Conservação da Energia Mecânica

princípio de conservação da energia mecânica pode ser expresso por meio da equação

 

K + U = K + U , 2 2 1 1

 

na qual os índices se referem a instantes diferentes de um processo de transferência de energia. Outra forma de expressar o princípio de conservação da energia mecânica é a seguinte:

 

ΔE = ΔK + ΔU = 0. mec

 

Conservação da Energia Mecânica

A energia mecânica Emec de um sistema é a soma da energia potencial U com a energia cinética K dos objetos que compõem o sistema.

 

Nesta seção, vamos discutir o que acontece com a energia mecânica quando as transferências de energia dentro do sistema são produzidas apenas por forças conservativas, ou seja, quando os objetos do sistema não estão sujeitos a forças de atrito e de arrasto. Além disso, vamos supor que o sistema está isolado do ambiente, isto é, que nenhuma força externa produzida por um objeto fora do sistema causa variações de energia dentro do sistema.

Quando uma força conservativa realiza um trabalho W sobre um objeto dentro do

sistema, essa força é responsável por uma transferência de energia entre a energia

cinética K do objeto e a energia potencial U do sistema. De acordo com a Eq. 7-10, a variação ΔK da energia cinética é

 

e, de acordo com a Eq. 8-1, a variação ΔU da energia potencial é

 

Combinando as Eqs. 8-13 e 8-14, temos

 

Em palavras, uma dessas energias aumenta exatamente da mesma quantidade que a outra diminui.

Podemos escrever a Eq. 8-15 na forma

 

em que os índices se referem a dois instantes diferentes e, portanto, a duas

configurações distintas dos objetos do sistema. Reagrupando os termos da Eq. 8-16, obtemos a seguinte equação:

 

Imaginechina. AP Photo. Glow Images.

No passado, era costume arremessar as pessoas para o alto, usando um cobertor, para que pudessem enxergar mais longe. Hoje em dia, isso é feito apenas por diversão. Durante a subida da pessoa que aparece na fotografia, a energia é transferida de energia cinética para energia potencial gravitacional. A altura máxima é atingida quando a transferência se completa. Durante a queda, a transferência ocorre no sentido inverso.

 

Em palavras, essa equação diz o seguinte:

quando o sistema é isolado e apenas forças conservativas atuam sobre os objetos do sistema. Em outras palavras:

 

Em um sistema isolado no qual apenas forças conservativas causam variações de energia, a energia cinética e a energia potencial podem variar, mas a soma das duas energias, a energia mecânica E do sistema, mec

não pode variar.

 

Esse resultado é conhecido como princípio de conservação da energia mecânica. (Agora você pode entender a origem do nome força conservativa.) Com o auxílio da

Eq. 8-15, podemos escrever esse princípio de outra forma:

 

O princípio de conservação da energia mecânica permite resolver problemas que

seriam muito difíceis de resolver usando apenas as leis de Newton:

 

Quando a energia mecânica de um sistema é conservada, podemos igualar a soma da energia cinética com a energia potencial em um instante à soma em outro instante sem levar em conta os movimentos intermediários e sem calcular o trabalho realizado pelas forças envolvidas.

 

A Fig. 8-7 mostra um exemplo no qual o princípio de conservação da energia

mecânica pode ser aplicado. Quando um pêndulo oscila, a energia do sistema pêndulo-Terra é transferida de energia cinética K para energia potencial gravitacional U, e vice-versa, com a soma K + U permanecendo constante. Se conhecemos a energia potencial gravitacional quando o peso do pêndulo está no

ponto mais alto (Fig. 8-7c), a Eq. 8-17 nos fornece a energia cinética do peso no

ponto mais baixo (Fig. 8-7e).

Figura 8-7 Um pêndulo, com a massa concentrada em um peso na extremidade inferior, oscila de um lado para outro. É mostrado um ciclo completo do movimento. Durante o ciclo, os valores da energia potencial e cinética do sistema pêndulo-Terra variam quando o peso sobe e desce, mas a energia mecânica E do sistema mec

permanece constante. Pode-se dizer que a energia E alterna continuamente entre as formas de energia mec

cinética e energia potencial. Nas posições (a) e (e), toda a energia está na forma de energia cinética; o peso tem velocidade máxima e se encontra no ponto mais baixo da trajetória. Nas posições (c) e (g), toda a energia está na forma de energia potencial; o peso tem velocidade nula e se encontra no ponto mais alto da trajetória. Nas posições (b), (d), (f) e (h), metade da energia é energia cinética e a outra metade é energia potencial. Se a oscilação do pêndulo envolvesse uma força de atrito no ponto onde o pêndulo está preso ao teto, ou uma força de arrasto devido ao ar, E não seria conservada e o pêndulo acabaria parando. mec

Vamos, por exemplo, escolher o ponto mais baixo como ponto de referência, com

a energia potencial gravitacional U2 = 0. Suponha que a energia potencial no ponto

mais alto seja U = 20 J em relação ao ponto de referência. Como o peso se 1

imobiliza momentaneamente ao atingir o ponto mais alto, a energia cinética nesse

ponto é K = 0. Substituindo esses valores na Eq. 8-17, obtemos a energia cinética 1

K no ponto mais baixo: 2

 

K + 0 = 0 + 20 J ou K = 20 J. 2 2

 

Observe que obtivemos esse resultado sem considerar o movimento entre os pontos

mais baixo e mais alto (como na Fig. 8-7d) e sem calcular o trabalho realizado pelas forças responsáveis pelo movimento.

 

Teste 3

A figura mostra quatro situações, uma na qual um bloco inicialmente em repouso é deixado cair e outras três nas quais o bloco desce deslizando em rampas sem atrito. (a) Ordene as situações de acordo com a energia cinética do bloco no ponto B, em ordem decrescente. (b) Ordene as situações de acordo com a velocidade do bloco no ponto B, em ordem decrescente.

 

Exemplo 8.03 Conservação de energia

mecânica em um toboágua

A grande vantagem de usar o princípio de conservação da energia mecânica em vez da segunda lei de Newton é que isso nos permite passar do estado inicial para o estado final sem levar em consideração os estados

intermediários. Este é um bom exemplo. Na Fig. 8-8, uma criança, de massa m, parte do repouso no alto de um toboágua, a uma altura h = 8,5 m acima da base do brinquedo. Supondo que a presença da água torna o atrito desprezível, determine a velocidade da criança ao chegar à base do toboágua.

 

IDEIAS-CHAVE

(1) Não podemos calcular a velocidade da criança usando a aceleração durante o percurso, como fizemos em capítulos anteriores, porque não conhecemos a inclinação (ângulo) do toboágua. Entretanto, como a velocidade está relacionada à energia cinética, talvez possamos usar o princípio da conservação da energia mecânica para calcular a velocidade da criança. Nesse caso, não precisaríamos conhecer a inclinação do brinquedo. (2) A energia mecânica é conservada em um sistema se o sistema é isolado e se as transferências de energia dentro do sistema são causadas apenas por forças conservativas. Vamos verificar.

Forças: Duas forças atuam sobre a criança. A força gravitacional, que

é uma força conservativa, realiza trabalho sobre a criança. A força normal exercida pelo toboágua sobre a criança não realiza trabalho, pois a direção dessa força em qualquer ponto da descida é sempre perpendicular à direção em que a criança se move.

 

Figura 8-8 Uma criança desce uma altura h escorregando em um toboágua.

 

Sistema: Como a única força que realiza trabalho sobre a criança é a

força gravitacional, escolhemos o sistema criança-Terra como o nosso sistema, que podemos considerar isolado.

Assim, temos apenas uma força conservativa realizando trabalho em

um sistema isolado e, portanto, podemos usar o princípio de conservação da energia mecânica.

 

Cálculos: Seja Emec,a a energia mecânica quando a criança está no alto do

toboágua, e seja E a energia mecânica quando a criança está na base. mec,b

Nesse caso, de acordo com o princípio da conservação da energia mecânica,

 

Explicitando os dois tipos de energia mecânica, escrevemos

 

Dividindo a equação por m e reagrupando os termos, temos:

 

Fazendo va = 0 e ya − yb = h, obtemos

 

Essa é a mesma velocidade que a criança teria se caísse verticalmente de uma altura de 8,5 m. Em um brinquedo de verdade, haveria algum atrito e a criança chegaria à base com uma velocidade um pouco menor.

 

Comentário: Este problema é difícil de resolver aplicando as leis de Newton, mas o uso do princípio de conservação da energia mecânica torna a solução extremamente simples. Por outro lado, se alguém quisesse saber quanto tempo a criança leva para chegar à base do toboágua, os métodos baseados em energia seriam inúteis; precisaríamos conhecer a forma exata do toboágua e, mesmo assim, teríamos um problema muito difícil pela frente.