Exercícios Propostos

4.1 Tico e Teco vão jogar cara ou coroa com uma moeda honesta. Eles

combinam lançar a moeda cinco vezes, e vence a disputa aquele que

ganhar em três ou mais lançamentos. Cada um aposta $ 56. Feitos os

dois primeiros lançamentos, em ambos os quais Teco vence, eles

resolvem encerrar o jogo. Do ponto de vista probabilístico, de que

forma devem ser repartidos os $ 112?

4.2 Seja uma variável aleatória que assume valores em 1, 0 e −1, com

P(X = 0) = 1/2. Mostre que −1/2 ≤ E(X) ≤ 1/2.

4.3 Seja σ x > 0 o desvio padrão de uma variável aleatória X. Dada uma

constante real λ ≠ 0, mostrar que σ e σ satisfazem a relação da λx x

forma σλx = βσx, em que β é uma constante real. Qual o valor de β?

4.4 O Prof. Dee Dee deseja ouvir uma melodia gravada em uma das oito

faixas de um disco. Como não sabe em qual das faixas está a melodia

gravada, ele experimenta a 1a faixa, depois a 2a e assim

sucessivamente, até encontrar a melodia procurada. Qual o número

médio e o desvio padrão do número de faixas que deverá tocar até

encontrar a melodia procurada?

4.5 Um vendedor adquire uma revista por $ 0,50 e a vende ao preço de $

1,00. Todas as revistas não vendidas no final do mês são vendidas

como papel velho, proporcionando ao vendedor a quantia de $ 0,10

por revista. Determine o pedido mais econômico, calculando o lucro

médio esperado para cada alternativa, baseado na distribuição de

probabilidades para cada demanda mensal dessa revista.

 

Quantidade mensal Probabilidade de venda

solicitada

100 0,70

120 0,45

140 0,48

160 0,62

180 0,50

4.6 Se chover, um vendedor de guarda-chuva pode ganhar $ 30,00 por

dia, do contrário pode perder $ 6,00. Determinar a esperança de

ganho mensal (30 dias), sabendo-se que a probabilidade de chuva é

da ordem de 30 %.

4.7 Uma variável aleatória X assume valores 0, 1, 2, 3, …, n, com

probabilidade constante dada por:

Pede-se determinar o valor de n, a fim de que seu valor esperado

seja igual à sua variância.

4.8 Uma urna contém bolas brancas e pretas, em proporções respectivas p

e q = 1 − p, em que 0 < p < 1. Dela, efetuamos extrações sucessivas,

com reposição. Seja Y a variável aleatória igual ao número de

extrações necessárias, até a obtenção da primeira bola branca, pede-se

calcular:

a. P(Y = n), n = 1, 2, 3, ...;

b. E(Y);

c. Var(Y).

4.9 Seja L uma variável aleatória discreta cujo conjunto de valores

compreende apenas dois pontos: 0 e 1.

Mostre que:

Var(L) ≤ 0,25

4.10 Calcular a média e o desvio padrão da soma dos pontos obtidos no

jogo de dois dados honestos.

4.11 O fundo de investimento Alpha Ltda. recebe diariamente pedidos de

compra de cotas de participação, os quais distribuem-se segundo uma

média por pessoa de 2200 cotas. Por outro lado, os resgates efetuados

diariamente distribuem-se segundo uma média por pessoa de 1500

cotas. Ao encerrar um dia de trabalho, verificou-se que o número de

cotas já adquirido era de 4.500.000 cotas. Sabendo-se que no dia

seguinte 25 pessoas irão adquirir cotas e outras 15 irão efetuar

resgates, e supondo-se que as compras e os resgates sejam

independentes entre si, calcular a média do número de cotas já

adquirido pelo fundo ao final desse outro dia.

4.12 Determine a média e a moda de uma variável aleatória discreta Y,

cuja distribuição de probabilidades é dada por:

P(y) = 2–y y = 1, 2, 3, ....

4.13 Seja uma variável aleatória discreta X com:

E[(X − 1)]2 = 10 e E[(X − 2)]2 = 6

Determine E(X) e Var(X).

4.14 A Empresa Alpha Ltda. deseja decidir entre dois projetos de

investimentos para modernização de sua linha de produção. Os

valores mensais para o lucro e os prejuízos dos projetos estão

dispostos na tabela a seguir:

 

Projeto Valores em $ Probabilidade de

Lucro sucesso Prejuízo

A 30.000 6000 p

B 25.000 5000 p

Supondo que os dois projetos foram julgados equivalentes, pede-

se determinar, com base no valor esperado, a probabilidade de sucesso p.

4.15 Um vendedor de sorvete ganha $ 20/dia, em média, quando é dia de

sol. Caso chova, ele ganha $ 2/dia. Sabe-se também que,

indiferentemente do fato de ter sol ou chuva, ele sempre ganha $

12/dia como pintor.

Se às 19h a meteorologia informa que temos 60 % de

a.

probabilidade de chuva para o dia seguinte, deverá o vendedor decidir por vender sorvete ou optar por pintura?

b. Qual deverá ser a probabilidade de chover para que ele decida

não vender sorvete?

4.16 Um investimento pode resultar em uma das possibilidades possíveis:

lucro de $ 4000, lucro de $ 8000 ou prejuízo de $ 10.000 com

probabilidades iguais a 45 %, 55 % e 26 %, respectivamente.

Determine o valor esperado para um investimento potencial.

4.17 A organização financeira Betha Ltda. verificou que o lucro unitário L,

obtido em uma operação financeira, é dado pela seguinte expressão:

L = 1,9 V − 0,9 C − 4,5

Sabendo-se que o preço de venda unitário V tem uma

distribuição média de $ 50,00 e desvio padrão de $ 2,00, e que o preço de custo unitário C tem uma distribuição média de $ 45,00 e desvio padrão de $ 1,50, qual é a média e o desvio padrão do lucro unitário?

4.18 Um produto tem custo médio de $ 10,00 e desvio padrão de $ 0,80.

Calcular o preço de venda médio, bem como seu desvio padrão, de

forma que o lucro médio seja de $ 4,00 e seu desvio padrão de $ 1,00.

4.19 Existindo E [X(X − 1)], mostrar que existem μ = E(X) e σ2 = Var(X)

satisfazendo à relação:

σ2 = E[X(X − 1)] + μ − μ2

4.20 As variáveis aleatórias X e Y têm variâncias respectivamente iguais a

3 e 1. Determine a variância de X – 2Y sabendo-se que a covariância

de X e Y é igual a 1.

4.21 X é uma variável aleatória para a qual existem μ = E(X) e σ2 = Var(X).

a. Verificar que E (X − θ)2 = σ2 + (μ − θ)2 ∀ θ ∈ R.

b. Mostrar que E (X − θ)2 assume um mínimo para μ = θ.

4.22 Seja X: número de caras e Y: número de coroas quando são lançadas

duas moedas. Calcular a média e a variância de Z = 2X + Y.

4.23 Se X é uma variável aleatória com μ = E(X) e σ2 = Var(X). Pede-se

mostrar que a variável Y = X − (X − μ)/σ possui E(Y) = μ e Var(Y) =

(σ − 1)2.

4.24 Uma variável aleatória X possui média μ = 13 e variância σ2 = 0.

Quais os possíveis valores assumidos por essa variável em uma

amostra aleatória com três elementos?

4.25 A duração, em horas, de certo componente fabricado pela Indústria

Alpha Ltda. possui distribuição de probabilidades desconhecida.

Entretanto, sabe-se que a vida útil possui média em torno de 2000

horas com desvio padrão de 250 horas. Determinado técnico da

empresa afirma que a probabilidade de um componente durar entre

1500 e 2500 horas é de 50 %. Comente (justificando) a afirmação

desse técnico.

4.26 Giselle pode escolher entre dois investimentos A e B descritos a

seguir.

• A: ações de uma indústria que tem dado 30 % de lucros nos

últimos 10 anos.

• B: ações de uma nova companhia de petróleo que está realizando

prospecção em uma região onde, em média, uma concessão em

três tem obtido quantidades comerciais de óleo. Em se obtendo óleo, o retorno sobre o investimento é de 70 %, caso contrário, 10 %.

Qual a alternativa que deverá ser escolhida por Giselle?

4.27 Sendo X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer, mostre que:

Cov(X − Y, X + Y) = Var(X) + Var(Y).

4.28 O número de refrigeradores (X) vendidos diariamente em certo

estabelecimento comercial é uma variável aleatória com a seguinte

distribuição de probabilidade:

 

X 0 1 2 3 4

P(X) a b c b a

Se em 10 % dos dias as vendas são inferiores a uma unidade e em 70

% dos dias as vendas são superiores a uma unidade, pede-se

determinar:

a. os valores das constantes a, b e c e a função distribuição da

variável aleatória X;

b. a probabilidade de que, quando considerados dois dias, as vendas

sejam superiores, em cada um deles, a duas unidades;

c. se cada refrigerador é vendido a $ 15, determine a função de

probabilidade de receita bruta (Y) obtida com a venda de refrigeradores em determinado dia;

d. se em um dia a receita bruta for inferior a $ 50, determine a

probabilidade de que seja superior a $ 20.

4.29 Um empreiteiro possui um projeto de construção de um edifício

residencial para o qual estima custos fixos girando em torno de $

25.000 e mão de obra em torno de $ 900/dia. Desse modo, se o

projeto demorar X dias a ser concluído, o custo total de mão de obra

será $ 900X e o custo total do projeto de:

C = 25.000 + 900X

O empreiteiro sabe que o projeto demorará entre 10 e 14 dias, e que:

P(X=10 ∪ X=11) = 0,4 P(X=12) = 2 P(X=14)

P(X=10) = 2 P(X=14) P(X=11) = P(X=13)

a. Determine o custo total esperado do projeto.

b. Qual a probabilidade de o projeto ter duração de no máximo 12

dias?

4.30 No último trimestre foram editados no mercado dois livros: X e Y. O

número de exemplares vendidos em cada um dos meses do trimestre

de cada uma das obras nas grandes livrarias do país tem a seguinte

distribuição de probabilidade conjunta:

 

X

Y 1000 1500 2000 f(y)

500 p 2p 3p 6p

1000 2p 4p 2p 8p

1500 3p 2p p 6p

f(x) 6p 8p 6p 20p

a. Determine o valor de p.

b. Determine o número médio mensal de livros X vendidos.

c. Calcule Var(X).

d. Qual a proporção de livrarias em que se vendeu o mesmo

número de exemplares das duas obras?

e. Qual a probabilidade de uma livraria, escolhida ao acaso, ter

vendido mais exemplares dos livros Y do que X?

f. Se W = 0,6 X + 0,8 Y é o número total de livros vendidos das

obras X e Y nas livrarias nesse trimestre, calcule a média dessa variável.

4.31 Uma pessoa paga $ k cada vez que joga um dado e recebe tantos $

quantos pontos obteve. Qual o valor de k cuja esperança matemática

do lucro é nula? Qual o desvio padrão da distribuição do lucro?