Medidas de dispersão: desvio padrão, erro padrão da média

Quando usar média ou mediana?

A média só pode ser utilizada em variáveis quantitativas, e a mediana, em variáveis quantitativas e qualitativas ordinais. Embora seja indicada para variáveis quantitativas, a média pode induzir a erro no caso de a amostra analisada ter valores muito extremos. A mediana também é indicada quando difere muito da média; nesse caso aconselha-se tomar a mediana como medida de tendência central.

Medidas de dispersão

Medidas de dispersão são aquelas de tendência central que sugerem uma idéia da variação dos dados. As mais comuns são a variância, o desvio padrão e a amplitude (intervalo de variação). Para variáveis ordinais, bem como qualitativas em que não é possível calcular médias ou desvios padrão, a dispersão pode ser calculada com base na amplitude interquartil (diferença entre o terceiro e o primeiro quartil) e no desvio quartil (metade da amplitude interquartil). Medidas de tendência central como a média devem ser acompanhadas das respectivas medidas de dispersão.

A variância e o desvio padrão indicam melhor a variabilidade de uma distribuição que a amplitude, pois consideram todos os valores da distribuição para seus cálculos. Já a amplitude total (range, também intervalo de variação) só considera os valores mais extremos. Em outras palavras, a variância e o desvio padrão discriminam melhor a variação porque duas distribuições podem apresentar valores muito diferentes no que se refere à dispersão, mas com valores extremos (maior e menor) exatamente iguais. A variância objetiva avaliar o quanto os valores de uma distribuição estão dispersos em relação ao valor da média; ou seja, ela é a média quadrática das discrepâncias da distribuição em relação à média. A

variância 2 (s) pode ser calculada para a população ou para uma amostra.

onde:

X = valor observado;

μ = média dos valores observados;

n = número de observações da distribuição.

Assim, para se obter o valor da variância, basta que se calcule a discrepância de cada valor em relação à média. Para tanto, é preciso subtrair cada valor da distribuição (x) da média da distribuição (μ), elevar cada resultado ao quadrado e somar os resultados. Após isso, é só dividir pelo tamanho da amostra menos 1 (n–1). Caso se esteja lidando com uma população, a soma dos resultados deve ser dividida por n.

O desvio padrão (s) é uma medida vinculada à variância. Ambos medem

a dispersão dos dados da distribuição no que se refere à média. Para se obter uma medida de dispersão expressa na unidade original (visto que no cálculo da variância eleva-se ao quadrado para se eliminar o sinal negativo), deve-se extrair a raiz quadrada da variância, obtendo assim o desvio padrão.

O desvio padrão é uma forma de representar a dispersão dos dados ao

redor da média. Se os dados se comportarem de acordo com uma população de distribuição normal, eles se distribuirão simetricamente ao redor da média.

Os cálculos das medidas de dispersão são exemplificados com dados

hipotéticos da Tabela 6.2.

TABELA 6.2 — Massa corporal de onze estudantes de

medicina

Massa (Kg) (x-μ) 2 (x-μ)

70 70-82 = -12 144

72 72-82 = -10 100

75 75-82 = -7 49

78 78-82 = -4 16

80 80-82 = -2 4

82 82-82 = 0 0

85 85-82 = 3 9

88 88-82 = 6 36

90 90-82 = 8 64

91 91-82 = 9 81

92 92-82 = 10 100

Σ = 903 Σ(x-μ) = 1 2 Σ(x-μ) = 603

onde:

x = massa corporal;

μ = média;

n = número de observações;

∴ n = 11 e m = 903/11= 82;

Σ(x–μ) 2 = 603;

σ2 2 ∴ é a variância σ = 603/11= 54,82;

σ é o desvio padrão ∴ ;

amplitude = 92–70 = 22.

O chamado coeficiente de variação expressa o desvio padrão como porcentagem do valor da média, portanto independe da unidade de medida usada.

Coeficiente de variação (%) = desvio-padrão/média x 100

Um coeficiente de variação igual a 100% indica que o desvio padrão é igual à média; quanto menor for ele, mais homogênea será a amostra. O uso desse coeficiente permite que se comparem dispersões de dados entre estudos que usaram unidades de medida diferentes — por exemplo, polegadas e centímetros.

Na prática, observa-se que a média calculada para uma amostra dificilmente será igual à média (real) da população. O tamanho da discrepância depende do tamanho da amostra e da variabilidade dos dados: médias baseadas em grande número de casos podem variar menos que as que se baseiam em pequeno número, e médias de populações com pequena variabilidade podem variar menos que aquelas de grande variabilidade.

Assim, verifica-se que essas médias têm uma distribuição normal em torno da média verdadeira e que o desvio padrão dessa população de médias — chamado erro padrão da média — é menor que os desvio padrão obtidos com base nas amostras isoladas e pode ser obtido pela seguinte fórmula:

onde:

σ = erro padrão da média; x

σ = desvio padrão fornecido pela amostra;

n = tamanho da amostra.