Exercícios Propostos

2.1 Um comerciante dispõe de um estoque de seis unidades de certo

artigo quando abre sua loja na segunda-feira pela manhã. No decorrer

de um dia, ele costuma vender no mínimo uma unidade e no máximo

três unidades do referido artigo. Supondo que essa previsão é sempre

satisfeita, e que o comerciante só será reabastecido na quinta-feira,

pede-se traçar a evolução de seu estoque até o encerramento da loja

na manhã de quarta-feira, e determinar quantas são as possibilidades

que envolvem a queda do estoque ao nível zero no decorrer desse

período.

2.2 Há três maneiras de ir para a cidade B partindo de A, ou seja, há três

estradas, e quatro estradas da cidade B para a C. Você sai de A,

dirige-se para C passando por B e depois volta para B, sendo que na

volta para B a estrada que você usou para ir de B para C está

interrompida. Calcular o número de maneiras distintas pelas quais

você pode fazer o trajeto.

2.3 Um edifício possui seis portões: P 1, P2, P3, P4, P5, P6. Determine o

número de possibilidades diferentes de uma pessoa entrar e sair desse

edifício, sabendo-se que a pessoa pode sair pelo mesmo portão que

usou para entrar.

2.4 Um automóvel é oferecido pelo fabricante em oito cores diferentes,

podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc.

Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões standard,

luxo e superluxo, calcular as alternativas para o comprador.

2.5 Suponha que no início de um jogo você tenha $ 2,00 e que você só

possa jogar enquanto tiver dinheiro. Supondo que em cada jogada

você perde ou ganha $ 1,00, enumerar, ao final de três jogadas, os

possíveis resultados.

2.6 Walker (W), Hudson (H), Elton (E), Ubirajara (U) e Newton (N)

disputam uma corrida de 100 m. Determinar o número de resultados

possíveis para os três primeiros colocados.

2.7 Pede-se o número máximo de alternativas de que o Prof. André

dispõe para escolher um ou mais representantes entre cinco alunos.

2.8 O Prof. Luciano, dirigindo-se ao trabalho, vai encontrando seus

amigos e levando-os juntos em seu carro. Ao todo leva cinco amigos,

dos quais apenas três são conhecidos entre si. Feitas as apresentações,

os que não se conheciam cumprimentam-se com apertos de mãos,

dois a dois. Pergunta-se o número total de apertos de mãos.

2.9 Se o conjunto η possui 63 subconjuntos não vazios, determine o

número de elementos desse conjunto.

2.10 Nove universidades se juntam para formar uma liga de basquete.

Cada time deve enfrentar o outro duas vezes durante o torneio.

a. Qual o total de jogos dessa liga?

b. Em quantos jogos atuarão dois dos quatro melhores times?

2.11 Em uma cidade de 20.000 habitantes, 5 % usam somente uma

sandália, isto é, apenas um pé é calçado. Se a metade do restante

dessa cidade anda descalça, quantas sandálias são usadas por essa

população?

2.12 Em determinada conferência estão reunidos oito representantes do

Japão, quatro da Argentina e cinco do Brasil. Pede-se o número de

comissões possíveis que podem ser formadas com dois representantes

de países diferentes.

2.13 Calcule o número de maneiras distintas de que a Profa. Marta dispõe

para entrar em um edifício que possui três portões e quatro portas.

2.14 Em um computador digital, um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma

palavra é uma sucessão de bits. Determine o número de palavras

distintas de 16 bits.

2.15 Uma equipe brasileira de automobilismo tem quatro pilotos de

diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. A equipe dispõe

de quatro carros de cores distintas, dos quais somente um foi

fabricado no Brasil. Sabendo-se que, obrigatoriamente, ela deve

inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou um carro

brasileiro, calcular o número de inscrições que a equipe pode fazer

com relação a uma corrida da qual participará com três carros.

2.16 Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ... , 9, cujo

segredo é formado por uma sequência de quatro dígitos distintos.

Determinar qual número máximo de tentativas deverá uma pessoa

fazer para abrir o cofre, supondo que a pessoa sabe que o segredo é

formado por dígitos distintos.

2.17 Quantos são os números de quatro algarismos superiores a 2500 que

se podem escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 sem repeti-los?

2.18 Dez clubes de futebol disputam um campeonato em dois turnos.

Calcular quantos jogos foram realizados, se no final dois clubes

empatam na primeira colocação, havendo mais um jogo de

desempate?

2.19 As áreas dos retângulos A, B e C são, respectivamente, S(A) = 20,

S(B) = 10, S(C) = 16 cm2. Se temos S(A ∩ B) = 3, S(A ∩ C) = 6, S(B

∩ C) = 4 e S(A ∪ B ∪ C) = 35 cm2, determine S(A ∩ B ∩ C).

2.20 Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, de quantas maneiras podemos

permutá-los de modo que os números ímpares fiquem sempre em

ordem crescente?

2.21 Em uma sala existem nove cadeiras e cinco pessoas. Determine o

número de maneiras distintas de as pessoas ocuparem as cadeiras.

2.22 A bandeira brasileira é pintada, como sabemos, com as cores VERDE,

AMARELA, AZUL e BRANCA, tendo, portanto, quatro partes

distintas. Se não houvesse uma cor específica para cada parte, qual o

número possível de bandeiras obtidas usando-se as mesmas cores sem

repeti-las?

2.23 Imagine os irmãos Tita e Niki como a primeira geração de uma

família. Os dois irmãos decidem que, quando se casarem, deverão ter

dois filhos cada um. Os filhos, quando casados, deverão ter, também,

dois filhos, e assim sucessivamente. Determine o número de

componentes dessa família na quinta geração sem que tenha havido

mortes.

2.24 Demonstre que o número de maneiras pelas quais é possível distribuir

n objetos diferentes em duas caixas iguais de sorte que nenhuma

fique vazia é 2n−1 −1.

2.25 O Prof. Paulo Régis leva exatamente um minuto para escrever cada

anagrama da palavra ESTATÍSTICA. Se ele escrever

ininterruptamente, sem descanso, quanto tempo levará para escrever

todos os anagramas?

2.26 De quantas formas oito sinais e cinco sinais podem ser

colocados em uma sequência?

2.27 Uma prateleira possui seis compartimentos separados. Determine o

número de maneiras distintas pelas quais podemos colocar quatro

bolinhas indistinguíveis nos compartimentos.

Nota: Esse tipo de problema surge na Física em relação à Estatística

de Bose-Einstein.

2.28 Alexandra encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal

de eixos Ox e Oy. Ela só pode dar um passo de cada vez, para o norte

(N) ou para o leste (L). Partindo da origem e passando pelo ponto

A(3,1), quantas trajetórias existem até o ponto B(5,4)?

2.29 Capitão Rapadura deseja comprar um carro novo. Ele pode escolher

entre três marcas de motor, oito modelos e 15 cores. Quantos carros

diferentes constituem as possíveis opções do Capitão Rapadura?

2.30 O Chefe de Departamento de Pessoal de um grande complexo

industrial entrevistou 15 novos engenheiros com a finalidade de

preencher três vagas em setores diferentes dessa indústria. Pergunta-

se: de quantas maneiras ele pode preencher essas vagas?

2.31 Tem-se n bolas pretas e m – 1 bolas vermelhas, sendo m > n + 1.

Determinar de quantas maneiras distintas se podem alinhar tais bolas,

de modo que duas bolas pretas nunca fiquem juntas.

2.32 O Prof. Renato conta exatamente três piadas em seu curso anual de

Física Geral. Sabendo-se que ele tem por norma nunca contar as

mesmas três piadas que contou em qualquer outro ano, qual será o

número de piadas diferentes que terá contado em 35 anos?

2.33 Determinado número de torcedores foi consultado sobre suas

preferências futebolísticas, verificando-se os seguintes resultados:

60 deles torciam pelo Ceará ou pelo Fortaleza;

45 não torciam pelo Fortaleza;

35 não torciam pelo Ceará.

Determine, então, o número de torcedores que torciam pelo

Ceará ou não torciam pelo Fortaleza.

2.34 A diretoria de uma firma é composta de sete diretores brasileiros e

quatro franceses. Quantas comissões de três brasileiros e três

franceses podem ser formadas?

2.35 Em uma festa infantil estão presentes 10 meninos usando calça de

brim e 10 meninos usando calça de veludo. Quantos grupos de cinco

meninos podemos formar, se em cada um dos grupos deve haver três

meninos usando calça de brim e dois meninos usando calça de

veludo?

2.36 Em uma universidade, 40 % dos alunos têm carros, 35 % têm

motocicleta e 15 % têm tanto carro como motocicleta. Qual a

porcentagem de alunos que não possuem nem carro nem motocicleta?

2.37 De quantas maneiras podemos distribuir n objetos iguais em duas

caixas diferentes?

2.38 De quantas maneiras podemos colocar cinco esferas iguais em duas

caixas iguais?

2.39 Entre os números de 1 a 3600 inclusive, quantos são divisíveis por 3,

5 ou por 7?