Annexe 3

 

 

Problèmes et solutions

 

Première partie, chapitre 7

 

Problème 1. Trois robinets coulent dans un même bassin. Le premier

peut le remplir en 2 h 30 mn ; le deuxième en 3 heures ; le troisième en

5 heures. 1. Si on les fait couler ensemble, quelle fraction du bassin auront-

ils remplie en 1 heure ? 2. Sachant que la quantité d’eau déversée dans le

bassin est alors de 2 800 litres, quelle est la contenance totale de ce

bassin ? 3. Sa hauteur est de 1 mètre, sa base, qui a la forme d’un rectangle,

mesure 2 mètres de longueur. Trouver sa largeur.

 

Réponse. En 1 heure, les trois robinets auront rempli 2/5 + 2/6 + 2/10 du

bassin, soit 28/30 ou 14/15. La contenance du bassin est égale à 2 800 l × 30/28

= 3 000 l (règle de trois).

3. 3 000 l = 3 m3. La base du bassin mesure 3 m3/1 m = 3 m2. Sa largeur est

égale à 3/2 =1,5 m.

 

Problème 2. Vous commandez à la Manufacture française d’armes et

cycles de Saint-Étienne la bicycle e Hirondelle à deux vitesses rétro-

directes et pneus superballon, modèle dames, à 595 francs franco. Vous examinez les conditions de crédit, et d’expédition du catalogue de la

Manufacture, p. 9. Vous décidez d’acheter la bicycle e avec un crédit de

6 mois. Augmentation de 7,50 % sur le montant total de la commande.

Paiement 1/4 au comptant, le solde en 6 traites mensuelles.

1. Calculez le versement à la commande.

2. Calculez le montant de chaque traite.

(On arrondira au franc inférieur ou supérieur, suivant le cas.)

 

Réponse 1. Frais de crédit : 595 × 7,50 % = 45 F. Montant total de la

commande : 595 + 45 = 640 F. Versement à la commande : 640 / 4 = 160 F.

2. Restent à payer : 640  – 160 = 480 F. Montant de chaque traite : 480 / 6 =

80 F.

 

Deuxième partie, chapitre 6

 

Construire un carré de 9 cm de côté. Du centre de ce carré, décrire une

circonférence de 3,5 cm de rayon. Le croquis ainsi obtenu représente, à

l’échelle 1/200, un parterre au milieu duquel on a creusé un bassin

circulaire. Calculez, sur le terrain : 1. La surface occupée par le bassin.

2. La surface de la pelouse comprise entre les côtés du carré et le bassin.

3. La capacité totale du bassin en m3, puis en hl, si ce bassin a 0,70 m de

profondeur (pi = 22/7). 4. Un jet d’eau qui alimente ce bassin peut donner

30 l d’eau à la minute. Pendant combien de temps faut-il laisser ouvert le

jet d’eau pour que le niveau de l’eau, dans le bassin primitivement vide,

arrive à 10 cm du bord supérieur ?

 

Réponse. Dimensions réelles : 2 m × 9 = 18 m de côté ; 2 m × 3,5 = 7 m de

rayon.

Surface du bassin : 7 × 7 × 22/7 = 154 m2.

Surface du terrain : 18 × 18 = 324 m2. Surface de la pelouse : 324  – 154

= 170 m2.

Capacité du bassin : 154 × 0,7 = 107,8 m3 ou 1078 hl. antité d’eau à

recevoir : 154 × 0,6 = 92,4 m3 ou 92 400 l. Temps nécessaire : 92 400 / 30 =

3 080 mn ou 51 h 20 mn.

Trois robinets alimentent un bassin long de 2,5 m, large de 1,2 m et

profond de 0,9 m. Le premier débite 16 l d’eau à la minute, le second 0,3 l à

la seconde, le troisième 960 l à l’heure. Combien d’heures et minutes

faudra-t-il aux trois robinets coulant ensemble pour remplir le bassin ?

 

Réponse. Débit horaire du premier robinet : 16 × 60 = 960 l.

Deuxième robinet : 0,3 × 60 × 60 = 1 080 l.

Débit horaire des trois robinets ensemble : 960 + 1080 + 960 = 3 000 l. Débit

à la minute : 3 000 / 60 = 50 l. Volume du bassin : 2,5 × 1,2 × 0,9 = 2,7 m3 ou

2 700 l. Temps nécessaire pour remplir le bassin : 2 700 / 50 = 54 mn.

 

Deux robinets coulent dans un bassin. Le premier le remplirait seul en

2 h 30 mn. Le deuxième le remplirait en 3 h 15 mn. Le bassin étant vide et

les robinets ouverts, on demande dans combien de temps, en heures,

minutes et secondes, ce bassin sera rempli, sachant qu’il existe un robinet

inférieur qui le viderait en 3 heures.

 

Réponse. Fraction du bassin remplie par le premier robinet en 1 heure :

1 / (2 + 1/2) = 2/5

Fraction remplie par le second robinet en 1 heure :

1 / (3 + 1/4) = 1 / (13/4) = 4/13

Fraction enlevée par le robinet inférieur : 1/3

Si les trois robinets sont ouverts, il y aura au bout d’une heure dans le

bassin :

2/5 + 4/13 – 1/3 de la capacité totale. Soit (78 + 60 – 65) / 195 = 73/195

Nombre d’heures nécessaire au remplissage :

195/73 = 2 h 40 mn 16 s.

 

Problèmes de courrier :

troisième partie, chapitre 2

 

Problème I. Un homme part du village A, à 5 heures du matin, et se

dirige par la route sur la ville B, en marchant à 4 km à l’heure. Un autre homme part de la ville B, à 5 h 45 du matin, et se dirige par la route sur le

village A, en faisant 4,5 km à l’heure. Les deux voyageurs se rencontrent à

9 h 45. elle distance sépare A de B ? Croquis.

 

Réponse. À 5 h 45, le premier piéton a parcouru 4 km × 3/4 = 3 km.

À 9 h 45, les deux hommes ont marché : 9 h 45 – 5 h 45 = 4 heures. Ils ont

parcouru ensemble (4 + 4,5) × 4 = 34 km.

La distance entre A et B est : 34 + 3 = 37 km.

 

Problème II. Il y a 33 km d’Alès à Uzès par la route. Un piéton sportif

part d’Alès, à destination d’Uzès, à 6 h 30. Il marche à la vitesse moyenne

de 5,5 km à l’heure. Un cycliste qui e Alès à 8 h 15, également à

destination d’Uzès. Il roule à la vitesse moyenne de 12,5 km à l’heure. 1. À

quelle heure et à quelle distance d’Alès le cycliste ra rapera-t-il le piéton ?

2. À quelle heure chacun des courriers arrivera-t-il à Uzès, compte tenu

que le piéton, après avoir e ectué les 2/3 du parcours, se repose

1 h 30 mn ?

 

Réponse. À 8 h 15, le piéton a déjà marché 1 h 45 mn et parcouru

9,625 km. À partir de ce moment, le cycliste ra rape 12,5  – 5,5 = 7 km par

heure. Pour ra raper 9,625 km, il lui faudra 9,625 / 7 = 1,375 h ou

1 h 22 mn 30 s.

Le cycliste ra rapera le piéton à 8 h 15 + 1 h 22 mn 30 s = 9 h 37 mn 30 s.

Le cycliste parcourt la distance Alès-Uzès en 33 / 12,5 = 2 h 38 mn. Il

arrivera à 8 h 15 + 2 h 38 = 10 h 53 mn.

Le piéton met 33 / 5,5 = 6 heures. Il arrivera à Uzès à 6 h 30 + 6 h + 1 h 30

= 14 heures.

 

Problème III. La distance de Paris à Lyon est de 512 km. À 6 heures, un

train qui e Paris pour se rendre à Lyon, et à 8 heures un train part de

Lyon pour Paris. La vitesse du premier train est de 54 km à l’heure, et celle du second train de 60 km à l’heure. À quelle heure et à quelle distance des

deux villes la rencontre aura-t-elle lieu ?

 

Réponse. À 8 heures, le train de Paris aura déjà parcouru 54 × 2 = 108 km.

Les deux trains seront distants de 512 – 108 = 404 km. Ils se rapprochent de

54 + 60 = 114 km par heure. Ils parcourent la distance qui les sépare en

404 / 114 = 3,544 h ou 3 h 32 mn 38 s.

Ils se rencontreront à 8 h + 3 h 32 mn 38 s= 11 h 32 mn 38 s.

Le premier aura parcouru 108 + (54 × 3,544) = 299,37 km. Ce sera la

distance de Paris. Le second aura parcouru 60 × 3,544 = 212,63 km. Ce sera la

distance de Lyon. (299,37 + 212,63 = 512 km…)

 

Problème IV. Un train part de Paris à destination de Strasbourg à

8 h 45 ; il arrive à Strasbourg à 19 h 12. Un train rapide part de Strasbourg

à destination de Paris à 10 h 15 ; il arrive à Paris à 18 h 6. La distance de

Paris à Strasbourg par le train est de 502 km. À quelle heure les deux

trains se sont-ils rencontrés et à quelle distance de Paris ?

 

Réponse. Durée du voyage, premier train : 19 h 12 – 8 h 45 = 10 h 27 =

627 mn.

Vitesse du premier train (à la minute) : 502 / 627 = 0,80 km (48 km/h).

Durée du voyage, deuxième train (en minutes) – 7 h 51 = 471 mn

Vitesse du deuxième train : 502 / 471 = 1,0660 km (64 km/h).

Le train qui part de Paris a 1 h 30 (90 mn) d’avance. Il parcourt avant le

départ de l’autre : 0,80 × 90 = 72 km. Restent à parcourir 502 – 72 = 430 km.

À ce moment, ils se rapprochent de 0,80 + 1,0660 = 1,866 km/mn.

Il leur faudra pour se rejoindre 430 / 1,866 = 230,44 mn, soit 3 h 50 mn 26 s.

Le train parti de Paris aura parcouru 72 + (0,80 × 230,44) = 256,36 km : ce

sera la distance de Paris.

Le train parti de Strasbourg aura parcouru :

1,066 × 230,44 = 245,64 km.

(256,36 + 245,64 = 502 km.)

Heure de rencontre : 10 h 15 + 3 h 50 mn 26 s = 14 h 05 mn 26 s.

 

Problème supplémentaire. Une locomotive part de Paris à 6 h 37. Elle

parcourt 60 km à l’heure. À quelle heure une deuxième locomotive doit-

elle partir de Marseille, à la vitesse de 57 km à l’heure, et une troisième

locomotive doit-elle partir de Genève avec une vitesse de 53 km à l’heure

pour arriver toutes les trois en même temps à Mâcon ?

Distance de Paris à Mâcon : 441 km ; de Paris à Marseille : 422 km ; de

Paris à Genève : 185 km.

 

Réponse. Temps mis par la première locomotive : 441 / 60 = 7 h 21 mn.

Heure d’arrivée de la première locomotive : 6 h 37 + 7 h 21 mn =

13 h 58 mn.

Temps mis par la deuxième locomotive : 422 / 57 = 7 h 24 mn.

Temps mis par la troisième locomotive : 185 / 53 = 3 h 29 mn.

Heure de départ de la deuxième locomotive : 13 h 58 mn – 7 h 24 mn =

6 h 34 mn.

Heure de départ de la troisième locomotive : 13 h 58 mn – 3 h 29 mn =

10 h 29 mn.

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