Exercícios Resolvidos

3.1 Lançamos um dado duas vezes. Seja a o número de pontos obtidos no

 

primeiro lançamento e b, os obtidos no segundo lançamento.

Determine a probabilidade de a equação ax − b = 0 ter raiz inteira.

Solução:

Se E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, então nosso espaço amostral é a

potência cartesiana Ω = E × E, isto é, o conjunto formado pelos pares ordenados (a,b) tais que a, b ∈ E. Portanto, o número de resultados possíveis (ou eventos simples) é dado por:

n(Ω) = 6 × 6

Ora, como nos interessa a obtenção de uma divisão cujo

resultado seja um número inteiro, ou seja:

 

o evento em tela é o subconjunto:

A = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6),(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

(2,4), (2,6), (3,6) }

do que se conclui que a probabilidade procurada é igual a:

 

3.2 Considere A e B dois eventos quaisquer associados a um experimento

aleatório. Se P(A) = 0,3; P(A ∪ B) = 0,8 e P(B) = p, para quais

valores de p, A e B serão:

a. mutuamente exclusivos?

b. independentes?

Solução:

Sabemos que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (I)

a. Se A e B são mutuamente exclusivos, então P(A ∩ B) = 0.

Portanto, em (I) obtemos:

0,8 = 0,3 + p − 0 ∴ p = 0,5 ✓

b. Se A e B são independentes, então P(A ∩ B) = P(A) P(B). Assim,

em (I) encontramos:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) P(B)

0,8 = 0,3 + p − 0,3 p

0,8 − 0,3 = 0,7 p ∴ p = 5/7 ✓

3.3 Três companhias A, B e C disputam a obtenção do contrato de

fabricação de um foguete meteorológico. A chefia do departamento

de vendas de A estima que sua companhia tenha probabilidade igual à

da companhia B de obter o contrato, mas que, por sua vez, é igual a

duas vezes a probabilidade de C obter o mesmo contrato. Determine a

probabilidade de A ou C obter o contrato.

Solução:

Considere o espaço amostral Ω = {A, B, C}, em que A, B e C

representam, respectivamente, as Companhias A, B e C.

Temos então:

P(A) + P(B) + P(C) = 1

em que, P(A) = P(B) e P(A) = 2 P(C)

Fazendo P(C) = α obtemos P(A) = P(B) = 2 α

Assim, 2 α + 2 α + α = 1 ∴ α = 1/5

Daí, P(A ∪ C) = P(A) + P(C) = 2/5 + 1/5 = 3/5

Ou, P(A ∪ C) = 60 % ✓

3.4 A Companhia de Seguros Security Ltda. analisou a frequência com

que 500 segurados usaram o hospital, apresentando os resultados na

tabela que se segue:

 

Sexo

Usa o hospital Total

Masculino Feminino

Sim 25 40 65

Não 225 210 435

Total 250 250 500

Sejam os eventos:

A= A pessoa segurada usa o hospital. B = A pessoa segurada é do sexo masculino. C = A pessoa segurada é do sexo feminino.

Pede-se determinar P(A), P(B), P(C), P(A ∩ B), P(A ∩ C),

P(A|B) e P(A|C).

Solução:

As probabilidades procuradas são facilmente identificadas na

tabela descrita anteriormente.

3.5 A Indústria Zeppelin, fabricante de eletrodomésticos, tem um

processo de inspeção para controle de qualidade com três etapas. A

probabilidade de um produto passar em qualquer uma dessas etapas

de inspeção sem ser detectado é de aproximadamente 80 %. Com

base nesse valor, determine a probabilidade de um produto passar

pelas três etapas de inspeção sem ser detectado.

Solução:

Considere os eventos A, B e C, como o produto passando na 1a,

2a e 3a etapas, respectivamente.

Como os eventos são independentes, podemos escrever:

P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C)

P(A ∩ B ∩ C) = 0,83 ∴ P(A ∩ B ∩ C) = 51,2 % ✓

3.6 O sistema de controle de qualidade da Empresa Equatorial Ltda.

decide aceitar um grande lote de esferas metálicas se, de uma amostra

de 20, nenhuma for defeituosa.

a. Qual a probabilidade de um lote ser aceito quando nenhuma de

suas esferas produzidas for defeituosa?

b. Se 15 % das esferas tiverem defeito, qual a probabilidade de um

lote ser aceito?

Solução:

Seja o evento Bi (i = 1, 2, 3, ..., 20) representando a retirada da i-

ésima esfera não defeituosa.

a. Sabemos que P(B ) = 1, ∀ i = 1, 2, 3, ..., 20, pois não existe i

nenhuma esfera defeituosa em sua linha de produção. Portanto,

P(B1 ∩ B2 ∩ B3 ∩ … ∩ B20) = P(B1) P(B2) P(B3) … P(B20)

Resumindo,

b. Da mesma forma anterior, mas considerando P(B ) = 1 − 0,15 = i

0,85, podemos escrever:

 

3.7 O índice de falha do sistema de controle de mísseis teleguiados Thor

II é de 1 em 10.000. Suponha que em cada míssil seja instalado um

segundo sistema, completamente idêntico e independente do

primeiro, que atua quando esse último falha. A confiabilidade de um

míssil é a probabilidade de o mesmo não falhar. Determine a

confiabilidade do míssil modificado.

Solução:

Destaque o evento A “o míssil falha ao ser disparado”, em que i i

= 1, 2, com P(Ai) = 1/10.000 = 0,0001 e λ sua confiabilidade.

A probabilidade de os dois mísseis falharem é dada por:

P(A ∩ A ) = P(A ) P(A ) = 0,00012 = 0,00000001 1 2 1 2

Portanto, λ = 1 − 0,00000001 ≅ 99,9999 % ✓

3.8 Um homem de vendas prevê que a probabilidade de consumar uma

venda durante o primeiro contato telefônico com um cliente é de 55

%, mas melhora para 60 % no segundo contato, caso o cliente não

tenha comprado ao ser contatado pela primeira vez. Suponha que esse

vendedor faça no máximo duas chamadas telefônicas para cada

cliente. Se ele entrar em contato com um cliente, calcule a

probabilidade de esse cliente:

a. efetuar a compra;

b. não efetuar a compra.

Solução:

Considere os seguintes eventos:

A = O homem efetua a venda no 1o contato com P(A) = 0,55. B = O homem efetua a venda no 2o contato com P(B|AC) = 0,6. V = O homem efetua a venda.

a. Temos então:

P(V) = P(A) + P(AC ∩ B)

P(V) = P(A) + P(AC) P(B|AC)

P(V) = 0,55 + (1 – 0,55) × 0,6

P(V) = 0,55 + 0,27 = 82 % ✓

b. Segue-se que

P(VC) = 1 − P(V) = 1 − 0,82 = 18 % ✓

3.9 Suponha que no Supermercado Ki Preço a probabilidade de um

cliente esperar 10 minutos ou mais na fila do caixa é de 25 %. Certo

dia, o Capitão Rapadura e sua esposa decidem fazer compras

separadamente, cada um dirigindo-se a um caixa diferente. Se eles

entrarem na fila do caixa ao mesmo tempo, pede-se determinar:

a. a probabilidade de o Capitão Rapadura esperar menos de 10

minutos na fila;

b. a probabilidade de ambos esperarem menos de 10 minutos,

supondo que os tempos de atendimento dos dois eventos sejam independentes;

c. a probabilidade de um ou outro, ou ambos, esperarem 10 minutos

ou mais.

Solução:

a. Considere os eventos:

A = O Capitão Rapadura espera 10 minutos ou mais na fila. B = A esposa do Capitão Rapadura espera 10 minutos ou mais na

fila.

Sabemos que P(A) = P(B) = 25 % = 0,25.

Portanto, P(AC) = 1 − P(A) = 1 − 0,25 = 0,75 = 75 % ✓

b. P(AC ∩ BC) = P(AC) P(BC) = 0,75 × 0,75 = 0,5625 = 56,25 % ✓

c. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) P(B)

P(A ∪ B) = 0,25 + 0,25 − 0,252 = 0,4375 = 43,75 % ✓

3.10 Sabe-se que os comerciais de televisão são destinados a conquistar a

maior parcela possível de audiência do programa que patrocina.

Entretanto, o Sr. Chee Quin afirma que as crianças, na maioria dos

casos, pouco entendem esses comerciais, mesmo os que são

destinados a conquistá-las em especial. Os estudos do Sr. Chee Quin

mostram que as porcentagens de crianças que entendem a mensagem

de um comercial de televisão, por grupos de idade, são as indicadas

na tabela:

 

Entendem o Idade

comercial 5 ⊢| 7 8 ⊢| 10 11 ⊢| 12

Sim 46 62 90

Não 54 38 10

Uma agência de publicidade mostra um comercial de TV a uma

criança de 6 anos e outro a uma de 9 anos, em uma experiência de laboratório para descobrir o grau de entretenimento de cada uma delas com relação a esses comerciais.

a. Qual a probabilidade de que a mensagem do comercial mostrado

à criança de 6 anos seja entendida por ela?

b. Qual a probabilidade de que ambas as crianças entendam os

comerciais?

c. Qual a probabilidade de que uma ou outra, ou ambas, entendam

os comerciais?

Solução:

Destaque os eventos:

A = A mensagem do comercial mostrado à criança de 6 anos seja

entendida por ela.

B = A mensagem do comercial mostrado à criança de 9 anos seja

entendida por ela.

a. A probabilidade procurada do evento A é dada diretamente na

tabela anterior:

P(A) = 46 % ✓

b. P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) = P(A) P(B) pois A e B são eventos

independentes.

P(A ∩ B) = 0,46 × 0,62 = 28,52 % ✓

c. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) P(B)

P(A ∪ B) = 0,46 + 0,62 − 0,46 × 0,62 = 79,48 % ✓

3.11 Como boa vendedora, Alexandra marcou uma visita à tarde com o

gerente da Empresa Equatorial Ltda. Ela estima que há 60 % de

probabilidade de o gerente confirmar a visita, e que há 70 % de

probabilidade de fechar negócios por ocasião da visita. Entretanto, o

gerente da Empresa Equatorial Ltda. sempre marca reunião com a

diretoria nas tardes de sextas-feiras, quando ocorre um movimento de

vendas fora do normal. Existe uma probabilidade de 10 % de haver

uma promoção de vendas para o final de semana na empresa.

Determine a probabilidade de Alexandra fazer a visita, de fechar o

negócio e de não haver promoção.

Solução:

Considere os seguintes eventos:

A = Alexandra tem a visita confirmada. B = Alexandra fecha negócio. C = A empresa faz promoção.

Temos: P(A) = 0,60; P(B) = 0,70 e P(C) = 0,10.

Portanto, P(A ∩ B ∩ Cc) = P(A) P(B) P(Cc) = 0,60 × 0,70 × 0,90

= 37,8 % ✓

3.12 Em certa cidade, 20 % dos carros são da marca K, 30 % dos carros

são táxis e 40 % dos táxis são da marca K. Se um carro é escolhido,

ao acaso, determine a probabilidade de:

a. ser táxi e ser da marca K;

b. ser táxi e não ser da marca K;

c. não ser táxi e não ser da marca K;

d. não ser táxi, sabendo-se que é da marca K.

Solução:

Destaque o quadro auxiliar a seguir, em que x, y, z e w, expressos

em porcentagem, são os valores a determinar:

 

Marca

Tipo de carro Total geral

K Outro

Táxi x w 30,0

Outro y z 70,0

Total Geral 20,0 80,0 100,0

Temos então:

a. x = 0,4 × 30,0 = 12,0 ✓

b. x + w = 30,0 ∴ w = 30,0 − x = 30,0 − 12,0 = 18,0 ✓

c. x + y = 20,0 ∴ y = 20,0 − x = 20,0 − 12,0 = 8,0

y + z = 70,0 ∴ z = 70,0 − y = 70,0 − 8,0 = 62,0 ✓

d. Seja o evento:

M = Não ser táxi sabendo-se que é da marca K.

Observemos que o número de elementos para o novo espaço

amostral será igual a n(Ω*) = 20 %, pois já temos a informação de que ele é, seguramente, da marca K, implicando, assim, a redução do espaço amostral inicial. Quanto ao número de resultados favoráveis ao evento M, temos:

n(M) = y = 8

Portanto,

3.13 Três peças defeituosas são misturadas com seis peças boas. As peças

são analisadas, ao acaso, uma após a outra, até que todas as

defeituosas sejam localizadas. Encontre, nessas condições, a

probabilidade de que a última peça defeituosa seja encontrada

somente no quinto teste efetuado.

Solução:

Designe o evento E = retirar três peças defeituosas em que a

última é encontrada somente na 5a retirada.

Evidentemente, o número de resultados possíveis será:

n(Ω) = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = A9,5 = 15.120

Para o número de resultados favoráveis ao evento E,

consideremos o quadro auxiliar a seguir, no qual D (i = 1, 2, 3) i representa a retirada da i-ésima peça defeituosa.

Número do teste Número de

resultados

01 favoráveis ao 02 03 04 05

evento E

D1 D2 D3 3 × 2 × 6 × 5 × 1

D1 D2 D3 3 × 6 × 2 × 5 × 1

D1 D2 D3 3 × 6 × 5 × 2 × 1

D1 D2 D3 6 × 3 × 2 × 5 × 1

D 1 D2 D3 6 × 3 × 5 × 2 × 1

D1 D2 D3 6 × 5 × 3 × 2 ×1

Total 6 × 180 = 1080

 

Logo,

3.14 No município de El Mundo, chove cinco dias durante o mês de

janeiro. Determine a probabilidade de não chover nos dois primeiros

dias de janeiro.

Solução:

Seja o evento:

A = Não chover nos dois primeiros dias de janeiro. Sabemos que o mês de janeiro possui 31 dias, e que há ausência

de chuvas por 26 dias. Logo, o número de resultados possíveis é

igual a:

 

e o número de casos favoráveis ao evento A:

 

Assim,

 

3.15 Em uma gaveta há 10 pares distintos de meias, mas ambos os pés de

um dos pares estão rasgados. Tirando-se da gaveta um pé de meia por

vez, ao acaso, determinar a probabilidade de tirarmos dois pés de

meia do mesmo par, não rasgados, fazendo duas retiradas.

Solução:

Consideremos o evento:

R = Retirada de dois pés de meia, do mesmo par, não rasgados,

fazendo duas retiradas.

Ora, se ambos os pés de um dos pares estão rasgados, temos,

obviamente, 18 não rasgados e 2 rasgados. Logo, o número de resultados possíveis para o espaço amostral Ω é igual a n(Ω) = A20,2 = 20 × 19 e o de resultados favoráveis ao evento R, n(R) = A = 18. 18,1

Portanto, a probabilidade procurada é:

3.16 A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado a

seguir é dada por 30 %. Se todos os relés funcionarem

independentemente, determinar a probabilidade de que haja corrente

entre os terminais L e M.

Solução:

Considere o evento:

Ri = O i-ésimo relé está fechado, para i = 1, 2, 3, 4.

Pretendemos calcular a probabilidade de (R e R ) ou (R e R ) 1 2 3 4

que em linguagem de conjuntos pode ser escrita:

T = (R1 ∩ R2) ∪ (R3 ∩ R4)

Segue-se:

P(T) = P(R ∩ R ) + P(R ∩ R ) − P(R ∩ R ∩ R ∩ R ) 1 2 3 4 1 2 3 4

P(T) = P(R1) P(R2) + P(R3) P(R4) − P(R1) P(R2) P(R3) P(R4)

em que:

P(R ) = P(R ) = P(R ) = P(R ) = 0,3 1 2 3 4

P(R1 ∩ R2) = P(R1) P(R2) = 0,09

P(R ∩ R ) = P(R ) P(R ) = 0,09 3 4 3 4

P(R 1 ∩ R2 ∩ R3 ∩ R4) = P(R1) P(R2) P(R3) P(R4) = 0,0081

Logo, P(T) = 0,09 + 0,09 – 0,0081 = 0,1719 ✓

3.17 Uma estante contém seis livros de Matemática e quatro de Estatística.

Determine a probabilidade de três livros de Matemática em particular

estarem juntos.

Solução:

Destaque o evento:

D = Escolher três livros de Matemática que estejam juntos.

Todos os livros podem estar dispostos, entre si, de 10! maneiras

distintas, isto é, o número de resultados possíveis para nosso espaço amostral é igual a n(Ω) = 10!.

Para o número de resultados favoráveis ao evento D, admita que

os três particulares livros de Matemática representam apenas um livro, o que nos dará um total de oito livros. Dessa maneira, podemos dispor esses oito livros de 8! maneiras distintas. Porém, devemos lembrar que os três livros de Matemática podem ser dispostos, entre si, de 3! maneiras distintas. Consequentemente, n(D) = 8! × 3!

Segue-se,

3.18 A Indústria de Confecções Marbelle S.A. possui 150 empregados,

classificados de acordo com a tabela a seguir:

 

Idade (Em Sexo Total

anos)

Masculino Feminino

< 25 30 5 35

25 ⊢| 45 40 25 65

> 45 10 40 50

Total 80 70 150

Se um empregado é escolhido ao acaso, determine a

probabilidade dos seguintes eventos:

A = O empregado tem mais de 45 anos. B = O empregado tem idade igual ou superior a 25 anos. C = O empregado é do sexo masculino. D = O empregado tem menos de 25 anos sabendo-se que é do

sexo masculino.

Solução:

3.19 Em um grupo de cinco pessoas escolhidas ao acaso, determinar a

probabilidade de todas elas terem datas de aniversário diferentes,

supondo o ano de 365 dias.

Solução:

Destaque o evento:

A = Escolher cinco pessoas com datas de aniversário em dias

diferentes.

Observemos que cada data de aniversário pode ser considerada

um número entre 1 a 365, inclusive.

 

Dias do ano

1o 2o 3o 4o ... 364o 365o

Logo, teremos para o número de resultados possíveis:

n(Ω) = 365 × 365 × 365 × 365 × 365 = 3655

Já para o número de resultados favoráveis ao evento A,

Datas de aniversário das pessoas

1o 2o 3o 4o 5o

obtemos n(A) = 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = A . 365,5

Assim,

Nota: Entre 23 ou mais pessoas é mais provável que pelo menos duas

tenham aniversário no mesmo dia que todas em dias diferentes.

3.20 Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 são formados números de quatro

algarismos distintos. Se um deles é escolhido ao acaso, qual a

probabilidade de ele ser:

a. par?;

b. ímpar?

Solução:

Seja o Ω o conjunto dos números de quatro algarismos distintos

formados com os dígitos 1, 2 , 3, 4 e 5.

Temos então n(Ω) = 5 × 4 × 3 × 2 = A 5,4 = 120.

a. Considere o evento:

B = O número escolhido é par e a figura seguinte:

 

a ∈ b c y em que y {2, 4}

Note que é conveniente escolher, primeiramente, o valor de y entre 2

e 4 para, só então, fazer a escolha dos valores de a, b e c entre os

dígitos restantes. Agindo de tal modo, concluímos que o número de

resultados favoráveis ao evento B é:

n(B) = 2 × 4 × 3 × 2 = 2 × A 4,3 = 48

Portanto,

b. Destaque o evento:

C = o número escolhido é ímpar.

Como C = Bc, segue-se P(C) = 1 − P(B) = 1 − 0,4 = 60 % ✓

3.21 Em um círculo de raio R é inscrito um quadrado de lado L. Encontre a

probabilidade de que um ponto lançado aleatoriamente no interior do

círculo se encontre também no interior do quadrado, supondo que a

probabilidade de queda dentro de qualquer uma das partes do círculo

dependa apenas da área dessa parte e seja proporcional a ela.

Solução:

 

Sabemos que a área do círculo é dada por πR2 e a área do

quadrado, por L2, conforme a figura seguinte:

Portanto, a probabilidade p desejada é dada por:

 

Observemos que, se o quadrado está inscrito no círculo, então a

sua diagonal será igual ao diâmetro do círculo. Assim acontecendo, utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever:

Substituindo o resultado de (II) em (I), encontraremos o

 

resultado final:

 

3.22 O Prof. Roberto, que é piloto de motos, deseja vencer o Grande

Prêmio Cidade El Mundo, e suas chances são, segundo especialistas,

de 3 para 2. Calcular a probabilidade de ele vencer tal corrida.

Solução:

O enunciado deve ser entendido do seguinte modo: a

probabilidade de o piloto vencer está para a probabilidade de ele não vencer, assim como 3 está para 2. Portanto, chamando de p a probabilidade de o piloto vencer, então 1 – p será a probabilidade de ele não vencer.

Assim, ∴ p = 0,6 ✓

3.23 Uma urna contém cinco esferas vermelhas e quatro brancas. Extraem-

se sucessivamente duas esferas, sem reposição, constatando-se que a

segunda é branca. Qual a probabilidade de a primeira também ser

branca?

Solução:

Como sabemos que a segunda esfera é branca, existem apenas

três possibilidades de a primeira ser branca, dentre os oito casos possíveis. Portanto, a probabilidade é, pois:

3.24 Sejam os eventos E1, E2, E3, …, En, que constituem uma partição do

espaço amostral Ω, ou seja, E ∪ E ∪ E … ∪ E = Ω, e tais que 1 2 3 n

P(Ei) > 0, para todo i = 1, 2, 3, …, n.

Provar que:

 

Solução:

Consideremos um evento B qualquer. Podemos então escrever:

B = B ∩ Ω = B ∩ (E1 ∪ E2 ∪ E3 … En)

B = (B ∩ E ) ∪ (B ∩ E ) ∪ (B ∩ E ) ∪ … (B ∩ E ) 1 2 3 n

De que se conclui:

 

3.25 Uma urna contém α bolas brancas e β bolas vermelhas. Outra urna 1 1

contém α 2 bolas brancas e β2 vermelhas. Passa-se uma bola, escolhida

ao acaso, da primeira para a segunda urna, e, em seguida, extrai-se

uma bola desta última, também ao acaso. Pergunta-se: qual a

probabilidade de que a bola escolhida seja branca?

Solução:

Sejam os eventos:

E = A bola passada da primeira para a segunda urna é branca. 1

E2 = A bola passada da primeira para a segunda urna é vermelha. B = A bola extraída da segunda urna é branca.

Como E e E formam uma partição do espaço amostral (vide 1 2

exercício precedente) tem-se:

P(B) = P(B ∩ E1) + P(B ∩ E2)

P(B) = P(E )P(B|E ) + P(E )P(B|E ) 1 1 2 2

 

3.26 O depósito da loja de confecções Savanah Ltda. possui 180 calças

jeans da marca A, das quais seis são defeituosas, e 200 da marca B,

das quais nove são defeituosas. Um funcionário da loja vai ao

depósito e retira uma calça jeans. Qual a probabilidade de que a calça

jeans seja:

a. da marca A ou não defeituosa (Dc)?

b. defeituosa sabendo-se que é da marca B?

c. defeituosa (D)?

Solução:

Pelo exposto, ficam determinadas as probabilidades seguintes:

 

Portanto,

a.

P(A ∪ DC) = P(A) + P(DC) – P(A ∩ DC)

 

b.

 

c. Utilizando o Teorema da Probabilidade Total, podemos escrever:

P(D) = P(D ∩ A) + P(D ∩ B)

P(D) = P(A) P(D|A) + P(B) P(D|B)

em que

 

Logo,

3.27 O Sr. Ray Moon Dee, ao dirigir-se ao trabalho, usa um ônibus ou o

metrô com probabilidades de 0,2 e 0,8, nessa ordem. Quando toma

um ônibus, chega atrasado 30 % das vezes. Quando toma o metrô,

atrasa-se 20 % dos dias. Se o Sr. Ray Moon Dee chegar atrasado ao

trabalho em determinado dia, qual a probabilidade de ele ter tomado

um ônibus?

Solução:

Considere os eventos:

O = O Sr. Ray Moon Dee usa um ônibus com P(O) = 0,2; M = O Sr. Ray Moon Dee usa o metrô com P(M) = 0,8; A = O Sr. Ray Moon Dee chega atrasado.

Podemos então escrever:

P(A|O) = 0,3 e P(A|M) = 0,2

correspondentes aos 30 % e 20 % dos dias em que ele chega atrasado

quando toma ônibus e metrô, respectivamente.

Utilizando o Teorema da Probabilidade Total, encontramos a

probabilidade de ele chegar atrasado:

P(A) = P(O ∩ A) + P(M ∩ A)

P(A) = P(O)P(A|O) + P(M)P(A|M)

P(A) = 0,2 × 0,3 + 0,8 × 0,2 = 0,22

Portanto,

 

3.28 Estima-se que 80 % de todo o rebanho de gado bovino da Fazenda

Boi-Bumbá é tratado com vacina contra uma doença grave. A

probabilidade de um animal ficar curado dessa doença é de 1 em 30,

caso não haja tratamento, e 1 em 2, havendo tratamento. Se uma vaca

portadora dessa doença ficar curada, qual é a probabilidade de ela ter

tomado a vacina preventiva?

Solução:

Destaque os eventos:

T = A vaca é tratada com a vacina. TC = A vaca não é tratada com a vacina. C = A vaca fica curada.

Logo, P(T) = 0,8; P(TC) = 0,2; P(C|T) = 1/2 e P(C|TC) = 1/30. A probabilidade de a vaca ser curada é dada por:

P(C) = P(C ∩ T) + P(C ∩ Tc)

P(C) = P(T)P(C|T) + P(Tc)P(C|Tc)

 

Daí,

3.29 Existem três caixas idênticas. A caixa I contém duas moedas de ouro,

a caixa II, uma moeda de ouro e outra de prata e a caixa III, duas

moedas de prata. Uma caixa é selecionada ao acaso e é escolhida uma

moeda ao acaso. Se a moeda é de ouro, qual a probabilidade de que a

outra moeda da caixa escolhida também seja de ouro?

Solução:

Sejam os eventos:

CI: A caixa escolhida é a I. C : A caixa escolhida é a II. II

CIII: A caixa escolhida é a III. O: A moeda sorteada é de ouro.

O problema pode então ser expresso da seguinte forma: se a

moeda escolhida é de ouro, qual a probabilidade de ela vir da

primeira caixa (pois a caixa I é a única que contém duas moedas de ouro)?

Matematicamente:

 

em que:

 

Portanto,

 

Nota: Esse problema é conhecido como o problema da moeda de

Bertrand.

3.30 A Indústria Alpha Ltda., fabricante de esferas metálicas, possui três

máquinas, M1, M2 e M3, responsáveis por 25 %, 40 % e 35 %,

respectivamente, de sua produção diária. Por sua vez, as respectivas

taxas de unidades defeituosas são de 1 %, 2 % e 3 %. Tendo um item

sido retirado, ao acaso, da produção diária de 600.000 unidades, e

verificando-se que apresenta defeito, pede-se a probabilidade de ser

proveniente de Mi (i = 1, 2, 3).

Solução:

Representemos por M i o evento ‘o item foi fabricado pela

máquina M ’ (i = 1, 2, 3) e por D ‘o evento o item apresenta defeito’. i

Com base no que ficou descrito, utilizando o Teorema de Bayes,

na hipótese de que os 60.000 itens da produção diária tenham iguais possibilidades de escolha, teremos:

P(M1) = 0,25, P(M2) = 0,40 e P(M3) = 0,35

concernentes aos 25 %, 40 % e 35 % da produção.

Por outro lado, podemos escrever:

P(D|M ) = 0,01, P(D|M ) = 0,02 e P(D|M ) = 0,03 1 2 3

correspondentes aos 1 %, 2 % e 3 % de itens defeituosos na produção

de cada máquina, respectivamente.

Segue-se:

p1 = P(M1) P(D|M1) = 0,25 × 0,01 = 0,0025 p = P(M ) P(D|M ) = 0,40 × 0,02 = 0,0080 2 2 2

p3 = P(M3) P(D|M3) = 0,35 × 0,01 = 0,0105

Aplicando Bayes, obtemos as probabilidades desejadas:

P(M |D) = p /(p + p + p ) = 0,119 ✓ 1 1 1 2 3 P(M2|D) = p2/(p1 + p2 + p3) = 0,381 ✓ P(M |D) = p /(p + p + p ) = 0,500 ✓ 3 3 1 2 3

3.31 A circulação da estrada que liga a cidade Alpha à cidade Betha é

cortada por três sinais luminosos, não sincronizados, com distância

mínima entre eles de 2,5 km. Os sinais têm ciclo de um minuto, com

duração para o sinal verde de 30, 30 e 40 segundos, respectivamente.

Se um carro percorre a estrada, à velocidade de 60 km/h, observando

todos os sinais, qual a probabilidade de não ser parado por nenhum

deles?

Solução:

Seja Ci o evento seguinte: o carro não é parado pelo i-ésimo sinal

(i = 1, 2, 3).

Temos:

P(C ) = P(C ) = 30/60 =1/2 e P(C ) = 40/60 = 2/3 1 2 3

Supondo a independência das ações dos sinais, obtemos:

P(T) = P(C1) × P(C2) × P(C3) =1/2 × 1/2 × 2/3 = 1/6 ✓

em que T = C ∩ C ∩ C é o evento o carro não é parado por nenhum 1 2 3

dos sinais.

3.32 Considere A e B dois eventos quaisquer associados a um experimento

aleatório. Se A e B são independentes, pede-se mostrar que:

a. A e Bc são independentes;

b. Ac e B são independentes.

Solução:

a. O evento A em linguagem de conjuntos pode ser escrito como:

A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc)

 

Como A e B são eventos independentes, temos:

Substituindo (II) em (I), encontramos:

 

P(A) = P(A) P(B) + P(A ∩ Bc)

P(A ∩ Bc) = P(A) − P(A) P(B)

P(A ∩ Bc) = P(A) [1 − P(B)]

∴ P(A ∩ Bc) = P(A) P(Bc) ✓

b. Da mesma forma que o item anterior, podemos expressar o

evento B:

B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac)

 

Como B e A são eventos independentes, temos:

 

Substituindo (IV) em (III), encontramos:

P(B) = P(B) P(A) + P(B ∩ Ac)

P(B ∩ Ac) = P(B) – P(B) P(A)

P(B ∩ Ac) = P(B) [1 – P(A)]

∴ P(B ∩ Ac) = P(B) P(Ac) ✓

3.33 Sejam A e B dois eventos independentes quaisquer associados a um

experimento aleatório. Se P(A ∩ B) = 0,01 e P(A ∩ Bc) = 1/600, pede-

se determinar P(B).

Solução:

Se A e B são eventos independentes, então A e Bc também são

eventos independentes, conforme demonstrado no exercício anterior.

Assim,

 

Dividindo (I) por (II), obtemos:

 

= 6 em que P(Bc) = 1 − P(B)

 

3.34 Debi Loyde prepara-se para uma prova estudando uma lista de

exercícios com 10 problemas dos quais consegue resolver apenas

oito. Na prova, o Prof. Pi Rado escolhe aleatoriamente cinco

problemas da lista de 10 exercícios. Qual a probabilidade de o

estudante resolver corretamente todos os cinco problemas da prova?

Solução:

Defina o evento:

E = Debi Loyde resolve corretamente todos os cinco problemas

da prova.

Para o espaço amostral deveremos escolher cinco problemas

entre os 10 da lista:

 

Resolver corretamente os cinco problemas da prova significa

escolhê-los entre os oito que Debi Loyde consegue solucionar. O número de maneiras distintas que isto pode ser feito é dado por:

 

Portanto, a probabilidade é igual a:

 

3.35 Dois dígitos são selecionados aleatoriamente de 1 a 9. Se a soma é

par, encontre a probabilidade de ambos os números serem ímpares.

Solução:

Inicialmente deveremos lembrar que se a soma de dois números

é um número par, então esses dois números são pares ou estes dois são ímpares. Consideremos então os eventos a seguir:

S: A soma dos números é par. A: Os dois números escolhidos são pares. B: Os dois números escolhidos são ímpares.

Portanto, para o espaço amostral S deveremos escolher dois

dígitos cuja soma seja um número par:

Daí, a probabilidade de os dois números escolhidos serem

ímpares é:

 

3.36 Um grupo é formado por seis homens e quatro mulheres. Três

pessoas são selecionadas ao acaso e sem reposição. Qual a

probabilidade de que ao menos duas sejam do sexo masculino?

Solução:

O espaço amostral Ω é constituído de todas as combinações das

10 pessoas tomadas 3 a 3:

 

O evento E que nos interessa é formado por todas as

combinações de Ω tais que em cada uma exista dois ou três homens:

 

Portanto,

 

3.37 Cinco lâmpadas são escolhidas aleatoriamente de um pacote que

contém 10 lâmpadas das quais três são defeituosas. Seja w o número

de lâmpadas defeituosas escolhidas. Determine a probabilidade de w

= 2.

Solução:

Seja o evento:

L = Escolher cinco lâmpadas das quais duas são defeituosas e

três não defeituosas.

Para o espaço amostral deveremos escolher cinco lâmpadas

dentre as 10 contidas no pacote:

 

Para o número de maneiras de escolher os elementos do evento

L, deveremos escolher duas lâmpadas defeituosas entre as três defeituosas do pacote e, portanto, três lâmpadas não defeituosas entre as sete não defeituosas do pacote. Assim, o número de elementos para o nosso evento será:

 

Dessa forma,

 

3.38 A probabilidade de um determinado evento ocorrer em uma prova é

igual a 1/n. Determine a probabilidade de esse evento não ocorrer

nenhuma vez em n provas. Para que valor tende essa probabilidade

quando n tender para infinito?

Solução:

A probabilidade de que esse evento não ocorra em uma prova é

igual a:

 

Portanto, a probabilidade de esse evento não ocorrer em n provas

é dada por:

 

Aplicando o limite quando n tender para infinito na

probabilidade encontrada anteriormente, teremos:

 

3.39 Esferas metálicas verdes e amarelas produzidas por uma máquina são

selecionadas aleatoriamente, uma após a outra, para uma inspeção.

Encontre a probabilidade p de as verdes e amarelas serem escolhidas

alternadamente em uma amostra constituída de três esferas verdes e

quatro amarelas.

Solução:

Se as esferas verdes e amarelas devem ser escolhidas de forma

alternada, então a primeira a ser escolhida deve ser uma esfera de cor amarela.

Portanto,

 

3.40 Juliana lança simultaneamente três dados não viciados.

Qual a probabilidade de ela obter 18 pontos em um único

a. lançamento?

b. Qual a probabilidade de ela não obter 18 pontos em um único

lançamento?

c. Qual a probabilidade de ela não obter 18 pontos em n

lançamentos?

d. Qual a probabilidade de ela obter 18 pontos, pelo menos uma

vez, em n lançamentos?

e. A partir de qual valor do parâmetro n a probabilidade calculada

no item anterior se torna superior a 50 %?

Solução:

Sejam os eventos:

A = Juliana obtém 18 pontos em um único lançamento; B = Juliana obtém 18 pontos em n lançamentos.

a. Para obter soma dos pontos igual a 18, é necessário que Juliana

obtenha a face seis em todos os três dados.

Assim,

 

b. A probabilidade de ela não obter soma de pontos igual a 18 em

um único lançamento é igual a:

 

c. A probabilidade de ela não obter soma de pontos igual a 18 em n

lançamentos é dada por:

d. A probabilidade de se obter soma de pontos igual a 18, pelo

menos uma vez, em n lançamentos é igual a:

 

e. A probabilidade de se obter soma de pontos igual a 18, pelo

menos uma vez, em n lançamentos ser superior a 0,5 é igual a:

 

∴ n > 149,3

Portanto, deveremos ter, no mínimo, n = 150. ✓

3.41 Determine o menor valor de n de sorte que a probabilidade de que

pelo menos uma pessoa entre n pessoas aniversarie hoje seja maior

que 50 %, supondo que o ano possua 365 dias.

Solução:

A probabilidade de que uma dada pessoa não aniversarie hoje é

igual a:

 

Portanto, entre n pessoas, a probabilidade de nenhuma

aniversariar hoje é dada por:

 

Assim, a probabilidade de que pelo menos uma pessoa

aniversarie hoje é igual a:

 

Desejamos encontrar o menor valor de n que torne verdadeira a

inequação:

 

∴ n > 252,65

Dessa forma, o menor valor de n que torna a inequação

verdadeira, e, por conseguinte, a afirmação do enunciado, é n = 253. ✓

3.42 Durante os primeiros dois meses do ano em curso, a Empresa

Jaraguá, fabricante de produtos agrícolas, apresentou a seguinte

configuração de vendas e devoluções pelo motivo de o produto não se

encontrar dentro das especificações exigidas pelo cliente.

 

Quantidade – em toneladas

Cliente Fornecida Devolvida

A1 500 10

A 2 756 30

A3 456 20

A 4 900 18

A5 467 50

Determinado cliente devolveu um produto de 495t pelo fato de

ele se encontrar fora das especificações do controle de qualidade. Pedem-se ordenar, com base nos valores descritos no quadro anterior, os clientes mais prováveis de terem devolvido tal venda.

Solução:

Considere os seguintes eventos:

Ai = o produto é vendido ao cliente i i = 1, 2 , 3, 4, 5. B = o produto é devolvido por não atender às especificações do

cliente.

Observe que os eventos A i definem uma partição sobre o espaço

amostral Ω.

Assim,

 

Da mesma forma, procede-se para os A i restantes, conforme

quadro seguinte.

 

Probabilidade

Cliente

P(Ai) P(B|Ai) P(B|A ۷ i ) P(A P(A i )i|B)

A1 0,162 0,020 0,0032 0,077

A2 0,246 0,040 0,0098 0,235

A3 0,148 0,044 0,0065 0,156

A4 0,292 0,020 0,0058 0,140

A5 0,152 0,107 0,0163 0,391

Total 1,000 P(B) = 0,04157 1,000

Portanto, a ordenação procurada é:

P(A5|B) > P(A2|B) > P(A3|B) > P(A4|B) > P(A1|B) ✓

3.43 A procura diária de determinado jornal vespertino (X) em uma banca

de revistas é descrita como se segue:

 

X 0 1 2 3 4

P(X ) 0,050 0,060 0,060 0,080 0,125

 

X 5 6 7 8 9

P(X ) 0,250 0,125 0,050 0,060 0,140

Sabendo-se que:

• a banca de revistas recebe diariamente seis jornais;

• os jornais chegam sempre antes das 17h e a banca encerra as

vendas às 19h30.

• em determinado dia, às 19h, a banca de revistas já havia vendido

quatro jornais.

Pergunta-se: qual a probabilidade de que nesse dia se venda todo

o estoque de jornais?

Solução:

Para que se venda todo o estoque é necessário que se vendam

seis jornais ou mais:

X ≥ 6

Mas sabe-se que, nesse dia, já tinham sido vendidos (e, portanto,

procurados) quatro jornais, o que significa dizer que nesse dia a procura será necessariamente igual ou superior a quatro:

X ≥ 4

Portanto, a probabilidade de que se vendam seis jornais,

sabendo-se que se venderam quatro jornais ou mais, é dada por:

 

3.44 A empresa Castanhal Ltda. produz castanha in natura na zona de El

Mundo. No ano passado a empresa comercializou apenas 50.000 das

55.000 toneladas de castanha processadas. As 5.000 toneladas

restantes acabaram por apodrecer, pois não foi possível colocá-las no

mercado, devido ao excesso de produção.

Atendendo às normas de qualidade impostas por seus clientes,

toda castanha vendida é classificada em três categorias: Grande, Média e Pequena.

Das 25.000 toneladas classificadas na categoria Grande, 80 %

foram vendidas a um preço por quilo superior a $ 60.000.

Sabendo ainda que:

• Metade da produção de castanha foi vendida a um preço por kg

superior a $ 60.000.

• 75 % da produção de castanha do tipo média foi vendida a um

preço inferior a $ 60.000 por quilo.

• Toda a produção de castanha do tipo pequena foi vendida a um

preço inferior a $ 60.000 por quilo.

• Calcule:

a. A porcentagem de castanha que foi classificada nas categorias

Média e Pequena.

b. De toda a castanha que foi vendida a um preço superior a $

60.000, qual a porcentagem que foi classificada na categoria Média.

c. A probabilidade de um quilo de castanha que foi vendido a um

preço de $ 20.000 ter sido enquadrado na categoria Média.

Solução:

Defina os eventos como se seguem:

A1: uma castanha escolhida ao acaso ser da categoria Grande; A2: uma castanha escolhida ao acaso ser da categoria Média; A3: uma castanha escolhida ao acaso ser da categoria Pequena; B: castanha ser vendida a um preço superior a 60.000 por quilo.

Os eventos constituem uma partição.

 

Probabilidade

Tipo

P(Ai) P(B|Ai) P(B|Ai) · P(Ai) P(Ai|B)

A1 0,5000 0,8000

A2 0,2500

A3 0,0000

Total 1,0000 P(B) = 0,5000 1,0000

a. Pretende-se saber P(A2) e P(A3). Assim, atendendo à fórmula da

probabilidade total:

0,50 = 0,5 × 0,8 + P(A ) × 0,25 + P(A ) × 0 2 3

Sabendo que os eventos constituem uma partição:

0,50 + P(A2) + P(A3) = 1.

Resolvendo o sistema (duas equações e duas incógnitas) temos:

P(A ) = 40 % ∧ P(A ) = 10 %. ✓ 2 3

Segue o quadro demonstrativo de probabilidade:

Tipo Probabilidade

P(Ai) P(B|Ai) P(B|Ai) · P(Ai) P(Ai|B)

A1 0,5000 0,8000 0,4000 0,8000

A2 0,4000 0,2500 0,1000 0,2000

A3 0,1000 0,0000 0,0000 0,0000

Total 1,0000 P(B) = 0,5000 1,0000

a. Temos P(A |B) = 0,20. ✓ 2

b. Pretende-se saber P(A2|Bc).

Temos então:

Portanto:

 

P(A C 2 ∩ B) = P(A2) × P(BC|A2)

P(A2 ∩ BC) = 0,4 × (1 ― 0,25) = 0,30

 

3.45 Leia com atenção o diálogo abaixo e responda o que se pede.

– Vejo que você tem um gato – diz o Prof. Reinaldo ao Prof. Renan –

O rabinho branco dele é muito bonitinho! Quantos gatos você tem?

– Não muitos – diz o Prof. Renan – A minha vizinha tem 20 gatos,

muito mais que eu.

– Você ainda não me disse quantos gatos você tem! diz o Prof.

Reinaldo.

– Bem... Vou colocar a coisa da seguinte maneira: se você escolher

dois dos meus gatos ao acaso, a probabilidade de que ambos tenham

o rabo branco é de exatamente 50 %, responde o Prof. Renan.

– Isso ainda não me diz quantos gatos você tem! diz o Prof. Reinaldo.

– Diz sim! retruca o Prof. Renan.

Pergunta-se: quantos gatos tem o Prof. Renan? E quantos deles

têm o rabo branco?

Solução:

Suponha que existam g gatos, dos quais b têm o rabo branco. Temos então, g(g – 1) pares ordenados de gatos diferentes e b(b –

1) pares ordenados de gatos de rabo branco.

Isso significa dizer que a probabilidade de ambos os gatos terem

o rabo branco é:

 

Que deve ser igual a 50 %:

 

Ou seja:

g(g ― 1) = 2b(b ― 1)

Em que g e b são números inteiros.

Assim, a menor solução é g = 4 e b = 3. A seguinte é g = 21 e b =

15. Como o Prof. Renan tem menos de 20 gatos, ele deve ter quatro gatos, sendo três deles com rabo branco.

3.46 Lampião Jr. e Maria Bonitinha desejam encontrar-se entre as 14h e as

15h, ficando combinado que nenhum deles espere mais de 20 minutos

um pelo outro. Nessas condições, pede-se a probabilidade de eles se

encontrarem.

Solução:

A figura representa a chegada de Maria Bonitinha (A) e Lampião

Jr. (B) nos 60 minutos compreendidos entre as 14h e as 15h.

Seja o evento E = as duas pessoas encontram-se no horário

combinado, At a área do quadrado (área possível) e Ad a área não favorável ao encontro (área não tracejada).

 

Dessa forma,