Relações entre as Variáveis Lineares e Angulares

10-3 RELAÇÕES ENTRE AS VARIÁVEIS LINEARES E ANGULARES

 

 

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

10.15 No caso de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo, conhecer a relação entre as variáveis angulares do corpo (posição angular,

velocidade angular e aceleração angular) e as variáveis lineares de uma partícula do corpo (posição, velocidade e aceleração) para qualquer raio dado.

10.16 Conhecer a diferença entre aceleração tangencial e aceleração radial, e traçar os vetores correspondentes às duas acelerações em um desenho de

uma partícula de um corpo que esteja girando em torno de um eixo, tanto para o caso em que a velocidade angular está aumentando como para o caso em que a velocidade radial está diminuindo.

 

Ideias-Chave

• Um ponto de um corpo rígido em rotação, a uma distância perpendicular r de um eixo de rotação, se desloca ao longo de uma circunferência de raio r. Se o corpo gira de um ângulo θ, o ponto descreve um arco de comprimento s dado por

s = θr (ângulo em radianos),

em que θ está em radianos.

• A velocidade linear do ponto é tangente à circunferência; o módulo da velocidade linear é dado por

v = ωr (ângulo em radianos),

em que ω é a velocidade angular do corpo (e do ponto) em radianos por segundo. • A aceleração linear do ponto tem uma componente tangencial e uma componente radial. A componente tangencial é dada por

at = αr (ângulo em radianos),

em que α é a aceleração angular do corpo (e do ponto) em radianos por segundo ao quadrado. A componente radial é dada por

 

• Se o movimento circular é uniforme (ou seja, se a aceleração é zero), o período T do movimento do ponto (e do corpo) é dado por

 

Relações entre as Variáveis Lineares e Angulares

No Módulo 4-5, discutimos o movimento circular uniforme, no qual uma partícula se move com velocidade linear escalar v constante ao longo de uma circunferência e em torno de um eixo de rotação. Quando um corpo rígido, como um carrossel, gira em torno de um eixo, cada partícula do corpo descreve uma circunferência em torno do eixo. Como o corpo é rígido, todas as partículas completam uma revolução no mesmo intervalo de tempo, ou seja, todas têm a mesma velocidade angular ω.

Por outro lado, quanto mais afastada do eixo está a partícula, maior é a circunferência que a partícula percorre e,

portanto, maior é a velocidade linear escalar v. Você pode perceber isso em um carrossel. Você gira com a mesma velocidade angular ω independentemente da distância a que se encontra do centro, mas sua velocidade linear v aumenta perceptivelmente quando você se afasta do centro do carrossel.

Frequentemente, precisamos relacionar as variáveis lineares s, v e a de um ponto particular de um corpo em

rotação às variáveis angulares θ, ω e α do corpo. Os dois conjuntos de variáveis estão relacionados por meio de r, a distância perpendicular do ponto ao eixo de rotação. Essa distância perpendicular é a distância entre o ponto e o eixo de rotação, medida em uma reta perpendicular ao eixo. É também o raio r da circunferência descrita pelo ponto em torno do eixo de rotação.

 

A Posição

Se uma reta de referência de um corpo rígido gira de um ângulo θ, um ponto do corpo a uma distância r do eixo de

rotação descreve um arco de circunferência de comprimento s, em que s é dado pela Eq. 10-1:

 

Essa é a primeira de nossas relações entre grandezas lineares e angulares. Atenção: O ângulo θ deve ser medido

em radianos, já que a Eq. 10-17 é usada precisamente para definir o ângulo em radianos.

 

A Velocidade

Derivando a Eq. 10-17 em relação ao tempo, com r constante, obtemos:

 

Acontece que ds/dt é a velocidade linear escalar (o módulo da velocidade linear) do ponto considerado, e dθ/dt é a velocidade angular ω do corpo em rotação. Assim,

 

Atenção: A velocidade angular ω deve ser expressa em radianos por unidade de tempo.

De acordo com a Eq. 10-18, como todos os pontos do corpo rígido têm a mesma velocidade angular ω, os

pontos com valores maiores de r (ou seja, mais distantes do eixo de rotação) têm uma velocidade linear escalar v

maior. A Fig. 10-9a serve para nos lembrar que a velocidade linear é sempre tangente à trajetória circular do ponto considerado.

Se a velocidade angular ω do corpo rígido é constante, a Eq. 10-18 nos diz que a velocidade linear v de qualquer

ponto do corpo também é constante. Assim, todos os pontos do corpo estão em movimento circular uniforme. O

período de revolução T do movimento de cada ponto e do corpo rígido como um todo é dado pela Eq. 4-35:

 

Essa equação nos diz que o tempo de uma revolução é igual à distância 2πr percorrida em uma revolução dividida

pela velocidade escalar com a qual a distância é percorrida. Usando a Eq. 10-18 para v e cancelando r, obtemos a relação

 

Essa equação equivalente nos diz que o tempo de uma revolução é igual ao ângulo 2π rad percorrido em uma revolução dividido pela velocidade angular escalar com a qual o ângulo é percorrido.

 

A Aceleração

Derivando a Eq. 10-18 em relação ao tempo, novamente com r constante, obtemos:

 

Neste ponto, esbarramos em uma complicação. Na Eq. 10-21, dv/dt representa apenas a parte da aceleração linear responsável por variações do módulo v da velocidade linear . Assim como , essa parte da aceleração linear é tangente à trajetória do ponto considerado. Ela é chamada de componente tangencial a t da aceleração linear do ponto e é dada por

 

em que α = dω/dt. Atenção: A aceleração angular α da Eq. 10-22 deve ser expressa em radianos por unidade de tempo ao quadrado.

Além disso, de acordo com a Eq. 4-34, uma partícula (ou ponto) que se move em uma trajetória circular tem

uma componente radial da aceleração linear, ar = v2/r (dirigida radialmente para dentro), que é responsável por

variações da direção da velocidade linear . Substituindo o valor de v dado pela Eq. 10-18, podemos escrever essa componente como

Figura 10-9 Seção transversal do corpo rígido em rotação da Fig. 10-2, visto de cima. Cada ponto do corpo (como P) descreve uma circunferência em torno do eixo de rotação. (a) A velocidade linear de cada ponto é tangente à circunferência na qual o ponto se move. (b) A aceleração linear do ponto possui (em geral) duas componentes: a aceleração tangencial a e a aceleração radial a . t r

Assim, como mostra a Fig. 10-9b, a aceleração linear de um ponto que pertence a um corpo rígido em rotação

possui, em geral, duas componentes. A componente radial a r (dada pela Eq. 10-23) está presente sempre que a velocidade angular do corpo é diferente de zero (mesmo que não haja aceleração angular) e aponta para o eixo de

rotação. A componente tangencial a t (dada pela Eq. 10-22) está presente apenas se a aceleração angular é diferente de zero e aponta na direção da tangente à trajetória do ponto.

 

Teste 3

Uma barata está na borda de um carrossel em movimento. Se a velocidade angular do sistema (carrossel + barata) é constante, a barata possui (a) uma aceleração radial e (b) uma aceleração tangencial? Se ω está diminuindo, a barata possui (c) uma aceleração radial e (d) uma aceleração tangencial?

 

Exemplo 10.05 Projeto do Anel Gigante, um rotor de grandes

proporções

Recebemos a missão de projetar um grande anel giratório horizontal de raio r = 33,1 m (igual ao da Grande Roda de Pequim, a maior roda-gigante do mundo). Os passageiros entrarão por uma porta

situada na parede externa do anel e ficarão encostados na parede interna (Fig. 10-10a). Decidimos que, no intervalo de t = 0 a t = 2,30 s, a posição angular θ(t) de uma reta de referência do anel será dada por

 

com c = 6,39 × 10−2 rad/s3. Após o instante t = 2,30 s, a velocidade angular será mantida enquanto durar o passeio. Depois que o anel atingir a velocidade angular máxima, o piso do anel será baixado, mas os passageiros permanecerão no mesmo lugar, como se estivessem colados na parede interna do anel. Determine, para o instante t = 2,30 s, a velocidade angular ω, a velocidade linear v, a aceleração angular α, a aceleração tangencial a , a aceleração radial a e a aceleração dos passageiros. t r

IDEIAS-CHAVE

(1) A velocidade angular ω é dada pela Eq. 10-6 (ω = dθ/dt). (2) A velocidade linear v (ao longo da

circunferência) está relacionada à velocidade angular (em torno do eixo de rotação) por meio da Eq. 10-

18 (v = ωr). (3) A aceleração angular α é dada pela Eq. 10-8 (α = dω/dt). (4) A aceleração tangencial at (ao longo da circunferência) está relacionada à aceleração angular α (em torno do eixo de rotação) por

meio da Eq. 10-22 (a t = αr). (5) A aceleração radial ar (em direção ao centro de rotação) é dada pela Eq.

10-23 (a r = ω2r). (6) A aceleração tangencial e a aceleração radial são as componentes (mutuamente perpendiculares) do vetor aceleração .

Figura 10-10 (a) Vista superior de um passageiro pronto para um passeio no Rotor. (b) As componentes radial e tangencial do vetor aceleração.

Cálculos: O primeiro passo é obter a velocidade angular, calculando a derivada em relação ao tempo da função posição angular e fazendo t = 2,20 s:

 

De acordo com a Eq. 10-18, a velocidade linear é

 

Embora seja elevada (mais de 100 km/h), essa velocidade é comum nos brinquedos dos parques de

diversões e não causa desconforto porque, como já foi mencionado no Capítulo 2, o corpo humano é sensível à aceleração, mas não é sensível à velocidade (ou seja, comporta-se como um acelerômetro, não

como um velocímetro). De acordo com a Eq. 10-26, a velocidade linear aumenta com o quadrado do tempo (mas esse aumento deixa de existir em t = 2,30 s).

Vamos agora obter a aceleração angular calculando a derivada da Eq. 10-25:

 

De acordo com a Eq. 10-22, a aceleração tangencial é

 

ou 2,8g (o que não é doloroso, mas chega a incomodar). De acordo com a Eq. 10-27, a aceleração nesse instante ainda está aumentando (mas vai deixar de aumentar a partir do instante t = 2,30 s). A aceleração

radial é dada pela Eq. 10-23,

ar = ω2r.

Substituindo ω pelo seu valor, dado pela Eq. 10-25, obtemos:

 

ou 2,9g (ligeiramente maior que a aceleração tangencial).

As acelerações radial e tangencial são mutuamente perpendiculares e constituem as componentes do

vetor velocidade dos passageiros (Fig. 10-10b). O módulo de é dado por

ou 4,1g (o que chega a assustar!). Todos esses valores são seguros.

Para determinar a orientação de , basta calcular o ângulo θ mostrado na Fig. 10-10b:

 

Em vez de substituir at e ar por valores numéricos, vamos usar as expressões das Eqs. 10-27 e 10-28, o que nos dá

 

A vantagem de obtermos uma expressão geral para o ângulo é que isso nos permite constatar que o ângulo (1) não depende do raio do anel e (2) diminui enquanto t aumenta de 0 a 2,20 s. Em outras palavras, o vetor gira na direção do centro de rotação porque a aceleração radial (que é proporcional a t4) aumenta muito mais depressa que a aceleração tangencial (que é proporcional a t). Para t = 2,20 s, temos:

 

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