Exercícios Resolvidos

5.1 O submarino Corsário I dispara quatro torpedos em cadência rápida

contra o navio Pégaso. Cada torpedo tem probabilidade igual a 90 %

de atingir o alvo. Qual a probabilidade de o navio receber pelo menos

um torpedo?

Solução:

Considere a variável aleatória X = número de torpedos que

atingem o alvo, com parâmetros n = 4, p = 0,90 e q = 0,10.

Sabemos que P(X = 0) + P(X ≥ 1) = 1, ou seja,

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0)

Come

concluímos que P(X ≥ 1) = 1 − 0,0001 = 0,9999 ✓

5.2 Se a probabilidade de ocorrência de uma peça defeituosa é de 30 %,

determinar a média e o desvio padrão da distribuição de peças

defeituosas de um total de 800.

Solução:

Temos n = 800, p = 0,30 e q = 0,70

Assim, podemos escrever:

Média:

μ = np = 800 × 0,30 = 240 peças defeituosas. ✓

Desvio padrão:

≅ 12,96 peças defeituosas. ✓

5.3 Sabe-se que X possui distribuição binomial com média 3 e variância

2,1. Pede-se determinar P(X = 9).

Solução:

Valor esperado:

 

Variância:

 

Substituindo (I) em (II) encontramos:

3q = 2,1 ∴ q = 0,7

Portanto, p = 1 – q = 0,3 e n = = 10.

 

Assim, P(X = 9) = (0,3)9(0,7)1 ≅ 0,0001377 ✓ 5.4 Um quarto da população de certo município não assiste regularmente

a programas de televisão. Colocando-se 500 pesquisadores, cada um

entrevistando quatro pessoas, estimar quantos desses pesquisadores

informarão que até duas pessoas são telespectadoras habituais.

Solução:

Destaque a variável aleatória X = número de telespectadoras

habituais, com parâmetros n = 4, p = 0,75 e q = 0,25.

Como estamos interessados em P(X ≤ 2), façamos os cálculos

das probabilidades seguintes:

P 0 4 ( X = 0) = (0,75) (0,25) ≅ 0,0039

 

P 1 3 ( X = 0) = (0,75) (0,25) ≅ 0,0468

 

P 2 2 ( X = 0) = (0,75) (0,25) ≅ 0,2109

Segue-se que P(X ≤ 2) = 0,0039 + 0,0468 + 0,2109 ≅ 0,2616 Logo, o valor esperado será igual a:

0,2616 × 500 ≅ 131 pesquisadores ✓

5.5 Os registros de uma pequena empresa indicam que 30 % das faturas

expedidas são pagas após o vencimento. De 10 faturas emitidas, qual

a probabilidade de exatamente três serem pagas com atraso?

Solução:

Seja X = o número de faturas pagas com atraso com n = 10, p =

0,3 e q = 0,7.

P 3 7 ( X = 3) = (0,3) (0,7) ≅ 0,2668 ✓

5.6 A probabilidade de um sapato apresentar defeito de fabricação é de 3

%. Para que um par de sapatos seja rejeitado pelo controle de

qualidade, basta que apenas um dos pés, direito ou esquerdo,

apresente defeito. Em uma partida de 40.000 pares, qual o valor

esperado e o desvio padrão do número de pares totalmente

defeituosos?

Solução:

Considere X = o número de pares a serem rejeitados. Logo, X é

uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros seguintes:

n = 40.000 e p = 1 − (0,97)2 = 0,0591

Portanto,

Valor esperado:

μ = np = 40.000 × 0,0591 = 2364 pares defeituosos. ✓

Desvio padrão:

≅ 47 pares defeituosos. ✓

5.7 Na venda de um produto temos duas opções:

• cobrar $ 1000 por peça sem inspeção;

• classificar o lote em produto de 1a e 2a qualidades, mediante a

seguinte inspeção: retiramos cinco peças do lote e se não encontramos mais que uma defeituosa o lote será classificado de 1a qualidade, sendo de 2a qualidade o lote que não satisfizer tal

condição. Sabe-se que o preço de venda é de $ 1200 por peça do lote de 1a e $ 800 por lote de 2a.

Se cerca de 10 % das peças produzidas são defeituosas e são

vendidos 50 lotes contendo 10 peças cada, analisar qual das duas opções é mais vantajosa para o vendedor.

Solução:

Temos n = 5, p = 0,10, q = 0,90.

 

Portanto, a probabilidade de o lote ser classificado como de 1a e

de 2a qualidade é, respectivamente, de 91,85 % e 8,15 %.

Como existem 50 lotes de 10 peças cada, na primeira opção o

faturamento será de $ 1000 × 50 × 10 = $ 500.000.

Com a opção de inspeção espera-se faturar:

E(X) = 1200 × 0,9185 + 800 × 0,0815 = $ 1167,40, ou seja, o

preço médio por peça é de $ 1167,40 e o faturamento esperado é de $ 583.700.

Logo, conclui-se que a segunda opção é a mais vantajosa. ✓

5.8 Ontem, 80 % das ações mais negociadas na Bolsa de Valores Alpha

Betha caíram de preço. Suponha que você tenha uma carteira com 20

dessas ações e que as ações que perderam valor possuam distribuição

binomial.

Pede-se calcular:

a. quantas ações de sua carteira você espera que tenham caído de

preço;

b. o valor do desvio padrão das ações na carteira;

a probabilidade de que tenham caído de preço exatamente 15

c.

dessas ações.

Solução:

Considere a variável aleatória X = número de ações da carteira

com parâmetros n = 20, p = 0,80 e q = 0,20.

a. Para estimarmos o número de ações da carteira que devem ter

caído de preço, partimos do conhecimento prévio de que 80 % das ações mais negociadas caíram de preço.

Portanto,

μ = np = 20 × 0,80 = 16 ações. ✓

b. Desvio padrão:

 

c. P(X = 2) (0,8)15(0,2)5 ≅ 0,1745 ≅ 17,45 %. ✓

5.9 Determine a distribuição de probabilidade de meninos e meninas em

famílias com três filhos, admitindo iguais as probabilidades de

nascimento de menino e menina. Esboce um gráfico de distribuição.

Solução:

Considere a variável aleatória X = número de nascimentos de

meninos com parâmetros n = 3, p = 0,50 e q = 0,50.

A função de probabilidade de X é dada por:

 

Ou ainda,

Portanto, a distribuição de probabilidades será dada por:

 

 

5.10 Se X é uma variável aleatória que possui distribuição binomial de

parâmetros n e p, ou seja, B(n, p), provar que a variável definida por

Y = n − X tem distribuição B(n, q), em que q = 1 − p.

Solução:

 

Logo, verificamos que Y é B(n, q). ✓

5.11 Fixado um inteiro positivo n, consideremos uma família de variáveis

aleatórias x , em que x possui distribuição binomial de parâmetros n p p

e p, ou seja, B(n, p). Pede-se determinar o conjunto de parâmetros p

de sorte que:

P(xp = 0) > P(xp = 1), em que 0 ≤ p < 1.

Solução:

Se P(x = 0) > P(x = 1), podemos escrever: p p

 

O resultado obtido em (I) também pode ser escrito como:

(1 − p)n − 1 (1 − p) > np (1 − p)n − 1

que por sua vez é equivalente a:

(1 − p) > np, isto é, p < 1/(1 + n).

Concluímos então que:

0 ≤ p < 1/(1 + n) ✓

5.12 Se X possui distribuição binomial, mostre que:

a. μ = np

b. σ2 = npq

Solução:

a. Valor esperado:

b. Variância:

 

Fazendo a transformação X 2 = X(X − 1) + X, temos:

 

Entretanto,

 

Substituindo (III) em (II), obtemos:

 

Aplicando (IV) em (I) encontramos a variância procurada:

Var(X) = E(X2) − [E(X)]2 = E(X2) − n2p2

Var(X) = n2p2 − np2 + np − n2p2

Var(X) = np − np2 = np(1 − p) = npq ✓

5.13 A Empresa Dana & Dynho Ltda. produz esferas metálicas que são

embaladas em caixas com 50 unidades cada. O departamento de

qualidade dessa empresa examina cada caixa antes de sua remessa

para o cliente, testando oito esferas. Se nenhuma esfera for

defeituosa, a caixa é aceita. Do contrário, todas as esferas da caixa

são testadas. Se existem quatro esferas defeituosas em uma caixa,

qual a probabilidade de que seja necessário examinar todas as esferas

da caixa?

Solução:

Considere:

número total de esferas da caixa N = 50; número de esferas defeituosas da caixa D = 4 (portanto 46 esferas não apresentam defeitos);

tamanho da amostra n = 8; X : número de esferas defeituosas da amostra.

Portanto, X segue uma distribuição hipergeométrica cuja função

de probabilidade é dada por:

 

Assim,

5.14 Em um lote de 50 peças existem três defeituosas. Se desse lote forem

 

retirados aleatoriamente duas peças sem reposição, pede-se

determinar o valor esperado e a variância para o número de peças

defeituosas do mesmo.

Solução:

Se X representa o número de peças defeituosas da amostra, então

ela segue uma distribuição hipergeométrica de parâmetros:

N = 50; D = 3 e n = 2, p = 3/50 e q = 47/50.

Valor esperado:

 

Variância:

 

5.15 De um lote de 200 peças, retiram-se cinco para serem analisadas pelo

controle de qualidade. Admitindo que a porcentagem de peças

defeituosas no lote seja de 1 %, determine a probabilidade de que,

entre as cinco peças retiradas, pelo menos uma seja defeituosa.

Determine, também, o valor esperado e a variância para o número de

peças defeituosas desse lote.

Solução:

Sejam N = 200, D = 2 e n = 2 com p = 0,01 e q = 0,99 e X:

número de peças defeituosas da amostra.

Evidentemente, X segue uma distribuição hipergeométrica cuja

função de probabilidade é dada por:

 

Valor esperado:

μ = NP = 2 × 0,01 ≅ 0,02 ✓

Variância:

 

5.16 Se X possui distribuição hipergeométrica, mostre que:

a. μ = np

b. σ2 = npq ×

Solução:

Sabemos que:

em que e , conforme definido no resumo

teórico.

a. Valor esperado

 

Fazendo v = X − 1 temos:

 

b. Variância:

Fazendo a transformação X2 = X(X − 1) + X temos:

 

Fazendo v = X − 2, temos:

 

Substituindo (III) em (I) encontramos a variância procurada:

5.17 Na revisão tipográfica de um livro encontrou-se, em média, 1,2 erro

 

por página. Das 600 páginas do livro, estimar o número de páginas

que não precisam ser modificadas por não apresentarem defeitos.

Solução:

Denotemos a variável aleatória X = número de defeitos por

página, com λ = 1,2.

Ora,

Logo, o valor esperado será igual a 600 × 0,3011 ∩ 181, ou seja,

em média é de se esperar que 181 páginas não apresentem defeitos. ✓

5.18 Calcular a probabilidade de passarem exatamente dois carros por

minuto em um posto de pedágio pelo qual passam, em média, quatro

carros por minuto.

Solução:

Seja a variável aleatória X = número de carros por minuto com

média λ = 4.

Temos então:

5.19 Sabendo-se que a probabilidade de um indivíduo acusar reação

negativa à injeção de determinado soro é 0,001, determine a

probabilidade de que, em 3000 indivíduos:

a. exatamente dois acusem reação negativa;

b. mais de dois indivíduos acusem reação negativa.

Solução:

Seja a variável X = número de indivíduos que acusam reação

negativa. X possui distribuição de Bernoulli, mas, supondo que reações negativas sejam eventos raros, podemos considerá-la como distribuição de Poisson com:

λ = 3000 × 0,0001 = 3

Portanto,

a.

b. P(X > 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]

em que:

 

Portanto, P(X > 2) = 1 − 8,5e−3 ∩ 0,5768 ∩ 57,68 % ✓ 5.20 Em uma linha adutora de água de 60 km de extensão, o número de

vazamentos no período de um mês segue uma lei de Poisson de

parâmetro λ = 4. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo

menos um vazamento em certo setor de 3 km de extensão?

Solução:

No caso de um trecho de 3 km de extensão, o número de

vazamentos seguirá a lei de Poisson de parâmetro .

Logo, a probabilidade de pelo menos um vazamento é dado por:

 

5.21 Se X e Y são variáveis independentes possuindo distribuição de

Poisson com parâmetros λ e μ, nessa ordem, então Z = X + Y tem

distribuição de Poisson com parâmetro λ + μ.

Solução:

Sabemos que

 

Por isso,

5.22 Um automóvel viaja sempre equipado com dois pneus novos nas

rodas dianteiras e dois pneus recauchutados nas rodas traseiras. Sabe-

se que os pneus novos dessa marca costumam furar em média à razão

de uma vez a cada 6000 km rodados, ao passo que os pneus

recauchutados furam, em média, uma vez a cada 3000 km.

Admitindo-se que os pneus que furam são logo consertados e

recolocados na mesma posição, deseja-se saber a probabilidade de

que, em uma viagem de 2000 km,

a. o pneu traseiro direito fure uma única vez;

b. o pneu dianteiro esquerdo fure uma única vez;

c. haja pelo menos um pneu furado.

Solução:

Considere as variáveis aleatórias independentes X e Y iguais,

respectivamente, ao número de pneus, traseiros e dianteiros, furados em um percurso de 2000 km, em que:

= 0,333 furo por pneu trasciro;

= 0,666 furo por pneu trasciro;

a. P(X = 1) = ≅ 0,2386 ✓

b. P(Y = 1) = ≅ 0,3419 ✓

c. A seguir, mostramos duas possíveis formas de resolver o

problema embora a segunda maneira seja a mais adequada, por ser mais simples e de compreensão mais fácil.

1a forma:

Pelo menos um pneu traseiro furado:

P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – ≅ 0,2834

Pelo menos um pneu dianteiro furado:

P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0) = 1 – ≅ 0,2834

Portanto, a probabilidade P de pelo menos um pneu traseiro ou

dianteiro furado é igual a:

P = P(X ≥ 1) + P(Y ≥ 1) – P(X ≥ 1) × P(Y ≥ 1)

P = 0,2834 + 0,4865 – (0,2834 × 0,4865) ≅ 0,632 ✓

2a forma:

Se X e Y são variáveis independentes de Poisson, com

parâmetros λx, λy, então X + Y tem distribuição de Poisson com parâmetro λ + λ , conforme o exercício anterior. x y

Fazendo Z = X + Y, teremos λz = λx + λy = 0,3333 + 0,6666 =

0,9999.

Assim,

P(Z ≥ 1) = 1 – P(Z = 0) = 1 – ≅ 0,632 ✓

5.23 Uma máquina automática enche latas de 10 cm3 de determinado

produto. Cada lata é considerada defeituosa se aparecerem dois ou

mais defeitos. Os defeitos classificados pelo controle de qualidade

são dos tipos X e Y. Em média, aparecem 0,05 defeito X por cm3 e

0,15 defeito Y por cm3. Qual a probabilidade de uma lata ser

considerada defeituosa?

Solução:

Considere as variáveis aleatórias independentes X e Y relativas

aos defeitos tipo X e Y, respectivamente, com:

λ = 0,05 × 10 = 0,5 x

λy = 0,15 × 10 = 1,5

Seja também a variável W = X + Y, com distribuição de Poisson

λ = λ + λ = 0,5 + 1,5 = 2. z x y

P(W ≥ 2) = 1 – P(W = 0) – P(W = 1) = 1 – ≅ 0,5939 ✓ 5.24 A Indústria Controlada S.A. tem dois eventuais compradores de seu

produto que pagam preços em função da qualidade:

• o comprador A paga $ 150,00 por peça, se em uma amostra de

100 peças não encontrar nenhuma defeituosa;

• o comprador B paga $ 200,00 por peça, desde que encontre no

máximo uma peça defeituosa em 120 peças, pagando pelo restante $ 30,00.

Qual dos dois compradores deveria ser escolhido pelo

empresário se ele sabe que, na produção das peças, 3 % são defeituosas?

Solução:

Como a probabilidade de encontrarmos peças defeituosas é

pequena (p = 0,03) para amostras relativamente grandes, podemos utilizar a distribuição de Poisson para analisar as propostas dos dois compradores.

Proposta do comprador A:

Considere X o número de peças defeituosas em uma amostra de

tamanho 100.

λ = 0,03 × 100 = 3 defeituosas

 

Portanto, o preço médio unitário esperado que se obtém com o

comprador A será:

= P(X = 0) × 150 + P(X > 0) × 50 ✓

= 0,0497 × 150 + [1 – 0,0497] × 50 ✓

∴ = $ 54,97 ✓

Proposta do comprador B:

Seja Y o número de peças defeituosas em uma amostra de

tamanho 120.

Portanto:

λ = 0,03 × 120 = 3,6 defeituosas

P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1)

 

Por conseguinte, o preço médio unitário esperado para o

comprador B será:

= P(Y < 2) × 200 + P(Y > 2) × 30 ✓

= 0,1256 × 200 + [1 – 0,1256] × 30 ✓

∴ = $ 51,35 ✓

Conclui-se desse modo que a melhor proposta é a do Comprador

B. ✓

Nota: Faz-se necessário lembrar que tal procedimento será repetido

várias vezes e que a qualidade do produto, isto é, a porcentagem de

peças defeituosas, mantém-se constante.

5.25 Em testes de qualidade ao longo de terreno acidentado, o pneu Botas

de Sete Léguas fura uma vez, em média, a cada 3000 km percorridos.

Os testes são efetuados sempre com o mesmo modelo de caminhão,

calçado com seis pneus e submetido à carga máxima. Em um teste em

que 750 km deverão ser percorridos, qual a probabilidade de nenhum

pneu furar, supondo que o desempenho segue a lei de Poisson?

Solução:

Seja Y = número de vezes que determinado pneu fura no teste de

750 km. Logo,E(Y) = 0,25 (número de vezes, em média, que o pneu fura em um percurso de 750 km). Como Y, por hipótese, segue a lei de Poisson, essa terá parâmetro igual a λ = E(Y) = 0,25.

Assim, P(Y = 0) = e−0,25 ≅ 0,778

Supondo a independência entre os desempenhos dos seis pneus, a

probabilidade pedida será igual a:

(0,778)6 ✓

5.26 Suponha que a variável aleatória X possui distribuição de Poisson

com média λ > 0. Sabendo-se que P(X = 1) = P(X = 2), pede-se

calcular P(X = 0).

Solução:

Sabemos que:

 

Como P(X = 1) = P(X = 2), temos:

Substituindo (II) em (I) encontramos:

 

P(X = 0) = e–2 ≅ 13,53 % ✓

5.27 Supondo que o número de carros que chegam a uma fila de guichê de

um pedágio possua distribuição de Poisson a uma taxa de três carros

por minuto, determine a probabilidade de chegarem quatro carros nos

próximos dois minutos.

Solução:

Considere X = número de carros por minuto com média λ = 6

carros/2 minutos.

Temos então:

 

5.28 A tabela seguinte demonstra o número de acidentes graves ocorridos

na Indústria Lambda S.A. durante determinado exercício fiscal:

 

Número de acidentes Número de dias

0 21

1 18

2 7

3 3

4 1

Pede-se ajustar uma distribuição de Poisson a esses dados

fazendo comparação entre o número de acidentes esperados e observados. Esboce um gráfico de distribuição.

Solução:

Inicialmente deveremos calcular o número médio de acidentes λ,

isto é:

acidente/dia.

Portanto, de acordo com a distribuição de Poisson, podemos

escrever:

 

Com base na distribuição encontrada em (I), podemos montar

uma tabela relacionando as probabilidades para cada número de dias, teórico e observado, em que ocorrem acidentes. Note que para obtermos os valores teóricos, multiplicamos o número total de dias em que ocorrem acidentes (no caso, 50) pelas probabilidades respectivas.

 

Número de Número de dias Probabilidade de

acidentes acidentes Esperado Observado

0 0,4066 20 21

1 0,3659 18 18

2 0,1647 8 7

3 0,0494 2 3

4 0,0111 1 1

Pelo que ficou exposto na tabela anterior, constata-se que os dados se

ajustam sobremaneira a uma distribuição de Poisson. ✓

5.29 Se a variável aleatória Y possui distribuição de Poisson com média λ

> 0, mostre que:

 

Solução:

Visto que Y possui distribuição de Poisson, podemos então

escrever:

 

Assim, substituindo (I) em (II) encontraremos o resultado final

desejado:

 

5.30 Os clientes chegam a uma loja a uma razão de cinco por hora.

Admitindo que esse processo possa ser aproximado por um modelo

de Poisson, determine a probabilidade de que durante qualquer hora:

a. não chegue nenhum cliente;

b. chegue mais de um cliente.

Solução:

Considere X = número de clientes por hora com média λ = 5. Assim:

a.

b. P(X > 1) = 1 − P(X < 2) = 1 − [P(X =0) + P(X = 1)]

 

5.31 Mostre que em que λ = np

Solução:

Escrevendo a distribuição binomial sob a forma:

 

substituindo p por , obtemos:

 

Se n → ∞, p → 0 quando λ permanece constante, os fatores:

Entretanto, .

 

Portanto,

5.32 Considere a variável aleatória X normalmente distribuída com média

μ e desvio padrão σ. Determine os valores de α e β de sorte que E(αX

+ β) = 0 e Var(αX + β) = 1.

Solução:

 

Resolvendo o sistema para α e β, obtemos:

 

5.33 No processo de fabricação de uma peça, verificou-se que a tolerância

de especificação enquadra-se entre a média mais ou menos duas

vezes o desvio padrão desse processo. Que porcentagem de peças

será rejeitada?

Solução:

Da curva normal sabe-se que, entre a média e mais ou menos

dois desvios padrões, situam-se 95,45 % das observações. Logo, o percentual de peças rejeitadas é de 4,55 %. ✓

5.34 Impostos pagos por uma comunidade distribuem-se de tal forma que

o coeficiente de variação vale 25 %. Sabendo-se que para um

contribuinte que paga $ 1200 corresponde um escore reduzido Z =

−1, determine o escore reduzido para um contribuinte que paga $

2100.

Solução:

Temos:

 

Contudo, o coeficiente de variação é igual a:

 

Substituindo (II) em (I) temos:

 

Portanto,

 

Desse modo, $ 2100 em unidades padronizadas será:

 

5.35 Na empresa Mandacaru, têm-se as seguintes informações sobre os

salários de dois empregados:

Salário mensal

Nome do empregado

Em $ Padronizado (Z)

Tita 700 2

Niki 450 –0,5

Baseado nos dados acima, determine a média e o desvio padrão

para os salários da empresa.

Solução:

Temos:

 

Resolvendo o sistema formado pelas equações (I) e (II) obtemos:

= $ 500 e σ = $ 100 ✓

5.36 Pela experiência de anos anteriores, verificou-se que o tempo médio

gasto por um candidato a supervisor de vendas, em determinado teste,

é aproximadamente normal com média de 60 minutos e desvio

padrão de 20 minutos.

a. Que porcentagem de candidatos levará menos de 60 minutos

para concluir o teste?

b. Que porcentagem não terminará o teste se o tempo máximo

concedido é de 90 minutos?

c. Se 50 candidatos fazem o teste, quantos podemos esperar que o

terminem nos primeiros 40 minutos?

Solução:

Seja a variável aleatória X = tempo gasto pelo candidato para

resolver o teste, com μ = 60 minutos e σ = 20 minutos.

a. Para

P(X < 60) = P(Z < 0) = 0,50 = 50 % ✓

b. Para

P(X > 90) = P(Z > 1,5)

P(X > 90) = P(Z > 0) – P(0 < Z < 1,5) = 0,5000 − 0,4332 = 0,0668 ✓

c. Para

P(X < 40) = P(Z < −1) = P(Z < 0) – P(−1 < Z < 0) = 0,5000 – 0,3413 =

0,1587

Logo, em 50 candidatos esperamos que aproximadamente 8

(0,1587 × 50) candidatos terminem o teste nos 40 minutos iniciais. ✓

5.37 A vida útil de lavadoras de pratos automáticas é de 1,5 ano, com

desvio padrão de 0,3 ano. Se os defeitos se distribuírem normalmente,

que porcentagem das lavadoras vendidas necessitará de conserto

antes de o período de garantia de um ano expirar?

Solução:

Seja a variável aleatória X = tempo de uso em anos com μ = 1,5

ano e σ = 0,5 ano.

Para

P(X < 1) = P(Z < −1,67) = P(Z < 0) − P(0 < Z < −1,67)

P(X < 1) = P(Z < −1,67) = 0,5000 − 0,4525 = 0,0475 = 4,75 % ✓

5.38 A Empresa Mandacaru S.A. produz televisores e garante a restituição

da quantia paga se qualquer televisor apresentar algum defeito grave

no prazo de seis meses. Ela produz televisores do tipo A (comum) e

do tipo B (luxo), com um lucro respectivo de $ 100 e $ 200 caso não

haja restituição, e com um prejuízo de $ 300 e $ 800 caso haja

restituição. Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito

grave seja, em ambos os casos, uma variável aleatória com

distribuição normal, respectivamente, com médias de nove e doze

meses, e desvios padrões de dois e três meses. Se tivesse de planejar

uma estratégia de marketing para a empresa, você incentivaria as

vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?

Solução:

Aparelho do tipo A:

μ = 9 meses e σ = 2 meses.

Para

P(X < 6) = P(Z < −1,50) = 0,5000 − 0,4332 = 0,0668 ✓

que é a probabilidade de um aparelho apresentar defeito no prazo de

seis meses.

Consequentemente, a probabilidade de um aparelho não

apresentar defeito é de 0,9332.

Portanto, o lucro esperado para o tipo A será:

E(X) = 100 × 0,9332 − 300 × 0,0668 = $ 73,28 ✓

De modo análogo, temos:

Aparelho do tipo B:

μ = 12 meses e σ = 3 meses.

Para

P(X < 6) = P(Z < −2) = 0,5000 − 0,4772 = 0,0228 e, do contrário, 0,9772.

Desse modo, o lucro esperado para o tipo B será:

E(X) = 200 × 0,9772 − 800 × 0,00228 ≅ $ 193,61 ✓

Com base nos lucros esperados de vendas, pode-se sugerir um

plano de marketing para os aparelhos do tipo B. ✓

5.39 Determinado produto possui peso médio igual a 800 g e desvio

padrão 10 g. É embalada uma caixa com 24 unidades de tal produto,

que pesa, em média, 1850 g e desvio padrão de 12 g. Determine,

nessas condições, a probabilidade de que uma caixa cheia pese mais

que 21.200 g.

Solução:

Seja a variável aleatória X = peso de uma caixa cheia expresso

em gramas.

Temos então:

Média da caixa cheia:

μ = 800 × 24 + 1850 = 21.050 g

Variância da caixa cheia:

Var(X) = 24 × 102 + 122 = 2544 g2

Segue-se:

 

P(X > 21.200) = P(Z > 0) − P(0 < Z < 2,97)

P(Z > 21.200) = 0,5000 − 0,4985 = 0,0015 ✓

5.40 O peso médio das esferas metálicas produzidas pela Indústria Zepelin

Ltda. é de 39 kg, com desvio padrão de 11 kg. Supondo-se que os

pesos seguem uma distribuição aproximadamente normal, estimar a

proporção de esferas com peso:

a. entre 33 e 45 kg;

b. superior a 50 kg.

Solução:

Seja a variável aleatória X = peso das esferas metálicas de média

e desvio padrão iguais a μ = 39 kg e σ = 11 kg, respectivamente.

Portanto,

a. Para

Para

Logo, P(33 < X < 45) = P(−0,545 < Z < + 0,0545)

P(33 < X < 45) = 2 P(0 < Z < + 0,545) = 2 × 0,212 = 0,424 ✓

b. Para

Então, P(X > 50) = P(Z > 1)

P(X > 50) = 1 − P(0 < Z < 1)

P(X > 50) = 1 − 0,3413 = 0,1587 ✓

5.41 O Prof. Pi Rado aplica uma prova de Estatística Geral com 10

questões, atribuindo notas que variam de 0 a 10, de acordo com o

número de questões respondidas corretamente pelo aluno. Sabe-se

que a nota média foi de 6,7 e o desvio padrão de 1,2. Admitindo

distribuição normal das notas, determine:

a. a porcentagem de estudantes com seis pontos;

b. a maior nota entre os 10 % mais baixos da classe;

c. a menor nota entre os 10 % mais altos da classe.

Solução:

a. Para aplicar a distribuição normal a dados discretos, é necessário

tratá-los como se fossem contínuos. Portanto, um escore de seis pontos é considerado como 5,5 a 6,5.

Assim:

Para

 

Para

Logo, P(33 < X < 45) = P(−1,0 < Z < −0,17) = 0,2738 = 27,38 % ✓

b. Seja X1 a nota máxima procurada e Z1 seu equivalente em

unidades padronizadas. Assim, a área à esquerda de Z1 é 10 % = 0,10; logo a área entre Z 1 e 0 é 40 % e Z1 aproximadamente igual a −1,28.

c. Considere X2 a nota máxima procurada e Z2 seu equivalente em

unidades padronizadas. Do item (b), por simetria, temos Z 2 = 1,28. Portanto:

 

5.42 Sabe-se que os hotéis e companhias aéreas sempre garantem reservas

além de sua capacidade para assegurar lotação. Suponha que as

estatísticas feitas por um hotel mostrem que, em média, 10 % não

respondem às reservas feitas. Se esse hotel aceitar 250 reservas e

tiver somente 230 leitos, qual será a probabilidade de todos os

hóspedes que tiverem feito reservas conseguirem quarto quando

chegarem ao hotel?

Solução:

Seja a variável aleatória X = número de hóspedes que respondem

às reservas. Temos então:

Valor esperado:

μ = np = 0,9 × 250 = 225 hóspedes.

Desvio padrão:

 

Para

P(X < 230) = P(Z < 0) + P(1,05 < Z < 0) = 0,5 + 0,3531 = 0,8531 ✓

Latas de conservas são fabricadas por uma indústria com média de 5.43 990 g e desvio padrão de 10 g. Uma lata é rejeitada pelo controle de

qualidade dessa indústria se possuir peso menor que 975 g. Se for

observada uma sequência casual destas latas, qual a probabilidade de

que em 12 dessas latas, duas sejam rejeitadas?

Solução:

Primeiramente deveremos encontrar a probabilidade de uma lata

de conserva ser rejeitada pelo controle de qualidade.

Seja a variável aleatória X: peso das latas de conserva

normalmente distribuídas com média μ = 990 e desvio padrão σ = 10.

Para

P(X < 975) = P(Z < −1,50) = 0,5000 − 0,4332 = 0,0668

que é a probabilidade de uma lata ser rejeitada pelo controle de

qualidade.

Consideremos a variável aleatória Y : número de latas rejeitadas

pelo controle de qualidade com parâmetros n = 12 e p = 0,0668.

Assim,

 

5.44 A variável aleatória j é normalmente distribuída apresentando

amplitude total igual a 48. Pede-se estimar o desvio padrão.

Solução:

Como seis desvios padrões cobrem quase totalmente a distância

que vai desde o menor valor até o maior, ou seja, de −3σ a +3σ,

podemos estimar (mas não calcular) o desvio padrão σ* dividindo a amplitude total At por 6:

 

Essa regra é de fundamental importância aos olhos do aluno que

deseja testar se o cálculo do desvio padrão σ está correto. Por exemplo, se a amplitude total for 42, é de se esperar que o desvio padrão σ deva estar próximo do desvio padrão estimado σ* = 7.

Convém salientar ainda que:

• a regra de um sexto só deve ser aplicada para distribuições

normais composta por um grande número de observações;

• o desvio padrão é sempre menor que a amplitude total.

5.45 Os alunos de Física Geral II do Prof. Alan Din distribuem-se de

acordo com uma distribuição normal com média 6,0 e desvio padrão

0,5. O Prof. Alan Din atribui graus A, B e C da forma seguinte:

Nota maior ou A

igual a 7

Nota entre 5 e 7 B

Nota menor ou C

igual a 5

Determine o número esperado de alunos com grau A, B e C em

uma classe com 90 alunos.

Solução:

Inicialmente deveremos calcular as probabilidades P(X ≤ 5), P(5

< X < 7) e P(X ≥ 7), em que X representa as notas obtidas pelos

alunos do Prof. Alan Din.

Temos que:

 

Para

 

Para

P(X ≤ 5) = P(Z ≤ −2) = 0,07275

P(X ≥ 7) = P(Z ≥ 2) = 0,07275

P(5 < X < 7) = P(−2 < Z < 2) = 0,8545

Os valores esperados de alunos serão:

Grau A: 0,07275 × 90 = 7 ✓ Grau B: 0,8545 × 90 = 76 ✓ Grau C: 0,07275 × 90 = 7 ✓