Trabalho e Energia Cinética

“Trabalho”, portanto, é energia transferida; “realizar trabalho” é o ato de transferir energia. O trabalho tem a mesma unidade que a energia e é uma grandeza escalar.

O termo transferência pode ser enganador; não significa que um objeto

material entre no objeto ou saia do objeto. A transferência não é como um fluxo de água; ela se parece mais com a transferência eletrônica de dinheiro entre duas contas bancárias: o valor de uma das contas aumenta, o valor da outra conta diminui, mas nenhum objeto material é transferido de uma conta para a outra.

Note que não estamos usando a palavra “trabalho” no sentido coloquial,

segundo o qual qualquer esforço, físico ou mental, representa trabalho. Assim, por exemplo, ao empurrar uma parede com força, você se cansa por causa das contrações musculares repetidas e está, no sentido coloquial, realizando um trabalho. Entretanto, como esse esforço não produz uma transferência de energia para a parede ou da parede, o trabalho realizado sobre a parede, de acordo com nossa definição, é nulo.

 

Trabalho e Energia Cinética

 

Encontrando uma Expressão para o Trabalho

Para encontrar uma expressão para o trabalho, considere uma conta que pode

deslizar ao longo de um fio sem atrito ao longo de um eixo x horizontal (Fig. 7-

2). Uma força constante , fazendo um ângulo ϕ com o fio, é usada para acelerar a conta. Podemos relacionar a força à aceleração por meio da segunda lei de Newton, escrita para as componentes em relação ao eixo x:

 

em que m é a massa da conta. Enquanto a conta sofre um deslocamento , a

força muda a velocidade da conta de um valor inicial para outro valor, . 0

Como a força é constante, sabemos que a aceleração também é constante.

Assim, podemos usar a Eq. 2-16 para escrever, para as componentes em relação ao eixo x,

 

Explicitando a , substituindo na Eq. 7-3 e reagrupando os termos, obtemos: x

O primeiro termo do lado esquerdo da equação é a energia cinética K da conta f

 

no fim do deslocamento d; o segundo termo é a energia cinética K da conta no i

início do deslocamento. Assim, o lado esquerdo da Eq. 7-5 nos diz que a energia cinética foi alterada pela força, e o lado direito nos diz que a mudança é

igual a F d. Assim, o trabalho W realizado pela força sobre a conta (a x

transferência de energia em consequência da aplicação da força) é

 

Se conhecemos os valores de F e d, podemos usar a Eq. 7-6 para calcular o x

trabalho W realizado pela força sobre a conta.

 

Para calcular o trabalho que uma força realiza sobre um objeto quando este sofre um deslocamento, usamos apenas a componente da força paralela ao deslocamento do objeto. A componente da força perpendicular ao deslocamento não realiza trabalho.

 

Como se pode ver na Fig. 7-2, F = F cos ϕ, em que F é o módulo de e ϕ é x

o ângulo entre o deslocamento e a força . Assim,

Figura 7-2 Uma força constante que faz um ângulo ϕ com o deslocamento de uma conta em um

fio, acelera a conta ao longo do fio, fazendo a velocidade da conta mudar de para . Um “medidor de 0

energia cinética” indica a variação resultante da energia cinética da conta, do valor K para o valor K . i f

 

Figura 7-3 Um dos participantes de uma corrida de camas. Podemos considerar a cama e seu ocupante como uma partícula, para calcular o trabalho realizado sobre eles pela força aplicada pelo estudante.

 

Como o lado direito da Eq. 7-7 é equivalente ao produto escalar · ,

também podemos escrever

 

(O produto escalar foi definido no Módulo 3-3.) A Eq. 7-8 é especialmente útil para calcular o trabalho quando e são dados na notação dos vetores unitários.

Atenção: Existem duas restrições ao uso das Eqs. 7-6 a 7-8 para calcular o

trabalho realizado por uma força sobre um objeto. Em primeiro lugar, a força deve ser constante, ou seja, o módulo e a orientação da força não devem variar durante o deslocamento do objeto. (Mais tarde discutiremos o que fazer no caso de uma força variável cujo módulo não é constante.) Em segundo lugar, o objeto deve se comportar como uma partícula. Isso significa que o objeto deve ser rígido; todas as suas partes devem se mover da mesma forma. Neste capítulo, consideramos apenas objetos que se comportam como partículas,

como a cama e seu ocupante na Fig. 7-3.

O Sinal do Trabalho. O trabalho realizado por uma força sobre um objeto

pode ser positivo ou negativo. Assim, por exemplo, se o ângulo ϕ da Eq. 7-7 for menor que 90°, cos ϕ será positivo e o trabalho será positivo. Se ϕ for maior do que 90° (até 180°), cos ϕ será negativo e o trabalho será negativo. (Você é capaz de explicar por que o trabalho é zero para ϕ = 90°?) Esses resultados levam a uma regra simples: Para determinar o sinal do trabalho realizado por uma força, considere a componente da força paralela ao deslocamento:

 

O trabalho realizado por uma força é positivo, se a força possui uma componente vetorial no sentido do deslocamento, e negativo, se a força possui uma componente vetorial no sentido oposto. Se a força não possui uma componente vetorial na direção do deslocamento, o trabalho é nulo.

 

Unidade de Trabalho. A unidade de trabalho do SI é o joule, a mesma da

energia cinética. Como mostram as Eqs. 7-6 e 7-7, uma unidade equivalente é o newton-metro (N · m). A unidade correspondente no sistema inglês é o pé-

libra constantelibra (ft · lb). De acordo com a Eq. 7-2, temos:

 

Trabalho Total Realizado por Várias Forças. Quando duas ou mais forças

atuam sobre um objeto, o trabalho total realizado sobre o objeto é a soma dos trabalhos realizados separadamente pelas forças. O trabalho total pode ser calculado de duas formas: (1) determinando o trabalho realizado separadamente

pelas forças e somando os resultados; (2) determinando a resultante de res

todas as forças e aplicando a Eq. 7-7, com o módulo F substituído por F e ϕ res

substituído pelo ângulo entre e . Também podemos usar a Eq. 7-8, res

substituindo por . res Teorema do Trabalho e Energia Cinética

A Eq. 7-5 relaciona a variação da energia cinética da conta (de um valor inicial

K = para um valor final K = mv2) ao trabalho W (= F d) realizado i f x sobre a conta. No caso de objetos que se comportam como partículas, podemos generalizar essa equação. Seja ΔK a variação da energia cinética do objeto e seja W o trabalho resultante realizado sobre o objeto. Nesse caso, podemos escrever

 

que significa o seguinte:

 

Podemos também escrever

 

que significa o seguinte:

 

Essas relações, conhecidas tradicionalmente como teorema do trabalho e energia cinética para partículas, valem para trabalhos positivos e negativos. Se o trabalho total realizado sobre uma partícula é positivo, a energia cinética da partícula aumenta de um valor igual ao trabalho realizado; se o trabalho total é negativo, a energia cinética da partícula diminui de um valor igual ao trabalho realizado.

Por exemplo, se a energia cinética de uma partícula é inicialmente 5 J e a

partícula recebe uma energia de 2 J (trabalho total positivo), a energia cinética final é 7 J. Por outro lado, se a partícula cede uma energia total de 2 J (trabalho total negativo), a energia cinética final é 3 J.

 

Teste 1

Uma partícula está se movendo ao longo do eixo x. A energia cinética aumenta, diminui ou permanece a mesma se a velocidade da partícula varia (a) de −3 m/s para −2 m/s e (b) de −2 m/s para 2 m/s? (c) Nas situações dos itens (a) e (b) o trabalho realizado sobre a partícula é positivo, negativo ou nulo?

 

Exemplo 7.02 Trabalho realizado por

duas forças constantes: espionagem industrial

A Fig. 7-4a mostra dois espiões industriais arrastando um cofre de 225 kg a partir do repouso e assim produzindo um deslocamento ,

de módulo 8,50 m, em direção a um caminhão. O empurrão do 1

espião 001 tem um módulo de 12,0 N e faz um ângulo de 30,0° para

baixo com a horizontal; o puxão do espião 002 tem um módulo de 2

10,0 N e faz um ângulo de 40,0° para cima com a horizontal. Os módulos e orientações das forças não variam quando o cofre se desloca, e o atrito entre o cofre e o atrito com o piso é desprezível.

(a) Qual é o trabalho total realizado pelas forças e sobre o cofre 1 2 durante o deslocamento ,?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) O trabalho total W realizado sobre o cofre é a soma dos trabalhos realizados separadamente pelas duas forças. (2) Como o cofre pode ser tratado como uma partícula e as forças são constantes, tanto em

módulo como em orientação, podemos usar a Eq. 7-7 (W = Fd cos ϕ)

ou a Eq. 7-8 (W = · ) para calcular o trabalho. Como conhecemos 1

o módulo e a orientação das forças, escolhemos a Eq. 7-7.

 

Cálculos: De acordo com a Eq. 7-7 e o diagrama de corpo livre do

cofre (Fig. 7-4b), o trabalho realizado por é 1

 

W = F d cos ϕ = (12,0 N)(8,50 m)(cos 30,0°) 1 1 1

= 88,33 J,

 

e o trabalho realizado por é 2

W = F d cos ϕ = (10,0 N)(8,50 m)(cos 40,0°) 2 2 2

= 65,11 J.

 

Assim, o trabalho total W é

 

Figura 7-4 (a) Dois espiões arrastam um cofre, produzindo um deslocamento . (b) Diagrama de corpo livre do cofre.

 

Durante o deslocamento de 8,50 m, portanto, os espiões transferem

153 J para a energia cinética do cofre.

(b) Qual é o trabalho W realizado pela força gravitacional sobre o g g

cofre durante o deslocamento e qual é o trabalho W realizado pela N

força normal sobre o cofre durante o deslocamento? N

 

IDEIA-CHAVE

Como tanto o módulo como a orientação das duas forças são constantes, podemos calcular o trabalho realizado por elas usando a

Eq. 7-7.

 

Cálculos: Como o módulo da força gravitacional é mg, em que m é a massa do cofre, temos:

Estes resultados já eram esperados. Como são perpendiculares ao deslocamento do cofre, as duas forças não realizam trabalho e não transferem energia para o cofre.

(c) Qual é a velocidade v do cofre após o deslocamento de 8,50 m? f

 

IDEIA-CHAVE

A velocidade varia porque a energia cinética muda quando e 1 2

transferem energia para o cofre.

 

Cálculos: Podemos relacionar a velocidade ao trabalho combinando

as Eqs. 7-10 (teorema do trabalho e energia) e 7-1 (definição de energia cinética):

 

A velocidade inicial v é zero e sabemos que o trabalho realizado é i

153,4 J. Explicitando v e substituindo os valores conhecidos, f obtemos:

 

Exemplo 7.03 Trabalho realizado por uma

força constante expressa na notação dos

vetores unitários

Durante uma tempestade, um caixote desliza pelo piso escorregadio de um estacionamento, sofrendo um deslocamento = (–3,0 m) enquanto é empurrado pelo vento com uma força = (2,0 N) + (–6,0

N) . A situação e os eixos do sistema de coordenadas estão

representados na Fig. 7-5. (a) Qual é o trabalho realizado pelo vento sobre o caixote?

 

IDEIA-CHAVE

Como podemos tratar o caixote como uma partícula e a força do

vento é constante, podemos usar a Eq. 7-7 (W = Fd cos ϕ) ou a Eq. 7-

8 (W = · ) para calcular o trabalho. Como conhecemos e em

termos dos vetores unitários, escolhemos a Eq. 7-8.

 

Cálculos: Temos

 

W = · = [(2,0 N) + (–6,0 N) ] · [(–3,0 m) ]

 

De todos os produtos entre vetores unitários, apenas · , · e ·

são diferentes de zero (veja o Apêndice E). Assim, temos

 

A força realiza, portanto, um trabalho negativo de 6,0 J sobre o caixote, retirando 6,0 J da energia cinética do caixote.

 

Figura 7-5 A força desacelera um caixote durante um

deslocamento .

 

(b) Se o caixote tem uma energia cinética de 10 J no início do deslocamento , qual é a energia ao final do deslocamento?

 

IDEIA-CHAVE

Como a força realiza um trabalho negativo sobre o caixote, ela reduz a energia cinética do caixote.

 

Cálculo: Usando o teorema do trabalho e energia cinética na forma

da Eq. 7-11, temos