Trabalho Realizado por uma Força Variável Genérica

Trabalho Realizado por uma Força Variável

 

Genérica

 

Análise Unidimensional

Vamos voltar à situação da Fig. 7-2, agora supondo que a força aponta no sentido positivo do eixo x e que o módulo da força varia com a posição x. Quando a conta (partícula) se move, o módulo F(x) da força que realiza trabalho sobre ela varia. Apenas o módulo da força varia; a orientação permanece a mesma. Além disso, o módulo da força em qualquer posição não varia com o tempo.

A Fig. 7-12a mostra o gráfico de uma força variável unidimensional como a

que acabamos de descrever. Estamos interessados em obter uma expressão para o trabalho realizado por essa força sobre a partícula, quando a partícula se

desloca de uma posição inicial x para uma posição final x , mas não podemos i f

usar a Eq. 7-7 (W = Fd cos ϕ) porque ela só é válida no caso de uma força constante. Assim, vamos usar novamente os métodos do cálculo. Dividimos a

área sob a curva da Fig. 7-12a em um grande número de faixas estreitas, de

largura Δx (Fig. 7-12b). Escolhemos um Δx suficientemente pequeno para que possamos considerar a força F(x) aproximadamente constante nesse intervalo.

Vamos chamar de F o valor médio de F(x) no intervalo de ordem j. Nesse j,méd

caso, F na Fig. 7-12b é a altura da faixa de ordem j. j,méd

Com F constante, o incremento (pequena quantidade) de trabalho ΔWj j,méd

realizado pela força no intervalo de ordem j pode ser calculado usando a Eq. 7-

7:

 

Na Fig. 7-12b, ΔW é, portanto, igual à área sob a faixa retangular sombreada j

de ordem j.

Para determinar o trabalho total W realizado pela força quando a partícula se

desloca de x para x , somamos as áreas de todas as faixas entre x e x da Fig. 7-i f i f

12b.

A Eq. 7-30 é uma aproximação porque a “escada” formada pelos lados

superiores dos retângulos da Fig. 7-12b é apenas uma aproximação da curva real de F(x).

Podemos melhorar a aproximação reduzindo a largura Δx dos retângulos e

usando mais retângulos, como na Fig. 7-12c. No limite, fazemos a largura dos retângulos tender a zero; nesse caso, o número de retângulos se torna infinitamente grande e temos, como resultado exato,

 

Esse limite corresponde à definição da integral da função F(x) entre os limites

x e x . Assim, a Eq. 7-31 se torna i f

 

Se conhecemos a função F(x), podemos substituí-la na Eq. 7-32, introduzir

os limites de integração apropriados, efetuar a integração e, assim, calcular o

trabalho. (O Apêndice E contém uma lista das integrais mais usadas.) Geometricamente, o trabalho é igual à área entre a curva de F(x) e o eixo x e

entre os limites x e x (área sombreada na Fig. 7-12d). i f

 

Análise Tridimensional

Considere uma partícula sob a ação de uma força tridimensional

 

cujas componentes F , F e F podem depender da posição da partícula, ou seja, x y z

podem ser funções da posição. Vamos, porém, fazer três simplificações: Fx

pode depender de x, mas não de y ou z; F pode depender de y, mas não de x ou y

z; F pode depender de z, mas não de x ou y. Suponha que a partícula sofra um z

deslocamento incremental

De acordo com a Eq. 7-8, o incremento dW do trabalho realizado sobre a partícula pela força durante o deslocamento d é

 

 

O trabalho W realizado por enquanto a partícula se move de uma posição

inicial r de coordenadas (x , y , z ) para uma posição final r de coordenadas (x , i i i i f f

y , z ) é, portanto, f f

Figura 7-12 (a) Gráfico do módulo de uma força unidimensional (x) em função da posição x de uma

partícula sobre a qual a força atua. A partícula se desloca de x a x . (b) O mesmo que (a), mas com a área i f sob a curva dividida em faixas estreitas. (c) O mesmo que (b), mas com a área sob a curva dividida em

faixas mais estreitas. (d) O caso-limite. O trabalho realizado pela força é dado pela Eq. 7-32 e é

representado pela área sombreada entre a curva e o eixo x e entre x e x . i f

Se possui apenas a componente x, os termos da Eq. 7-36 que envolvem y e z

 

são nulos e a equação se reduz à Eq. 7-32.

 

Teorema do Trabalho e Energia Cinética para uma

Força Variável

A Eq. 7-32 permite calcular o trabalho realizado por uma força variável sobre uma partícula em uma situação unidimensional. Vamos agora verificar se o trabalho calculado é realmente igual à variação da energia cinética da partícula, como afirma o teorema do trabalho e energia cinética.

Considere uma partícula de massa m que se move em um eixo x e está sujeita

a uma força F(x) paralela ao eixo x. De acordo com a Eq. 7-32, o trabalho realizado pela força sobre a partícula quando a partícula se desloca da posição

x para a posição x é dado por i f

 

em que usamos a segunda lei de Newton para substituir F(x) por ma. Podemos

escrever o integrando ma dx da Eq. 7-37 como

 

De acordo com a regra da cadeia para derivadas, temos

 

e a Eq. 7-38 se torna

Substituindo a Eq. 7-40 na Eq. 7-37, obtemos

 

Observe que, quando mudamos a variável de integração de x para v, tivemos que expressar os limites da integral em termos da nova variável. Note também que, como a massa m é constante, pudemos colocá-la do lado de fora da integral.

Reconhecendo os termos do lado direito da Eq. 7-41 como energias

cinéticas, podemos escrever essa equação na forma

 

W = K – K = Δk, f i

 

que é o teorema do trabalho e energia cinética.

 

Exemplo 7.07 Cálculo do trabalho por

integração gráfica

Na Fig. 7-13b, um bloco de 8,0 kg desliza em um piso sem atrito, sob

a ação de uma força, do ponto x = 0 até o ponto x = 6,5 m. Enquanto i f o bloco se move, o módulo e o sentido da força variam de acordo

com o gráfico mostrado na Fig. 7-13a. Assim, por exemplo, entre os pontos x = 0 e x = 1 m, a força é positiva (aponta no sentido positivo do eixo x) e aumenta em módulo de 0 para 40 N. Entre x = 4 m e x = 5 m, a força é negativa (aponta no sentido negativo do eixo x) e aumenta em módulo de 0 para 20 N. (Note que o último valor é mostrado no gráfico como –20 N.) A energia cinética do bloco no

ponto x é K = 280 J. Qual é a velocidade do bloco nos pontos x = 0, 1 1 1

x = 4,0 m, e x = 6,5 m? 2 3

 

IDEIAS-CHAVE

(1) Em qualquer ponto, podemos relacionar a velocidade do bloco à

energia cinética usando a Eq. 7-1 (K = mv2). (2) Podemos relacionar

a energia cinética K em um ponto posterior à energia cinética K em f i um ponto anterior e ao trabalho W realizado sobre o bloco usando o

teorema do trabalho e energia da Eq. 7-10 (K – K = W). (3) Podemos f i calcular o trabalho W realizado por uma força variável F(x)

integrando a força ao longo da posição x. De acordo com a Eq. 7-32,

 

Não dispomos de uma expressão matemática para a função F(x), mas temos um gráfico de F(x) que podemos integrar calculando a área entre a curva da função e o eixo x. Se a curva está acima do eixo, o trabalho (que é igual à área) é positivo; se a curva está abaixo do eixo, o trabalho é negativo.

 

Cálculos: A velocidade em x = 0 é fácil de calcular porque conhecemos a energia cinética nesse ponto. Basta substituir os valores da energia cinética e da massa do bloco na expressão da energia cinética:

 

o que nos dá

 

Enquanto o bloco se desloca de x = 0 para x = 4,0 m, a curva da

Fig. 7-13a está acima do eixo x, o que significa que o trabalho que a força exerce sobre o bloco é positivo. Podemos dividir a área sob a curva em um triângulo do lado esquerdo, um retângulo no centro e um triângulo do lado direito. A área total é

 

Isso significa que, entre x = 0 e x = 4,0 m, a força realiza um trabalho de 120 J sobre o bloco, o que aumenta a energia cinética e a

velocidade do bloco. De acordo com o teorema do trabalho e energia cinética, quando o bloco chega ao ponto x = 4,0 m, sua energia cinética é

 

K = K + W 2 1

= 280 J + 120 J = 400 J.

 

Usando novamente a definição de energia cinética, obtemos

 

Figura 7-13 (a) Gráfico que mostra o módulo e o sentido de uma força variável aplicada a um bloco que se desloca em um piso sem atrito. (b) Posição do bloco em vários instantes de tempo.

 

o que nos dá

Essa é a maior velocidade atingida pelo bloco, já que, entre x = 4,0 m e x = 6,5 m, a força é negativa e, portanto, se opõe ao movimento do bloco, realizando um trabalho negativo sobre o bloco e, com isso, reduzindo a energia cinética e a velocidade do bloco. Nesse intervalo, a área entre a curva de F(x) e o eixo x é

 

Isso significa que o trabalho total realizado pela força nesse intervalo é –35 J. De acordo com o teorema do trabalho e energia cinética, como a energia cinética do bloco no ponto x = 4,0 m é 400 J, a energia cinética no ponto x = 6,5 m é

 

K = K + W 3 2

= 400 J + 35 J = 365 J.

 

Usando novamente a definição de energia cinética, obtemos

 

Assim, no ponto x = 6,5, o bloco está se movendo no sentido positivo do eixo x, a uma velocidade um pouco maior que a velocidade inicial.

 

Exemplo 7.08 Cálculo do trabalho por

integração bidimensional

Quando a força aplicada a um objeto depende da posição do objeto, não podemos calcular o trabalho simplesmente multiplicando a força pelo deslocamento, já que não existe um único valor para a força. Para resolver o problema, temos que calcular o trabalho para pequenos deslocamentos e somar esses resultados. Isso equivale a

dizer: “Sim, eu sei que a força varia mesmo para pequenos deslocamentos, mas a variação é tão pequena que podemos supor que a força é constante durante o deslocamento.” É claro que existe um erro envolvido; mas, se usarmos um número infinito de deslocamentos infinitesimais, o erro se tornará infinitesimal e o resultado será exato. Acontece que, para somar um número infinito de contribuições infinitesimais, seria necessário um tempo infinito, ou seja, um tempo muito maior que a duração de um curso de física. Por isso, em vez de somar os resultados à mão, usamos uma integral, o que nos permite realizar o cálculo em questão de minutos (muito menos que um semestre).

A força = (3x2 N) + (4N) , com x em metros, age sobre uma

partícula, mudando apenas a energia cinética da partícula. Qual é o trabalho realizado sobre a partícula quando ela se desloca das coordenadas (2 m, 3 m) para (3 m, 0 m)? A velocidade da partícula aumenta, diminui, ou permanece a mesma?

 

IDEIA-CHAVE

A força é variável porque a componente x depende do valor de x.

Assim, não podemos usar as Eqs. 7-7 e 7-8 para calcular o trabalho

realizado. Em vez disso, devemos usar a Eq. 7-36 para integrar a força.

 

Cálculo: Escrevemos duas integrais, uma para cada eixo:

 

O resultado positivo significa que a força transfere energia para a

partícula. Assim, a energia cinética da partícula aumenta e, como K =

mv2, a velocidade escalar também aumenta. Se o trabalho fosse

negativo, a energia cinética e a velocidade teriam diminuído.