Conservação do Momento Linear

Figura 9-11 (a) Vista superior da trajetória seguida por um carro de corrida e seu piloto quando o carro colide com um muro de proteção. (b) O momento inicial i e o momento final f do piloto. (c) O impulso sobre o piloto na colisão.

 

9-5 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR

 

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

9.26 No caso de um sistema isolado de partículas, usar a lei de conservação do momento linear para relacionar o momento inicial das partículas

ao momento em um instante posterior.

9.27 Saber que, mesmo que um sistema não seja isolado, a lei de conservação do momento linear pode ser aplicada à componente do momento

em relação a um eixo, contanto que não haja uma componente de uma força externa na direção desse eixo.

 

Ideias-Chave

• Se um sistema é fechado e isolado, o momento linear do sistema é constante:

= constante (sistema fechado e isolado)

• A lei de conservação do momento linear também pode ser escrita em termos do momento inicial do sistema e do momento do sistema em um instante posterior:

 

= f (sistema fechado e isolado)

 

Conservação do Momento Linear

Suponha que a força externa resultante res (e, portanto, o impulso ) que age sobre um sistema de partículas é zero (ou seja, que o sistema é isolado) e que nenhuma partícula entra no sistema ou sai do

sistema (ou seja, que o sistema é fechado). Fazendo res = 0 na Eq. 9-27, temos d /dt = 0 e, portanto,

 

Em palavras,

 

Se um sistema de partículas não está submetido a forças externas, o momento linear total do sistema não pode variar.

Este resultado, conhecido como lei de conservação do momento linear, também pode ser escrito na forma

 

Em palavras, a Eq. 9-43 significa que, em um sistema fechado e isolado,

 

Atenção: A conservação do momento não deve ser confundida com a conservação da energia. Nos exemplos deste módulo, o momento é conservado, mas o mesmo não acontece com a energia.

Como as Eqs. 9-42 e 9-43 são equações vetoriais, cada uma equivale a três equações para a conservação

do momento linear em três direções mutuamente perpendiculares, como, por exemplo, os eixos de um sistema de coordenadas xyz. Dependendo das forças presentes no sistema, o momento linear pode ser conservado em uma ou duas direções, mas não em todas. Entretanto,

 

Se uma das componentes da força externa aplicada a um sistema fechado é nula, a componente do momento linear do sistema em relação ao mesmo eixo não pode variar.

 

No caso de um problema específico, como é possível saber se o momento linear é conservado, digamos,

ao longo do eixo x? Para isso, basta examinar as componentes das forças externas em relação ao eixo x. Se a soma das componentes é zero, o momento é conservado. Suponha, por exemplo, que você arremessa uma laranja de uma extremidade a outra de um aposento. Durante o percurso, a única força externa que age sobre a laranja (que estamos considerando como o sistema) é a força gravitacional g, dirigida verticalmente para baixo. Assim, a componente vertical do momento linear da laranja varia, mas, já que nenhuma força externa horizontal age sobre a laranja, a componente horizontal do momento linear não pode variar.

Note que estamos falando das forças externas que agem sobre um sistema fechado. Embora forças

internas possam mudar o momento linear de partes do sistema, elas não podem mudar o momento linear total do sistema. Assim, por exemplo, os órgãos do seu corpo estão sujeitos a muitas forças, mas elas (felizmente) não fazem com que você seja arremessado constantemente de um lado para outro.

Os exemplos deste módulo envolvem explosões unidimensionais (o que significa que os movimentos

antes e depois da explosão ocorrem ao longo de um único eixo) ou bidimensionais (o que significa que os movimentos ocorrem em um plano que contém dois eixos). As colisões serão discutidas em outros módulos.

 

Teste 6

Um artefato inicialmente em repouso em um piso sem atrito explode em dois pedaços, que deslizam pelo piso após a explosão. Um dos pedaços desliza no sentido positivo de um eixo x. (a) Qual é a soma dos momentos dos dois pedaços após a explosão? (b) O segundo pedaço pode se mover em uma direção diferente da do eixo x? (c) Qual é a orientação do momento do segundo pedaço?

Exemplo 9.05 Explosão unidimensional e velocidade relativa

de um rebocador espacial

A Fig. 9-12a mostra um rebocador espacial e uma cápsula de carga, de massa total M, viajando ao longo de um eixo x no espaço sideral com uma velocidade inicial i de módulo 2100 km/h em relação ao Sol. Com uma pequena explosão, o rebocador ejeta a cápsula de carga, de massa

0,20M (Fig. 9-12b). Depois disso, o rebocador passa a viajar 500 km/h mais depressa que a cápsula ao longo do eixo x, ou seja, a velocidade relativa vrel entre o cargueiro e a cápsula é 500 km/h. Qual é a nova velocidade RS do rebocador em relação ao Sol?

IDEIA-CHAVE

Como o sistema rebocador-cápsula é fechado e isolado, o momento linear total do sistema é conservado, ou seja,

 

em que os índices i e f indicam os valores antes e depois da ejeção, respectivamente. (Atenção: Embora o momento do sistema permaneça o mesmo, não se pode dizer o mesmo dos momentos do rebocador e da cápsula, que são diferentes antes e depois da ejeção.)

Cálculos: Como o movimento é ao longo de um único eixo, podemos escrever os momentos e as velocidades em termos das componentes x. Antes da ejeção, temos:

 

Seja v CS a velocidade da cápsula ejetada em relação ao Sol. O movimento linear total do sistema após a ejeção é dado por

 

em que o primeiro termo do lado direito é o momento linear da cápsula de carga e o segundo termo é o momento linear do rebocador.

 

Figura 9-12 (a) Um rebocador espacial, com uma cápsula de carga, movendo-se com velocidade inicial i. (b) O rebocador ejetou a cápsula de carga; agora as velocidades em relação ao Sol são CS RS para a cápsula e para o rebocador.

Não conhecemos a velocidade vCS da cápsula em relação ao Sol, mas podemos relacioná-la às

velocidades conhecidas por meio da equação

Em símbolos, isso nos dá

 

 

Substituindo esta expressão para vCS na Eq. 9-46 e substituindo as Eqs. 9-45 e 9-46 na Eq. 9-44, obtemos

Mvi = 0,20M(vRS – vrsl) + 0,80MvRS

o que nos dá

 

Exemplo 9.06 Explosão bidimensional e momento de um

coco

Ao explodir, uma bomba artesanal do tipo cabeça de negro colocada no interior de um coco vazio de massa M, inicialmente em repouso em uma superfície sem atrito, quebra o coco em três

pedaços, que deslizam em uma superfície horizontal. Uma vista superior é apresentada na Fig. 9-

13a. O pedaço C, de massa 0,30M, tem velocidade escalar final vfC = 5,0 m/s. (a) Qual é a velocidade do pedaço B, de massa 0,20M?

IDEIA-CHAVE

Em primeiro lugar, precisamos saber se o momento linear é conservado. Observamos que (1) o coco e seus pedaços formam um sistema fechado, (2) as forças da explosão são internas ao sistema, e (3) nenhuma força externa age sobre o sistema. Isso significa que o momento linear do sistema é conservado. (Atenção: Embora o momento do sistema permaneça o mesmo, não se pode dizer o mesmo dos momentos dos pedaços do coco, que são diferentes antes e depois da ejeção.)

Cálculos: Para começar, introduzimos um sistema de coordenadas xy no sistema, como mostra a

Fig. 9-13b, com o sentido negativo do eixo x coincidindo com o sentido de fA. O eixo x faz 80o com a direção de fC e 50o com a direção de fB.

O momento linear é conservado separadamente para cada eixo. Vamos usar o eixo y e escrever

 

em que o índice i indica o valor inicial (antes da explosão), o índice f indica o valor final e o índice y indica a componente y de i ou f.

A componente P iy do momento linear inicial é zero, pois o coco está inicialmente em repouso.

Para calcular Pfy, determinamos a componente y do momento linear final de cada pedaço

utilizando a versão para a componente y da Eq. 9-22 (py = mvy):

pfA,y = 0,

pfB,y = –0,20MvfB,y = –0,20MvfB sen 50°,

pfC,y = 0,30MvfC,y = 0,30MvfC sen 80°.

 

(Note que pfA,y = 0 por causa de nossa escolha de eixos.) A Eq. 9-48 pode ser escrita na forma

Piy = Pfy = pfA,y + pfB,y + pfC,y

 

Nesse caso, com vfC = 5,0 m/s, temos:

0 = 0 – 0,20Mv fB sen 50° + (0,30M)(5,0 m/s) sen 80°

e, portanto,

 

(b) Qual é a velocidade escalar do pedaço A?

Cálculos: Como o momento linear também é conservado ao longo do eixo x, temos:

 

em que P ix =0, pois o coco está inicialmente em repouso. Para calcular Pfx, determinamos as componentes x do momento linear final de cada pedaço usando o fato de que o pedaço A tem massa de 0,50M (= M − 0,20M − 0,30M):

pfA,x = –0,50MvfA,

pfB,x = –0,20MvfB,x = –0,20MvfB cos 50°,

pfC,x = 0,30MvfC,x = 0,30MvfC cos 80°.

 

A Eq. 9-49 pode ser escrita na forma

Pix = Pfx = pfA,x + pfB,x + pfC,x

Nesse caso, com vfC = 5,0 m/s e vfB = 9,64 m/s, temos:

 

0 = –0,50Mv fA + 0,20M(9,64 m/s) cos 50° + (0,30M)(5,0 m/s) cos 80°

e, portanto,

Figura 9-13 Três pedaços de um coco que explodiu se afastam em três direções em um piso sem atrito. (a) Vista superior do evento. (b) A mesma vista com um sistema de eixos bidimensional desenhado.

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