Exercícios Propostos

3.1 Em uma pequena cidade de 5000 eleitores vai haver uma eleição com

os candidatos Tita e Niki. É feita uma prévia em que os 5000 eleitores

são entrevistados, sendo que 2501 já se decidiram, definitivamente,

por Tita. Determinar a probabilidade de que Niki ganhe a eleição.

3.2 No Grande Prêmio Cidade de El Mundo correm os animais: Pégaso,

Malik, Incitatus e Zeus. Estima-se que Pégaso tem probabilidade de

vencer o páreo tanto quanto Malik, possibilidade essa duas vezes

maior que a de Incitatus. Por outro lado, a probabilidade de Zeus

vencer o páreo é igual à probabilidade de Pégaso ou Incitatus vencer.

Determinar, para a situação descrita, a probabilidade de Pégaso ou

Malik vencer a corrida.

3.3 A probabilidade de três motoristas serem capazes de dirigir até suas

casas com segurança depois de ingerirem bebidas alcoólicas é 1/5,

1/6 e 1/2, respectivamente. Se decidirem dirigir até suas casas depois

de beberem em uma festa, qual a probabilidade de que:

a. todos os três motoristas sofram acidentes;

b. ao menos um dos motoristas dirija até sua casa a salvo. 3.4 Renata pode ir para a esquerda, para a direita ou em frente, ao chegar

a cada um dos cinco cruzamentos de um labirinto. Determine a

probabilidade de Renata atravessar o labirinto corretamente, havendo

somente um caminho correto possível.

3.5 Em um grupo de r pessoas escolhidas ao acaso, mostrar que a

probabilidade p de todas elas terem datas de aniversário diferentes,

supondo o ano de 365 dias, é:

 

3.6 Um retângulo está dividido em quadrados, dispostos em três filas e

quatro colunas, numeradas de 1 a 12, como mostra a figura a seguir.

São escolhidos dois quadrados, pelo sorteio dos números de 1 a 12.

01 02 03 04

05 06 07 08

09 10 11 12

Calcular a probabilidade dos seguintes eventos:

a. os quadrados escolhidos se acham sobre uma mesma coluna;

b. os quadrados escolhidos se acham tanto em linhas como em

colunas distintas;

c. os quadrados escolhidos têm números ímpares e não são

vizinhos.

3.7 Um paranormal chamado Hayma Landro diz que pode ler a mente

humana. Com o objetivo de provar isso, ele conduz uma sessão com

seis bilhetes numerados de um a seis. Uma pessoa concentra-se em

dois bilhetes numerados e Hayma Landro diz que lê sua mente e o

número desses bilhetes. Qual a probabilidade de ele acertar, se

sabemos que se trata de alguém que arrisca, sem base, uma resposta

ou uma afirmação?

3.8 Um grupo é constituído de 10 pessoas e nele se encontram Ele e Ela.

Se o grupo é disposto ao acaso em uma fila, determine a

probabilidade de que haja, exatamente, quatro pessoas entre Ele e

Ela.

3.9 Um prospector de petróleo perfura uma sucessão de poços em

determinada área com o objetivo de descobrir um poço produtivo. Se

a probabilidade de haver sucesso ao perfurar cada poço é de 30 %,

determine:

a. a probabilidade de o segundo poço perfurado ser o primeiro

produtivo;

b. a probabilidade de se localizar um poço produtivo sabendo-se

que o total de perfurações não resulta em mais que três poços.

3.10 De acordo com a cor dos olhos e dos cabelos, um grupo de moças é

classificado segundo a tabela a seguir:

 

Cor dos olhos

Cor dos cabelos

Azuis Castanhos

Loiro 18 08

Moreno 09 09

Ruivo 04 02

Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida

ao acaso, qual a probabilidade de ela ser:

a. loira?

b. morena de olhos azuis?

c. morena ou ter olhos azuis?

d. Está chovendo quando você encontra a garota. Seus olhos estão

parcialmente cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja da cor morena?

3.11 Madame Depré Siva, quando tem crises existenciais, escolhe, ao

acaso, um entre dois analistas de sua confiança. Se um deles tem

probabilidade de 3/5 de avaliar sua crise existencial e o outro 4/7.

Qual é a probabilidade de que a crise existencial de Madame Depré

Siva seja superada?

3.12 São emitidos 10.000 bilhetes da Loteria Ligeirinha, cada um custando

$ 1,00.

a. Se você compra dois bilhetes, de quantas maneiras diferentes

poderá escolhê-los?

b. Suponha que a casa lotérica emitente dos bilhetes escolha quatro

para serem premiados. Qual a probabilidade de que dois bilhetes comprados por você sejam premiados?

3.13 Quantas vezes deve uma moeda honesta ser jogada para que a

probabilidade de dar cara pelo menos uma vez seja igual ou maior

que 0,9?

3.14 Na cidade de Marimbá, apenas 20 % das pessoas não são favoráveis

ao desenvolvimento de um sistema de transporte de massa. Se cinco

cidadãos são escolhidos aleatoriamente entre a população dessa

comunidade, qual a probabilidade de todos os cinco serem favoráveis

a esse plano?

3.15 Em um colégio, 10 % dos homens e 5 % das mulheres têm mais que

1,80 m de altura. Por outro lado, 60 % dos estudantes desse colégio

são homens. Se um estudante, selecionado aleatoriamente, tem mais

que 1,80 m de altura, qual a probabilidade de ele ser do sexo

feminino?

3.16 As peças X, Y e Z de um carro, que na montagem devem ser

ajustadas, são fabricadas por diferentes empresas e têm,

respectivamente, 5 %, 2 % e 1 % de probabilidades de ser

defeituosas. Tomando ao acaso um conjunto montado, calcular a

probabilidade de que esse conjunto:

a. seja totalmente perfeito;

b. contenha somente a peça X defeituosa;

c. contenha pelo menos duas peças defeituosas.

3.17 Uma bolsa contém duas moedas de prata e quatro moedas de cobre;

uma segunda contém quatro moedas de prata e três moedas de cobre.

Se duas moedas forem selecionadas ao acaso e sem reposição de uma

das bolsas, pergunta-se: qual a probabilidade de elas serem do mesmo

metal?

3.18 A tabela a seguir dá a distribuição de probabilidades dos quatro tipos

de sangue de indivíduos em uma comunidade:

Probabilidades Tipos de sangue

A B AB O

De ter o tipo especi cado 0,30 X1 X2 X3

De não ter o tipo especi cado X 4 0,80 0,90 X5

Pede-se:

a. determinar os valores de Xj, para j = 1, 2, 3, 4, 5;

b. a probabilidade de que dois indivíduos sorteados ao acaso nessa

comunidade tenham: um, o tipo A, e outro, o tipo B;

c. a probabilidade de que um indivíduo sorteado ao acaso nessa

comunidade não tenha o tipo B ou não tenha o tipo AB.

3.19 Em uma população, o número de homens é igual ao número de

mulheres. Sabe-se que 6 % dos homens são daltônicos e 0,25 % das

mulheres são daltônicas. Se uma pessoa é selecionada ao acaso e

verifica-se que é daltônica, determine a probabilidade de que ela seja

do sexo feminino.

3.20 Duas máquinas A e B produzem peças idênticas, sendo que a

produção da máquina A é o triplo da produção da máquina B. A

máquina A produz 80 % de peças boas enquanto a máquina B produz

90 %. Se uma peça é selecionada aleatoriamente do estoque e

verifica-se que é boa, calcular a probabilidade de que tenha sido

fabricada pela máquina A.

3.21 Em uma fábrica existem três máquinas destinadas à produção de

parafusos. A primeira máquina produz diariamente 1000 parafusos, a

segunda máquina, 4000 e a terceira, 5000. Sabendo-se que a primeira

máquina produz 4 % de parafusos defeituosos, a segunda, 2 % e a

terceira, 1 % e tendo-se ao final do dia encontrado um parafuso

defeituoso, calcular a probabilidade de esse parafuso ter sido

produzido em cada uma dessas máquinas.

3.22 Oito crianças, entre elas Yara e Yasmin, são dispostas ao acaso em

uma fila. Qual a probabilidade de:

a. Yara e Yasmin ficarem juntas?

b. Yara e Yasmin ficarem separadas?

3.23 Durante o mês de dezembro a probabilidade de chover é de 10 %.

Um time ganha um jogo em um dia chuvoso com 40 % de

probabilidade e em um dia sem chuva com 60 %. Tendo esse time

ganho um jogo em dezembro, qual a probabilidade de que nesse dia

tenha chovido?

3.24 Sabe-se que, das peças produzidas por uma indústria, 8 % têm

defeitos de fabricação que podem ser recuperados e 5 % têm defeitos

que não podem ser recuperados, sendo as demais peças perfeitas.

Tomando-se, ao acaso, três dessas peças, determine a probabilidade

de que:

a. sejam todas defeituosas;

b. ocorra pelo menos uma peça com defeito recuperável;

c. ocorram somente duas peças perfeitas.

3.25 A experiência do Banco Maguary S.A. mostra que um cliente em

cada 600, com fundos suficientes em sua conta, engana-se na data e

emite um cheque pós-datado. Por outro lado, 1 % dos clientes têm o

mau hábito de emitir cheques sem fundos e sempre o fazem com data

posterior. Acaba de ser apresentado ao banco um cheque pós-datado.

Qual a probabilidade de que o cheque não tenha fundos suficientes?

3.26 Uma urna contém uma bola preta e nove brancas. Uma segunda urna

contém y bolas pretas e as restantes brancas, perfazendo um total de

10 bolas. O primeiro experimento consiste em retirar, ao acaso, uma

bola de cada urna. No segundo experimento, as bolas das duas urnas

são reunidas e, destas, duas bolas são retiradas ao acaso. Nessas

condições, determine o mínimo valor de y a fim de que a

probabilidade de saírem duas bolas pretas seja maior no segundo do

que no primeiro experimento.

3.27 Em uma sala, existem cinco crianças: uma brasileira, uma italiana,

uma japonesa, uma alemã e uma francesa. Em uma urna há cinco

bandeiras correspondentes aos países de origem dessas crianças:

Brasil, Itália, Japão, Alemanha e França. Se uma criança e uma

bandeira são selecionadas, ao acaso, respectivamente, da sala e da

urna, determine a probabilidade de que a criança sorteada não receba

a sua bandeira.

3.28 A Profa. Don Doca deve chegar ao Centro de Ciências da Natureza,

onde trabalha, até as 8h. Em virtude do tráfego e de fatores outros, ela

chega entre as 7h45 e as 8h05. A frequência relativa fr de suas

diversas chegadas pode ser representada por um triângulo isósceles.

Admitindo-se tal fato como verdadeiro, qual a probabilidade de ela

não chegar atrasada?

3.29 Oito pessoas tomam em Luxemburgo um vagão de 1a classe da linha

 

de metrô de Sceaux, com paradas nas estações de:

Port-Royal e Denfert-Rochereau;

Cité Universitaire e Gentilly;

Arcueil-Cachan e Bagneaux;

Bourg-la-Reine e Sceaux;

Fontenay-aux-Roses e Robinson.

Supondo que o fluxo de passageiros viajando de 1a classe,

naquele horário, é o mesmo para cada uma das referidas estações, calcular a probabilidade de os passageiros descerem todos em estações distintas.

3.30 A probabilidade de que o Prof. Pi Rado ganhe mais de $ 1000 ao mês

vale 2/5 e a de que ele goste de vinho, 4/5. Pede-se a probabilidade de

que ele ganhe mais de $ 1000 ao mês, goste de vinho e morra algum

dia.

3.31 Ele e Ela dizem a verdade com probabilidades iguais a 3/4 e 3/5,

respectivamente, independentemente um do outro. Ele faz uma

afirmação e Ela diz que Ele mente. Calcular a probabilidade de Ele

dizer a verdade.

3.32 A empresa de ônibus coletivo K & K Ltda. verificou que seus

veículos podem parar por defeito elétrico ou mecânico. Se o defeito

for elétrico, a proporção é de 1 para 8 e, caso seja mecânico, 1 para

13. Em 15 % das viagens há defeito elétrico e, em 26 %, mecânico,

não ocorrendo mais de um defeito em cada viagem igual ou de tipo

diferente. Se o ônibus não completar o itinerário, qual a probabilidade

de ocorrer defeito mecânico?

3.33 Dana e Dynho concordam em encontrar-se entre as 17h e as 18h,

ficando combinado que nenhum deles espere mais de 15 minutos um

pelo outro. Nessas condições, pede-se a probabilidade de eles se

encontrarem.

3.34 Na construção do Edifício Paraíso, a quantidade disponível de

cimento (X) é uma variável que pode ser descrita pelo diagrama de

frequências a seguir:

A quantidade de material usada em um dia de trabalho é de 150

sacos ou de 250 sacos com as probabilidades de 70 % e 30 %, respectivamente.

a. Qual a probabilidade de termos falta de material em certo dia de

trabalho?

b. Se existe falta de material, qual é a probabilidade de que se tenha

menos do que 200 sacos disponíveis?

Nota: Temos falta sempre que a quantidade de cimento disponível é

menor que a quantidade necessária para aquele dia de trabalho na

construção.

3.35 No Município de Marimbá, houve cinco anos de seca em um período

de 43 anos. Calcular a probabilidade de a situação persistir nos

próximos dois anos.

A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado a 3.36

seguir é dada por p. Se todos os relés funcionarem

independentemente, determinar a probabilidade de que haja corrente

entre os terminais L e M.

 

3.37 Uma urna contém cinco bolas brancas e seis bolas vermelhas. Outra

urna contém sete bolas brancas e três vermelhas. Passa-se uma bola,

escolhida ao acaso, da primeira para a segunda urna e, em seguida,

extrai-se uma bola desta última urna, também ao acaso. Pergunta-se:

qual a probabilidade de que a bola escolhida seja branca?

3.38 Em um colégio, 25 % dos estudantes foram reprovados em

Matemática, 15 %, em Química e 10 %, em Matemática e Química

simultaneamente. Um estudante é escolhido ao acaso.

a. Se ele foi reprovado em Química, qual a probabilidade de ter

sido reprovado em Matemática?

b. Qual a probabilidade de ele ter sido reprovado em Matemática ou

Química?

3.39 Dr. Retró Grado guarda seu dinheiro em um açucareiro. Este contém

três notas de $ 100, cinco de $ 50, seis de $ 10 e oito de $ 5. Se ele

retirar do açucareiro duas notas simultaneamente e ao acaso, qual a

probabilidade de que uma seja de $ 100 e a outra de $ 50?

3.40 Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo,

outro, todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do

outro. Em determinado lance o juiz retira, ao acaso, um cartão do

bolso e o mostra ao jogador. Qual a probabilidade de a face vista pelo

juiz ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela?

3.41 Em certa cidade, 20 % dos carros são da marca φ, 35 % dos carros

são táxis e 40 % dos táxis são da marca φ. Se um carro é escolhido ao

acaso, determine a probabilidade de:

a. ser táxi e não ser da marca φ;

b. ser da marca φ e não ser táxi.

3.42 Em um circuito, três componentes elétricos são ligados em série e

trabalham independentemente um do outro. As probabilidades de

falharem o 1o, 2o e 3o componentes valem, a saber, p1 = 0,3; p2 = 0,1;

p = 0,4. Qual a probabilidade de que não passe corrente pelo 3

circuito?

 

3.43 De uma urna que contém quatro bolas brancas e cinco pretas, duas

bolas são retiradas ao acaso e substituídas por duas bolas amarelas.

Depois disso, duas bolas são retiradas. Qual a probabilidade de

saírem bolas brancas?

3.44 Têm-se quatro números positivos e seis negativos. Escolhendo quatro

números ao acaso e efetuando-se o produto deles, qual a

probabilidade de que o resultado seja positivo?

3.45 A probabilidade de o Prof. Saby Tudo arremessar um dardo além de

100 metros em um único arremesso é de 80 %. Qual a probabilidade

de que, em cinco arremessos, pelo menos uma vez ultrapasse os 100

m?

3.46 Em 25 % das vezes, Alexandra chega em casa tarde para almoçar. Por

outro lado, o almoço atrasa 10 % das vezes. Sabendo que os atrasos

de Alexandra e os almoços são independentes entre si, determine a

probabilidade de, em um dia qualquer, ocorrerem ambos os atrasos.

3.47 Determine a probabilidade de que um ponto selecionado ao acaso a

partir de um quadrado se localize no círculo de raio r nele inscrito.

3.48 Os pontos a e b (a > b) são selecionados aleatoriamente na reta real R

de tal forma que – 2 ≤ b ≤ 0 e 0 ≤ a ≤ 3. Encontre a probabilidade p

de que a distância entre a e b seja maior que 3.

3.49 Três meninos e três meninas sentam-se em uma fila. Determine a

probabilidade de:

a. os três meninos sentarem-se juntos;

b. meninos e meninas sentarem-se em lugares alternados.

3.50 Esferas metálicas verdes e amarelas produzidas por uma máquina são

selecionadas aleatoriamente, uma após a outra, para uma inspeção.

Encontre a probabilidade p de as esferas verdes e amarelas serem

escolhidas alternadamente em uma amostra constituída de três esferas

verdes e três amarelas.

3.51 Uma companhia aérea afirma que 99 % de seus voos chegam na hora

marcada. Se forem escolhidos três voos e admitindo-se que o atraso

de qualquer um deles não afeta a hora de chegada dos restantes, qual

a probabilidade de os três voos chegarem na hora prevista?

3.52 Na cidade de El Mundo existem apenas dois tipos de detergentes A e

B para lavar louça. Sabendo-se que:

• o detergente A é comprado por 70 % das donas de casa;

• o detergente B é comprado por 40 % das donas de casa;

• por simplicidade de análise, supõe-se que todas as donas de casa

usam alguns destes detergentes.

Tendo sido lançado no mercado um detergente C, sabe-se que

somente as donas de casa que usam um único detergente poderão estar interessadas em experimentar o novo produto, com probabilidades 0,7 para as que utilizam o detergente A e de 0,5 para as de B.

Qual a probabilidade de uma dona de casa inquirida ao acaso não

estar propensa a experimentar o novo detergente?

3.53 Considere um canal de comunicação binário através do qual são

enviados os símbolos b0 e b1 cujas probabilidades de ocorrência são

conhecidas a priori a partir das características da fonte de mensagem

e são dadas por P(b ) = p e P(b ) = 1 – p. Sabe-se também que no 0 1

lado receptor são detectados os símbolos a0 e a1.

As probabilidades de transição dos símbolos enviados (b , b ) 0 1

para os símbolos recebidos (a0, a1) são também conhecidos a priori a partir das características do canal de comunicação, e são dadas por:

P(a |b ) = q; P(a |b ) = 1 − q; 0 0 1 0

P(a 0|b1) = r; P(a1|b1) = 1 − r.

Mostre que a probabilidade a posteriori do símbolo enviado pela

fonte b uma vez que a foi recebido é dada por: 0 0

 

3.54 De um lote de peças produzidas por uma máquina, das quais 90 são

perfeitas e 10 são defeituosas, extraem-se aleatoriamente peças com

reposição. Qual a probabilidade de que a primeira peça defeituosa

seja encontrada na 101a extração?

3.55 Um anúncio publicitário aparece ao longo de um ano em 10 números,

em um total de 52 números, de uma revista semanal. Se um leitor leu

15 números dessa revista, qual a probabilidade de que em nenhum

desses números aparecesse tal anúncio?

3.56 Três alarmes estão dispostos de tal maneira que qualquer um deles

funcionará independentemente de algo indesejável ocorrer. Se cada

alarme tem probabilidade 0,9 de trabalhar eficientemente, qual é a

probabilidade de se ouvir o alarme quando necessário?

3.57 Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta.

Ele seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso, sem reposição, e

tenta abrir a porta. Qual é a probabilidade de que ele abra a porta na

k-ésima tentativa (k =1, 2..., n)?

3.58 Uma secretária imprime seis cartas do seu computador e endereça

seis envelopes aos destinatários desejados. Seu chefe, apressado,

interfere e coloca as cartas nos envelopes aleatoriamente, uma carta

em cada envelope. Qual é a probabilidade de que exatamente cinco

cartas estejam no envelope correto?

3.59 Em uma cidade, em cada 1000 carros observados, a quantidade de

táxis em relação à marca é determinada segundo o quadro abaixo:

 

Tipo Marca

Volks Outra

Táxi 120 80

Outro 350 450

a. táxi;

b. não ser táxi ou ser de outra marca;

c. ser táxi ou ser Volkswagen;

d. ser Volkswagen ou não ser táxi.

3.60 Considere dois círculos inscritos em um círculo maior, como mostra a

figura seguinte:

 

Sabe-se que o raio do círculo maior vale r cm enquanto o

segmento AB vale t cm.

Um dardo é lançado no círculo maior. Mostre que a

probabilidade p de ele cair na área hachurada vale:

 

3.61 Escolhe-se aleatoriamente um ponto no interior de um círculo de raio

unitário e centro na origem. Calcular a probabilidade de que a

distância do ponto escolhido até a origem não seja maior que 0,5.