ② . Se a porcentagem de peças

defeituosas produzidas pelas máquinas ① e ② são, respectivamente,

0,6 % e 0,3 %, pede-se:

a. a probabilidade de que, em uma amostra de 10 peças extraídas

aleatoriamente da produção conjunta, haja duas peças defeituosas.

b. o número esperado de peças defeituosas em uma amostra de

1000.

5.47 Pressupondo que, na produção diária de determinada espécie de

corda, o número de defeitos por cada 3 metros, X, tem uma

distribuição de Poisson com média 2, o lucro Y (em $) por 3 metros

de corda vendida é dado por:

Y = 50 − 2X − X2.

Qual o lucro esperado por cada 3 metros?

5.48 Deseja-se estimar o número N (desconhecido) de peixes de um açude

por meio do seguinte critério: capturam-se n peixes, todos recebendo

uma marca de identificação indelével. Os n peixes marcados são

devolvidos ao açude e, depois de algum tempo, faz-se uma segunda

captura de m peixes.

a. Calcular a probabilidade P(N), em função de N, de haver k

peixes marcados nessa segunda amostra de tamanho m.

b. Seja k o número de peixes marcados efetivamente encontrados

na segunda captura. Desse modo, , em que [w]

representa o maior inteiro que é menor ou igual ao número real w, é a estimativa de máxima verossimilhança de N, ou seja, o número mais provável de peixes no lago. Calcular para n = m = 2000 e k = 321.