Sistemas de Massa Variável: Um Foguete

taxa de consumo do combustível, e v é a velocidade dos produtos da combustão em relação ao rel

foguete. O produto Rv é chamado de empuxo do motor do foguete. rel

• No caso de um foguete com R e v constantes, se a velocidade do foguete varia de v para v rel if

quando a massa varia de M para M , i f

 

Sistemas de Massa Variável: Um Foguete

Em todos os sistemas que examinamos até agora, a massa total permanecia constante. Em certos casos, como o de um foguete, isso não é verdade. A maior parte da massa de um foguete, antes do lançamento, é constituída de combustível, que é posteriormente queimado e ejetado pelo sistema de propulsão. Levamos em consideração a variação da massa do foguete aplicando a segunda lei de Newton, não ao foguete, mas ao conjunto formado pelo foguete e pelos produtos ejetados. A massa desse sistema não varia com o tempo.

 

Cálculo da Aceleração

Suponha que estamos em repouso em relação a um referencial inercial, observando um foguete acelerar no espaço sideral sem que nenhuma força gravitacional ou de arrasto atue sobre ele. Seja M a massa do foguete e seja

v a velocidade em um instante arbitrário t (veja a Fig. 9-22a).

A Fig. 9-22b mostra a situação após um intervalo de tempo dt. O foguete

agora está a uma velocidade v + dv e possui uma massa M + dM, em que a variação de massa dM tem um valor negativo. Os produtos de combustão liberados pelo foguete durante o intervalo dt têm massa −dM e velocidade U em relação ao nosso referencial inercial.

Conservação do Momento. Nosso sistema é formado pelo foguete e os

produtos de exaustão ejetados no intervalo dt. Como o sistema é fechado e isolado, o momento linear total é conservado no intervalo dt, ou seja,

em que os índices i e f indicam os valores no início e no fim do intervalo de

 

tempo dt. Podemos escrever a Eq. 9-82 na forma

 

Figura 9-22 (a) Um foguete, de massa M, acelerando no instante t, do ponto de vista de um referencial inercial. (b) O mesmo foguete no instante t + dt. Os produtos de combustão ejetados durante o intervalo dt são mostrados na figura.

 

em que o primeiro termo do lado direito é o momento linear dos produtos da combustão ejetados durante o intervalo dt, e o segundo termo é o momento linear do foguete no fim do intervalo dt.

Uso da Velocidade Relativa. Podemos simplificar a Eq. 9-83 usando a

velocidade relativa v entre o foguete e os produtos da combustão, que está rel

relacionada às velocidades em relação ao referencial inercial por meio da equação

 

Em símbolos, isso significa que

 

Substituindo esse valor de U na Eq. 9-83 e reagrupando os termos, obtemos

 

Dividindo ambos os membros por dt, obtemos

 

Podemos substituir dM/dt (a taxa com a qual o foguete perde massa) por −R, em que R é a taxa (positiva) de consumo de combustível, e reconhecemos que dv/dt é a aceleração do foguete. Com essas mudanças, a

Eq. 9-86 se torna

 

A Eq. 9-87 vale para qualquer instante.

Note que o lado esquerdo da Eq. 9-87 tem dimensões de força (kg/s · m/s

= kg · m/s2 = N) e depende apenas de características do motor do foguete,

ou seja, da taxa R de consumo de combustível e da velocidade v com a rel

qual os produtos da combustão são expelidos. O produto Rv é chamado de rel empuxo do motor do foguete e representado pela letra T. A segunda lei de

Newton se torna mais explícita quando escrevemos a Eq. 9-87 na forma T = Ma, em que a é a aceleração do foguete no instante em que a massa é M.

 

Cálculo da Velocidade

Como varia a velocidade do foguete enquanto o combustível é consumido?

De acordo com a Eq. 9-85, temos:

 

Integrando ambos os membros, obtemos

 

em que M é a massa inicial do foguete e M é a massa final. Calculando as i f integrais, obtemos

 

para o aumento da velocidade do foguete quando a massa muda de M para i

M . (O símbolo “ln” na Eq. 9-88 significa logaritmo natural.) A Eq. 9-88 f

ilustra muito bem a vantagem dos foguetes de vários estágios, nos quais M f é reduzida descartando cada estágio quando o combustível do estágio se esgota. Um foguete ideal chegaria ao destino apenas com a carga útil.

 

Exemplo 9.09 Empuxo e aceleração de

 

um foguete

Em todos os exemplos anteriores deste capítulo, a massa do sistema investigado era constante. Agora vamos analisar um sistema (um foguete) cuja massa diminui com o tempo. Um

foguete cuja massa inicial M é 850 kg consome combustível a i

uma taxa R = 2,3 kg/s. A velocidade v dos gases expelidos em rel relação ao motor do foguete é 2800 m/s.

(a) Qual é o empuxo do motor?

 

IDEIA-CHAVE

De acordo com a Eq. 9-87, o empuxo T é igual ao produto da taxa

de consumo de combustível R pela velocidade relativa v dos rel gases expelidos.

 

Cálculo: Temos

 

(b) Qual é a aceleração inicial do foguete?

 

IDEIA-CHAVE

Podemos relacionar o empuxo T de um foguete ao módulo a da aceleração resultante por meio da equação T = Ma, em que M é a massa do foguete. À medida que o combustível é consumido, M diminui e a aumenta. Como estamos interessados no valor inicial

de a, usamos o valor inicial da massa, M . i

 

Cálculos: Temos

 

Para ser lançado da superfície da Terra, um foguete deve ter uma

aceleração inicial maior que g = 9,8 m/s2. Isso equivale a dizer que o empuxo T do motor do foguete deve ser maior que a força gravitacional a que o foguete está submetido no instante do

lançamento, que neste caso é igual a M g = (850 kg) (9,8 m/s2) = i 8330 N. Como o empuxo do nosso foguete (6400 N) não é suficiente, ele não poderia ser lançado da superfície da Terra.