Movimento Circular Uniforme

Ideias-Chave

• Se uma partícula se move ao longo de uma circunferência de raio r com velocidade escalar constante v, dizemos que ela está descrevendo um movimento circular uniforme; nesse caso, o módulo da aceleração

tem um valor constante, dado por

A aceleração , que é chamada de aceleração centrípeta, aponta para o centro da circunferência ou arco de circunferência. O tempo T necessário para a partícula descrever uma circunferência completa, conhecido como período de revolução ou simplesmente período, é dado por

Movimento Circular Uniforme

Uma partícula em movimento circular uniforme descreve uma circunferência ou um arco de circunferência com velocidade escalar constante (uniforme). Embora a velocidade escalar não varie nesse tipo de movimento, a partícula está acelerada porque a direção da velocidade está mudando.

A Fig. 4-16 mostra a relação entre os vetores velocidade e aceleração em

várias posições durante o movimento circular uniforme. O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento, mas a orientação varia continuamente. A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o mesmo sentido que o movimento. A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro da circunferência. Por essa razão, a aceleração associada ao movimento circular uniforme é chamada de aceleração centrípeta (“que busca o centro”). Como será demonstrado a seguir, o módulo dessa aceleração é

em que r é o raio da circunferência e v é a velocidade da partícula.

Figura 4-16 Os vetores velocidade e aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme.

Durante esta aceleração com velocidade escalar constante, a partícula

percorre a circunferência completa (uma distância igual a 2πr) em um intervalo de tempo dado por

O parâmetro T é chamado de período de revolução ou, simplesmente, período. No caso mais geral, período é o tempo que uma partícula leva para completar uma volta em uma trajetória fechada.

Demonstração da Eq. 4-34

Para determinar o módulo e a orientação da aceleração no caso do movimento

circular uniforme, considere a Fig. 4-17. Na Fig. 4-17a, a partícula p se move com velocidade escalar constante v enquanto percorre uma circunferência de

raio r. No instante mostrado, as coordenadas de p são x e y . p p

Como vimos no Módulo 4-2, a velocidade de uma partícula em movimento

é sempre tangente à trajetória da partícula na posição considerada. Na Fig. 4-

17a, isso significa que é perpendicular a uma reta r que liga o centro da circunferência à posição da partícula. Nesse caso, o ângulo θ que faz com uma reta paralela ao eixo y passando pelo ponto p é igual ao ângulo θ que o raio r faz com o eixo x.

As componentes escalares de são mostradas na Fig. 4-17b. Em termos

dessas componentes, a velocidade pode ser escrita na forma

Usando o triângulo retângulo da Fig. 4-17a, podemos substituir sen θ por y /r e p

cos θ por x /r e escrever p

Para determinar a aceleração da partícula p, devemos calcular a derivada

da Eq. 4-37 em relação ao tempo. Observando que a velocidade escalar v e o raio r não variam com o tempo, obtemos

Note que a taxa de variação com o tempo de y , dy /dt, é igual à componente y p p

da velocidade, v . Analogamente, dx /dt = v , e, novamente de acordo com a y p x

Fig. 4-17b, v = –v sen θ e v = v cos θ. Fazendo essas substituições na Eq. 4-38, x y

obtemos

Esse vetor e suas componentes aparecem na Fig. 4-17c. De acordo com a Eq. 3-

6, temos:

como queríamos demonstrar. Para determinar a orientação de , calculamos o

ângulo ϕ da Fig. 4-17c:

Assim, ϕ = θ, o que significa que aponta na direção do raio r da Fig. 4-17a, no sentido do centro da circunferência, como queríamos demonstrar.

Figura 4-17 Uma partícula p em movimento circular uniforme no sentido anti-horário. (a) Posição e velocidade da partícula em um dado instante de tempo. (b) Velocidade . (c) Aceleração .

Teste 5

Um objeto se move com velocidade escalar constante, ao longo de uma trajetória circular, em um plano xy horizontal com o centro na

origem. Quando o objeto está em x = –2 m, a velocidade é –(4 m/s) . Determine (a) a velocidade e (b) a aceleração do objeto em y = 2 m.

Exemplo 4.06 Pilotos de caça fazendo

curvas

Os pilotos de caça se preocupam quando têm que fazer curvas muito fechadas. Como o corpo do piloto fica submetido à aceleração centrípeta, com a cabeça mais próxima do centro de curvatura, a pressão sanguínea no cérebro diminui, o que pode levar à perda das funções cerebrais.

Os sinais de perigo são vários. Quando a aceleração centrípeta é 2g

ou 3g, o piloto se sente pesado. Por volta de 4g, a visão do piloto passa para preto e branco e se reduz à “visão de túnel”. Se a aceleração é mantida ou aumentada, o piloto deixa de enxergar e, logo depois, ele perde a consciência, uma situação conhecida como g-LOC, da expressão em inglês “g-induced loss of consciousness”, ou seja, “perda de consciência induzida por g”.

Qual é o módulo da aceleração, em unidades de g, para um piloto

cuja aeronave inicia uma curva horizontal com uma velocidade = i

(400 + 500 ) m/s e, 24,0 s mais tarde, termina a curva com uma

velocidade = (–400 – 500 ) m/s? f

IDEIAS-CHAVE

Supomos que o avião executa a curva com um movimento circular uniforme. Nesse caso, o módulo da aceleração centrípeta é dado pela

Eq. 4-34 (a = v2/R), em que R é o raio da curva. O tempo necessário para descrever uma circunferência completa é o período dado pela

Eq. 4-35 (T = 2πR/v).

Cálculos: Como não conhecemos o raio R, vamos explicitar R na Eq.

4-35 e substituí-lo pelo seu valor na Eq. 4-34. O resultado é o