A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas

determinar a relação entre os deslocamentos e a relação entre as velocidades das duas partículas.

 

Ideias-Chave

• O movimento do centro de massa de qualquer sistema de partículas obedece à segunda lei de Newton para um sistema de partículas, que é expresso pela equação

res = M CM

em que é a força resultante de todas as forças externas que agem sobre o sistema, M é a massa total do sistema, e é a aceleração do res CM centro de massa do sistema.

 

A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas Agora que sabemos determinar a posição do centro de massa de um sistema de partículas, vamos discutir a relação entre as forças externas e o movimento do centro de massa. Começamos com um exemplo simples, envolvendo duas bolas de sinuca.

Quando atingimos com a bola branca uma bola que está em repouso, esperamos que o sistema de duas

bolas, após o choque, continue a se mover mais ou menos na direção original da bola branca. Ficaríamos surpresos, por exemplo, se as duas bolas se movessem em nossa direção ou se ambas se movessem para a direita ou para a esquerda. Temos uma ideia instintiva de que alguma coisa não muda com a colisão.

O que continua a se mover para a frente, sem que o movimento seja alterado pela colisão, é o centro de

massa do sistema de duas bolas. Se você concentrar a atenção nesse ponto (que é sempre o ponto médio do segmento que une as duas bolas, pois elas têm massas iguais), você poderá se convencer de que isso é verdade, observando a trajetória das bolas em uma mesa de sinuca. Não importa se o choque é frontal ou de raspão; o centro de massa sempre continua a se mover na direção seguida originalmente pela bola branca, como se não tivesse havido a colisão. Vamos examinar mais de perto esse movimento do centro de massa.

Movimento do Centro de Massa de um Sistema. Para isso, vamos substituir o par de bolas de sinuca por

um conjunto de n partículas de massas (possivelmente) diferentes. Não estamos interessados no movimento individual das partículas, mas apenas no movimento do centro de massa do conjunto. Embora o centro de massa seja apenas um ponto, ele se move como uma partícula cuja massa é igual à massa total do sistema; podemos atribuir-lhe uma posição, uma velocidade e uma aceleração. Afirmamos (e provaremos a seguir) que a equação vetorial que descreve o movimento do centro de massa de um sistema de partículas é

 

A Eq. 9-14 é a expressão da segunda lei de Newton para o movimento do centro de massa de um sistema

de partículas. Note que a forma é a mesma da equação ( res = m ) para o movimento de uma única

partícula. Contudo, as três grandezas que aparecem na Eq. 9-14 devem ser usadas com algum critério:

1. res é a força resultante de todas as forças externas que agem sobre o sistema. Forças de uma

parte do sistema que agem sobre outra parte (forças internas) não devem ser incluídas na Eq. 9-

14.

2. M é a massa total do sistema. Supomos que nenhuma massa entra no sistema ou sai do sistema durante o movimento, de modo que M permanece constante. Em casos como esse, dizemos que o sistema é fechado.

3. CM é a aceleração do centro de massa do sistema. A Eq. 9-14 não fornece nenhuma informação a respeito da aceleração de outros pontos do sistema.

A Eq. 9-14 é equivalente a três equações envolvendo as componentes de res e CM em relação aos três

eixos de coordenadas. Essas equações são:

 

Bolas de Sinuca. Agora podemos voltar a examinar o comportamento das bolas de sinuca. Depois que a

bola branca é posta em movimento, nenhuma força externa age sobre o sistema composto pelas duas bolas.

De acordo com a Eq. 9-14, se res = 0, CM = 0. Como a aceleração é a taxa de variação da velocidade, concluímos que a velocidade do centro de massa do sistema de duas bolas não varia. Quando as duas bolas se chocam, as forças que participam do processo são forças internas de uma bola sobre a outra. Essas forças não contribuem para a força resultante res, que continua a ser nula. Assim, o centro de massa do sistema, que estava se movendo para a frente antes da colisão, deve continuar a se mover para a frente após a colisão, com a mesma velocidade e a mesma orientação.

Corpo Maciço. A Eq. 9-14 se aplica não só a um sistema de partículas mas também a um corpo maciço,

como o bastão de beisebol da Fig. 9-1b. Nesse caso, M da Eq. 9-14 é a massa do bastão e res é a força

gravitacional sobre o bastão. De acordo com a Eq. 9-14, CM = . Em outras palavras, o centro de massa do bastão se move como se o bastão fosse uma única partícula de massa M sujeita à força g.

Explosões. A Fig. 9-5 mostra outro caso interessante. Suponha que, em um espetáculo de fogos de

artifício, um foguete seja lançado em uma trajetória parabólica. Em determinado ponto, o foguete explode em pedaços. Se a explosão não tivesse ocorrido, o foguete teria continuado na trajetória parabólica mostrada na figura. As forças da explosão são internas ao sistema (no início, o sistema é apenas o foguete; mais tarde, é composto pelos fragmentos do foguete), ou seja, são forças que partes do sistema exercem sobre outras partes. A menos da resistência do ar, a força externa resultante res que age sobre o sistema é a

força gravitacional, independentemente da explosão do foguete. Assim, de acordo com a Eq. 9-14, a aceleração CM do centro de massa dos fragmentos (enquanto estão no ar) permanece igual a . Isso significa que o centro de massa dos fragmentos segue a mesma trajetória parabólica que o foguete teria seguido se não tivesse explodido.

Passo de Balé. Quando uma bailarina executa um salto conhecido como grand jeté, ela levanta os braços

e estica as pernas horizontalmente assim que os pés deixam o solo (Fig. 9-6). Esses movimentos deslocam para cima o centro de massa. Embora o centro de massa siga fielmente uma trajetória parabólica, o movimento para cima do centro de massa em relação ao corpo diminui a altura alcançada pela cabeça e pelo tronco da bailarina, que se movem aproximadamente na horizontal, criando a ilusão de que a bailarina flutua no ar.

 

Figura 9-5 Explosão de um fogo de artifício. Se não fosse a resistência do ar, o centro de massa dos fragmentos continuaria a seguir a trajetória parabólica original até que os fragmentos começassem a atingir o solo.

Figura 9-6 Um grand jeté. (Adaptado de The Physics of Dance, de Kenneth Laws, Schirmer Books, 1984.)

 

Demonstração da Equação 9-14

Vamos agora demonstrar essa importante equação. De acordo com a Eq. 9-8, temos, para um sistema de n partículas,

 

em que M é a massa total do sistema e CM é o vetor posição do centro de massa do sistema.

Derivando a Eq. 9-16 em relação ao tempo, obtemos:

 

em que i (= d i/dt) é a velocidade da partícula de ordem i, e CM (= d CM/dt) é a velocidade do centro de massa.

Derivando a Eq. 9-17 em relação ao tempo, obtemos:

 

em que i (= d i/dt) é a aceleração da partícula de ordem i e CM (= d CM/dt) é a aceleração do centro de massa. Embora o centro de massa seja apenas um ponto geométrico, ele possui uma posição, uma velocidade e uma aceleração, como se fosse uma partícula.

De acordo com a segunda lei de Newton, m i i é igual à força resultante i que age sobre a partícula de

ordem i. Assim, podemos escrever a Eq. 9-18 na forma

 

Entre as forças que contribuem para o lado direito da Eq. 9-19 estão as forças que as partículas do sistema exercem umas sobre as outras (forças internas) e as forças exercidas sobre as partículas por agentes de fora do sistema (forças externas). De conformidade com a terceira lei de Newton, as forças internas formam

pares do tipo ação-reação que se cancelam mutuamente na soma do lado direito da Eq. 9-19. O que resta é a

soma vetorial das forças externas que agem sobre o sistema. Desse modo, a Eq. 9-19 se reduz à Eq. 9-14, como queríamos demonstrar.

 

Teste 2

Dois patinadores em uma superfície de gelo, sem atrito, seguram as extremidades de uma vara, de massa desprezível. É escolhido um eixo de referência na mesma posição que a vara, com a origem no centro de massa do sistema de dois patinadores. Um patinador, Frederico, pesa duas

vezes mais do que o outro patinador, Eduardo. Onde os patinadores se encontram se (a) Frederico puxa a vara para se aproximar de Eduardo, (b) Eduardo puxa a vara para se aproximar de Frederico, e (c) os dois patinadores puxam a vara?

 

Exemplo 9.03 Movimento do centro de massa de três

partículas

Se as partículas de um sistema se deslocam na mesma direção, o centro de massa acompanha o movimento; até aí, não há nenhuma novidade. O que acontece, porém, se as partículas se movem em várias direções, com acelerações diferentes? Segue um exemplo.

As três partículas da Fig. 9-7a estão inicialmente em repouso. Cada uma sofre a ação de uma

força externa produzida por um corpo fora do sistema. A orientação das forças está indicada na figura, e os módulos são F1 = 6,0 N, F2 = 12 N e F3 = 14 N. Qual é a aceleração (módulo e orientação) do centro de massa do sistema?

IDEIAS-CHAVE

A posição do centro de massa está assinalada por um ponto na figura. Podemos tratar o centro de massa como se fosse uma partícula real, com massa igual à massa total do sistema, M = 16 kg. Também podemos tratar as três forças externas como se fossem aplicadas ao centro de massa

(Fig. 9-7b).

Cálculos: Podemos aplicar a segunda lei de Newton ( res = m ) ao centro de massa, escrevendo

 

De acordo com a Eq. 9-20, a aceleração CM do centro de massa tem a mesma direção que a força

externa resultante res aplicada ao sistema (Fig. 9-7b). Como as partículas estão inicialmente em repouso, o centro de massa também deve estar inicialmente em repouso. Quando o centro de massa começa a acelerar, ele se move na direção de CM e res.

Podemos calcular o lado direito da Eq. 9-21 usando uma calculadora, ou escrever a Eq. 9-21

em termos das componentes, calcular as componentes de CM e, em seguida, obter CM. Ao longo do eixo x, temos:

 

Ao longo do eixo y, temos: