Multiplicação de Vetores

que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva. Note que · = ·

 

• O produto vetorial de dois vetores e é representado como × e é um vetor cujo módulo c é dado por

 

em que ϕ é o menor ângulo entre as direções de e . A direção de é perpendicular ao plano definido por e e é dada pela regra da mão direita,

como mostra a Fig. 3-19. Na notação dos vetores unitários,

 

que pode ser expandido usando a lei distributiva. Note que × = – ×

 

Multiplicação de Vetores

Existem três formas de multiplicar vetores, mas nenhuma é exatamente igual à multiplicação algébrica. Ao ler a exposição a seguir, tenha em mente que uma calculadora o ajudará a multiplicar vetores apenas se você compreender as regras básicas desse tipo de multiplicação.

 

Multiplicação de um Vetor por um Escalar

Quando multiplicamos um vetor por um escalar e, obtemos um vetor cujo módulo é o produto do módulo de pelo valor absoluto de e, cuja direção é a mesma de e cujo sentido é o mesmo de se e for positivo e o sentido oposto se e for negativo. Para dividir por e, multiplicamos por 1/e.

 

Multiplicação de um Vetor por um Vetor

Existem duas formas de multiplicar um vetor por um vetor: uma forma (conhecida como produto escalar) resulta em um escalar; a outra (conhecida como produto vetorial) resulta em um vetor. (Os estudantes costumam confundir as duas formas.)

 

O Produto Escalar

O produto escalar dos vetores e da Fig. 3-18a é escrito como · e definido pela equação

 

em que a é o módulo de , b é o módulo de e ϕ é o ângulo entre e (ou, mais apropriadamente, entre as orientações de e ). Na realidade, existem

dois ângulos possíveis: ϕ e 360° – ϕ. Qualquer dos dois pode ser usado na Eq.

3-20, já que os cossenos dos dois ângulos são iguais.

Note que o lado direito da Eq. 3-20 contém apenas escalares (incluindo o

valor de cos ϕ). Assim, o produto · no lado esquerdo representa uma grandeza escalar e é lido como “a escalar b”.

O produto escalar pode ser considerado como o produto de duas grandezas:

(1) o módulo de um dos vetores e (2) a componente escalar do outro vetor em

relação ao primeiro. Assim, por exemplo, na Fig. 3-18b, tem uma componente escalar a cos ϕ em relação a ; note que essa componente pode ser determinada traçando uma perpendicular a que passe pela extremidade de . Analogamente, possui uma componente escalar b cos ϕ em relação a .

 

Se o ângulo ϕ entre dois vetores é 0°, a componente de um vetor em relação ao outro é máxima, o que também acontece com o produto escalar dos vetores. Se o ângulo é 90°, a componente de um vetor em relação ao outro é nula, o que também acontece com o produto escalar.

 

Para chamar atenção para as componentes, a Eq. 3-20 pode ser escrita da

seguinte forma:

 

Como a propriedade comutativa se aplica ao produto escalar, podemos escrever

 

· = · .

Figura 3-18 (a) Dois vetores, e , formando um ângulo ϕ. (b) Cada vetor tem uma componente na direção do outro vetor.

 

Quando os dois vetores são escritos na notação dos vetores unitários, o produto escalar assume a forma

 

que pode ser expandida de acordo com a propriedade distributiva. Calculando os produtos escalares dos componentes vetoriais do primeiro vetor pelos componentes vetoriais do segundo vetor, obtemos:

 

Teste 4

Os vetores e têm módulos de 3 unidades e 4 unidades, respectivamente. Qual é o ângulo entre esses vetores se · é igual a (a) zero, (b) 12 unidades e (c) –12 unidades?

O Produto Vetorial

O produto vetorial de e é escrito como × e resulta em um terceiro vetor, , cujo módulo é

 

em que ϕ é o menor dos dois ângulos entre e . (É preciso usar o menor dos ângulos entre os vetores porque sen ϕ e sen(360° – ϕ) têm sinais opostos.) O produto × é lido como “a vetor b”.

 

Se e são paralelos ou antiparalelos, × = 0. O módulo de × , que pode ser escrito como | × |, é máximo quando e são mutuamente perpendiculares.

 

A direção de é perpendicular ao plano definido por e . A Fig. 3-19a

mostra como determinar o sentido de = × usando a chamada regra da mão direita. Superponha as origens de e sem mudar a orientação dos vetores e imagine uma reta perpendicular ao plano definido pelos dois vetores, passando pela origem comum. Envolva essa reta com a mão direita de modo que os dedos empurrem em direção a ao longo do menor ângulo entre os vetores. Seu polegar estendido apontará no sentido de .

No caso do produto vetorial, a ordem dos vetores é importante. Na Fig. 3-

19b, estamos determinando o sentido de ′ = × , de modo que os dedos da mão direita empurram na direção de ao longo do menor ângulo. Neste

caso, o polegar aponta no sentido oposto ao da Fig. 3-21a, de modo que ʹ = ou seja,

 

Em outras palavras, a lei comutativa não se aplica ao produto vetorial.

Na notação dos vetores unitários, podemos escrever que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva, ou seja, calculando o produto vetorial de cada componente do primeiro vetor pelas componentes do segundo vetor. Os produtos vetoriais dos vetores unitários aparecem no

Apêndice E (veja “Produtos de Vetores”). Assim, por exemplo, na expansão da

Eq. 3-26, temos

 

porque os vetores unitários e são paralelos e, portanto, o produto vetorial é zero. Analogamente, temos:

 

No último passo, usamos a Eq. 3-24 para descobrir que o módulo de × é 1.

(O módulo dos vetores e é 1, e o ângulo entre e é 90°.) Usando a regra da

mão direita, descobrimos que o sentido de × é o sentido do semieixo z positivo, ou seja, o sentido de .

Continuando a expandir a Eq. 3-26, é possível mostrar que

 

Também é possível calcular o resultado de um produto vetorial usando um

determinante (veja o Apêndice E), ou uma calculadora.

Para verificar se um sistema de coordenadas xyz é um sistema dextrogiro,

basta aplicar a regra da mão direita ao produto vetorial × = no sistema

dado. Se os dedos empurrarem (semieixo x positivo) na direção de (semieixo y positivo) e o polegar estendido apontar no sentido do semieixo z positivo, o sistema é dextrogiro; caso contrário, o sistema é levogiro.

 

Teste 5

Os vetores e têm módulos de 3 unidades e 4 unidades, respectivamente. Qual é o ângulo entre os dois vetores se o módulo do produto vetorial × é igual a (a) zero e (b) 12 unidades?

Figura 3-19 Ilustração da regra da mão direita para produtos vetoriais. (a) Empurre o vetor na direção do vetor com os dedos da mão direita. O polegar estendido mostra a orientação do vetor = × . (b) O vetor × tem o sentido oposto ao de × .

 

 

Exemplo 3.05 Ângulo entre dois vetores

usando o produto escalar

Qual é o ângulo ϕ entre = 3,0 – 4,0 e = –2,0 + 3,0 ? (Atenção: Muitos dos cálculos a seguir não são necessários quando se usa uma calculadora, mas o leitor aprenderá mais sobre produtos escalares se, pelo menos por enquanto, executá-los manualmente.)

 

IDEIA-CHAVE

O ângulo entre as orientações dos dois vetores aparece na definição

do produto escalar (Eq. 3-20):

 

Cálculos: Na Eq. 3-28, a é o módulo de , ou seja,

e b é o módulo de , ou seja,

 

 

Podemos calcular o lado esquerdo da Eq. 3-28 escrevendo os vetores na notação dos vetores unitários e usando a propriedade distributiva:

 

Em seguida, aplicamos a Eq. 3-20 a cada termo da última expressão. O ângulo entre os vetores unitários do primeiro termo ( e ) é 0° e os outros ângulos são 90°. Assim, temos:

 

Substituindo esse resultado e os resultados das Eqs. 3-29 e 3-30 na

Eq. 3-28, obtemos:

 

Exemplo 3.06 Produto vetorial, regra da

mão direita

Na Fig. 3-20, o vetor está no plano xy, tem um módulo de 18 unidades e uma orientação que faz um ângulo de 250° com o semieixo x positivo. O vetor tem um módulo de 12 unidades e está orientado ao longo do semieixo z positivo. Qual é o produto vetorial

= × ?

IDEIA-CHAVE

Quando conhecemos dois vetores na notação módulo-ângulo,

podemos calcular o módulo do produto vetorial usando a Eq. 3-24 e determinar a orientação do produto vetorial usando a regra da mão

direita da Fig. 3-19.

 

Cálculos: O módulo do produto vetorial é dado por

 

Para determinar a orientação do produto vetorial na Fig. 3-20, coloque os dedos da mão direita em torno de uma reta perpendicular ao plano de e (a reta na qual se encontra o vetor ) de modo que os dedos empurrem o vetor na direção de ; o polegar estendido fornece a orientação de . Assim, como mostra a figura, está no plano xy. Como a direção de é perpendicular à direção de (o produto vetorial sempre resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais), o vetor faz um ângulo de

 

Figura 3-20 O vetor (no plano xy) é o produto vetorial dos vetores

e .

 

com o semieixo x positivo.