Movimento Circular Uniforme

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de...

6.06 Desenhar a trajetória de um corpo que descreve um movimento circular uniforme e explicar o

comportamento dos vetores velocidade, aceleração e força durante o movimento.

6.07 Saber que, para um corpo descrever um movimento circular uniforme, ele deve ser submetido a uma

força radial, conhecida como força centrípeta.

6.08 Conhecer a relação entre o raio da trajetória de um corpo que descreve um movimento circular

uniforme e a velocidade do corpo, a massa do corpo e a força resultante que age sobre o corpo.

 

Ideias-Chave

• Se uma partícula descreve uma circunferência ou um arco de circunferência de raio R com velocidade constante v, dizemos que a partícula está descrevendo um movimento circular uniforme. Nesse caso, a partícula possui uma aceleração centrípeta cujo módulo é dado por

 

• A aceleração centrípeta é produzida por uma força centrípeta cujo módulo é dado por

 

em que m é a massa da partícula. Os vetores e apontam para o centro de curvatura da trajetória da partícula.

 

Movimento Circular Uniforme

Como vimos no Módulo 4-5, quando um corpo descreve uma circunferência (ou um arco de circunferência) com velocidade escalar constante v, dizemos que esse corpo se encontra em movimento circular uniforme. Vimos também que o corpo possui uma aceleração centrípeta (dirigida para o centro da circunferência) de módulo constante dado por

em que R é o raio do círculo. Vamos examinar dois exemplos de movimento circular uniforme:

 

1. Fazendo uma curva de carro. Você está sentado no centro do banco traseiro de um carro que se move em alta velocidade em uma estrada plana. Quando o motorista faz uma curva brusca para a esquerda e o carro descreve um arco de circunferência, você escorrega para a direita no assento e fica comprimido contra a porta do carro durante o resto da curva. O que está acontecendo?

Enquanto o carro está fazendo a curva, ele se encontra em

movimento circular uniforme, ou seja, possui uma aceleração dirigida para o centro da circunferência. De acordo com a segunda lei de Newton, deve haver uma força responsável por essa aceleração. Além disso, a força também deve estar dirigida para o centro da circunferência. Assim, trata-se de uma força centrípeta, expressão em que o adjetivo indica a direção da força. Neste exemplo, a força centrípeta é a força de atrito exercida pela estrada sobre os pneus; é graças a essa força que o carro consegue fazer a curva.

Para você descrever um movimento circular uniforme junto com o

carro, também deve existir uma força centrípeta agindo sobre você. Entretanto, aparentemente, a força centrípeta de atrito exercida pelo assento não foi suficiente para fazê-lo acompanhar o movimento circular do carro. Assim, o assento deslizou por baixo de você até a porta direita do carro se chocar com o seu corpo. A partir desse momento, a porta forneceu a força centrípeta necessária para fazer você acompanhar o carro no movimento circular uniforme.

2. Girando em torno da Terra. Desta vez, você está a bordo da Estação Espacial Internacional, em órbita em torno da Terra, e flutua como se não tivesse peso. O que está acontecendo?

Tanto você como o ônibus espacial estão em movimento circular

uniforme e possuem uma aceleração dirigida para o centro da circunferência. Novamente, pela segunda lei de Newton, forças centrípetas são a causa das acelerações. Desta vez, as forças centrípetas são atrações gravitacionais (a atração sobre você e a atração sobre o ônibus espacial) exercidas pela Terra e dirigidas para o centro da Terra.

Tanto no carro como no ônibus espacial, você está em movimento circular

uniforme sob a ação de uma força centrípeta, mas experimenta sensações bem diferentes nas duas situações. No carro, comprimido contra a porta traseira, você tem consciência de que está sendo submetido a uma força. No ônibus espacial, está flutuando e tem a impressão de que não está sujeito a nenhuma força. Qual é a razão da diferença?

A diferença se deve à natureza das duas forças centrípetas. No carro, a força

centrípeta é a compressão a que é submetida a parte do seu corpo que está em contato com a porta do carro. Você pode sentir essa compressão. No ônibus espacial, a força centrípeta é a atração gravitacional da Terra sobre todos os átomos do seu corpo. Assim, nenhuma parte do corpo sofre uma compressão, e você não sente nenhuma força. (A sensação é conhecida como “ausência de peso”, mas essa descrição é enganosa. A atração exercida pela Terra sobre você certamente não desapareceu e, na verdade, é apenas ligeiramente menor que a que existe quando você está na superfície da Terra.)

A Fig. 6-8 mostra outro exemplo de força centrípeta. Um disco de metal

descreve uma circunferência com velocidade constante v, preso por uma corda a um eixo central. Desta vez, a força centrípeta é a tração exercida radialmente pela corda sobre o disco. Sem essa força, o disco se moveria em linha reta em vez de se mover em círculos.

Observe que a força centrípeta não é um novo tipo de força; o nome

simplesmente indica a direção da força. A força centrípeta pode ser uma força de atrito, uma força gravitacional, a força exercida pela porta de um carro, a força exercida por uma corda, ou qualquer outra força. Em todas essas situações,

 

Uma força centrípeta acelera um corpo, modificando a direção da velocidade do corpo sem mudar a velocidade escalar.

 

De acordo com a segunda lei de Newton e a Eq. 6-17 (a = v2/R), podemos escrever o módulo F de uma força centrípeta (ou de uma força centrípeta resultante) como Como a velocidade escalar v, nesse caso, é constante, os módulos da aceleração centrípeta e da força centrípeta também são constantes.

Por outro lado, as direções da aceleração centrípeta e da força centrípeta não

são constantes; variam continuamente de modo a apontar sempre para o centro do círculo. Por essa razão, os vetores força e aceleração são, às vezes, desenhados ao longo de um eixo radial r que se move com o corpo e se estende

do centro do círculo até o corpo, como na Fig. 6-8. O sentido positivo do eixo aponta radialmente para fora, mas os vetores aceleração e força apontam para dentro ao longo da direção radial.

 

Teste 2

Como toda criança sabe, a roda-gigante é um brinquedo de parque de diversões com assentos montados em uma grande roda que gira em torno de um eixo horizontal. Quando você anda de roda-gigante com velocidade constante, qual é a direção da sua aceleração e da força

normal exercida pelo assento (que está sempre na vertical) quando N

você passa (a) pelo ponto mais alto e (b) pelo ponto mais baixo da roda? (c) O módulo de no ponto mais alto da roda é maior ou

menor que no ponto mais baixo? (d) O módulo de no ponto mais N

alto da roda é maior ou menor que no ponto mais baixo?

 

Figura 6-8 Vista, de cima, de um disco de metal que se move com velocidade constante v em uma trajetória circular de raio R em uma superfície horizontal sem atrito. A força centrípeta que age sobre o disco é , a tração da corda, dirigida para o centro da circunferência ao longo do eixo radial r que passa pelo disco.

 

Exemplo 6.04 Diavolo executa um loop

vertical

Graças aos automóveis, estamos mais acostumados com o movimento circular horizontal do que com o movimento circular vertical. Neste exemplo, um movimento circular vertical parece violar a força da gravidade.

Em 1901, em um espetáculo de circo, Allo “Dare Devil” Diavolo

apresentou pela primeira vez um número de acrobacia que consistia

em descrever um loop vertical pedalando uma bicicleta (Fig. 6-9a). Supondo que o loop seja um círculo, de raio R = 2,7 m, qual é a menor velocidade v que Diavolo podia ter na parte mais alta do loop para permanecer em contato com a pista?

Fotografia reproduzida com permissão do Circus World Museum

Figura 6-9 (a) Cartaz da época anunciando o número de Diavolo e (b) diagrama de corpo livre do artista na parte mais alta do loop.

 

IDEIA-CHAVE

Podemos supor que Diavolo e sua bicicleta passam pela parte mais alta do loop como uma única partícula em movimento circular uniforme. No alto, a aceleração da partícula deve ter um módulo a

= v2/R dado pela Eq. 6-17 e estar voltada para baixo, em direção ao centro do loop circular.

Cálculos: As forças que agem sobre a partícula quando esta se encontra na parte mais alta do loop são mostradas no diagrama de

corpo livre da Fig. 6-9b. A força gravitacional aponta para baixo g

ao longo do eixo y; o mesmo acontece com a força normal N

exercida pelo loop sobre a partícula. A segunda lei de Newton para as

componentes y (F = ma ) nos dá res,y y

 

Se a partícula possui a menor velocidade v necessária para

permanecer em contato com a pista, ela está na iminência de perder

contato com o loop (cair do loop), o que significa que F = 0 no alto N do loop (a partícula e o piso se tocam, mas não há força normal).

Substituindo F por 0 na Eq. 6-19, explicitando v e substituindo os N

valores conhecidos, obtemos

 

Comentários: Diavolo sempre se certificava de que sua velocidade no alto do loop era maior que 5,1 m/s, a velocidade mínima necessária para não perder contato com o loop e cair. Note que essa velocidade não depende da massa de Diavolo e sua bicicleta. Mesmo que tivesse se empanturrado antes de se apresentar, a velocidade mínima necessária para não cair do loop seriam os mesmos 5,1 m/s.

 

Exemplo 6.05 Carro em uma curva não

compensada

 

Correndo de cabeça para baixo: Os carros de corrida modernos são projetados de tal forma que o ar em movimento os empurra para baixo, permitindo que façam as curvas em alta velocidade sem derrapar. Essa força para baixo é chamada de sustentação negativa. Um carro de corrida pode ter uma sustentação negativa suficiente

para andar de cabeça para baixo no teto de um túnel, como fez um carro fictício no filme MIB – Homens de Preto?

A Fig. 6-10a mostra um carro de corrida, de massa m = 600 kg, em

uma pista plana na forma de um arco de circunferência de raio R = 100 m. Devido à forma do carro e aos aerofólios, o ar exerce sobre o

carro uma sustentação negativa dirigida para baixo. O coeficiente S

de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,75. (Suponha que as forças sobre os quatro pneus são iguais.)

(a) Se o carro está na iminência de derrapar para fora da curva

quando a velocidade é 28,6 m/s, qual é o módulo de ? S

 

IDEIAS-CHAVE

1. Como a trajetória do carro é um arco de circunferência, ele está sujeito a uma força centrípeta; essa força aponta para o centro de curvatura do arco (no caso, é uma força horizontal).

2. A única força horizontal a que o carro está sujeito é a força de atrito exercida pela pista sobre os pneus. Assim, a força centrípeta é uma força de atrito.

3. Como o carro não está derrapando, a força de

atrito é a força de atrito estático (Fig. 6-10a). 4. Como o carro está na iminência de derrapar, o

módulo f da força de atrito é igual ao valor s

máximo f = μ F , em que F é o módulo da s,máx s N N

força normal que a pista exerce sobre o carro. N

 

Cálculos para a direção radial: A força de atrito é mostrada no

diagrama de corpo livre da Fig. 6-10b. Ela aponta no sentido negativo do eixo radial r que se estende do centro de curvatura até o carro. A força produz uma aceleração centrípeta de módulo v2/R. Podemos relacionar a força e a aceleração escrevendo a segunda lei de Newton

para as componentes ao longo do eixo r (F = ma ) na forma res,r r

Substituindo f por f = μ F , temos s s,máx s N

 

Cálculos para a direção vertical: Vamos considerar em seguida as

forças verticais que agem sobre o carro. A força normal aponta N

para cima, no sentido positivo do eixo y da Fig. 6-10b. A força

gravitacional = m e a sustentação negativa apontam para g S baixo. A aceleração do carro ao longo do eixo y é zero. Assim, podemos escrever a segunda lei de Newton para as componentes ao

longo do eixo y (F = ma ) na forma res,y y

 

Combinação dos resultados: Agora podemos combinar os resultados

ao longo dos dois eixos explicitando F na Eq. 6-21 e substituindo na N

Eq. 6-22. Fazendo isso e explicitando F , obtemos S

 

(b) Da mesma forma que a força de arrasto (Eq. 6-14), a sustentação negativa do carro é proporcional a v2, o quadrado da velocidade do carro. Assim, a sustentação negativa é maior quando o carro está se movendo mais depressa, como acontece quando se desloca em um trecho reto da pista. Qual é o módulo da sustentação negativa para uma velocidade de 90 m/s? Essa sustentação é suficiente para que um carro possa andar de cabeça para baixo no teto de um túnel?

 

IDEIA-CHAVE

 

F é proporcional a v2. S

Cálculos: Podemos escrever a razão entre a sustentação negativa Fs,90

para v = 90 m/s e o nosso resultado para a sustentação negativa FS correspondente a v = 28,6 m/s como

 

Fazendo F = 663,7 N e explicitando F , obtemos S s,90

 

Correndo de cabeça para baixo: A força gravitacional é, naturalmente, a força a ser vencida para que o carro possa correr de cabeça para baixo:

 

Figura 6-10 (a) Um carro de corrida descreve uma curva em uma pista plana com velocidade escalar constante v. A força centrípeta necessária para que o carro faça a curva é a força de atrito , orientada segundo um eixo radial r. (b) Diagrama de corpo livre do carro (fora de escala), em um plano vertical passando por r.

 

Com o carro de cabeça para baixo, a sustentação negativa é uma

força para cima de 6600 N, que excede a força gravitacional para baixo de 5880 N. Assim, um carro de corrida pode se sustentar de

cabeça para baixo contanto que a velocidade seja da ordem de 90 m/s (= 324 km/h). Entretanto, como andar a essa velocidade é muito perigoso, mesmo em uma pista reta e com o carro na posição normal, não espere ver esse truque realizado fora do cinema.

 

Exemplo 6.06 Carro em uma curva

compensada

Este problema é difícil de formular em termos matemáticos, mas pode ser resolvido em poucas linhas. Precisamos levar em conta, não só o movimento circular, mas também o movimento em um plano inclinado. Entretanto, não é necessário usar um sistema de coordenadas em que um dos eixos é paralelo e o outro é perpendicular ao plano inclinado, como nos problemas anteriores envolvendo planos inclinados. Em vez disso, escolhemos um instante do movimento e trabalhamos com um eixo x horizontal e um eixo y vertical. O primeiro passo para podermos aplicar a segunda lei de Newton é identificar a força responsável pelo movimento circular uniforme.

As curvas das rodovias costumam ser compensadas (inclinadas)

para evitar que os carros derrapem. Quando a estrada está seca, a força de atrito entre os pneus e o piso é suficiente para evitar derrapagens, mesmo sem compensação. Quando a pista está molhada, porém, a força de atrito diminui muito e a compensação se torna

necessária. A Fig. 6-11a mostra um carro, de massa m, que se move com velocidade constante v de 20 m/s em uma pista circular compensada com R = 190 m de raio. (Trata-se de um carro normal e não de um carro de corrida, o que significa que não existe sustentação negativa.) Se a força de atrito exercida pelo piso é desprezível, qual é o menor valor do ângulo de elevação θ para o qual o carro não derrapa?

 

IDEIAS-CHAVE

Ao contrário do que acontece no exemplo anterior, a pista possui uma

inclinação para que a força normal que age sobre o carro tenha N

uma componente na direção do centro da curva (Fig. 6-11b). Assim,

N possui agora uma componente centrípeta, de módulo F , na Nr

direção radial r. Queremos calcular o valor do ângulo de inclinação θ

para que essa componente centrípeta mantenha o carro na pista circular sem necessidade do atrito.

 

Cálculo na direção radial: Como mostra a Fig. 6-11b (e o leitor pode

verificar), o ângulo que a força faz com a vertical é igual ao N

ângulo de inclinação θ da pista. Assim, a componente radial F é Nr

igual a F sen θ, e a segunda lei de Newton para as componentes ao N

longo do eixo r (F = ma ) assume a seguinte forma: res,r r

 

Não podemos obter o valor de θ usando apenas a Eq. 6-23 porque ela

envolve as incógnitas F e m. N

 

Cálculo na direção vertical: Vamos considerar as forças e

acelerações ao longo do eixo y da Fig. 6-11b. A componente vertical

da força normal é F = F cos θ, a força gravitacional tem módulo Ny N g

mg, e a aceleração do carro ao longo do eixo y é zero. Assim, a

segunda lei de Newton para as componentes ao longo do eixo y (Fres,y

= ma ) assume a seguinte forma: y

 

F cos θ – mg = m(0), N

 

donde

 

Combinação dos resultados: A Eq. 6-24 também contém as

incógnitas F e m, mas observe que, dividindo a Eq. 6-23 pela Eq. 6-N

24, eliminamos as duas incógnitas. Procedendo dessa forma, substituindo (sen θ)/(cos θ) por tan θ e explicitando θ, obtemos