Conservação do Momento Angular

d Para um sistema fechado e isolado.

 

Teste 6

Na figura, um disco, um anel e uma esfera maciça são postos para girar em torno de um eixo central fixo (como piões) por meio de um barbante enrolado, que aplica a mesma força tangencial constante aos três objetos. Os três objetos têm a mesma massa e o mesmo raio e estão inicialmente em repouso. Ordene os objetos de acordo (a) com o momento angular em relação ao eixo central e (b) com a velocidade angular, em ordem decrescente, após o barbante ter sido puxado durante o mesmo intervalo de tempo Δt.

 

11-8 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

 

Objetivo do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

11.25 Se nenhuma força resultante externa age sobre um sistema ao longo de um eixo, aplicar a esse eixo a lei de

conservação do momento angular para relacionar o momento angular inicial do sistema ao momento angular em um instante posterior.

 

Ideia-Chave

• O momento angular de um sistema permanece constante se o torque resultante externo que age sobre o sistema é zero:

 

Essa é a lei de conservação do momento angular.

 

Conservação do Momento Angular Até o momento, discutimos apenas duas leis de conservação: a lei de conservação da energia e a lei de conservação do momento linear. Vamos agora falar de uma terceira lei do mesmo tipo, que envolve a conservação do momento angular. O ponto de

partida é a Eq. 11-29 ( = d /dt), que é a segunda lei de Newton para rotações. Se res i

nenhum torque externo resultante age sobre o sistema, a equação se torna d /dt = 0 ou seja,

 

Esse resultado, conhecido como lei de conservação do momento angular, também pode ser escrito na forma

 

As Eqs. 11-32 e 11-33 significam o seguinte:

 

Se o torque externo resultante que age sobre um sistema é nulo, o momento angular do sistema permanece constante, sejam quais forem as mudanças que ocorrem dentro do sistema.

 

As Eqs. 11-32 e 11-33 são equações vetoriais; como tais, são equivalentes a três

equações para as componentes, que correspondem à conservação do momento angular em três direções mutuamente perpendiculares. Dependendo dos torques externos que agem sobre um sistema, o momento angular pode ser conservado apenas em uma ou duas direções:

 

Se a componente do torque externo resultante que age sobre um sistema ao longo de um eixo é nula, a componente do momento angular do sistema ao longo desse eixo permanece constante, sejam quais forem as mudanças que ocorrem dentro do sistema.

Trata-se de uma informação importante: Em situações desse tipo, podemos considerar apenas os estados inicial e final do sistema, sem nos preocuparmos com o que acontece nos estados intermediários.

Podemos aplicar essa lei ao corpo isolado da Fig. 11-15, que está girando em torno

do eixo z. Suponha que, em um certo instante, a massa do corpo seja redistribuída de tal forma que o momento de inércia em relação ao eixo z mude de valor. De acordo

com as Eqs. 11-32 e 11-33, o momento angular do corpo não pode mudar.

Substituindo a Eq. 11-31 (para o momento angular ao longo do eixo de rotação) na

Eq. 11-33, essa lei de conservação se torna

 

OceanofPDF.com

Os índices, aqui, se referem aos valores do momento de inércia I e da velocidade v antes e depois da redistribuição de massa.

Como acontece com as duas outras leis de conservação discutidas

anteriormente, as aplicações das Eqs. 11-32 e 11-33 vão além dos limites da mecânica newtoniana. As mesmas equações são válidas para partículas que se movem a uma velocidade próxima da velocidade da luz (caso em que deve ser usada a teoria da relatividade especial) e permanecem verdadeiras no mundo das partículas subatômicas (em que reina a física quântica). Nenhuma exceção à lei de conservação do momento angular jamais foi descoberta.

Discutiremos a seguir quatro exemplos que envolvem essa lei.

Figura 11-16 (a) O estudante possui um momento de inércia relativamente grande em relação ao eixo de rotação e uma velocidade angular relativamente pequena. (b) Diminuindo o momento de inércia, o estudante automaticamente aumenta a velocidade angular. O momento angular do sistema permanece inalterado.

1. Aluno que gira A Fig. 11-16 mostra um estudante sentado em um banco que pode girar livremente em torno de um eixo vertical. O estudante, que foi posto em rotação com uma pequena velocidade

angular inicial ω , segura dois halteres com os braços abertos. O i

vetor momento angular do estudante coincide com o eixo de rotação e aponta para cima.

O professor pede ao estudante para fechar os braços; esse

movimento reduz o momento de inércia do valor inicial I para um i

valor menor I , pois a massa dos halteres fica mais próxima do eixo f

de rotação. A velocidade angular do estudante aumenta

consideravelmente, de ω para ω . O estudante pode reduzir a i f velocidade angular estendendo novamente os braços para afastar os halteres do eixo de rotação.

Nenhum torque externo resultante age sobre o sistema formado

pelo estudante, o banco e os halteres. Assim, o momento angular do sistema em relação ao eixo de rotação permanece constante, independentemente do modo como o estudante segura os halteres.

Na Fig. 11-16a, a velocidade angular ω do estudante é i

relativamente baixa e o momento de inércia I é relativamente alto. i

De acordo com a Eq. 11-34, a velocidade angular na Fig. 11-16b

deve ser maior para compensar a redução de I . f

2. Salto de trampolim A Fig. 11-17 mostra uma atleta executando um salto duplo e meio mortal carpado. Como era de se esperar, o centro de massa descreve uma trajetória parabólica. A atleta deixa o trampolim com um momento angular em relação a um eixo horizontal que passa pelo centro de massa, representado por um

vetor perpendicular ao papel na Fig. 11-17. Quando a mergulhadora está no ar, ela não sofre nenhum torque externo e, portanto, o momento angular em torno do mesmo eixo não pode variar. Levando braços e pernas para a posição carpada, ela reduz consideravelmente o momento de inércia em torno desse eixo e,

assim, de acordo com a Eq. 11-34, a mergulhadora aumenta consideravelmente sua velocidade angular. Quando passa da posição carpada para a posição esticada no final do salto, o momento de inércia aumenta e a velocidade angular diminui o suficiente para a atleta mergulhar espirrando o mínimo possível de água. Mesmo em um salto mais complicado, que envolva também um movimento de

parafuso, o momento angular da mergulhadora é conservado, em módulo e orientação, durante todo o salto.

3. Salto em distância Quando uma atleta deixa o solo em uma prova de salto em distância, a força exercida pelo solo sobre o pé de impulsão imprime ao corpo uma rotação para a frente em torno de um eixo horizontal. Essa rotação, caso não seja controlada, impede que a atleta chegue ao solo com a postura correta: Na descida, as pernas devem estar juntas e estendidas para a frente, para que os calcanhares toquem a areia o mais longe possível do ponto de partida. Depois que a atleta deixa o solo, o momento angular não pode mudar (é conservado), já que não existe nenhum torque externo. Entretanto, a atleta pode transferir a maior parte do momento angular para os braços, fazendo-os girar em um plano

vertical (veja a Fig. 11-18). Com isso, o corpo permanece na orientação correta para a parte final do salto.

 

Figura 11-17 O momento angular da nadadora é constante durante o salto, sendo representado pela origem ⊗ de uma seta perpendicular ao plano do papel. Note também que o centro de massa da nadadora (representado pelos pontos) segue uma trajetória parabólica.

4. Tour jeté Em um tour jeté, uma bailarina salta com um pequeno movimento de rotação, mantendo uma perna vertical e a outra

perpendicular ao corpo (veja a Fig. 11-19a). A velocidade angular é tão pequena que pode não ser percebida pela plateia. Enquanto está subindo, a bailarina movimenta para baixo a perna que estava levantada e levanta a outra perna, fazendo com que ambas assumam

um ângulo θ com o corpo (Fig. 11-19b). O movimento é elegante, mas também serve para aumentar a velocidade angular, já que o momento de inércia da bailarina é menor na nova posição. Como o corpo da bailarina não está sujeito a nenhum torque externo, o momento angular não pode variar. Assim, se o momento de inércia diminui, a velocidade angular deve aumentar. Quando o salto é bem executado, a impressão para a plateia é de que a bailarina começa a girar de repente e executa uma volta de 180° antes que as orientações iniciais das pernas sejam invertidas em preparação para o pouso. Quando uma das pernas é novamente estendida, a rotação parece desaparecer magicamente.

 

Figura 11-18 No salto em distância, a rotação dos braços ajuda a manter o corpo na orientação correta para a parte final do salto.

Figura 11-19 (a) Parte inicial de um tour jeté: o momento de inércia é grande e a velocidade angular é pequena. (b) Parte intermediária: o momento de inércia é menor e a velocidade angular é maior.

 

Teste 7

Um besouro-rinoceronte está na borda de um pequeno disco que gira como um carrossel. Se o besouro se desloca em direção ao centro do disco, as seguintes grandezas (todas em relação ao eixo central) aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas: (a) momento de inércia, (b) momento angular e (c) velocidade angular?

 

Exemplo 11.05 Conservação do momento

angular: rotação de uma roda e de um banco

A Fig. 11-20a mostra um estudante, novamente sentado em um banco que pode girar livremente em torno de um eixo vertical. O estudante, inicialmente em repouso, segura uma roda de bicicleta

cuja borda é feita de chumbo e cujo momento de inércia I em r

relação ao eixo central é 1,2 kg · m2. (O chumbo serve para aumentar o valor do momento de inércia.)

A roda gira com uma velocidade angular ω de 3,9 rev/s; vista de r

cima, a rotação é no sentido anti-horário. O eixo da roda é vertical e

o momento angular aponta verticalmente para cima. r

O estudante inverte a roda que, vista de cima, passa a girar no

sentido horário (Fig. 11-20b); o momento angular agora é − . A r

inversão faz com que o estudante, o banco e o centro da roda girem juntos, como um corpo rígido composto, em torno do eixo de

rotação do banco, com um momento de inércia I = 6,8 kg · m2. (O c fato de a roda estar girando não afeta a distribuição de massa do

corpo composto, ou seja, I possui o mesmo valor, c independentemente de a roda estar girando ou não.) Com que

velocidade angular ω e em que sentido o corpo composto gira após c

a inversão da roda?

(c) O momento angular total do sistema é o mesmo antes e depois da inversão.

 

IDEIAS-CHAVE

1. A velocidade angular ω pedida está c

relacionada ao momento angular final do c

corpo composto em relação ao eixo de rotação

do banco pela Eq. 11-31 (L = Iω).

2. A velocidade angular inicial ω da roda está r

relacionada ao momento angular da roda em r

relação ao centro pela mesma equação.

3. A soma dos vetores e fornece o c r

momento angular total do sistema formado tot

pelo estudante, o banco e a roda.

4. Quando a roda é invertida, nenhum torque

externo age sobre o sistema para mudar em tot

relação a qualquer eixo vertical. (Os torques produzidos por forças entre o estudante e a roda quando o estudante inverte a roda são internos ao sistema.) Assim, o momento angular total do

sistema é conservado em relação a qualquer eixo vertical.

 

Cálculos: A conservação de está representada por vetores na tot

Fig. 11-20c. Podemos também escrever essa conservação em termos das componentes verticais:

 

em que os índices i e f indicam o estado inicial (antes da inversão da roda) e o estado final (depois da inversão). Como a inversão da roda inverteu o momento angular associado à rotação da roda,

substituímos L , por −L , . Fazendo L , = 0 (pois o estudante, o r f r i c i

banco e o centro da roda estão inicialmente em repouso), a Eq. 11-

35 se torna

 

L = 2L , c,f ri

 

Usando a Eq. 11-31, substituímos L ,/,m por I ω e L , por I ω e c f c c r i r r

explicitamos ω , obtendo c

Figura 11-20 (a) Um estudante segura uma roda de bicicleta que gira em torno de um eixo vertical. (b) O estudante inverte a roda e o banco começa a girar. (c) O momento angular total do sistema é o mesmo antes e depois da inversão.

 

Este resultado positivo mostra que o estudante gira no sentido anti-horário em torno do eixo do banco, quando visto de cima. Para parar de rodar, o estudante tem apenas que inverter novamente a roda.

 

Exemplo 11.06 Conservação do momento

angular de uma barata em um disco

Na Fig. 11-21, uma barata de massa m está em um disco de massa 6,00m e raio R. O disco gira como um carrossel em torno do eixo

central, com uma velocidade angular ω = 1,50 rad/s. A barata está i inicialmente a uma distância r = 0,800R do centro do disco, mas rasteja até a borda do disco. Trate a barata como se fosse uma partícula. Qual é a velocidade angular do inseto ao chegar à borda do disco?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) Ao se deslocar, a barata muda a distribuição de massa (e, portanto, o momento de inércia) do sistema barata-disco. (2) O momento angular do sistema não varia porque não está sujeito a nenhum torque externo. (As forças e torques associados ao movimento da barata são internos ao sistema.) (3) O módulo do momento angular de um corpo rígido ou de uma partícula é dado

pela Eq. (11-31) (L = Iω).

 

Cálculos: Podemos determinar a velocidade angular final igualando

o momento angular final L ao momento angular inicial L , já que f i ambos envolvem a velocidade angular e o momento de inércia. Para começar, vamos calcular o momento de inércia do sistema barata-disco antes e depois do deslocamento da barata.

 

Figura 11-21 Uma barata está a uma distância r do centro de um disco que gira como um carrossel.

 

De acordo com a Tabela 10-2c, o momento de inércia de um

disco que gira em torno do eixo central é MR2. Como M = 6,00m, o momento de inércia do disco é

(Não conhecemos os valores de m e R, mas vamos prosseguir com a coragem tradicional dos físicos.)

De acordo com a Eq. 10-33, o momento de inércia da barata

(supondo que esta se comporta como uma partícula) é mr2. Substituindo os valores da distância inicial entre a barata e o centro do disco (r = 0,800R) e da distância final (r = R), descobrimos que o momento de inércia inicial da barata em relação ao eixo de rotação é

 

e que o momento de inércia final em relação ao mesmo eixo é

 

Assim, o momento de inércia inicial do sistema barata-disco é

 

e o momento de inércia final é

 

Em seguida, usamos a Eq. 11-31 (L = Iω) para levar em conta o

fato de que o momento angular final L do sistema é igual ao f

momento angular inicial L : i

 

Depois de cancelar as incógnitas m e R, obtemos

 

Observe que a velocidade angular diminuiu porque a distância entre parte da massa e o eixo de rotação aumentou.