Componentes de Vetores

Figura 3-6 (a) Os vetores , e – . (b) Para subtrair o vetor do vetor , basta somar o vetor – ao vetor .

 

Teste 1

Os módulos dos deslocamentos e são 3 m e 4 m, respectivamente, e = + . Considerando as várias orientações possíveis de e , (a) qual é o maior e (b) qual é o menor valor possível do módulo de ?

 

Componentes de Vetores

Somar vetores geometricamente pode ser uma tarefa tediosa. Uma técnica mais elegante e mais simples envolve o uso da álgebra, mas requer que os vetores sejam representados em um sistema de coordenadas retangulares. Os eixos x e y

são normalmente desenhados no plano do papel, como na Fig. 3-7a. O eixo z é perpendicular ao papel; vamos ignorá-lo por enquanto e tratar apenas de vetores bidimensionais.

Uma componente de um vetor é a projeção do vetor em um eixo. Na Fig. 3-

7a, por exemplo, a é a componente do vetor em relação ao eixo x, e a é a x y componente em relação ao eixo y. Para encontrar a projeção de um vetor em um eixo, traçamos retas perpendiculares ao eixo a partir da origem e da extremidade do vetor, como mostra a figura. A projeção de um vetor no eixo x é chamada de componente x do vetor; a projeção no eixo y recebe o nome de componente y. O processo de obter as componentes de um vetor é chamado de decomposição do vetor.

Uma componente de um vetor tem o mesmo sentido (em relação a um eixo)

que o vetor. Na Fig. 3-7, a e a são positivas porque aponta no sentido x y positivo dos dois eixos. (Observe as setas que mostram o sentido das componentes.) Se invertêssemos o sentido do vetor , as componentes seriam negativas e as setas apontariam no sentido negativo dos eixos x e y. A

decomposição do vetor da Fig. 3-8 leva a uma componente b positiva e a x

uma componente b negativa. y

Um vetor pode ter até três componentes, mas, no caso do vetor da Fig. 3-7a,

a componente z é nula. Como mostram as Figs. 3-7a e 3-7b, quando deslocamos um vetor sem mudar a orientação, as componentes não mudam.

Determinação das Componentes. Podemos determinar geometricamente as

componentes de na Fig. 3-7a a partir do triângulo retângulo mostrado na figura:

Figura 3-7 (a) As componentes a e a do vetor . (b) As componentes não mudam quando o vetor é x y

deslocado, desde que o módulo e a orientação sejam mantidos. (c) As componentes correspondem aos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o módulo do vetor.

 

em que θ é o ângulo que o vetor faz com o semieixo x positivo, e a é o

módulo de . A Fig. 3-7c mostra que e as componentes x e y do vetor formam um triângulo retângulo. A figura mostra também que é possível reconstruir um vetor a partir das componentes: basta posicionar a origem de uma das componentes na extremidade da outra e completar o triângulo retângulo ligando a origem livre à extremidade livre.

Uma vez que um vetor tenha sido decomposto em relação a um conjunto de

eixos, as componentes podem ser usadas no lugar do vetor. Assim, por

exemplo, o vetor da Fig. 3-7a é dado (completamente determinado) por a e θ,

mas também pode ser dado pelas componentes a e a . Os dois pares de valores x y contêm a mesma informação. Se conhecemos um vetor na notação de componentes (a e a ) e queremos especificá-lo na notação módulo-ângulo (a e x y

θ), basta usar as equações

 

para efetuar a transformação.

No caso mais geral de três dimensões, precisamos do módulo e de dois

ângulos (a, θ e ϕ, digamos) ou de três componentes (a , a e a ) para especificar x y z um vetor.

 

Figura 3-8 A componente x de é positiva e a componente y é negativa.

 

Teste 2

Quais dos métodos indicados na figura são corretos para determinar o vetor a partir das componentes x e y?

Exemplo 3.01 Soma gráfica de vetores:

 

um teste de campo

Em um teste de campo, você recebe a tarefa de se afastar o máximo possível de um acampamento por meio de três deslocamentos retilíneos. Você pode usar os seguintes deslocamentos, em qualquer ordem: (a) , 2,0 km para leste; (b) , 2,0 km 30° ao norte do leste; (c) , 1,0 km para oeste. Você pode também substituir por – e por – . Qual é a maior distância que você pode atingir após o terceiro deslocamento? (A direção do deslocamento total fica a seu critério.)

 

Raciocínio: Usando uma escala conveniente, desenhamos os vetores

, , , – e – , como na Fig. 3-9a. Em seguida, deslocamos

mentalmente os vetores sobre a página, sem mudar a orientação, ligando três vetores de cada vez, em um arranjo no qual a origem do segundo vetor está ligada à extremidade do primeiro, e a origem do terceiro está ligada à extremidade do segundo, para encontrar o vetor soma, . A origem do primeiro vetor representa o acampamento, e a extremidade do terceiro vetor representa o ponto de destino. O vetor soma vai da origem do primeiro vetor à extremidade do terceiro. O módulo d do vetor soma é a distância entre o ponto de destino e o acampamento. Nosso objetivo é maximizar essa distância.

Examinando todos os casos possíveis, descobrimos que a distância

é máxima para o arranjo , , – . A ordem em que os vetores são somados não importa, já que a soma vetorial é a mesma, qualquer

que seja a ordem. (Como mostra a Eq. 3-2, os vetores obedecem à lei

comutativa da adição.) A ordem mostrada na Fig. 3-9b é para a soma vetorial

Figura 3-9 (a) Vetores deslocamento; três devem ser usados. (b) A distância entre o ponto de destino e o acampamento será a maior possível se os deslocamentos escolhidos forem , e – em qualquer ordem.

 

 

= + + (– ).

 

Usando a escala da Fig. 3-9a, medimos o comprimento d do vetor resultante, encontrando

 

Exemplo 3.02 Determinação das

componentes de um vetor: rota de um avião

Um pequeno avião decola de um aeroporto em um dia nublado e é avistado mais tarde a 215 km de distância, em um curso que faz um ângulo de 22° a leste do norte. A que distância a leste e ao norte do aeroporto está o avião no momento em que é avistado?

Figura 3-10 Um avião decola de um aeroporto na origem e é avistado mais tarde no ponto P.

 

IDEIA-CHAVE

Conhecemos o módulo (215 km) e o ângulo (22° a leste do norte) de um vetor e precisamos determinar as componentes do vetor.

 

Cálculos: Desenhamos um sistema de coordenadas xy com o sentido

positivo de x para leste e o de y para o norte (Fig. 3-10). Por conveniência, a origem é colocada no aeroporto. (Isso não é obrigatório. Poderíamos escolher qualquer ponto para origem e qualquer orientação para os eixos, mas, se a escolha é nossa, por que tornar o problema mais difícil?) O deslocamento do avião aponta da origem para o ponto em que o avião foi avistado.

Para determinar as componentes de , utilizamos a Eq. 3-5 com θ

= 68° (= 90° − 22°):

Assim, o avião foi avistado 81 km a leste e 2,0 × 102 km ao norte do aeroporto.

 

Táticas para a Solução de Problemas

Ângulos, funções trigonométricas e funções

trigonométricas inversas

Tática 1: Ângulos em Graus e em Radianos Ângulos medidos em relação ao semieixo x positivo são positivos se são medidos no sentido anti-horário, e negativos se são medidos no sentido horário. Assim, por exemplo, 210° e −150° representam o mesmo ângulo.

Os ângulos podem ser medidos em graus (o) ou em radianos (rad).

Para relacionar as duas unidades, basta lembrar que uma circunferência completa corresponde a um ângulo de 360° ou 2π rad. Para converter, digamos, 40° para radianos, escrevemos

 

Tática 2: Funções Trigonométricas A Fig. 3-11 mostra as definições das funções trigonométricas básicas (seno, cosseno e tangente), muito usadas na ciência e na engenharia, em uma forma que não depende do modo como o triângulo é rotulado.

O leitor deve saber como essas funções trigonométricas variam

com o ângulo (Fig. 3-12), para poder julgar se o resultado mostrado por uma calculadora é razoável. Em algumas circunstâncias, o simples conhecimento do sinal das funções nos vários quadrantes pode ser muito útil.

Tática 3: Funções Trigonométricas Inversas Quando se usa uma calculadora para obter o valor de uma função trigonométrica inversa como sen−1, cos−1 e tan−1, é preciso verificar se o resultado faz sentido, pois, em geral, existe outra solução possível que a calculadora não fornece. Os intervalos em que as calculadoras operam ao fornecer os valores das funções trigonométricas inversas

estão indicados na Fig. 3-12. Assim, por exemplo, sen−1 (0,5) pode ser igual a 30° (que é o valor mostrado pela calculadora, já que 30o está no intervalo de operação) ou a 150°. Para verificar se isso é verdade, trace uma reta horizontal passando pelo valor 0,5 na escala

vertical da Fig. 3-12a e observe os pontos em que a reta intercepta a curva da função seno. Como é possível saber qual é a resposta correta? É a que parece mais razoável para uma dada situação.

Tática 4: Medida dos Ângulos de um Vetor As expressões de cos θ e

sen θ na Eq. 3-5 e de tan θ na Eq. 3-6 são válidas apenas se o ângulo for medido em relação ao semieixo x positivo. Se o ângulo for medido em relação a outro eixo, talvez seja preciso trocar as funções

trigonométricas da Eq. 3-5 ou inverter a razão da Eq. 3-6. Um método mais seguro é converter o ângulo dado em um ângulo medido em relação ao semieixo x positivo.

 

Figura 3-11 Triângulo usado para definir as funções trigonométricas.

Veja também o Apêndice E.

Figura 3-12 Gráficos das três funções trigonométricas. As partes mais escuras das curvas correspondem aos valores fornecidos pelas calculadoras para as funções trigonométricas inversas. 3-2 VETORES UNITÁRIOS; SOMA DE VETORES