Exercícios Resolvidos

6.1 Considere duas variáveis X e Y cuja amostra de cinco pares de

 

observações está expressa na tabela seguinte:

X 10 K 30 40 50

Y 06 08 07 08 06

Pede-se determinar o valor de K para que ocorra ausência de

relação linear entre as variáveis X e Y.

Solução:

Ora, se as variáveis X e Y são ditas não correlacionadas, o

coeficiente angular da reta ajustada:

= a + bX = + b(X − )

será nulo, evidentemente. Assim sendo, a reta ajustada fica reduzida

a:

=

Sabemos que a fórmula genérica que nos permite calcular o

coeficiente angular da reta precedente é dada por:

 

Portanto, se b = 0, então o numerador em (I) será nulo:

 

Substituindo os valores da tabela em (II), encontramos:

5 × [890 + 8 K] = [130 + K] × 35

890 + 8 K = 7 × [130 + K]

890 + 8 K = 910 + 7 K ∴ K = 20 ✓

6.2 As exportações de castanha in natura, processadas pela Empresa

Yasmin Ltda. no período que se estende de 1983 a 1989 encontram-se

na tabela a seguir em que a variável quantidade está expressa em

toneladas:

Ano 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989

Quantidade 50 46 36 31 25 11 18

Pede-se:

a. a equação de regressão linear da quantidade sobre o tempo;

b. o coeficiente de correlação linear;

c. a quantidade estimada para a exportação em 1990;

d. a variação (%) da quantidade exportada em 1990 relativamente

ao ano de 1988.

Solução:

Com o objetivo de evitar um grande número de contas, façamos

a mudança de variável seguinte:

X i = ti − t0 , (ti = 1983, 1984, …, 1989)

em que ti são os valores da variável independente tempo e t0 uma

constante arbitrária, no caso, t 0 =1986.

Consideremos então o quadro auxiliar:

 

t i Xi Yi XiYi

1983 −3 9 50 −150 2500,00

1984 −2 4 46 −92 2116,00

1985 −1 1 36 −36 1296,00

1986 0 0 31 0 961,00

1987 1 1 25 25 625,00

1988 2 4 11 22 121,00

1989 3 9 18 54 324,00

Total 0 28 217 −177 7943,00

Cálculos auxiliares para os coeficientes:

n = 7

 

a. Equação da reta de regressão:

 

a = − b × = 31 − (-6,32) × 0 = 31;

Logo, = 31 − 6,32X ✓

b. Coeficiente de correlação linear:

Tal valor indica a existência de forte correlação linear negativa

entre as variáveis.

c. Estimativa para 1990:

(4) = 31 − 6,32 × 4 = 5,72 toneladas ✓

ou seja, em 1990, espera-se uma exportação de somente 5,72

toneladas de castanha in natura.

d. Sabemos que q88 = 11 t e q90 = 5,72 t

Logo,

o que vem indicar um decréscimo na quantidade exportada em 1990,

em torno de 48 %, quando comparada ao ano de 1988.

6.3 A Empresa Squadrus Ltda., fabricante de implementos agrícolas de

alta tecnologia, realizou um levantamento do custo total de um de

seus produtos (Y), expresso em $ 1000,00, em função do número total

de peças produzidas (X), expresso em unidades, durante cinco meses,

com o objetivo de montar uma regressão linear simples entre essas

variáveis, obtendo os somatórios:

 

Nessas condições, pede-se:

a. a reta que melhor se ajuste a esses dados;

b. o valor do coeficiente de correlação linear;

c. o valor mais provável dos custos fixos;

d. o valor estimado do custo variável para uma produção de 500

unidades;

e. admitindo-se um preço de venda de $ 3000, por unidade, estimar

a quantidade mínima a ser produzida para que se obtenha um lucro de $ 80.000.

Solução:

Cálculos auxiliares para os coeficientes:

n = 5

 

a. Equação da reta de regressão:

 

a = − b × = 24 − 0,162 × 88 = 9,744

Logo, = 9,744 + 0,162X ✓

b. Coeficiente de correlação linear:

 

indicando a existência de forte correlação linear entre as variáveis em tela.

c. Estimativa para os custos fixos:

(0) = 9,744 + 0,162 × 0 = 9,744 ✓

Logo, os custos fixos totalizam $ 9744.

d. Estimativa para o custo variável:

Para X = 500 unidades temos:

CV = 0,162 × 500 = 81 ✓

Donde se conclui que o custo variável perfaz a quantia de,

aproximadamente, $ 81.000,00.

e. Seja Q a quantia procurada.

Segue-se que:

Lucro = Receita − Custo total

80.000 = 3000 Q − (9744 + 162 Q)

80.000 = 3000 Q − 9744 − 162 Q

2838 Q = 89.744 ∈ Q ≅ 32 ✓

Portanto, é necessária a produção de 32 unidades desse produto.

6.4 Ajustar os dados do gráfico a seguir por meio de uma função potência

V = APB, em que V = vendas, P = gastos em propaganda e A, B são

parâmetros a estimar (V expresso em 10.000 unidades, P em $ 1000)

e calcular o coeficiente de correlação linear. A seguir, construa uma

tabela demonstrando a diferença entre os valores observados e

esperados segundo o modelo estimado.

 

Solução:

Como V = APB, obtemos, tomando logaritmos decimais:

Log V = Log A + B Log P

Fazendo, Log V = Y, Log A = K e Log P = X a equação anterior

pode ser escrita como:

Y = K + B X

em que P e V estão representados na tabela a seguir:

P 61,20 49,50 37,60 28,40 19,20 10,10

V 54,30 61,80 72,40 88,70 118,60 194,00

Considere o quadro auxiliar:

 

X i Yi XiYi

1,7868 3,1925 1,7348 3,0997 3,0095

1,6946 2,8717 1,7910 3,0350 3,2076

1,5752 2,4812 1,8597 2,9294 3,4586

1,4533 2,1121 1,9479 2,8310 3,7944

1,2833 1,6469 2,0741 2,6617 4,3018

1,0043 1,0087 2,2878 2,2977 5,2340

8,7975 13,3130 11,6953 16,8544 23,0061

Cálculos auxiliares para os coeficientes:

n = 6

Equação da reta de regressão:

 

 

K = − B × = 1,4662 + 1,4074 × 1,9492 ≅ 4,2095

Portanto, Y = 4,2095 – 1,4074 X

Ou ainda, = 16.199,43 P−1,4074 ✓

Coeficiente de correlação linear:

 

Tabela comparativa entre vendas e gastos com propaganda:

 

Gastos com Vendas Diferença

propaganda (B − A) Observado A Observado B

61,2 54,3000 49,5251 −4,77

49,5 61,8000 66,7594 4,96

37,6 72,4000 98,3061 25,91

28,4 88,7000 145,9149 57,21

19,2 118,6000 253,1521 134,55

10,1 194,0000 625,1984 431,20

6.5 Mostre que a reta de regressão linear simples passa sempre pelo

ponto ( , ),

 

em que

 

Solução:

1o caso: X é a variável independente.

A equação da reta de mínimos quadrados é dada por:

 

Sabemos, também, que uma equação normal para a reta de

mínimos quadrados é dada por:

 

Dividindo ambos os membros de (II) por n observações,

obtemos:

Desse ponto, subtraindo (III) de (I), temos a reta de mínimos

quadrados:

 

o que vem mostrar que a reta passa pelo ponto. Tal ponto é

conhecido, normalmente, por centroide.

2o caso: Y é a variável independente.

Como no caso 1o, com X e Y permutados entre si, e as constantes

a e b, substituídas por A e B, respectivamente, obtemos a equação de mínimos quadrados:

 

Logo, a reta também passa pelo ponto

Convém lembrar que, em geral, as retas (IV) e (V) não são

coincidentes, mas se interceptam no centroide.

6.6 Estudando-se a regressão linear simples dos preços unitários de

determinado produto Y (em $) sobre o tempo X (em anos), obteve-se

a equação:

Ŷ = k + 0,98X

Sabendo-se que a média dos tempos é de seis anos e a média dos

preços é de $ 6,00, pede-se determinar o valor do intercepto k.

Solução:

Sabemos que a reta passa pelo ponto ( , ) conforme o

problema precedente.

Assim acontecendo, podemos escrever:

6 = k + 0,98 × 6

6 = k + 5,88

k = 6 − 5,88 ∴ k = 0,12 ✓

6.7 O quadro a seguir apresenta o número de bactérias por unidade de

volume (V) presente em uma cultura ao cabo de X horas.

 

X 0 1 2 3 4 5 6

Y 32 47 65 92 132 190 275

a. Ajuste uma curva de mínimos quadrados da forma V = abX aos

dados.

b. Compare os valores de Y assim obtidos com os valores

observados.

c. Estime o valor de Y para X = 7 horas.

Solução:

a. Como V = abx, obtemos, tomando logaritmos decimais:

Log V = Log a + X Log b

Fazendo Log V = Y, Log a = K e Log b = R, a equação anterior

pode ser escrita como:

Y = K + R X

Considere o quadro auxiliar:

 

X i Yi XiYi

0,0000 0,0000 1,5051 0,0000 2,2655

1,0000 1,0000 1,6721 1,6721 2,7959

2,0000 4,0000 1,8129 3,6258 3,2867

3,0000 9,0000 1,9638 5,8914 3,8565

4,0000 16,0000 2,1206 8,4823 4,4968

5,0000 25,0000 2,2788 11,3938 5,1927

6,0000 36,0000 2,4393 14,6360 5,9503

21,0000 91,0000 13,7926 45,7013 27,8444

Cálculos auxiliares para os coeficientes:

n = 7

Equação da reta de regressão:

 

K = − R = 1,97 − 0,1544X

Portanto, = 1,5068 + 0,1544X

OU anida, = 32,12 × 1,4263X ✓

b. Tabela comparativa entre os valores observados e esperados:

 

Valor Valor Y Diferença (B X – A ) Observado A Observado B

0 32,000 32,1200 0,1200

1 47,000 45,8320 –1,1680

2 65,000 65,3977 0,3977

3 92,000 93,3160 1,3160

4 132,000 133,1526 1,1526

5 190,000 189,9955 –0,0045

6 275,000 271,1045 –3,8955

c. Valor de para X = 7 horas:

(7) = 32,12 × 1,42697 ≌ 387 bactérias por unidade de 7

volume. ✓

6.8 Mostre que:

a. Quando se multiplica ou se divide um valor constante qualquer

pelo valor da variável X ou da variável Y, ou de ambas, o coeficiente de correlação não se altera:

r(aX, bY) = r(X, Y)

b. Quando se soma um valor constante qualquer a cada valor da

variável X ou da variável Y, ou de ambas, ou quando se subtrai esse mesmo valor da variável X ou da variável Y, ou de ambas, o coeficiente de correlação não se altera:

r(X + a, Y + b) = r(X, Y)

Solução:

a. Fazendo Z = aX e W = bY, teremos = a e = b .

Assim,

r(Z, W) = r(aX, bY) = r(X, Y) ✓

 

b. Fazendo Z = X + a e W = Y + b, obteremos e

, Dessa forma,

 

r(Z, W) = r(X + a, Y + b) = r(X, Y) ✓

6.9 Mostre que o coeficiente angular da reta de regressão é função da

intensidade da relação entre as variáveis X e Y, como também dos

desvios padrões dessas variáveis. Em outras palavras:

 

em que r é o coeficiente de correlação linear de Pearson e sx, sy são os

desvios padrões das variáveis X e Y.

Solução:

O coeficiente angular da reta de regressão é dado por:

 

A fórmula de Pearson para o cálculo do coeficiente de correlação

linear é definida por:

 

Substituindo (I) em (II) obtemos:

Dividindo o numerador e o denominador de (III) por

 

obtemos:

 

Portanto,

Nota: O resultado demonstrado indica que deve haver uma pequena

variação na variável X para que ocorra uma grande variação em Y.

6.10 O coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y é r = 0,60.

Sabendo que sx = 1,5, sy = 3, = 12 e = 22, determine a equação de

regressão de Y em relação a X.

Solução:

A solução consiste na utilização direta do resultado obtido no

problema anterior:

Portanto,

 

∴ = 7,6 + 1,27X ✓

6.11 O coeficiente de correlação obtido de uma amostra de n pares de

valores X i, Yi é r = 2/3. Sabendo que sx = 4 e sy = 6, determine o

coeficiente de regressão de Y em relação a X.

Solução:

A solução pode ser obtida utilizando também um dos resultados

demonstrados no exercício 9:

 

Portanto,

 

6.12 Para duas variáveis correlacionadas negativamente foram obtidos: sx

= 6, sy = 9, = 0, = 14 e R2 = 0,81. Determine a equação de

regressão de Y em relação a X.

Solução:

Lembrando que o coeficiente de correlação r é igual à raiz

quadrada do coeficiente de determinação, teremos:

r = ± = ±0,90 ∴ r = −0,90 (escolhe-se o valor negativo para

coeficiente de correlação, posto que as variáveis são correlacionadas

negativamente).

Utilizando o resultado obtido no exercício 9:

 

Obtemos:

 

= 14 − 1,35X ✓

6.13 Mostre que o coeficiente de correlação populacional ρ varia entre −1

e +1, ou seja, −1 ≤ ρ ≤ 1.

Solução:

A variância de qualquer valor é sempre não negativo, por

definição. Assim:

 

Usando a propriedade da variância, tem-se:

Portanto,

 

1 + ρ(X,Y) ≥ 0 ∴ ρ(X,Y) ≤ −1

1 − ρ(X,Y) ≥ 0 ∴ ρ(X,Y) ≤ +1

Ou ainda,

− 1 ≤ ρ ≤ 1 ✓

6.14 Considere r o coeficiente de correlação linear obtido entre uma

amostra de n pares X e Y em que Y é uma variável dicotômica

assumindo valores 0 e 1. Mostre que o coeficiente de correlação pode

ser escrito como:

 

Em que:

p : é a média dos valores de X para o grupo superior (grupo cuja

variável Y assume valor 1);

: é a média total de X da amostra;

s : é o desvio padrão total de X da amostra; x

p: é a proporção de casos do grupo superior (grupo cuja variável X

assume valor 1);

q: é a proporção de casos do grupo inferior (grupo cuja variável Y

assume valor 0).

Solução:

O estimador do coeficiente linear de Pearson pode ser escrito

por:

 

Mas é o desvio padrão da distribuição de Bernoulli

com q = 1 − p.

Sabemos também que:

 

Portanto,

 

Dividindo por n, temos:

 

Dividindo por temos: