Estatística e Probabilidade: com ênfase em exercícios resolvidos e propostos
5.5 Distribuição Normal
em que:
X = número de ocorrências ou sucessos; e = base neperiana;
λ = valor esperado;
Valor esperado:
λ = np
Variância:
σ2 = npq
5.5 Distribuição Normal
A curva normal é a distribuição contínua mais importante, tanto do ponto de vista teórico quanto nas aplicações práticas da estatística.
Foi estudada pela primeira vez por DeMoivre (1667-1754), no âmbito
dos seus estudos sobre jogos de azar, mas foi Laplace (1749-1827) quem primeiro a especificou de forma precisa.
Gauss (1777-1855) ficou com o nome associado a essa distribuição por
ter contribuído com sua forma mais usual ao analisar a teoria dos erros de observação astronômica.
Quetelet (1796-1874) foi o primeiro a utilizá-la no domínio do social,
mas foi Galton (1822-1911) quem lhe deu um papel central na psicologia.
Vale salientar que em uma distribuição normal:
• a probabilidade de um valor singular é zero; • só há sentido em determinar probabilidade de intervalos.
A probabilidade de a variável assumir valores no intervalo [x1, x2] corresponde à área sob a curva limitada por x e x . 1 2
Os valores dessas áreas podem ser obtidos por integração, mas na prática
são facilmente calculados por meio de uma tabela que fornece diretamente a área entre a média e determinado valor da variável. Em essência, trabalha-se com uma curva normal padronizada, na qual a variável X é substituída pelo escore reduzido Z:
em que μ é a média e σ o desvio padrão. Pode ser verificado que a variável reduzida Z possui média 0 e desvio padrão 1.
A função de densidade para essa distribuição é dada por:
contendo as características que se seguem:
• f(X) é simétrica em relação à origem X = μ; • f(X) possui máximo para X = μ; • f(X) tende para zero quando X tende para +∞ ou –∞; • f(X) possui dois pontos de inflexão cujas abscissas valem μ + σ e μ − σ.