Força de Arrasto e Velocidade Terminal

6-2 FORÇA DE ARRASTO E VELOCIDADE

TERMINAL

 

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

6.04 Aplicar a relação que existe entre a força de arrasto a que está sujeito um objeto imerso em um fluido

e a velocidade relativa entre o objeto e o fluido.

6.05 Calcular a velocidade terminal de um objeto em queda no ar.

 

Ideias-Chave

• Sempre que existe um movimento relativo entre o ar (e outro fluido qualquer) e um corpo, o corpo experimenta uma força de arrasto que se opõe ao movimento relativo e aponta na direção do

movimento do fluido em relação ao corpo. O módulo de está relacionado ao módulo da velocidade relativa por meio da equação

 

em que C é uma constante empírica denominada coeficiente de arrasto, r é a massa específica do fluido, A é a seção reta efetiva do corpo (área da seção reta do corpo perpendicular a ).

• A velocidade de um objeto em queda no ar aumenta até que a força de arrasto seja igual à força

gravitacional . A partir desse momento, o corpo passa a cair com velocidade constante, conhecida g

como velocidade terminal, cujo valor é dado por

 

Força de Arrasto e Velocidade Terminal

Um fluido é uma substância, em geral um gás ou um líquido, capaz de escoar. Quando existe uma velocidade relativa entre um fluido e um corpo sólido (seja porque o corpo se move na presença do fluido, seja porque o fluido passa pelo corpo), o corpo experimenta uma força de arrasto que se opõe ao movimento relativo e é paralela à direção do movimento relativo do fluido.

Examinaremos aqui apenas os casos em que o fluido é o ar, o corpo é

rombudo (como uma bola) e não fino e pontiagudo (como um dardo) e o movimento relativo é suficientemente rápido para produzir uma turbulência no ar (formação de redemoinhos) atrás do corpo. Nesse caso, o módulo da força de arrasto está relacionado ao módulo da velocidade relativa por meio da equação

 

em que C é um parâmetro determinado experimentalmente, conhecido como coeficiente de arrasto, ρ é a massa específica do ar (massa por unidade de volume) e A é a área da seção reta efetiva do corpo (a área de uma seção reta perpendicular à velocidade ). O coeficiente de arrasto C (cujos valores típicos variam de 0,4 a 1,0) não é, na verdade, constante para um dado corpo, já que pode mudar de valor para grandes velocidades; mas vamos ignorar esse tipo de complicação.

Os esquiadores sabem muito bem que a força de arrasto depende de A e de

v2. Para alcançar altas velocidades, um esquiador procura reduzir o valor de D,

adotando, por exemplo, a “posição de ovo” (Fig. 6-5) para minimizar A.

 

Karl-Josef Hildenbrand/dpa/Landov LLC

Figura 6-5 A esquiadora se agacha na “posição de ovo” para minimizar a área da seção reta efetiva e assim reduzir a força de arrasto.

 

Queda. Quando um corpo rombudo cai a partir do repouso, a força de arrasto

produzida pela resistência do ar aponta para cima e seu módulo cresce

gradualmente, a partir do zero, à medida que a velocidade do corpo aumenta. A

força para cima se opõe à força gravitacional , dirigida para baixo. g Podemos relacionar essas forças à aceleração do corpo escrevendo a segunda

lei de Newton para um eixo vertical y (F = ma ), como res,y y

 

em que m é a massa do corpo. Como mostra a Fig. 6-6, se o corpo cai por um

tempo suficiente, D acaba se tornando igual a F . De acordo com a Eq. 6-15, g isso significa que a = 0 e, portanto, a velocidade do corpo para de aumentar. O corpo passa, então, a cair com velocidade constante, a chamada velocidade

terminal v . t

Para determinar v , fazemos a = 0 na Eq. 6-15 e substituímos o valor de D, t

dado pela Eq. 6-14, obtendo

 

A Tabela 6-1 mostra os valores de v para alguns objetos comuns. t

Figura 6-6 Forças a que está submetido um corpo em queda livre no ar. (a) O corpo no momento em que começa a cair; a única força presente é a força gravitacional. (b) Diagrama de corpo livre durante a queda, incluindo a força de arrasto. (c) A força de arrasto aumentou até se tornar igual à força gravitacional. O corpo agora cai com velocidade constante, a chamada velocidade terminal.

 

Tabela 6-1 Algumas Velocidades Terminais no Ar

 

Objeto Velocidade Distância

terminal para 95%a

(m/s) (m)

Peso (do arremesso 145 2500 de peso)

 

Paraquedista em 60 430 queda livre (típico)

 

Bola de beisebol 42 210

 

Bola de tênis 31 115

Bola de basquete 20 47

 

Bola de pingue- 9 10 pongue

Gota de chuva (raio 7 6 = 1,5 mm)

 

Paraquedista (típico) 5 3

 

aDistância de queda necessária para atingir 95% da velocidade terminal. Fonte: Adaptado de Peter J. Brancazio, Sport Science, 1984, Simon & Schuster, New York.

 

De acordo com cálculos* baseados na Eq. 6-14, um gato precisa cair cerca

de seis andares para atingir a velocidade terminal. Até que isso aconteça, F > g D e o gato sofre uma aceleração para baixo porque a força resultante é diferente

de zero. Como vimos no Capítulo 2, nosso corpo é um acelerômetro e não um velocímetro. Como o gato também sente a aceleração, ele fica assustado e mantém as patas abaixo do corpo, encolhe a cabeça e encurva a espinha para

cima, reduzindo a área A, aumentando v e provavelmente se ferindo na queda. t

Entretanto, se o gato atinge v durante uma queda mais longa, a aceleração se t

anula e o gato relaxa um pouco, esticando as patas e o pescoço horizontalmente para fora e endireitando a espinha (o que o faz ficar parecido com um esquilo voador). Isso produz um aumento da área A e, consequentemente, de acordo

com a Eq. 6-14, um aumento da força de arrasto D. O gato começa a diminuir

de velocidade, já que, agora, D > F (a força resultante aponta para cima), até g

que uma velocidade terminal v menor seja atingida. A diminuição de v reduz a t t possibilidade de que o gato se machuque na queda. Pouco antes do fim da queda, ao perceber que o chão está próximo, o gato coloca novamente as patas abaixo do corpo, preparando-se para o pouso.

 

Steve Fitchett/Taxi/Getty Images

Figura 6-7 Paraquedistas na “posição de águia”, que maximiza a força de arrasto.

Os seres humanos muitas vezes saltam de grandes alturas apenas pelo prazer

de “voar”. Em abril de 1987, durante um salto, o paraquedista Gregory Robertson percebeu que a colega Debbie Williams havia desmaiado ao colidir com um terceiro paraquedista e, portanto, não tinha como abrir o paraquedas. Robertson, que estava muito acima de Debbie e ainda não tinha aberto o paraquedas para a descida de 4 mil metros, colocou-se de cabeça para baixo para minimizar A e maximizar a velocidade da queda. Depois de atingir uma velocidade terminal estimada de 320 km/h, alcançou a moça e assumiu a

“posição de águia” (como na Fig. 6-7) para aumentar D e conseguir agarrá-la. Ele abriu o paraquedas da moça e em seguida, após soltá-la, abriu o próprio paraquedas, quando faltavam apenas 10 segundos para o impacto. Williams sofreu várias lesões internas devido à falta de controle na aterrissagem, mas sobreviveu.

 

Exemplo 6.03 Velocidade terminal de uma

gota de chuva

Uma gota de chuva, de raio R = 1,5 mm, cai de uma nuvem que está a uma altura h = 1200 m acima do solo. O coeficiente de arrasto C da gota é 0,60. Suponha que a gota permanece esférica durante toda a

queda. A massa específica da água, ρ , é 1000 kg/m3 e a massa a

específica do ar, ρ , é 1,2 kg/m3. ar

(a) De acordo com a Tabela 6-1, a gota atinge a velocidade terminal depois de cair apenas alguns metros. Qual é a velocidade terminal?

 

IDEIA-CHAVE

A gota atinge a velocidade terminal v quando a força gravitacional e t a força de arrasto se equilibram, fazendo com que a aceleração seja nula. Poderíamos aplicar a segunda lei de Newton e a equação da

força de arrasto para calcular v , mas a Eq. 6-16 já faz isso para nós. t

 

Cálculo: Para usar a Eq. 6-16, precisamos conhecer a área efetiva da

seção reta A e o módulo F da força gravitacional. Como a gota é g

esférica, A é a área de um círculo (πR2) com o mesmo raio que a

esfera. Para determinar F , usamos três fatos:(1) F = mg, em que m é g g

a massa da gota; (2) o volume da gota (esférica) é V = πR3; (3) a

massa específica da água da gota é igual à massa por unidade de

volume: π = m/V. Assim, temos a

 

F = Vρ g = πR3ρ g. g a a

 

Em seguida substituímos esse resultado, a expressão para A e os

valores conhecidos na Eq. 6-16. Tomando cuidado para não

confundir a massa específica do ar, ρ , com a massa específica da ar

água, ρ , obtemos: a

 

Note que a altura da nuvem não entra no cálculo. (b) Qual seria a velocidade da gota imediatamente antes do impacto com o chão, se não existisse a força de arrasto?

 

IDEIA-CHAVE

Na ausência da força de arrasto para reduzir a velocidade da gota durante a queda, a gota cairia com a aceleração constante de queda livre g e, portanto, as equações do movimento com aceleração

constante da Tabela 2-1 podem ser usadas.

 

Cálculos: Como sabemos que a aceleração é g, a velocidade inicial v0

é zero e o deslocamento x − x é −h, usamos a Eq. 2-16 para calcular 0 v:

 

Se Shakespeare soubesse disso, dificilmente teria escrito: “Gota a gota ela cai, tal como a chuva benéfica do céu”. Na verdade, essa é a velocidade de uma bala disparada por uma arma de grosso calibre! 6-3 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME