Exercícios Resolvidos

4.1 Considere X a importância em dinheiro que podemos receber de

prêmio em certo jogo de azar. Se para participar do jogo temos de

pagar a quantia de $ 4,00, pede-se determinar o ganho esperado,

supondo E(X) = $ 3,00.

Solução:

Se pagarmos $ 4,00 para participar do jogo, o ganho líquido é

representado pela variável aleatória L = X − 4, cujo valor esperado de ganho será:

E(L) = E(X − 4) = E(X) − 4

∴ E(L) = 3 − 4 = −1,00 ✓

Como o resultado foi negativo, conclui-se que há uma perda

esperada de $ 1,00.

4.2 A Empresa Equilibrada S.A. vende três produtos cujos lucros e

probabilidades de venda estão anotados na tabela a seguir:

Produto A B C

Lucro unitário ($) 15 20 10

Probabilidade de venda (%) 20 30 50

Pede-se:

a. o lucro médio por unidade vendida e o desvio padrão;

b. o lucro total esperado em um mês em que foram vendidas 5000

unidades.

Solução:

Seja a variável aleatória X = lucro unitário e P(X) a sua

probabilidade respectiva de venda.

a. Cálculo do lucro médio:

 

E(X) = (15 × 0,20) + (20 × 0,30) + (10 × 0,50) = $ 14,00 ✓

Cálculo do desvio padrão:

Var(X) = E(X2) –

Mas,

E(X2) = (152 × 0,20) + (202 × 0,30) + (102 × 0,50) = 215

Segue-se, Var(X) = 215 − 142 = 19

Portanto, σ2 = ≅ $ 4,36 ✓

b) E(5000X) = 5000 × E(X) = 5000 × 14 = $ 70.000 ✓

4.3 X é uma variável aleatória com μ = E(X) e σ2 = Var(X). Pede-se

verificar que a variável Y = (X − μ)/σ possui E(Y) = 0 e Var(Y) = 1.

Solução:

 

4.4 Considere a distribuição de probabilidades:

X –1 0 1

P(X) 0,375 0,25 0,375

Determine P(μ – σ < X < μ + σ)

Solução:

Evidentemente, deveremos calcular de início os valores de μ e σ. Assim,

μ = E(X) = = (–1 × 0,375) + 0 + (1 × 0,375) = 0

σ = Var(X) = E(X2) – = E(X2) – 0 = E(X2)

Var(X) = E(X2) = (–12 × 0,375) + (02 × 0,25) + (12 × 0,375) = 0,75

σ = ≅ 0,86

Portanto,

P(μ − σ < X < μ + σ) = P(0 − 0,86 < X < 0 + 0,86) = P(X = 0) = 25 % ✓

4.5 Um processo de fabricação produz peças com peso médio de 20 g e

desvio padrão de 0,5 g. Essas peças são acondicionadas em pacotes

de uma dúzia cada. As embalagens pesam em média 30 g com desvio

padrão de 1,2 g. Determinar a média e o desvio padrão do peso total

do pacote.

Solução:

Suponha que o peso das peças (X) e o peso da embalagem (Y)

sejam duas variáveis independentes, isto é, o peso do material empacotado não é influenciado pelo peso do pacote.

Denotando o peso total do pacote por T, temos:

T = 12 X + Y

Então:

E(T) = 12 × E(X) + E(Y)

Var(T) = 122 × Var(X) + Var(Y)

em que E(X) = 20 g, E(Y) = 30 g, Var(X) = 0,25 g2, Var(Y) = 1,44 g2.

Cálculo do peso médio:

E(T) = (12 × 20) + 30 = 270 g ✓

Cálculo do desvio padrão:

Var(T) = 122 × 0,25 + 1,44 = 37,44

Daí, σ2 = ≅ 6,11 g ✓

4.6 A Transportadora Yuki Ltda. possui uma frota de quatro caminhões

de aluguel. Sabe-se que o aluguel é feito por dia, e que a distribuição

diária do número de caminhões alugados é a seguinte:

 

X 00 01 02 03 04

P(X) 10 20 30 30 10

em que X representa o número de caminhões alugados/dia e P(X) a

probabilidade de alugar caminhões em (%).

Pede-se calcular:

a. o número médio diário de caminhões alugados, bem como o

desvio padrão;

b. a média e o desvio padrão do lucro diário, sabendo-se que:

• o valor do aluguel por dia é da ordem de $ 300;

• a despesa total diária com manutenção de cada veículo é igual a

$ 140 quando ele é alugado no dia e de $ 15 quando tal fato não acontece.

Solução:

a. Cálculo do número médio de caminhões:

 

E(X) = (0 × 0,10) + (1 × 0,20) + … + (4 × 0,10)

Portanto, E(X) = $ 2,1 caminhões/dia. ✓

Cálculo do desvio padrão:

Var(X) = E(X2) –

 

E(X2) = (02 × 0,10) + (12 × 0,20) + … + (42 × 0,10) = 5,7

Var(X) = 5,7 − 2,12 = 1,29

σ2 = ≅ 1,13 caminhões/dia. ✓

b. Seja a variável aleatória L = lucro médio diário.

Observemos que:

Receita total 300 X

Despesa total com manutenção:

– quando alugado no dia 140 X – quando não alugado no dia 15 × (4 − X)

Segue-se, L = 300 X − 140 X − 15 × (4 − X)

ou seja, L = 175 X − 60

Cálculo do lucro médio diário:

E(L) = 175 × E(X) − 60, com E(X) = 2,1 calculado no item precedente.

Logo, E(L) = (175 × 2,1) − 60 = $ 307,50 ✓

Cálculo do desvio padrão para o lucro diário:

Var(L) = 1752 × Var(X) − 0, em que Var(X) = 1,29 foi calculado

anteriormente.

Var(L) = 30.625 × Var(X) = 30.625 × 1,29 = 39.506,25

σ ≅ $ 198,76 ✓

4.7 A Loteria Ligeirinha distribui prêmios entre seus clientes da seguinte

forma:

400 prêmios de $ 100;

50 prêmios de $ 200;

10 prêmios de $ 400.

Admitindo-se que em certo concurso sejam emitidos e vendidos

10.000 bilhetes, qual o preço justo a se pagar por um bilhete?

Solução:

Seja Y a variável aleatória que denota a quantia, em $, a ser gasta

em um bilhete.

Podemos, com base no que foi exposto, escrever as

probabilidades seguintes:

 

Em resumo:

Y 100 200 400 0

P(Y) 0,04 0,005 0,001 0,954

Portanto, a esperança de Y é, pois:

 

E(Y) = (100 × 0,04) + (200 × 0,005) + (400 × 0,001) + (0 × 0,954)

∴ E(Y) = $ 5,40

Assim, o preço justo a se pagar por um bilhete é de $ 5,40. ✓

Nota: Entretanto, como deve haver uma margem de lucro, o preço do

bilhete deverá ser um pouco maior.

4.8 Uma fábrica de automóveis deve enviar peças pesadas de seu

equipamento para sua fábrica de montagem na cidade de Marimbá.

Sabe-se que:

• as peças podem ser enviadas por via aérea ou via marítima;

• o custo por via aérea é geralmente mais alto, porém, pode haver

greve no embarque, o que atrasaria a chegada das peças a Marimbá.

A matriz de custo, expressa em $, é dada por:

 

Decisão Com greve Sem greve

Enviar por navio 2000 2000

Enviar por avião 6000 1000

a. Se a probabilidade de acontecer uma greve é estimada em 40 %,

qual a tomada de decisão que minimizaria os custos esperados?

b. Até que valor de probabilidade de greve ainda é mais vantajoso o

envio por navio?

Solução:

Considere E(C1) e E(C2) os custos esperados por navio e avião,

respectivamente.

a. Temos:

E(C ) = 2000 × 0,4 + 2000 × (1 − 0,4) = 2000 1

E(C2) = 6000 × 0,4 + 1000 × (1 − 0,4) = 3000

Como E(C ) < E(C ) conclui-se que a remessa deverá ser 1 2

transportada por navio! ✓

b. Seja p a probabilidade de greve.

E(C1) = 2000 × p + 2000 × (1 − p) = 2000

E(C ) = 6000 × p + 1000 × (1 − p) = 5000 p + 1000 2

Fazendo E(C1) < E(C2) temos:

2000 < 5000 p + 1000

5000 p > 1000 ∈ p > 0,20 ✓

4.9 O número φ de residências que um posto de Corpo de Bombeiros

pode atender depende da distância r (em número de quarteirões)

através da qual uma mangueira pode se estender no decorrer de certo

espaço de tempo. Suponha que φ seja proporcional à área de um

círculo de raio r (quadras de prédios), com centro nessa companhia

de Corpo de Bombeiros:

φ = λ π r2

em que λ é uma constante e r, uma variável aleatória relativa ao

número de quadras pelas quais a mangueira pode estender-se em

determinado período de tempo. Para certo batalhão de bombeiros

com λ = , a distribuição de probabilidades de r é a indicada na

tabela a seguir em que P(r) = 0 para qualquer r ≤ 20 ou r ≥ 27.

 

r 21 22 23 24 25 26

P(r) 0,05 0,15 0,35 0,25 0,15 0,05

Calcule o valor esperado para o número de residências φ que

podem ser atendidas por esse posto de Corpo de Bombeiros.

Solução:

A esperança matemática para o número φ de residências é dada

por:

E(φ) = E(λ π r)2 = λ πE(r2) = × π × E(r2)

 

Contudo, E(r2) = = 212 × 0,05 + 22 × 0,20 ... + 262 × 0,05 =

551,35

Portanto, E(φ) = × π × 551,35 ≅ 5513 residências.✓ 4.10 Um consultor financeiro deve avaliar o risco de dois investimentos A

e B. Baseando-se em sua experiência de mercado e projeções

econômicas, esse investidor formula as seguintes distribuições de

probabilidades dos resultados monetários previstos.

 

Investimento A Investimento B

Retorno em $ Probabilidade Retorno em $ Probabilidade

600 0,10 300 0,10

650 0,15 500 0,20

700 0,50 700 0,40

750 0,15 900 0,20

800 0,10 1100 0,10

Com base nesses dados, qual alternativa deverá ser escolhida por

esse consultor?

Solução:

Para definir a melhor alternativa, deveremos primeiramente

mensurar o valor esperado de cada distribuição de probabilidades considerada, ou seja, a média dos vários retornos esperados Ri ponderados pela probabilidade P (i = 1, 2, ...,5) atribuída a cada um i desses valores.

Matematicamente,

Assim, teremos:

E(RA) = (0,1 × 600) + (0,15 × 650) + ... (0,10 × 800) = $ 700 ✓

E(R B) = (0,1 × 300) + (0,20 × 500) + ... (0,10 × 1100) = $ 700 ✓

Observe-se que as duas alternativas de investimento apresentam

o mesmo valor esperado de $ 700, podendo ser consideradas, em termos de retorno esperado, indiferentes à implementação de um ou de outro.

Entretanto, apesar de serem equivalentes em termos de retorno

esperado, os investimentos não apresentam o mesmo risco (variabilidade), como poderá ser observado por meio do cálculo do desvio padrão para cada distribuição de probabilidades:

 

Assim,

= 6002 × 0,10 + 6502 × 0,15 + ... + 8002 × 0,10 = 492.750

= 3002 × 0,10 + 5002 × 0,20 + ... + 1.1002 × 0,10 = 538.000

Portanto,

 

Conclui-se então que o investimento A, ao assumir um nível de

mais baixo risco (menor desvio padrão), será considerado como o

mais atraente.

Nota: Racionalmente, o investidor dá preferência a investimento que

ofereça maior retorno esperado e menor risco associado.

4.11 A Companhia Security Ltda. transporta seus produtos utilizando dois

tipos de contêineres: um do tipo A, com dimensões de 8 × 10 × 30 m,

e outro do tipo B, medindo 10 ×12 × 35 m. Se 40 % de seu transporte

for efetuado em contêiner do tipo A, e o restante em contêineres do

tipo B, qual será o volume médio transportado em cada contêiner,

supondo que eles estejam sempre cheios?

Solução:

A esperança matemática para o volume V transportado será dada

pela soma das esperanças dos volumes dos contêineres dos tipos A e B:

E(V) = (0,4 × 8 × 10 × 30) + (0,6 × 10 × 12 × 35) = 3480 m3 ✓

4.12 Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola vermelha. Alexandra

vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir a bola vermelha.

Sendo Y o número de tentativas que serão necessárias para encontrar

a bola vermelha, determine a distribuição de probabilidade da

variável aleatória Y. Encontre a esperança e a variância de Y.

Solução:

Sejam os eventos:

B i = retirar a i-ésima bola banca i = 1, 2, 3;

V = retirar a bola vermelha.

Considere as probabilidades associadas à variável aleatória Y:

P(Y = 1) = P(V) =

 

P(Y = 2) = P(B ∩ V) = 1

P(Y = 3) = P(B ∩ B ∩ V) = 1 2

P(Y = 4) = P(B ∩ B ∩ B ∩ V) = 1 2 3

Portanto, P(Y = j) = 0,25 para j = 1, 2, 3, 4.

Distribuição de Probabilidade:

 

Y 1 2 3 4

P(Y) 0,25 0,25 0,25 0,25

Cálculo da esperança de Y:

 

E(Y) = 0,25 × (1 + 2 + 3 + 4) = 2,5 ✓

Cálculo da Variância de Y:

Var(Y) = E(Y)2 –

Mas, E(Y)2 =

E(Y2) = 0,25 × (12 + 22 + 32 + 42 + 52) = 13,75

Segue-se, Var(Y) = 13,75 − 2,52 = 7,5 ✓ 4.13 Sabe-se que a demanda semanal D de certa mercadoria possui a

seguinte distribuição de probabilidade:

 

D 0 1 2 3 4 5 > 5

P (D) em (%) 5 10 25 30 20 10 0

A mercadoria é comprada a $ 2,50 a unidade e vendida a $ 3,70

durante a semana em questão. Na semana seguinte, a mercadoria é considerada resíduo e vendida a $ 0,50. Sabe-se também que a embalagem desse produto custa $ 0,20 por unidade vendida na semana.

Pergunta-se: qual a quantidade ideal Q a ser estocada?

Solução:

Evidentemente, a quantidade a ser estocada Q deverá ser aquela

que proporcionar lucro esperado máximo. Assim, para calcular a função de lucro L, consideremos os casos a seguir:

1o caso: D < Q

Receita da venda de 0,5 (Q − D) resíduo

Custo de embalagem −0,2 D Custo da mercadoria −2,5 Q

Segue-se, L = 3D − 2Q

 

2o caso: D ≥ Q

Receita da mercadoria 3,7 D

Custo de embalagem −0,2 D Custo da mercadoria −2,5 Q

Assim, L = 3,7D – 2,7Q

Como D ≥ Q, temos D = Q.

Portanto, L = Q

Resumindo:

 

A seguir, com base na função de lucro L precedente, mostramos

a matriz de lucro para possíveis valores de Q:

Q

D P(D)

0 1 2 3 4 5

0 0,05 0 −2 −4 −6 −8 −10

1 0,10 0 1 −1 −3 −5 −7

2 0,25 0 1 2 0 −2 −4

3 0,30 0 1 2 3 1 −1

4 0,20 0 1 2 3 4 2

5 0,10 0 1 2 3 4 5

> 5 0,00 0 1 2 3 4 5

Calculando, agora, o lucro esperado para cada alternativa, temos:

E(L|Q = 0) = 0

E(L|Q = 1) = (−2 × 0,05) + (1 × 0,95) = 0,85

E(L|Q = 2) = (−4 × 0,05) + (−1 × 0,10) + (2 × 0,85) = 1,40

E(L|Q = 3) = (−6 × 0,05) + (−3 × 0,10) + (0 × 0,25) + (3 × 0,60) =

1,20

E(L|Q = 4) = (−8 × 0,05) + (−5 × 0,10) + (−2 × 0,25) + (1 × 0,30) +

(4 × 0,30) = 0,10

E(L|Q = 5) = (−10 × 0,05) + (−7 × 0,10) + (−4 × 0,25) + (−1 × 0,30)

+ (2 × 0,20) + (5 × 0,10) = −1,60

Portanto, a alternativa preferível é a de estocar duas unidades,

visto que conduz ao máximo valor esperado para o lucro:

E(L|Q = 2) = $ 1,40 ✓

4.14 A empresa Zeppelin pretende disponibilizar um serviço de pronta

entrega para a venda de seus produtos. Estima-se que o número de

solicitações por dia desse tipo de serviço seja o seguinte:

 

No de solicitações 0 1 2 3 4 5

Probabilidade 0,30 0,20 0,20 0,15 0,10 0,05

Para tanto, ele pretende adotar o seguinte critério de julgamento

de atendimento:

• atribuir um prêmio de 100 pontos sempre que o número de

atendimentos for igual à capacidade de atendimento;

• atribuir um prêmio de 10 pontos sempre que o número de

atendimentos for inferior à capacidade de atendimento;

• atribuir uma penalidade de 50 pontos sempre que em

determinado dia haja clientes sem atendimento.

Pergunta-se: qual capacidade diária de atendimento que deverá

ser implementada?

Solução:

Sejam as variáveis aleatórias X, G e a constante c:

X: número de solicitações diárias;

c: capacidade diária de atendimento;

G: pontuação obtida pelo critério definido pela empresa.

Em que:

 

Dessa forma, deseja-se procurar o valor de c que maximize G, ou

seja, que maximize E(G):

E(G) = 100 × P(X = c) + 10 × P(X < c) – 50 × P(X > c)

Como E(G) é uma função de X, deve-se escolher c por tentativa:

E(G|c = 1) = 100 × 0,2 + 10 × 0,3 – 50 × 0,5 = –2

E(G|c = 2) = 100 × 0,2 + 10 × 0,5 – 50 × 0,3 = +10

E(G|c = 3) = 100 × 0,15 + 10 × 0,7 – 50 × 0,15 = +14,5

E(G|c = 4) = 100 × 0,1 + 10 × 0,85 – 50 × 0,05 = +16

E(G|c = 5) = 100 × 0,05 + 10 × 0,95 – 50 × 0 = +14,5

Considere então que a capacidade diária a ser implementada

deverá ser igual a 4. ✓

4.15 Admita os seguintes retornos esperados dos ativos A e B para os

cenários considerados.

 

Estado de natureza Probabilidade de Retorno em (%)

ocorrer em (%) Ativo A Ativo B

Crescimento 30 28 8

Estabilidade 40 15 12

Recessão 30 –5 7

Determine:

a. O retorno médio esperado de cada ativo.

b. O risco envolvido (desvio padrão) para cada ativo.

Solução:

Sejam RA e RB os retornos esperados dos ativos A e B, nessa

ordem.

a. E(RA) = (28 × 0,30) + (15 × 0,40) + (−5 × 0,30) = 12,9 % ✓

E(R ) = (8 × 0,30) + (12 × 0,40) + (7 × 0,30) = 9,3 % ✓ B

b.

 

4.16 Se X é uma variável aleatória com variância σ2, mostre que:

a. λ + X tem a mesma variância de X;

b. λX tem variância λ2σ2.

Solução:

a. Seja μ = E(X).

Temos E(λ + X) = E(X) + λ = μ + λ.

Var(λ + X) = E[(λ + X)2] − E2(λ + X) = E(λ2 + 2Xλ + X2) − (μ + λ)2

Var(λ + X) = E(λ2) + E(2Xλ) + E(X2) − μ2 + 2μλ + λ2

Var(λ + X) = λ2 + 2λ E(X) + E(X2) − μ2 − 2μλ − λ2

Var(λ + X) = λ2 + 2μλ + E(X2) − μ2 − 2μλ − λ2

Var(λ + X) = E(X2) − μ2 = σ2 ✓

b. Considere σ2 = Var(X).

Assim, E(λX) = λE(X) = λμ.

Var(λX) = E[(λX)2] − E2(λX) = E(λ2X2) − λ2μ2

Var(λX) = E(λ2X2) − λ2μ2 = λ2 E(X2) − λ2μ2

Var(λX) = λ2 E(X2) − λ2μ2 = λ2 [E(X2) − μ2] = λ2σ2 ✓

4.17 A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é definida por:

Cov(X,Y) = E[X − E(X)][Y − E(Y)]

Mostre que Cov(X,Y) = 0 quando X e Y forem independentes.

Solução:

Cov(X,Y) = E[XY – YE(X) − XE(Y) + E(X) E(Y)]

Cov(X,Y) = E(XY) − E(X) E(Y) − E(Y) E(X) + E(X) E(Y)]

Cov(X,Y) = E(XY) − E(X) E(Y)

Como X e Y são independentes teremos E(XY) = E(X) E(Y). Portanto:

Cov(X,Y) = E(XY) − E(X) E(Y) = E(X) E(Y) − E(X) E(Y) = 0 ✓

4.18 Mostre que, em uma série de lançamentos do tipo cara ou coroa, a

esperança matemática do número de caras, antes do aparecimento da

primeira coroa, é dada por , em que q é a probabilidade associada à

probabilidade de ocorrer cara e p = 1 − q.

Solução:

A probabilidade de uma cara antes da primeira coroa é qp; A probabilidade de duas caras antes da primeira coroa é q2p; A probabilidade de três caras antes da primeira coroa é q3p;

…

A probabilidade de k caras antes da primeira coroa é qkp. Defina a variável aleatória X: número de caras antes do

aparecimento da primeira coroa. Portanto:

E(X) = 1 × pq + 2 × pq2 + 3 × pq3 + ... + k × pqk =

Em nosso caso particular E(X) = 1, uma vez que p = q = 1/2 ✓

4.19 Se X1, X2, X3, …, X3 denotam as variáveis aleatórias para uma amostra

de tamanho n e, s2 é a variância amostral, mostre que:

 

em que σ2 é a variância da população.

Solução:

Temos:

(X i – ) = (Xi – μ) – ( – μ)

Portanto:

 

Aplicando somatório em ambos os membros em (I), temos:

Como:

 

 

obtemos em (II) e (III):

 

Ou ainda:

 

Finalmente, tomando a esperança matemática em ambos os

membros no resultado (IV), encontramos:

 

Donde se conclui que:

 

4.20 Considere uma variável aleatória ϖ ≥ 0, com média finita e um

número real λ ≥ 0. Mostre que:

Solução:

Defina uma variável Y da maneira seguinte: Y = 0 se ϖ < λ e Y =

λ caso ϖ ≥ λ.

Em resumo:

 

Fundamentado na definição de Y temos:

P(Y = 0) = P(ϖ < λ) e P(Y = λ) = P(ϖ ≥ λ).

A esperança matemática de Y é dada por:

E(Y) = 0 × P(Y = 0) + λ × P(Y = λ)

Ou ainda,

 

Contudo, Y ≤ ϖ como pode ser observado pela própria definição

de Y. Dessa forma, podemos escrever:

 

Aplicando (I) em (II) obtemos:

λ × P(ϖ ≥ λ) ≤ E(ϖ)

P(ϖ ≥ λ) ≤ ✓

Nota: Essa desigualdade é chamada desigualdade de Markov.

4.21 Aplicar a desigualdade de Markov (veja exercício precedente) à

variável Y = [X − E(X)]2 para obter:

 

Solução:

Considere μ = E(X) e σ2 = Var(X). Evidentemente, para Y = (X − μ)2 teremos E(Y) = σ2. Portanto,

 

Nota: Essa desigualdade é chamada desigualdade de Chebyschev.

Em geral, é aplicada em situações em que a distribuição de

probabilidades não é conhecida (λ representa um limite superior

para os desvios da variável em relação à sua média).

4.22 O número de pessoas atendidas no Hospital Spelunke, em um plantão

noturno de sábado para domingo, é uma variável aleatória com média

igual a 75. Qual o valor máximo para a probabilidade de haver pelo

menos 150 atendimentos em certo dia desse plantão?

Solução:

Usando a desigualdade de Markov obtemos:

 

4.23 O diâmetro das peças fabricadas por uma máquina é uma variável

aleatória de parâmetros μ = 5 cm e σ2 = 0,25 cm2. Determine um valor

para a probabilidade de o diâmetro das peças ser inferior a 4 cm ou

superior a 6 cm.

Solução:

A probabilidade pretendida não pode ser calculada exatamente,

pois se desconhece a sua distribuição. Utilizando a desigualdade de Chebyschev, temos:

 

Assim,

P(X ≥ μ – λσ ∨ X ≥ μ + λσ) ≤

 

P(X ≥ 5 – 0,5λ ∨ X ≥ 5 + 0,5λ) ≤

Mas,

 

Portanto, λ = 2.

Dessa forma,

P(X ≥ 4 ∨ X ≥ 6) ≤ = 0,25

A probabilidade pretendida é de no máximo 25 %. ✓

4.24 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias tais que E(X) = 2, E(Y) = 20,

Cov(X,Y) = 5, Var(X) = 4 e Var(Y) = 20. Considere ainda a variável

aleatória Z = 5X + Y. Determine E(Z) e Var(Z).

Solução:

E(Z) = E(5X + Y) = 5 × E(X) + E(Y) = (5 × 2) + 20 = 30 ✓

Var(Z) = Var(5X + Y) = Var(5X) + Var(Y) + 2 Cov(5X, Y)

Var(Z) = 52 Var(X) + Var(Y) + 2 × 5 Cov(X,Y)

Var(Z) = (25 × 2) + 20 + (10 × 5) = 120 ✓

4.25 O gerente de uma fábrica de tecidos planeja adquirir uma máquina

que pode ser do tipo A ou do tipo B.

O número de reparações diárias Y1 exigidas para manter a

máquina A segue uma variável aleatória com média e variância iguais a 0,11t, em que t representa o número de horas de funcionamento diário. Já o número de reparações diárias Y para a 2 máquina do tipo B segue uma variável aleatória com média e variância iguais a 0,13t.

Os custos diários de funcionamento de A e B (expressos em $)

são dados respectivamente por:

CA(t) = 10t + 15Y1 +

C (t) = 8t + 12Y + B 2

Assumindo que as reparações requerem tempos desprezíveis e

que todas as noites as máquinas sofrem revisões para que possam funcionar no outro dia sem apresentarem defeitos, responda as seguintes questões:

a. Qual das máquinas A ou B minimiza o custo diário esperado em

um dia de trabalho de 10 horas.

b. Determine o número de horas de funcionamento t que

corresponde a uma indiferença na escolha do tipo de máquina no que diz respeito ao custo diário de funcionamento.

Solução:

a. Calculando o valor esperado do custo diário de funcionamento

para cada uma das máquinas, obtemos:

Custo da máquina A:

 

Custo da máquina B:

 

Como t = 10, temos:

= 14,95 × 10 + 0,363 × 102 = $ 185,80 ✓

= 14,95 × 10 + 0,363 × 102 = $ 182,31 ✓

Para determinar o valor t de indiferença basta igualar os dois

b. valores esperados dos custos de funcionamento das máquinas:

 

14,95t + 0,363t2 = 13,33t + 0,4091t2

t × (1,62 – 0,1271t) = 0

Assim, t = 0 (obviamente) ∨ t = 12,745869 horas,

correspondendo a aproximadamente 12 horas e 45 minutos. ✓

4.26 Considere a distribuição conjunta das variáveis X e Y:

 

Yj

Xi

1 2 3

0 0,08 0,24 0,08

1 0,12 0,36 0,12

Determine:

a. P(Y = 3).

b. P(Y = 2|X = 0).

c. E(X), E(Y), E(X2), E(Y2).

d. Var(X) e Var(Y).

e. Cov(X,Y) e ρ(X,Y).

Solução:

Seja o quadro auxiliar:

Yj

X i Total

1 2 3

0 0,08 0,24 0,08 0,40

1 0,12 0,36 0,12 0,60

Total 0,20 0,60 0,20 1,00

a. P(Y = 3) = 0,20 ✓

b. P(Y = 2|X = 0) = = 0,60 ✓

c. E(X) = = 0 × 0,40 + 1 × 0,60 = 0,60 ✓

E(Y) = = 1 × 0,20 + 2 × 0,60 + 3 × 0,2 = 2 ✓

E(X2) = = 02 × 0,40 + 12 × 0,60 = 0,60 ✓

E(Y2) = = 12 × 0,20 + 2 × 0,60 + 32 × 0,2 = 4,4 ✓

d.

Var(X) = E(X2) – = 0,6 – 0,62 = 0,24 ✓

Var(Y) = E(Y2) – = 4,4 – 22 = 0,4 ✓

e. Destaque o quadro seguinte:

 

Xi Yj P(Xi, Yj) Xi, Yj P(Xi, Yj)

0 1 0,08 0,00

0 2 0,24 0,00

0 3 0,08 0,00

1 1 0,12 0,12

1 2 0,36 0,72

1 3 0,12 0,36

Total 1,20

 

Cov(X,Y) = E[XY] – μx μy = 1,2 – 0,6 × 0,2 = 0 ✓