Rotação com Aceleração Angular Constante

Ideia-Chave

• A rotação com aceleração angular constante (α = constante) é um caso especial importante do movimento de rotação. As equações de movimento que se aplicam a esse caso são as seguintes:

 

Rotação com Aceleração Angular Constante

Nas translações puras, os movimentos com aceleração linear constante (como, por exemplo, o movimento de um

corpo em queda livre) constituem um caso especial importante. Na Tabela 2-1, apresentamos uma série de equações que são válidas apenas para esse tipo de movimento.

Nas rotações puras, o caso da aceleração angular constante também é importante e pode ser descrito usando um

conjunto análogo de equações. Não vamos demonstrá-las, mas nos limitaremos a escrevê-las a partir das equações lineares correspondentes, substituindo as grandezas lineares pelas grandezas angulares equivalentes. O resultado

aparece na Tabela 10-1, que mostra os dois conjuntos de equações (Eqs. 2-11 e 2-15 a 2-18; 10-12 a 10-16).

Como vimos, as Eqs. 2-11 e 2-15 são as equações básicas para o caso da aceleração linear constante; as outras

equações da lista “Translações” podem ser deduzidas a partir dessas equações. Da mesma forma, as Eqs. 10-12 e

10-13 são as equações básicas para o caso da aceleração angular constante, e as outras equações da lista “Rotações” podem ser deduzidas a partir dessas equações. Para resolver um problema simples envolvendo aceleração angular constante, quase sempre é possível usar uma das cinco equações da lista “Rotações”. Escolha uma equação para a qual a única incógnita seja a variável pedida no problema. Um plano melhor é memorizar

apenas as Eqs. 10-12 e 10-13 e resolvê-las como um sistema de equações sempre que necessário.

 

Teste 2

Em quatro situações, um corpo em rotação tem a posição angular θ(t) dada por (a) θ = 3t – 4, (b) θ = −5t3

+ 4t2 + 6, (c) θ = 2/t2 – 4/t e (d) θ = 5t2 – 3. A quais dessas situações as equações angulares da Tabela 10-

1 se aplicam?

 

Tabela 10-1 Equações de Movimento para Aceleração Linear Constante e Aceleração Angular Constante

Número Equação Linear Variável Equação Angula

da Ausente

Equação

(2-11) v = v0 + x θ ω =

at – –

x0 θ0

(2-15) x = v t v ω θ = 0

– – +

x0 θ at0 2

(2-16) v2 = v + t t ω2 =

2a(x –

x0)

(2-17) x = (v a α θ = 0

– – +

x0 θ v ) t0

(2-18) x = vt – v0 ω0 θ =

– at2 –

x0 θ0

 

Exemplo 10.03 Pedra de amolar com aceleração angular

constante

Uma pedra de amolar (Fig. 10-8) gira com uma aceleração angular constante α = 0,35 rad/s2. No instante t = 0, a pedra tem uma velocidade angular ω0 = −4,6 rad/s, e uma reta de referência traçada na pedra está na horizontal, na posição angular θ 0 = 0. (a) Em que instante após t = 0 a reta de referência está na posição angular θ = 5,0 rev?

IDEIA-CHAVE

Como a aceleração angular é constante, podemos usar as equações para rotações da Tabela 10-1.

Escolhemos a Eq. 10-13,

 

porque a única variável desconhecida é o tempo t.

Cálculos: Substituindo valores conhecidos e fazendo θ 0 = 0 e θ = 5,0 rev = 10π rad, obtemos

 

(Convertemos 5,0 rev para 10π rad para manter a coerência entre as unidades.) Resolvendo essa equação do segundo grau em t, obtemos

 

A essa altura, notamos um fato aparentemente estranho. Inicialmente, a pedra estava girando no sentido negativo e partiu da orientação θ = 0. Entretanto, acabamos de calcular que, 32 s depois, a orientação da pedra é positiva, θ = 5,0 rev. O que aconteceu nesse intervalo para que a pedra assumisse uma orientação positiva?

 

Figura 10-8 Uma pedra de amolar. No instante t = 0, a reta de referência (que imaginamos marcada na pedra) está na horizontal.

(b) Descreva a rotação da pedra de amolar entre t = 0 e t = 32 s.

Descrição: A pedra está inicialmente girando no sentido negativo (o sentido dos ponteiros do relógio) com velocidade angular ω = −4,6 rad/s, mas a aceleração angular α é positiva (o sentido contrário ao 0

dos ponteiros do relógio). Essa oposição inicial entre os sinais da velocidade angular e da aceleração angular significa que a roda gira cada vez mais devagar no sentido negativo, para momentaneamente e, em seguida, passa a girar no sentido positivo. Depois que a reta de referência passa de volta pela posição inicial θ = 0, a pedra de amolar dá mais 5 voltas completas até o instante t = 32 s. (c) Em que instante t a pedra de amolar para momentaneamente?

Cálculo: Vamos consultar de novo a tabela de equações para aceleração angular constante. Mais uma vez, precisamos de uma equação que contenha apenas a incógnita t. Agora, porém, a equação deve conter também a variável ω, para que possamos igualá-la a 0 e calcular o valor correspondente de t.

Assim, escolhemos a Eq. 10-12, que nos dá

 

Exemplo 10.04 Rotor com aceleração angular constante

Você está operando um Rotor (um brinquedo de parque de diversões com um cilindro giratório vertical), percebe que um ocupante está ficando aflito, e reduz a velocidade angular do cilindro de 3,40 rad/s para 2,00 rad/s em 20,0 rev, com uma aceleração angular constante. (O ocupante é obviamente mais um “homem de translação” do que um “homem de rotação”.)

(a) Qual é a aceleração angular constante durante essa redução da velocidade angular?

IDEIA-CHAVE

Como a aceleração angular do cilindro é constante, podemos relacioná-la à velocidade angular e ao

deslocamento angular por meio das equações básicas da aceleração angular constante (Eqs. 10-12 e 10-

13).

Cálculos: Vamos fazer primeiro uma análise rápida para ver se podemos resolver as equações básicas. A velocidade angular inicial é θ = 3,40 rad/s, o deslocamento angular é θ − θ = 20,0 rev, e a velocidade 0 0 angular, no final do deslocamento, é ω = 2,00 rad/s. Além da aceleração angular α que nos interessa, as duas equações básicas também envolvem o tempo t, no qual não estamos interessados no momento.

Para eliminar a variável t, usamos a Eq. 10-12 para escrever

 

que substituímos na Eq. 10-13 para obter

 

Explicitando α, substituindo os valores conhecidos e convertendo 20 rev para 125,7 rad, obtemos

 

(b) Em quanto tempo ocorre a redução de velocidade?

Cálculo: Agora que conhecemos α, podemos usar a Eq. 10-12 para obter t: