9 Centro de Massa e Momento Linear

CAPÍTULO 9

Centro de Massa e Momento Linear

 

9-1 CENTRO DE MASSA

 

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

9.01 Dada a posição de várias partículas em um eixo ou um plano, determinar a posição do centro de massa. 9.02 Determinar a posição do centro de massa de um objeto usando princípios de simetria. 9.03 No caso de um objeto bidimensional ou tridimensional com uma distribuição homogênea de massa, determinar a posição do centro de

massa (a) dividindo mentalmente o objeto em figuras geométricas simples, (b) substituindo cada uma por uma partícula no centro da figura, e (c) calculando o centro de massa dessas partículas.

 

Ideia-Chave

• O centro de massa de um sistema de n partículas é definido como o ponto cujas coordenadas são dadas por

 

em que M é a massa total do sistema.

 

O que É Física?

Todo engenheiro mecânico contratado como perito para reconstituir um acidente de trânsito usa a física. Todo treinador que ensina uma bailarina a saltar usa a física. Na verdade, para analisar qualquer tipo de movimento complicado é preciso recorrer a simplificações que são possíveis apenas com um entendimento da física. Neste capítulo, discutimos de que forma o movimento complicado de um sistema de objetos, como um carro ou uma bailarina, pode ser simplificado se determinarmos um ponto especial do sistema: o centro de massa.

Eis um exemplo: Quando arremessamos uma bola sem imprimir muita rotação (Fig. 9-1a), o movimento

é simples. A bola descreve uma trajetória parabólica, como discutimos no Capítulo 4, e pode ser tratada

como uma partícula. Quando, por outro lado, arremessamos um taco de beisebol (Fig. 9-1b), o movimento é mais complicado. Como cada parte do taco segue uma trajetória diferente, não é possível representar o taco como uma partícula. Entretanto, o taco possui um ponto especial, o centro de massa, que segue uma trajetória parabólica simples; as outras partes do taco se movem em torno do centro de massa. (Para localizar o centro de massa, equilibre o taco em um dedo esticado; o ponto estará acima do dedo, no eixo central do taco.)

É difícil fazer carreira arremessando tacos de beisebol, mas muitos treinadores ganham dinheiro

ensinando atletas de salto em distância ou dançarinos a saltar da forma correta, movendo pernas e braços ou girando o torso. O ponto de partida é sempre o centro de massa da pessoa, porque é o ponto que se move de modo mais simples.

 

O Centro de Massa Definimos o centro de massa (CM) de um sistema de partículas (uma pessoa, por exemplo) para podermos determinar com mais facilidade o movimento do sistema.

 

O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se (1) toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e (2) todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.

 

Neste módulo, discutimos a forma de determinar a posição do centro de massa de um sistema de partículas. Começamos com um sistema de poucas partículas e em seguida consideramos sistemas com um número muito grande de partículas (um corpo maciço, como um taco de beisebol). Mais adiante, discutiremos como o centro de massa de um sistema se move quando o sistema é submetido a forças externas.

 

Sistemas de Partículas

Duas Partículas. A Fig. 9-2a mostra duas partículas de massas m1 e m2 separadas por uma distância d. Escolhemos arbitrariamente como origem do eixo x a posição da partícula de massa m1. Definimos a posição do centro de massa (CM) desse sistema de duas partículas como

 

Suponha, por exemplo, que m 2 = 0. Nesse caso, existe apenas uma partícula, de massa m1, e o centro de

massa deve estar na posição dessa partícula; é o que realmente acontece, já que a Eq. 9-1 se reduz a xCM = 0. Se m1 = 0, temos de novo apenas uma partícula (de massa m2) e, como devia ser, xCM = d. Se m1 = m2, o

centro de massa deve estar a meio caminho entre as duas partículas; a Eq. 9-1 se reduz a xCM = d/2, como

seria de se esperar. Finalmente, de acordo com a Eq. 9-1, se nenhuma das duas massas é nula, xCM só pode assumir valores entre 0 e d, ou seja, o centro de massa deve estar em algum lugar entre as duas partículas.

Não somos obrigados a colocar a origem do sistema de coordenadas em uma das duas partículas. A Fig.

9-2b mostra uma situação mais geral na qual o sistema de coordenadas foi deslocado para a esquerda. A posição do centro de massa é agora definida como

 

Observe que, se fizermos x1 = 0, x2 ficará igual a d, e a Eq. 9-2 se reduzirá à Eq. 9-1, como seria de se esperar. Note também que, apesar do deslocamento da origem do sistema de coordenadas, o centro de massa continua à mesma distância de cada partícula. O centro de massa é uma propriedade das partículas e não do sistema de coordenadas que está sendo usado.

Figura 9-1 (a) Uma bola arremessada para cima segue uma trajetória parabólica. (b) O centro de massa (ponto preto) de um taco de beisebol arremessado para cima com um movimento de rotação segue uma trajetória parabólica, mas todos os outros pontos do taco seguem trajetórias curvas mais complicadas.

 

Figura 9-2 (a) Duas partículas de massas m 1 e m2 estão separadas por uma distância d. O ponto marcado como CM mostra a posição do

centro de massa, calculado usando a Eq. 9-1. (b) O mesmo que (a), exceto pelo fato de que a origem foi deslocada para a esquerda. A posição

do centro de massa pode ser calculada usando a Eq. 9-2. A posição do centro de massa em relação às partículas é a mesma nos dois casos.

Podemos escrever a Eq. 9-2 na forma em que M é a massa total do sistema. (No exemplo em discussão, M = m1 + m2.)

Muitas Partículas. Podemos estender a Eq. 9-3 a uma situação mais geral, na qual n partículas estão

posicionadas ao longo do eixo x. Nesse caso, a massa total é M = m 1 + m2 + · · · + mn, e a posição do centro de massa é dada por

 

Aqui, o índice i assume todos os valores inteiros de 1 a n.

Três Dimensões. Se as partículas estão distribuídas em três dimensões, a posição do centro de massa

deve ser especificada por três coordenadas. Por extensão da Eq. 9-4, essas coordenadas são dadas por

 

Também podemos definir o centro de massa usando a linguagem dos vetores. Primeiro, lembre-se de que

a posição de uma partícula de coordenadas xi, yi e zi é dada por um vetor posição (que liga desde a origem até a posição da partícula):

 

O índice identifica a partícula, e , e são vetores unitários que apontam, respectivamente, no sentido positivo dos eixos x, y e z. Analogamente, a localização do centro de massa de um sistema de partículas é dada por um vetor posição:

 

As três equações escalares das Eqs. 9-5 podem ser substituídas, portanto, por uma única equação vetorial,

 

em que M é a massa total do sistema. É possível confirmar se a Eq. 9-8 está correta, mediante a substituição

de i e CM por seus valores, dados pelas Eqs. 9-6 e 9-7, e separando as componentes x, y e z. O resultado

são as relações escalares das Eqs. 9-5.

 

Corpos Maciços

Um objeto comum, como um bastão de beisebol, contém tantas partículas (átomos) que podemos aproximá-lo por uma distribuição contínua de massa. As “partículas”, nesse caso, se tornam elementos infinitesimais

de massa dm, os somatórios das Eqs. 9-5 se tornam integrais, e as coordenadas do centro de massa são definidas por meio das equações

em que M agora é a massa do objeto. Se as Eqs. 9-5 fossem usadas na forma de somatórios, o cálculo do centro de massa para um objeto macroscópico levaria vários anos.

Como o cálculo das integrais para a maioria dos objetos do mundo real (como um televisor ou um boi,

por exemplo) é muito difícil, vamos considerar neste texto apenas objetos homogêneos, ou seja, objetos cuja massa específica (massa por unidade de volume), representada pelo símbolo ρ (letra grega rô), é a mesma para todos os elementos infinitesimais do objeto e, portanto, para o objeto como um todo. Nesse

caso, de acordo com a Eq. 1-8, podemos escrever:

 

em que dV é o volume ocupado por um elemento de massa dm, e V é o volume total do objeto. Substituindo

dm na Eq. 9-9 por seu valor, obtido a partir da Eq. 9-10 [dm = (M/V)dV], obtemos:

 

Uso da Simetria. O cálculo fica mais simples se o objeto possui um ponto, uma reta ou um plano de

simetria, pois, nesse caso, o centro de massa está no ponto, linha ou plano de simetria. Por exemplo, o centro de massa de uma esfera (que possui um ponto de simetria) está no centro da esfera (que é o ponto de simetria). O centro de massa de um cone (cujo eixo é uma reta de simetria) está no eixo do cone. O centro de massa de uma banana (que tem um plano de simetria que a divide em duas partes iguais) está em algum ponto desse plano.

O centro de massa de um objeto não precisa estar no interior do objeto. Não existe massa no centro de

massa de uma rosquinha, assim como não existe ferro no centro de massa de uma ferradura.

 

Exemplo 9.01 Centro de massa de três partículas

Três partículas de massas m1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg e m3 = 3,4 kg formam um triângulo equilátero de lado a = 140 cm. Qual é a localização do centro de massa do sistema?

IDEIA-CHAVE

Como estamos lidando com partículas e não com um objeto macroscópico, podemos usar as Eqs.

9-5 para calcular a posição do centro de massa. Como as partículas estão no plano do triângulo equilátero, precisamos usar apenas as duas primeiras equações.

Cálculos: Podemos simplificar os cálculos escolhendo os eixos x e y de tal forma que uma das

partículas esteja na origem e o eixo x coincida com um dos lados do triângulo (Fig. 9-3). Nesse caso, as coordenadas das partículas são as que aparecem na tabela a seguir.

Figura 9-3 Três partículas formam um triângulo equilátero de lado a. A posição do centro de massa do sistema é indicada pelo vetor posição CM.

 

Partícula Massa x y

(kg) (cm) (cm)

1 1,2 0 0 2 2,5 140 0

3 3,4 70 120

A massa total M do sistema é 7,1 kg.

De acordo com as Eqs. 9-5, as coordenadas do centro de massa são

 

Na Fig. 9.3, a posição do centro de massa é indicada pelo vetor posição CM, cujas componentes são xCM e yCM. Se tivéssemos escolhido outro sistema de coordenadas, as componentes de CM seriam diferentes, mas a posição do centro de massa em relação às três partículas seria exatamente a mesma.

 

Exemplo 9.02 Centro de massa de uma placa vazada

Este exemplo mostra como é possível calcular a posição do centro de massa de um objeto

macroscópico sem usar integrais. A Fig. 9-4a mostra uma placa de metal, fina e homogênea P, de raio 2R, da qual um disco de raio R foi removido em uma linha de montagem. O disco aparece na

Fig. 9-4b. Determine as coordenadas do centro de massa da placa (CM P) em relação aos eixos x e y indicados na figura.

IDEIAS-CHAVE

(1) Em primeiro lugar, vamos determinar a localização aproximada do centro de massa da placa P usando conceitos de simetria. Note que a placa é simétrica em relação ao eixo x (podemos obter a parte de baixo da placa girando a parte de cima em torno do eixo x, e vice-versa). Isso significa que o centro de massa da placa deve estar localizado no eixo x. A placa (com o disco removido) não é simétrica em relação ao eixo y; como existe um pouco mais de massa do lado direito do

eixo y, CMP deve estar um pouco à direita do eixo y, como na Fig. 9-4a.

(2) Como a placa P é um corpo tridimensional, devemos, em princípio, usar as Eqs. 9-11 para

calcular as coordenadas x, y e z do centro de massa. Acontece que, como a placa é fina e homogênea, estamos interessados apenas nas coordenadas x e y; se a placa tivesse uma espessura apreciável, poderíamos supor que o centro de massa estava no ponto médio da espessura. Mesmo desprezando a espessura, porém, seria difícil resolver o problema por esse método, já que teríamos que escrever uma função para descrever a forma da placa com o disco removido e integrar a função em duas dimensões.

(3) Existe um meio muito mais fácil de resolver o problema. Como vimos, é válido supor que a

massa de um objeto homogêneo está concentrada em uma partícula localizada no centro de massa do objeto. Assim, podemos tratar a placa e o disco como partículas, o que torna dispensável qualquer integração.

Cálculos: Primeiro, colocamos o disco que foi removido (vamos chamá-lo de disco S) de volta no

lugar (Fig. 9-4c), para formar a placa original (que vamos chamar de placa C). Devido à simetria, o centro de massa CMS do disco S está no centro de S, em x = −R (como mostra a figura). Da mesma forma, o centro de massa CM C da placa original C está no centro de C, a origem (como mostra a figura). Temos, portanto, o seguinte:

 

Placa Centro Posição Massa

de do CM

Massa

P CMP xP = ? mP

S CMS xS = –R mS

C CMC xC = 0 mC =

mS +

m P

 

Suponha que a massa m S do disco S está concentrada em uma partícula em xS = −R e que a massa

mP está concentrada em uma partícula em xP (Fig. 9-4d). Em seguida, trate as duas partículas

como um sistema e use a Eq. 9-2 para obter o centro de massa xS+P do sistema. O resultado é o seguinte:

Note que a superposição do disco S com a placa P é a placa C. Assim, a posição xS+P do CMS+P

deve coincidir com a posição xC do CMC, que está na origem: xS+P = xC = 0. Substituindo esse

resultado na Eq. 9-12 e explicitando xP, obtemos

 

Podemos relacionar essas massas às áreas de S e P notando que

massa = massa específica × volume

= massa específica × espessura × área

Assim,

 

Como a placa é homogênea, as massas específicas e as espessuras são iguais e, portanto,

 

Substituindo esse resultado e fazendo xS = −R na Eq. 9-13, obtemos:

 

Teste 1

A figura mostra uma placa quadrada uniforme, da qual quatro partes quadradas iguais são removidas progressivamente dos cantos. (a) Qual é a localização do centro de massa da placa original? Qual é a localização do centro de massa após a remoção (b) da parte 1; (c) das partes 1 e 2; (d) das partes 1 e 3; (e) das partes 1, 2 e 3; (f) das quatro partes? Responda em termos dos quadrantes, eixos ou pontos (sem realizar nenhum cálculo, é claro).